2025中考數學二輪專題復習-一線三等角.專項訓練

選擇題（共7小題）

1.如圖，己知直線相鄰兩條平行直線間的距離都是1,如果正方形ABC。

的四個頂點分別在四條直線上，則正方形ABCD的面積為（

A.4B.5C.9D-￥

2.如圖，直線11//12//13,一等腰直角三角形ABC的三個頂點A,B,C分別在/i,12,h

上，ZACB=90°,AC交/2于點。，已知/1與/2的距離為1,/2與/3的距離為3,這樣

)

D?誓

3.直線/1〃/2〃/3,且/1與/2的距離為1,/2與/3的距離為3,把一塊含有45°角的直角三

角形如圖放置，頂點A,B,C恰好分別落在三條直線上，AC與直線/2交于點。，則線

D-T

4.如圖，。是等邊△ABC邊48上的一點，且4。=1,BD=2,現將△ABC折疊，使點C

與。重合，折痕ER點、E、尸分別在AC和BC上，若BF=L25,則A￡=（）

C

3355

5.如圖，矩形A8CZ）中，由8個面積均為1的小正方形組成的L型模板如圖放置，則矩形

ABC。的周長為（）

A.12如B.1073C.8泥D.8+4遙

6.如圖，正方形A8C。的邊長為4,E是8c上一點，過點E作交8C于點孔

連接AR則的最小值是（）

AD

口

BEC

A.5B.V7C.2V2D.3

7.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,點。在邊BC上，點E在/C內部，且△AOE是等

邊三角形，NCBE=60：若BC=5,BE=3,則△A3。的面積為（）

CD

A.^/1_B.373

C.4V3D.573

2

二.填空題（共4小題）

8.如圖，已知在四邊形A3ED中，點C是線段AB的中點，且BE=2,

AD=8,那么AC=.

9.如圖，等邊三角形ABC中，放置等邊三角形。所，且點。，E分別落在AB,BC上,AD

=5,連結CR若CF平分/AC2,則BE的長度為.

10.已知，如圖，RtZ\A8C中，ZACB=90°,AC=BC,D為BC上一點,CE_LA。于E,

若CE=2,貝ijS&BEC=.

11.如圖，點M、N是邊長為6的正△ABC的邊46、AC上的動點，將△AMN沿MN折疊,

恰好使A點落在BC邊上的D點處.若BD：8=2：3,則AM：AN的值

三.解答題(共8小題)

12.如圖①，點3、C在NMAN的邊AM、AN上，點E,尸在/MAN內部的射線A。上，

/I、N2分別是△ABE、的外角.已知A8=AC,Z1=Z2=ZBAC.求證：△

ABE^/XCAF.

應用：如圖②，在△ABC中，AB=AC,AB>2C,點D在邊BC上，且0)=22。，點E,

尸在線段上.Z1=Z2=ZBAC,若△ABC的面積為15,求△A8E與△<?￡)尸的面積

之和.

圖①圖②

13.如圖，已知矩形ABCD的頂點A,。分別落在x軸、y軸上，OD=2OA=6,AD：AB

=3：1,CE垂直y軸于點E.

(1)求證：XCDEs△DAO；

(2)直接寫出點8和點C的坐標.

14.如圖，一次函數〉=依+6(AWO)的圖象與x軸，y軸分別交于A(-9,0),B(0,6)

兩點，過點C(2,0)作直線/與BC垂直，點E在直線/位于x軸上方的部分.

(1)求一次函數y=hr+b(AW0)的表達式；

(2)若△ACE的面積為H,求點E的坐標；

(3)當NC8E=NAB0時，點E的坐標為.

15.如圖，等邊三角形△AC8的邊長為3,點P為BC上的一點，點。為AC上的一點,

連接AP、PD,ZAPD=60°.

(1)求證：?AABP^/\PCD；?AP2=AD-AC；

(2)若PC=2,求CD和AP的長.

D

50,

BPC

16.如圖，△ABC和△￡>￡廠是兩個全等的等腰直角三角形，ZBAC^ZEDF^9Q°,4DEF

的頂點￡與△ABC的斜邊BC的中點重合.將尸繞點E旋轉，旋轉過程中，線段。E

與線段相交于點P,線段所與射線CA相交于點。.

(1)如圖①，當點Q在線段AC上，且AP=A。時，求證：ABPE沿ACQE；

(2)如圖②，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：ABPEs'EQ.

