第四章三角形第16講三角形的概念和性質TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01三角形的穩定性??題型02畫三角形的五線??題型03與三角形高有關的計算??題型04等面積法求高??題型05求網格中的三角形面積??題型06與三角形中線有關的計算??題型07與三角形重心有關的計算??題型08與三角形中位線有關的計算??題型09利用角平分線的性質求解??題型10角平分線的判定??題型11利用垂直平分線的性質求解??題型12垂直平分線線的判定??題型13根據作圖痕跡求解??題型14利用三角形三邊關系求解??題型15利用三角形內角和定理求解??題型16三角形內角和與平行線的綜合應用??題型17三角形內角和與角平分線的綜合應用??題型18與角度有關的折疊問題??題型19利用三角形內角和定理解決三角板問題??題型20利用三角形外角和定理求解??題型21三角形外角性質與平行線的綜合應用??題型22三角形內角和定理與外角和定理的綜合??題型01三角形的穩定性1．（2024·吉林白城·模擬預測）如圖，在生活中，為了保證兒童的安全，通常兒童座椅主體框架成三角形，這是利用了．2．（2024·廣西柳州·二模）下列圖形中具有穩定性的圖形是（

）A．B．C．D．3．（2023贛州市模擬預測）如圖，四邊形木架ABDC．(1)加上木條BC后，木架不易變形，其中蘊含的數學道理是____________；(2)如∠A=∠D，BC平分∠ABD，求證：AC=DC．4．（2023·廣西欽州·一模）某綜合與實踐活動小組對其自制的橋梁模型的承重開展了項目式學習活動，如表是活動的設計方案．請你參與該項目式學習活動，并完成下列問題：項目主題橋梁模型的承重試驗活動目標經歷項目化學習的全過程，引導學生在實際情境中發現問題，并將其轉化為合理的數學問題驅動問題當橋梁模型發生不同程度的形變時，水桶下降的高度方案設計工具狀態一（空水桶）狀態二（水桶內加一定量的水）示意圖說明：C為AB的中點(1)該綜合與實踐活動小組在設計橋梁模型時，選用了三角形結構作為設計單元，這樣設計依據的數學原理是．A．三角形具有穩定性B．兩點確定一條直線C．兩點之間線段最短(2)在水桶內加入一定量的水后，橋梁發生了如圖2所示的形變，若其他因素忽略不計，CD=20cm,∠C??題型02畫三角形的五線5．（2024商洛市二模）在△ABC中，∠BAC是鈍角，下列圖中畫AB邊上的高線正確的是（）A．

B．

C．

D．

6．（23-24九年級下·吉林白城·階段練習）如圖，在6×6的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，A，B，C均為小正方形的頂點，僅用無刻度的直尺按要求畫圖，保留作圖痕跡．

(1)在圖①中，畫出BC邊上的中線AD．(2)在圖②中，畫出AC邊上的點E，使得AEEC(3)在圖③中，畫出AB邊上的高CF．7．（2022·湖北武漢·模擬預測）如圖是由小正方形組成的9×7網格，每個小正方形的頂點叫做格點，△ABC的三個頂點都是格點，僅用無刻度的直尺在給定網格中按下列要求完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示．(1)在圖1中按下列步驟完成畫圖．①畫出△ABC的高CD；②畫△ACD的角平分線AE；③畫點D關于AC的對稱點D'(2)如圖2，P是網格線上一點，過點P的線段MN分別交AB，BC于點M，N，且PM=PN，畫出線段MN．8．（2023·湖北武漢·模擬預測）如圖是由單位長度為1的小正方形組成的7×7網格，每個小正方形的頂點叫做格點A、B兩點在格點，C點在網線上，僅用無刻度直尺在給定的網格中完成畫圖，畫圖過程中用虛線表示．

(1)在圖1中，畫BC中點D，再過點D畫線段EF，使EF=BC；(2)在圖2中，畫線段AB的垂直平分線MN，再在直線AB右側找一點P，連接AP，使∠PAB=∠ABC．??題型03與三角形高有關的計算9．（2024·湖北·模擬預測）△ABC的三邊AB，AC，BC的長度分別是3，4，5，以頂點A為圓心，2.4為半徑作圓，則該圓與直線BC的位置關系是（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．以上都不是10．（2024·上海·模擬預測）在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD交于O，若△BCD面積是△ABD面積的2倍，那么△BOC與△BDC11．（2024·重慶·三模）如圖，△ABC中，BD⊥AC于點D，AB⊥CE于點E，CE與BD相交于點H，已知AD=HD=2，CD=6，則△ABC的面積為．12．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD、AE分別是邊BC上的中線和高，AE＝2，SA．5－1 B．3－1 C．1 D．3??題型04等面積法求高13．（2024·陜西西安·二模）如圖，在3×3的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A?B?C都在格點上，若BD是△ABC