圖①圖②

17.如圖，M為線段A8的中點，AE與BD交于點、C,ZDME=ZA=ZB=a,且。M交

AC于尸，ME交BC于G.

(1)寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對;

(2)連接尸G,如果a=45°,A8=4*歷，AF=3,求FC和尸G的長.

C

D

?E

18.感知：如圖①，在四邊形A8CD中，AB//CD,/B=90°,點尸在BC邊上，當/APD

=90°時，可知△ABPS2\PCD（不要求證明）

探究：如圖②，在四邊形ABCZ）中，點尸在8C邊上，當NB=/C=/AP。時，求證：

叢ABPs叢PCD.

拓展：如圖③，在△ABC中，點尸是邊BC的中點，點。、E分別在邊AB、AC上.若

/B=NC=NDPE=45°,BC=6近,BD=4,則DE的長為.

BP

圖①圖②圖③

19.【模型建立】如圖1,等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,CB=CA,直線ED經過

點C,過點A作AD±ED于點D,過點B作BELED于點E,易證明△BEC之△CZM（無

需證明），我們將這個模型稱為“K形圖”.接下來我們就利用這個模型來解決一些問題：

【模型運用】（1）如圖2,在平面直角坐標系中，等腰RtZXACB,ZACB=90°,AC=

BC,AB與y軸交點。，點C的坐標為（0,-2）,A點的坐標為（4,0）,求2,。兩點

坐標；

（2）如圖3,在平面直角坐標系中，直線/函數關系式為：y=4x+4,它交y軸于點A,

交無軸于點C,在x軸上是否存在點B,使直線A8與直線/的夾角為45°?若存在，求

出點8的坐標；若不存在，請說明理由.

【模型拓展】（3）如圖4,在RtZkABC中，ZC=90°,AC=6,8C=8,點方在AC上，

點E在BC上，CD=2,分別連接BQ,AE交于F點.若NBFE=45。，請直接寫出CE

的長.

圖1圖2圖3圖4

參考答案與試題解析

選擇題(共7小題)

1.【解答】解：作跖，/2,交11于E點,交14于F點、.

'：h//l2//h//U,EFLh,

：.EF1h,EF±k,

即/AE￡)=/Z)PC=90°.

為正方形，

/.ZADC=9Q°.

：.ZADE+ZCDF^90°.

：.ZCDF=ZDAE.

在△&￡>￡1和△QCP中

，ZDEA=ZCFD

,ZEAD=ZCDF

AD=DC

AAADE^ADCF(AAS),

：.CF=DE=\.

?：DF=2,

.?.CD2=l2+22=5,

即正方形ABCD的面積為5.

故選：B.

2.【解答］解：如圖，作8尸，/3,AEL13,

?.?直線/i〃/2〃/3,AZ）：CD=1：3,

：.AG：EG=1：3,

設AG=1,EG=3,

,：ZACB=90°,

AZBCF+ZACE^9Q°,

,：ZBCF+ZCBF=90°,

ZACE=ZCBF,

rZBFC=ZCEA

在△ACE和△C8F中，＜NCBF=/ACE，

BC=AC

/.LACE咨ACBF,

：.CE=BF,CF=AE,

V/i與h的距離為1,/2與/3的距離為3,

；.AG=1,BG=EF=CF+CE=7

；?AB=7BG2+AG2=5&,

'：ll//l3,

?DG=1

"CEI

.,.OG=LCE=3,

44

工BD=BG-DG=1-3=空，

44

?AB=4點

"BD5

故選：A.

3.【解答】解：分別過點A、B、。作AFL/3,BE±h,DG±h,

「△ABC是等腰直角三角形，

：.AC=BC,

,：ZEBC+ZBCE=90°,ZBCE+ZACF=90°,ZACF+ZCAF=90°,

/EBC=ZACF,ZBCE=ZCAF,

在△BCE與△CAP中，

，ZEBC=ZACF

'BC=AC，

ZBCE=ZCAF

:.ABCE經ACAF(ASA)

：.CF=BE,CE=AF,

Vh與h的距離為1,/2與與的距離為3,

:.CF=BE=3,CE=AF=3+l=4,

在RtAACF中，

：AF=4,CP=3,

?■?AC=VAF2+CF2=^42+32=5，

'：AF1h,DG±h,

.?.△CZJG^ACAF,

.?.理■=&5!■,旦=里，解得。￡)=至，

AFAC454

在RtABCD中，

?：CD=^-,BC=5,

4

?■?SD=VBC2+CD2=^52+(^-)=-y-

故選：A.