14．（2024·陜西商洛·二模）如圖，△ABC的頂點A，B，C均在邊長為1的正方形網格的格點上，則AC邊上的高為（

）A．302 B．855 C．515．（2024貴州省模擬）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網格，△ABC的頂點A，B，C均在格點上．若AD⊥BC于點D，則線段AD的長為（

）A．5 B．25 C．1 D．2??題型05求網格中的三角形面積1．（2024·河北唐山·二模）如圖，在4×4的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，△ABC的頂點均在格點上，將△ABC向右平移1個單位長得到△A（1）△ABC的面積為；（2）陰影部分的面積為．17．（2024瓊海市三模）如圖，已知A0,2，B2,1，(1)在平面直角坐標系中畫出△ABC；(2)在圖中畫出△ABC關于x軸對稱的△A'B'C'（點A、B、C的對稱點分別為(3)已知P為y軸上一點，若△A'C'P18．（2024莆田市模擬）如圖，每個小正方形的邊長為1．(1)求四邊形ABCD的面積；(2)求∠BCD的度數．19．（2024金沙縣模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A?3,?1，B1,3，C2,?3，則三角形ABC

??題型06與三角形中線有關的計算20．（2024·上海浦東新·一模）如圖，在△ABC中，AB=4，AC=6，E為BC中點，AD為△ABC的角平分線，△ABC的面積記為S1，△ADE的面積記為21．（2024·浙江·模擬預測）如圖，D是△ABC的邊AB上一點，且AD:DB=2:1，過點D作DE∥BC，交AC于點E，取線段AE的中點F，連接DF．若DF=4，則△ABC中AC邊上的中線長為（A．2 B．6 C．7 D．822．（2024·廣東廣州·二模）如圖，已知△ABD中，AC⊥BD，BC=8，CD=4，cos∠ABC=45，BE(1)求AC的長；(2)求△BED的面積．23．（2024·山西太原·三模）如圖示，BE是△ABC的中線，點D是AB邊靠近頂點B的一個三等分點，連接CD，交BE于點F，則DFCF等于（

A．12 B．13 C．14??題型07與三角形重心有關的計算24．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）如圖①，是某教材七年級下冊某一頁的插圖，這幅插圖告訴我們可以用鉛筆支起一張均勻的三角形卡片．請用尺規作圖法，在圖②的△ABC中找到這個支點P（保留作圖痕跡，不寫作法）．25．（2024·江蘇徐州·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，D、E分別為AB、BC的中點，AE與CD交于點O，則OD的長為（

A．53 B．56 C．5226．（2024·山東聊城·二模）綜合與實踐教材重現：取一塊質地均勻的三角形木板，用一枚鐵釘頂在這個三角形的重心上，木板會保持平衡（如圖），這是重心的物理性質．

瑩瑩提前準備了一個等腰三角形紙片ABC，如圖，AB=AC=5，BC=6．為了找到重心，以便像教材上那樣穩穩用筆尖頂起，她先把點B與點C重疊對折，得折痕AE，展開后，她把點B與點A重疊對折，得折痕DF，再展開后連接CD，交折痕AE于點O，則點O就是△ABC的重心．

(1)初步觀察：連接AF，判斷AF與BF的數量關系并說明理由；(2)猜想驗證：瑩瑩通過測量發現OA與OE，OC與OD有同樣的數量關系，寫出它們的關系并說明理由；(3)嘗試運用：利用（2）的結論計算△AOC的面積；(4)拓展探究：瑩瑩把△AFC剪下后得△A'F'C'，發現可以與△ABF拼成四邊形，且拼的過程中點??題型08與三角形中位線有關的計算27．（2024·重慶·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，若CD=3cm，則EF=28．（2024·青海西寧·二模）在探索平面圖形的性質時，往往需通過剪拼的方式幫助我們尋找解題思路．（1）【知識回顧】在證明三角形中位線定理時，就采用了如圖①的剪拼方式，將三角形轉化為平行四邊形使問題得以解決，請寫出已知，求證，并證明三角形中位線定理．（2）【數學發現】如圖②，在梯形ABCD中，AD∥BC，F是腰DC的中點，請你沿著如圖③，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是兩腰AB、DC的中點，我們把EF叫做梯形ABCD的中位線．請類比三角形的中位線的性質，猜想EF和AD、【證明猜想】（3）證明（2）的結論，并在“AD=5，BC=7”的條件下，求EF的長．29．（2024·山西·模擬預測）閱讀下列材料，并完成相應任務：下面是小華同學，課后學習過程中遇到的一個問題：如圖①，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點，CD，BE相交于點P．求證：PEBE小華認真思考后，寫出下面的證明過程：連結DE．∵D，E分別是邊AB，AC的中點，∴DE∥BC，DE=1∵……；∴……．∴PE任務：(1)填空：材料中的依據是指：______．(2)將材料中的證明過程補充完整．(3)如圖②，在△ABC中，AB=AC，AD為邊BC的中線．點E，F分別為邊AB，AC的中點，EF與AD交于點O，BF與AD交于點P．則S△POF30．（2024·山東棗莊·一模）下面是小穎同學的數學日記，請你仔細閱讀，并完成相應的任務10月30日