4.【解答】解：???△ABC為等邊三角形，

：.BC=AB=3,ZA=ZB=ZC=60°.

由翻折的性質可知：ZEDF=60°.

ZFDB+ZEDA=120°.

9：ZEDA^-ZAED=120o,

???ZAED=ZFDB.

：.△AEDs^BDF.

...嫗型即膽=2,解得：AE=8

ADFB11.255

故選：c.

5.【解答】解：..?小正方形的面積為1,.?.小正方形的邊長也為1

設CE=y,

VZAEB+ZCEF=90a,WZEFC+ZC￡F=90°

/AEB=/EFC

又,：/B=NC=90°,AE=EF=4

:.AABE咨ECF(A4S)

：.AB=EC=y,BE=CF=x

...由勾股定理可得/+y2=42

而同理可得NEFC=NPG。，且/C=NO=90°

:.△ECFsAFDG

.EC_CF_EF_4

"FD"DG"FG"2

.,.即=&。=_1丫，

22y

'：AB^CD

.,1

..y=x+-=-y

2

.\y=2x,將其代入/+y2=42中

于是可得x=遺尸還

55_

而矩形A8C￡>的周長=2(x+y)+2y=5y=5X^Z§_=8V5

5

故選：c.

6?【解答】解：??,四邊形ABCQ是正方形，

：.AB=BC=CD^AD=4,ZB=ZC=ZD=9Q°,

：.ZBAE+ZAEB=90°,

BE=x,貝!jEC=8C-3E=4-x,

VEF±AE,

AZAEF=90°,

ZAEB+ZFEC=180°-ZAEF=90°,

：.ZBAE=ZFEC,

：.AABEsdECF,

?AB=BE

"ECCF'

???4--—x“,

4-xCF

...b=x(4-x)

4

=--J?+X

4

—_-(x-2)，+l,

4

.,.當x=2時，CF最大=1,

此時DF最a、=DC-CF=3,

在RtAADF中，AF=^AD2+DF=1/42+DF2，

當。F最小=3時，AF取最小值，

???AF最小=V42+32=5,

???A/的最小值是5,

故選：A.

7.【解答］解：如圖，在3C的延長線上取點R使NA陽=60°,

A

「△AOE是等邊三角形，

：.AD=DE=AEfZADE=60°,

?.,ZADB=ZAFD-^-ZDAF=NADE+NEDB,

：./DAF=/EDB,

又/CBE=60°,

ZAFD=ZDBE=60°,

：.AAFD^ADBE(A4S),

:?FD=BE=3,AF=BD,

設CF=x,貝UCD=3-x,

BD=5-(3-x)=X+2,

VZACB=90°,

.ZACF=90°，

：.ZCAF=90°-60°=30°,

?A,F=,2CF=^X9

.*.2x=x+2,

??1=2,

:,CF=2,

，AC=2愿，AF=BD=4

?'△ABD=^-BD'AC=yX4X2?=4料，

故選：C.

二.填空題（共4小題）

8.【解答】解：VZA=ZB=ZDCE,

VZAZ）C=180°-ZA-ZACD,ZBCE=180°-ZDCE-ZACD,

：.ZADC=ZBCE,

：.MACDsABCE,

?AD=AC

"BCBE"

;點C是線段AB的中點，

J.AC^BC,

：.AC2=AD'BE=16,

：.AC=4,

故答案為：4.

9.【解答］解：如圖，在BC上截取EG=BD,連接歹G,

AABC和4DEF是等邊三角形,

：.DE=EF,AB=BC,/DEF=NB=/ACB=60°,

/DEC=NBDE+/B=ZDEF+ZFEG,

???ZBDE=NFEG,

在43皮)和△G/E中，

rDE=EF

<NBDE=NFEG，

BD=EG

AABED^AGFE(SAS),

：.ZB=ZEGF=60°,BE=FG,

二月。平分NAC8,

AZACF=ZECF=30°,

ZEGF=/GFC+/FCG,

???NG尸C=NGC尸=30°,

:?FG=CG=BE,

*：AB=BC,BD=EG,

：.AD=BE+CG=2BE=5,

：.BE=2.5.

故答案為：2.5.

10.【解答］解：如圖，過點5作交CE的延長線于點”,

VZACB=90°,

AZACE+ZBCH=90°,

?：BHLCE,

：.ZBHC=9Q°,

:?/HBC+NBCH=9U°,

JZHBC=NACE,

在△3"。與△CEA中，

'NBHC=ZCEA=90°

<ZHBC=ZECA，

BC=AC

AABHC^ACEA(AAS),

：.BH=CE=2,

.c_CEXBH_2X2_o

-bABEC=_2--2Y

故答案為：2.