星期一

晴今天上午的數學課上，我們小組對“測量某池塘寬度AB”進行了熱烈討論．我發現：同學們都能學以致用，我學到的測量方法也特別多，現舉幾例，賞析如下．小麗的方法：如圖（1），在過點B且與AB垂直的直線l上確定一點D，使點D可直接到達點A，連接AD，在AB的延長線上確定一點C，使CD=AD，測出BC的長，則AB=BC．小麗的理由：∵CD=AD，DB⊥AC，∴AB=BC．小強的方法：如圖（2），在地面上選取一個可以直接到達點A、B的點C，連接AC，BC，在AC，BC，上分別取點D、E，使AD=CD，BE=CE，連接DE，測出DE的長，則AB=2DE．小強的理由：∵AD=CD，BE=CE，∴DE是△ABC的中位線，∴AB=2DE．（依據2）．小亮的方法：如圖（3），在BA的延長線上取一點C，在過點C且與AB垂直的直線a上確定一點D，使從點D可直接到達點B，在過點A且與AB垂直的直線b上確定一點E，使點B，E，D在同一條直線上，測出AC，AE，CD的長，即可求出AB的長．我的方法：在過點A且與AB垂直的直線l上確定一點C，只需測得∠BCA的度數和CA的長度，就可求出池塘AB的寬度．我感悟：數學來源于生活又服務于生活，我們遇到問題要想辦法，用所學的數學知識解決實際問題，同一問題可以用不同的方法來解決．我要會用“數學的眼光觀察現實世界，數學的思維思考現實世界，數學的語言表達現實世界．任務：(1)填空：依據1指的是______；依據2指的是______；(2)若按照小亮的方法測出AC=10m，AE=40m，CD=60m(3)小穎同學的方法如圖，若測得∠BCA=30°，CA的長度為34米，求池塘AB的寬度．（結果精確到1米，參考數據：3≈1.73??題型09利用角平分線的性質求解31．（2024·四川綿陽·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AE交BC于點E，ED⊥AB于點D，若△ABCA．3 B．4 C．6 D．832．（2022·廣東深圳·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，用尺規作圖法作出射線AE，AE交BC于點D，CD=5，P為AB上一動點，則PD的最小值為（

A．2 B．3 C．4 D．533．（2024·青海·一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點D，過點D作DE⊥AB于點E．(1)求證：AC=AE；(2)若BC=4，AB=5，求BE的長．34．（2024·甘肅嘉峪關·二模）如圖，已知△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°．(1)尺規作圖：作△ABC的邊AB的垂直平分線，交AB于點D，交AC于點E（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若BC=3，求DE的長．??題型10角平分線的判定35．（2024·重慶·模擬預測）學習了四邊形后，小麥同學想繼續探索鄰邊相等的四邊形特征，請根據他的思路完成以下作圖與填空：(1)用直尺和圓規，過點C作CN⊥AB交AB于點N，過點C作CM⊥AD交AD于點M，（只保留作圖痕跡）(2)在（1）所作圖形中，四邊形ABCD，DC=BC，∠BAD+∠BCD=180°，連接AC，求證：AC平分∵CM⊥AD，∴∠CMD=∠CNB=90°，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，又∵∠ADC+∠CDM=180°，∴①，∵CD=CB，∴△CDM≌△CBN（②

），∴CM=CN，∴∠BAC=∠DAC（依據：③

）小麥同學進一步研究發現，四邊形中滿足鄰邊相等，且對角互補，均有以上特征，請你依照題意完成下面命題：若四邊形鄰邊相等，對角互補，則④．36．（2024·江蘇南通·二模）如圖，點P是∠AOB內一射線OC上一點，點M、N分別是邊OA、OB上的點，連接PM，PN且PM=PN，∠求證：OC是∠AOB的平分線．小星的解答如下：證明：在△POM和△PON中，∵PM=PN，∠PMO=∠PNO∴△POM≌△PON……第一步∴∠POM=∴OC是∠AOB(1)小星的解答從第步開始出現錯誤；(2)請寫出你認為正確的證明過程．37．（22-23九年級下·山東臨沂·期中）如圖，點P是△ABC內部的一點，點P到三邊AB，AC，BC的距離PD=PE=PF，∠BPC=130°，則∠BAC的度數為（

）A．65° B．80° C．100° D．70°38．（2021·湖北孝感·二模）已知ON⊥OM，△ABC的頂點A在ON上，頂點B在OM上，且CA=CB，CA⊥CB．連接OC，與AB交于點D．（1）如圖1，若CA⊥ON，求證：OC平分∠MON；（2）如圖2，若CA與ON不垂直，OC是否仍平分∠MON?請作出結論，并說明理由（3）如圖3，若ODCD=12，??題型11利用垂直平分線的性質求解39．（2024·湖南·模擬預測）如圖，在△ABC中，∠C=90°，ED垂直平分AB，若AC=12，EC=5，則BE的長為．40．（2024·湖北宜昌·一模）如圖，分別以點B和點C為圓心，大于12BC為半徑作弧，兩弧相交于A、M兩點；作直線AM；連接(1)△ABC是什么三角形？說明理由；(2)在△ABC中，CE是∠ACB平分線，BF是∠ABC平分線．求證：BF=CE．41．（2024·湖北黃岡·模擬預測）如圖，△ABC中，BC=6，AC=8，∠C=90°，點F，G分別在邊AB和BC上，且GF=GB，作AF的垂直平分線交AC于點E，則EG的最小值．42．（2024·山西大同·模擬預測）如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=135°，AB的垂直平分線交AD于點E、連接CE，則CE的長為（

）A．6 B．26 C．4343．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）在△ABC中，AB=AC，D為AB邊的中點，DE⊥AB，交直線AC于點E，連接BE，若∠BED=50°，則∠ABC的度數為．??題型12垂直平分線線的判定44．（2024·黑龍江佳木斯·三模）如圖，在四邊形ABCD中，AD=6，CD=8，∠ABC=∠ADC=90°，若BD=BC，則BC的長為（

）A．45 B．35 C．5345．（2024·湖南長沙·一模）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求證：(1)AE=AC；(2)直線AD是線段CE的垂直平分線．46．（2024·江蘇連云港·一模）如圖，點E是矩形ABCD對角線AC上的點（不與A，C重合），連接BE，過點E作EF⊥BE交CD于點F．連接BF交AC于點G,BE=AD．(1)求證：∠FEC=∠FCE；(2)試判斷線段BF與AC的位置關系，并說明理由．??題型13根據作圖痕跡求解47．（2024·貴州·模擬預測）如圖，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，利用尺規在BC，BA上分別截取BE，BD，使BE=BD；分別以D，E為圓心、以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠CBA內交于點F；作射線BF交AC于點G．若CG=1，P為AB上一動點，當GP最小時，AC的長為(A．1 B．3 C．1+2 48．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在△ABC中，AB=AC．用尺規進行以下操作：①以C為圓心BC長為半徑作弧交AB于點D，連接CD；②以C為圓心，任意長為半徑作弧，分別交BC，CD于點N，M；③分別以M，N為圓心，以大于12MN長為半徑作弧，兩弧交于點E，做射線CE．若∠A=42°，則∠ACE的度數為（A．42° B．48° C．50° D．52°49．（2024·海南省直轄縣級單位·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°，AC=4，按下列步驟作圖：①在AC和AB上分別截取AD，使AD=AE．②分別以點D和點E為圓心，以大于12DE，兩弧在∠BAC內交于點M．③作射線AM交BC于點F，若點P是線段AF上的一個動點，連接CPA．2 B．3+1 C．23 50．（2024·福建莆田·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°閱讀以下作圖步驟：（1）分別以點A，C為圓心，大于12AC的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點D，E，作直線DE交AB于點F，交AC于點H，畫射線（2）以點C為圓心，適當的長為半徑畫弧，交BC于點M，交CF于點N；（3）分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠BCF的內部交于點G，畫射線CG，則射線下列說法不正確的是（

）A．AF=CF B．FH=12CH C．CG⊥AB 51．（2024·貴州畢節·模擬預測）如圖，△ABC的面積為16，且AB=AC，BC=4，分別以點A，B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧分別交于點E，F，作直線EF．已知D為BC的中點，M為直線EF上任意一點，則BM+DM的長度的最小值為（A．4 B．6 C．8 D．2??題型14利用三角形三邊關系求解52．（2024·湖南長沙·模擬預測）若3，6，x是某三角形的三邊長，則x可取的最大整數為（

）A．10 B．9 C．8 D．753．（2024·廣東中山·模擬預測）已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2?9x+18=0的兩個根，則該三角形的周長是（A．9 B．15 C．12或15 D．不能確54．（2024·廣東惠州·模擬預測）若a，b，c是三角形的三邊長，則式子c2?a?bA．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定55．（2024·四川攀枝花·模擬預測）已知等腰三角形的三邊長分別是2，x，6，則這個等腰三角形的周長是（

）A．8+x B．10 C．10或14 D．14??題型15利用三角形內角和定理求解56．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，則∠A的度數為（）A．50° B．55° C．65° D．75°57．（2024·湖南·模擬預測）如圖，△BCD內接于⊙O，∠D=70°，OA⊥BC交交?O于點A，連接AC，則∠OAC的度數為（