11?【解答】解：:△ABC是等邊三角形，

AZA=60°,

由翻折可知：/Affi>N=NA=60°,

:.NMDB+/NDC=120°,

在中，ZMDB+ZBMD^12.0o,

：.ZBMD=ZNDC,

.,.MBDMS4CND,

「△ABC是邊長為6的等邊三角形，BD：CD=2：3,

：.BD^2A,CD=3.6,

,:△BDMsACND,

：.BM：CD=BD-.CN=DM-.DN,

"：AM=MD,AN=ND,BM^6-AM,CN=6-AN,

：.(6-AM)：3.6=2.4：(6-AN)=AM：AN,

：.3.6AM=6AN-AN-AM?,

2AAN=6AM-AM'AN?,

①-②得，3.6AM-2.4AN=6AN-6AM,

即9.6AM=8.4AM

：.AM：AN=(8.4)：(9.6)=7：8.

故答案為：z.

8

三.解答題(共8小題)

12.【解答】證明：(1)VZ1=Z2=ZBAC,且=Z2^ZFAC+ZFCA,

ZBAC=ZBAE+ZFAC,

：.ZBAE^ZFCA,ZABE=ZFAC,且AB=AC,

.?.△ABE^ACAF(ASA)

(2)：/l=N2=NB4C,且N1=NBAE+NA8E,/2=NFAC+/FCA,ZBAC^Z

BAE+ZFAC,

：.ZBAE=ZFCA,ZABE=ZFAC,1.AB=AC,

：.AABE^/\CAF(ASA)

??S/\ABE-S/\CAF>

,:CD=2BD,△ABC的面積為15,

??S/^ACD—10—SAABE+SACDF.

13?【解答】(1)證明：?..四邊形ABCD是矩形，

：.CD=AB,ZADC=9Q°,

：.ZADO+ZCDE=ZCDE+ZDCE=90°,

:.NDCE=/ADO,

.?.△CDE^AADO.

(2)解：:△CDEsADAO,

?-?一C.E一_D,E_C—D,

0D0AAD

VOD=2OA=6,AD：AB=3：1,

，OA=3,CD：A￡)=」，

3

.,.CE=4Z)=2,￡)E”OA=1,

33

：.OE=1,

：.C(2,7),

利用平移的性質可得8(5,1).

14.【解答】解：(1)；一次函數丫=依+6(AWO)的圖象與無軸，y軸分別交于A(-9,0),

B(0,6)兩點，

-9k+b=0

b=6

b=6

一次函數y—kx+b的表達式為y——x+6；

-3

(2)如圖，設點E到x軸的距離為//,

VA(-9,0),C(2,0),

S^ACE=-AC'/i=-1Xll/i=ll,

22

：.h=2,即點E的縱坐標為2,

記直線/與y軸的交點為。，

:BC_U,

：.ZBCD^90°=NBOC,

：.ZOBC+ZOCB^ZOCD+ZOCB,

：./OBC=/OCD,

,：ZBOC=ZCOD,

:.△OBCs8ocD,

?OB0C

"ocW

,:B(0,6),C(2,0),

：.OB=6,OC=2,

?-?-6--~---2--,

20D

：.OD=2L,

3

：.D(0,-2),

3

VC(2,0),

；?直線/的解析式為y=L-2,

33

當y=2時，.Xx--=2,

33

?\x=8,

：.E(8,2)；

(3)如圖，過點E作跖，x軸于R連接BE,

/ABO=NCBE,ZAOB=ZBCE=90°

△ABOsAEBC,

BC_B02s

cf"AO"3"

/BCE=90°=ZBOC,

NBCO+NCBO=ZBCO+ZECF,

ZCBO=ZECF,

ZBOC=ZEFC=90°,

△BOCsXCFE,

BQPC_BC_2

CF'EF'CE

_6__2_^2

樂聲而，

CF=9,EF=3,

OF=11,

E(11,3).

故答案為(lb3).