）A．35° B．45° C．55° D．65°58．（2024·山西·模擬預測）如圖，將正五邊形紙片ABCDE沿BP折疊，得到△BC'P，點C的對應點為點C'，BC'的延長線交DE于點F，若A．30° B．45° C．60° D．72°59．（2024·福建莆田·模擬預測）將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置在A4紙片上，其中點A，B分別落在紙片邊上．若∠1=105°，則∠2的度數為（

）

A．15° B．60° C．65° D．75°??題型16三角形內角和與平行線的綜合應用60．（2024·四川眉山·一模）如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠ADE的大小是（）A．40° B．43° C．46° D．54°61．（2024·廣東中山·模擬預測）將一副三角板（∠E=30°）按如圖方式擺放，使EF∥AB，則∠FPC=（

）A．105° B．115° C．75° D．90°62．（2021·湖南婁底·二模）如圖，在△ABC中，∠BAC=72°，在同一平面內，將△ABC繞點A旋轉到△AB'C'的位置，使得CCA．60° B．36° C．54° D．50°??題型17三角形內角和與角平分線的綜合應用63．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，BD是△ABC的角平分錢，AE⊥BD，垂足為F，交BC于點E，連接DE．若∠ABC=35°，∠C=50°，則∠CDE的度數為（

）A．30° B．35° C．40° D．45°64．（2024重慶市模擬）如圖，已知△ABC的內角∠A=α，分別作內角∠ABC與外角∠ACD的平分線，兩條平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A

A．α2 B．α22023 C．α65．（2024·寧夏銀川·二模）如圖，把△ABC剪成三部分，邊AB，BC，AC放在同一直線l上，點O都落在直線MN上，直線MN∥l．在△ABC中，若∠BOC=130°，則∠BAC的度數為（

）A．50° B．65° C．75° D．80°66．（2024·廣東惠州·二模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠B=44°，∠C=70°，則∠DAE的度數是（

）A．10° B．12° C．13° D．15°??題型18與角度有關的折疊問題67．（2024·廣東·模擬預測）如圖所示，在△ABC中，將點A與點B分別沿MN和EF折疊，使點A，B都與點C重合，若∠NCF=20°，則∠ACB的度數為（）A．90° B．100° C．110° D．120°68．（2021·江蘇常州·一模）如圖，在△ABC中，∠B=70°，沿圖中虛線EF翻折，使得點B落在AC上的點D處，則∠1+∠2等于（

）A．160° B．150° C．140° D．110°69．（2024·四川廣元·二模）如圖，△ABC中，AB=AC，E是邊AC上的點，先將△ABE沿著BE翻折，得到△A'BE，，邊A'B交AC于點D，再將△BCD沿著BD翻折，得到△BC'D，點C'A．20° B．25° C．30° D．40°??題型19利用三角形內角和定理解決三角板問題70．（2024·浙江臺州·模擬預測）一副三角板如圖擺放，∠BAC=∠ADE=90°,∠B=45°,∠E=30°，點D恰好在BC上，且BC∥AE，則∠BAD的度數為（

）A．70° B．75° C．80° D．85°71．（2024·江蘇鎮江·二模）一副三角板如圖放置，∠A=45°，∠F=60°，AB∥EF，則∠CBF=72．（2024·安徽亳州·三模）兩個直角三角板如圖擺放，其中∠BCA=∠DGE=90°，∠E=45°，∠A=30°，AC與DG交于點F．若∠EDB=58.1°，則∠AFD的大小為（

）

A．63.1° B．73.1° C．76.9° D．58.1°73．（2024·河北邯鄲·二模）將分別含有30°，45°角的一副三角板重疊，使直角頂點及兩直角邊重合，如圖1．若保持含45°角的三角板固定不動，將含30°角的三角板繞直角頂點沿順時針方向旋轉15°，如圖2，此時α的度數（填“增大”或“減小”）了??題型20利用三角形外角和定理求解74．（2024·四川眉山·二模）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，若∠A=85°，∠ACE=60°，則∠B=．75．（2024·安徽六安·模擬預測）把一副三角板按如圖所示的方式擺放，使得DE⊥BC，則AC與EF的夾角的度數為（

）A．10° B．12° C．15° D．18°76．（2024·江蘇揚州·二模）如圖，△ABC的頂點A，B在⊙O上，點C在⊙O內（O，C在AB同側），∠AOB=66°，則∠C的度數可能是（

）A．33° B．43° C．24° D．23°??題型21三角形外角性質與平行線的綜合應用77．（2024·湖北·模擬預測）如圖，將一直角三角形放于一對平行線上，量得∠1=63°則∠2=（

）A．143° B．147° C．153° D．157°78．（2024·云南昆明·模擬預測）如圖所示，直線DE，EF相交于點E，若∠E=17°，AB∥CD，∠1=110°，則∠CDE=（A．110° B．93° C．90° D．83°79．（2024·山西·模擬預測）已知直線m∥n，將一副三角板按如圖所示的方式放置，直角頂點D在直線m上，∠F=30°，另一直角三角板一直角邊與直線n重合，∠C=45°，若BC∥EF，則∠MDE=．80．（2024·山西·模擬預測）如圖，直線a∥b，點A、B分別在直線a和直線b上，點C在直線a和直線b外，且AC⊥BC，若∠1=150°，則∠2的度數是（

）A．120° B．130° C．140° D．150°??題型22三角形內角和定理與外角和定理的綜合81．（2024·安徽·模擬預測）如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△EDC，且點A，D，E在同一條直線上，∠ACB=α，則∠ADC的度數是（

）

A．90°?α B．45°+α C．180°?2α D．30°+2α82．（2024·山東臨沂·模擬預測）如圖所示，已知∠MON=55°，正五邊形ABCDE的頂點A、B在射線OM上，頂點E在射線ON上，則∠NED的度數為．83．（20-21九年級上·福建龍巖·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=108°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到△AB'C'．若點B'恰好落在BC邊上，且A1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=32,AC=2，以BC為邊作Rt△BCD，BC=BD，點D與點A在BC的兩側，則ADA．2+32 B．6+22 C．52．（2024·內蒙古·中考真題）如圖，正四邊形ABCD和正五邊形CEFGH內接于⊙O，AD和EF相交于點M，則∠AMF的度數為（

）A．26° B．27° C．28° D．30°3．（2023·浙江·中考真題）如圖，點P是△ABC的重心，點D是邊AC的中點，PE∥AC交BC于點E，DF∥BC交EP于點F，若四邊形CDFE的面積為6，則△ABC的面積為（）

A．15 B．18 C．24 D．364．（2023·山東·中考真題）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列說法錯誤的是（）A．1<AB<7 B．SC．△ABC內切圓的半徑r<1 D．當AB=7時，△ABC5．（2023·河北·中考真題）如圖，點P1~P8是⊙O的八等分點．若△P1P3P

A．a<b B．a=b C．a>b D．a，b大小無法比較6．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射線CP從射線CA開始繞點C逆時針旋轉α角0°<α<75°，與射線AB相交于點D，將△ACD沿射線CP翻折至△A'CD處，射線CA'與射線AB相交于點E．若△

1．（2024·山東德州·中考真題）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是中線，AD=4，S△ABC=12，則BE的長為（A．1.5 B．3 C．4 D．62．（2024·陜西·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，E是DC的中點，連接AE，則圖中的直角三角形有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個3．（2023·江蘇南京·中考真題）若一個等腰三角形的腰長為3，則它的周長可能是（

）A．5 B．10 C．15 D．204．（2024·西藏·中考真題）如圖，已知直線l1∥l2，AB⊥CD于點D，∠1=50°，則A．40° B．45° C．50° D．60°5．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在△ABC中，∠B=80°，∠C=65°，將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△AB'C'．當AB'落在A．65° B．70° C．80° D．85°6．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，則∠A的度數為（

）A．65° B．55° C．50° D．75°7．（2023·遼寧·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠CAB=30°，BC=32，按以下步驟作圖：①分別以點A和點B為圓心，大于12AB長為半徑作弧，兩弧相交于E，F兩點；②作直線EF交AB于點M，交AC于點N．連接BN．則AN

A．2+3 B．3+3 C．238．（2023·內蒙古通遼·中考真題）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉到△ADE，旋轉角為α0°<α<180°，點B的對應點D恰好落在BC邊上，若DE⊥AC，∠CAD=24°，則旋轉角α

A．24° B．28° C．48° D．66°9．（2023·山東·中考真題）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點A，B，C，D，E均在小正方形方格的頂點上，線段AB,CD交于點

A．180°?α B．180°?2α C．90°+α D．90°+2α10．（2023·河北·中考真題）如圖，直線l1∥l2，菱形ABCD和等邊△EFG在l1，l2之間，點A，F分別在l1，l2上，點B，D，E，G在同一直線上：若

A．42° B．43° C．44° D．45°11．（2023·四川遂寧·中考真題）一個三角形的三個內角的度數的比試1:2:3，這個三角形是三角形12．（2023·江蘇徐州·中考真題）若一個三角形的邊長均為整數，且兩邊長分別為3和5，則第三邊的長可以為（寫出一個即可）．13．（2023·吉林·中考真題）如圖，鋼架橋的設計中采用了三角形的結構，其數學道理是．14．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射線CP從射線CA開始繞點C逆時針旋轉α角0°<α<75°，與射線AB相交于點D，將△ACD沿射線CP翻折至△A'CD處，射線CA'與射線AB相交于點E．若△