15.【解答】(1)證明：①在等邊三角形△ACB中，ZB=ZC=60°,

VZAPD=60°,AAPC^ZPAB+ZB,

:.NDPC=NPAB,

：.AABPS^PCD；

②：/%C=/ZMP,ZC=ZAPD=60°,

AADP^AAPC,

?APAD

,?而H

J.AP2^AD'AC；

(2)解：，；AABPs^pCD,AB=AC=3,

?ABBP

"PCW

.-.cz)=22￡i=2,

33

/.AD=3-2=工，

33

?.?等邊三角形△ACB的邊長為3,PC=2,AP2=AD'AC,

；.AB=3,BP=L

：.AP=y/7>

:.CD=4

3

16.【解答】證明：(1);△ABC是等腰直角三角形，

；./B=NC=45°,AB=AC.

'：AP^AQ,

：.BP=CQ.

是BC的中點，

；.BE=CE.

在△BPE和△CQE中，

'BE=CE

<NB=NC，

BP=CQ

:.ABPE0ACQE(SAS)；

(2)'：ZBEF=ZC+ZCQE,ZBEF=ZBEP+ZDEF,且/C=/OEF=45°,

：.ZCQE=ZBEP,

'：ZB=ZC,

:.△BPEs^CEQ,

17.【解答】解：(1)AAMEs^MFE,ABMDsAMGD,4AMFsABGM,

VZAMD=ZB+ZD,ZBGM=ZDMG+ZD

又/B=/A=/DME=a

：.ZAMF=ZBGM,

：.AAMFsABGM,

(2)連接FG,

由(1)知，AAMFsABGM,

?BGBM

,?瓦

是線段AB中點，

/.AB=4-/2，AM=BM=2近,

；BG=&,Za=45°,

3

.?.△ABC為等腰直角三角形，

：.AC=BC=4,CF=AC-AF=1,

CG=4-旦工

33

/.由勾股定理得FG=H

3

18?【解答】解：感知：?.?NAP￡)=90°,

/.ZAPB+ZDPC^90a,

VZB=90°,

ZAPB+ZBAP=90a,

：.ZBAP=ZDPC,

'：AB//CD,ZB=90°,

.?.NC=N2=90°,

AABP^/\PCD.

探究：VZAPC=ZBAP+ZB,ZAPC=ZAPD+ZCPD,

：.ZBAP+ZB=ZAPD+ZCPD.

\'ZB=ZAPD,

：.ZBAP=ZCPD.

■:NB=/C,

：.AABPSAPCD,

拓展：同探究的方法得出，ABDPsACPE,

?BD_BP

"CP

:點尸是邊8c的中點，

:.BP=CP=35

'：BD=4,

.43V2

.飛魚=CE'

；.CE=9,

2

VZB=ZC=45°,

/.ZA=180°-ZB-ZC=90°,

即AC±AB且AC^AB=6,

：.AE=AC-CE=6-9=工，AD=AB-BD=6-4=2,

22

在RtAWE中，O￡=7AD2+AE2=^(2)2+22=1.

故答案為：1.

2

19.【解答】解：(1)如圖1,過點B作8E_Ly軸于E,

?.?點C的坐標為(0,-2),A點的坐標為(4,0),

；.OC=2,04=4,

?.?等腰RtAACB,ZACB=90°,AC=BC,

又軸，y軸，x軸，

NBEC=ZAOC=ZACB=90",

：.ZBCE+ZACO^9Q0,/BCE+/CBE=9Q°,

/.ZACO=ZCBE,

在△CEB和△AOC中，

,ZBEC=ZAOC

<ZCBE=ZACO-

BC=AC

.,.△CEB^AAOC(AAS),

:.BE=OC=2,CE=AO=4,

：.OE=CE-OC=4-2=2,

：.B(-2,2),

設直線A8的解析式為y=fcc+b(左#0),

VA(4,0),B(-2,2),

.f4k+b=0

*l-2k+b=2，

k」

3

直線AB的解析式為y=-lx+1,

33

：AB與y軸交點。，

：.D(0,A)；

3

(2)存在符合條件的點艮理由如下：

①點8在x軸負半軸上，如圖2,

過點C作CDLAC,交AB于點D,過點D作DELx軸于點E,

：/BAC=45°,ZACD=90°,

J.CA^CD,

ZDEC=ZACD=ZACO=90°,

：.ZBCD+ZACO^90°,NBCD+/CDE=90°,

/./ACO=NCDE,

絲△AOC(AAS),

：.DE=OC=1,CE=AO=4,

：.OE=5,

：.D(-5,1),

設直線AD的解析式為y=kix+bi(RWO),

VA(0,4),Z)(-5,1),

.%i=4

-5.+b「I

解得：45,

b1=4

/.直線A