15．（2024·黑龍江綏化·中考真題）已知：△ABC．(1)尺規作圖：畫出△ABC的重心G．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）(2)在（1）的條件下，連接AG，BG．已知△ABG的面積等于5cm2，則△ABC的面積是______16．（2024·海南·中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標．某天，一艘漁船自西向東（沿AC方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．

航行記錄記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔P北偏西60°方向上的A處．記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔P北偏西45°方向上的B處．記錄三：根據氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點周圍5海里內，會出現異常海況，點C位于木蘭燈塔P北偏東15°方向．請你根據以上信息解決下列問題：(1)填空：∠PAB=________°，∠APC=________°，AB=________海里；(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異常”區，請計算說明．（參考數據：2≈1.4117．（2023·湖南益陽·中考真題）如圖，AB∥CD，直線MN與AB,CD分別交于點E，F，CD上有一點G且GE=GF，∠1=122°．求

18．（2023·內蒙古·中考真題）為了增強學生體質、錘煉學生意志，某校組織一次定向越野拉練活動．如圖，A點為出發點，途中設置兩個檢查點，分別為B點和C點，行進路線為A→B→C→A．B點在A點的南偏東25°方向32km處，C點在A點的北偏東80°方向，行進路線AB和BC所在直線的夾角∠ABC為

(1)求行進路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數；(2)求檢查點B和C之間的距離（結果保留根號）．

第四章三角形第16講三角形的概念和性質TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01三角形的穩定性??題型02畫三角形的五線??題型03與三角形高有關的計算??題型04等面積法求高??題型05求網格中的三角形面積??題型06與三角形中線有關的計算??題型07與三角形重心有關的計算??題型08與三角形中位線有關的計算??題型09利用角平分線的性質求解??題型10角平分線的判定??題型11利用垂直平分線的性質求解??題型12垂直平分線線的判定??題型13根據作圖痕跡求解??題型14利用三角形三邊關系求解??題型15利用三角形內角和定理求解??題型16三角形內角和與平行線的綜合應用??題型17三角形內角和與角平分線的綜合應用??題型18與角度有關的折疊問題??題型19利用三角形內角和定理解決三角板問題??題型20利用三角形外角和定理求解??題型21三角形外角性質與平行線的綜合應用??題型22三角形內角和定理與外角和定理的綜合??題型01三角形的穩定性1．（2024·吉林白城·模擬預測）如圖，在生活中，為了保證兒童的安全，通常兒童座椅主體框架成三角形，這是利用了．【答案】三角形的穩定性【分析】本題考查了三角形穩定性的特性，理解三角形的穩定性即可解題．【詳解】解：為了保證兒童的安全，通常兒童座椅主體框架成三角形，是利用了三角形的穩定性，故答案為：三角形的穩定性．2．（2024·廣西柳州·二模）下列圖形中具有穩定性的圖形是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】此題考查了三角形的穩定性，注意根據三角形的穩定性進行判斷．【詳解】解：∵三角形具有穩定性，五邊形，四邊形，六邊形不具有穩定性，∴具有穩定性的是A選項中的圖形，故選：A．3．（22-23八年級上·江西贛州·期中）如圖，四邊形木架ABDC．(1)加上木條BC后，木架不易變形，其中蘊含的數學道理是____________；(2)如∠A=∠D，BC平分∠ABD，求證：AC=DC．【答案】(1)三角形具有穩定性(2)證明見解析【分析】（1）根據三角形的穩定性解答即可；（2）由BC平分∠ABD，可得∠ABC=∠DBC，然后證明△ABC≌△DBCAAS【詳解】（1）解：∵四邊形木架ABDC加上木條BC后，則四邊形ABDC由△ABC和△DBC拼接而成，∵三角形具有穩定性，∴此時木架不易變形．故答案為：三角形具有穩定性．（2）證明：∵BC平分∠ABD，∴∠ABC=∠DBC，在△ABC和△DBC中，∠A=∠D∴△ABC≌△DBCAAS∴AC=DC．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，三角形的穩定性，角平分線的定義．掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．4．（2023·廣西欽州·一模）某綜合與實踐活動小組對其自制的橋梁模型的承重開展了項目式學習活動，如表是活動的設計方案．請你參與該項目式學習活動，并完成下列問題：項目主題橋梁模型的承重試驗活動目標經歷項目化學習的全過程，引導學生在實際情境中發現問題，并將其轉化為合理的數學問題驅動問題當橋梁模型發生不同程度的形變時，水桶下降的高度方案設計工具狀態一（空水桶）狀態二（水桶內加一定量的水）示意圖說明：C為AB的中點(1)該綜合與實踐活動小組在設計橋梁模型時，選用了三角形結構作為設計單元，這樣設計依據的數學原理是．A．三角形具有穩定性B．兩點確定一條直線C．兩點之間線段最短(2)在水桶內加入一定量的水后，橋梁發生了如圖2所示的形變，若其他因素忽略不計，CD=20cm,∠C【答案】(1)A(2)7.5【分析】本題考查了解直角三角形的應用，線段熟練掌握銳角三角的性質，三角形的穩定性，函數的定義是解題的關鍵．（1）根據三角形具有穩定性，即可解答；（2）設AC'=xcm，根據題意可得：DC⊥AB，然后分別在Rt△ACC'和Rt【詳解】（1）解：該綜合與實踐活動小組在設計橋梁模型時，選用了三角形結構作為設計單元，這樣設計依據的數學原理是三角形具有穩定性，故答案為：A；（2）設AC由題意得：DC⊥AB，在Rt△ACC'∴CC在Rt△AC'∴C'∵CD=30cm∴C'∴x?0.2x=30，解得：x=37.5，∴CC∴此時水桶下降的高度CC'約為??題型02畫三角形的五線5．（2024商洛市二模）在△ABC中，∠BAC是鈍角，下列圖中畫AB邊上的高線正確的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本題考查了三角形的高，根據三角形的高的定義可知，AB邊上的高線是經過C點向AB邊所作的垂線段，依此求解即可，解題的關鍵是正確理解定義：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．【詳解】由題意可得，在△ABC中，∠BAC是鈍角，畫AB邊上的高線是CD，故選：B．6．（23-24九年級下·吉林白城·階段練習）如圖，在6×6的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，A，B，C均為小正方形的頂點，僅用無刻度的直尺按要求畫圖，保留作圖痕跡．

(1)在圖①中，畫出BC邊上的中線AD．(2)在圖②中，畫出AC邊上的點E，使得AEEC(3)在圖③中，畫出AB邊上的高CF．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，畫三角形的高和中線等等：（1）取BC于格線的交點D，連接AD，線段AD即為所求；（2）如圖所示，取格點G、H，連接GH交AC于E，點E即為所求；（3）如圖所示，取格點D，連接CD交AB于F，線段CF即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，線段AD即為所求；

（2）解：如圖所示，取格點G、H，連接GH交AC于E，點E即為所求；易證明△AEG∽△CEH，則AECE

（3）解：如圖所示，取格點I，連接CI交AB于F，線段CF即為所求．

7．（2022·湖北武漢·模擬預測）如圖是由小正方形組成的9×7網格，每個小正方形的頂點叫做格點，△ABC的三個頂點都是格點，僅用無刻度的直尺在給定網格中按下列要求完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示．(1)在圖1中按下列步驟完成畫圖．①畫出△ABC的高CD；②畫△ACD的角平分線AE；③畫點D關于AC的對稱點D'(2)如圖2，P是網格線上一點，過點P的線段MN分別交AB，BC于點M，N，且PM=PN，畫出線段MN．【答案】(1)①見解析；②見解析；③見解析(2)見解析【分析】（1）①取格點T，連接CT交AB于點D，此時CD是△ABC的高；②取格點H，CD與BH的交點即為點E，連接AE；③分別畫AB，CT關于AC的對稱線段AB'和CT'，AB'和CT(2)連接BP并延長交網格線于點Q，則BP=PQ，連接AP并延長交網格線于點L，則AP=PL，連接QL交BC于點N，延長NP交AB于點M，則線段MN即為所畫的線段．【詳解】（1）解：（1）①如圖所示,CD為所求；②如圖所示,AE為所求；③如圖所示,D'（2）如圖所示,線段MN為所求．【點睛】此題考查作圖一應用與設計作圖,解題的關鍵是理解題意,學會利用數形結合的思想解決問題,屬于中考常考題型．8．（2023·湖北武漢·模擬預測）如圖是由單位長度為1的小正方形組成的7×7網格，每個小正方形的頂點叫做格點A、B兩點在格點，C點在網線上，僅用無刻度直尺在給定的網格中完成畫圖，畫圖過程中用虛線表示．

(1)在圖1中，畫BC中點D，再過點D畫線段EF，使EF=BC；(2)在圖2中，畫線段AB的垂直平分線MN，再在直線AB右側找一點P，連接AP，使∠PAB=∠ABC．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】（1）利用網格特征作出線段BC的中點D，延長ED后有EF=BC；（2）取AB的中點J，點K作直線MN即可，延長CB交MN與點T，設AC交直線MN于點R，射線TA，射線BR交于點P，點P即為所求．【詳解】（1）如圖1中，點D，線段EF即為所求；

（2）如圖2中，直線MN，點P即為所求．

【點睛】此題考查了作圖?應用與設計作圖，軸對稱變換等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．??題型03與三角形高有關的計算9．（2024·湖北·模擬預測）△ABC的三邊AB，AC，BC的長度分別是3，4，5，以頂點A為圓心，2.4為半徑作圓，則該圓與直線BC的位置關系是（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．以上都不是【答案】C【分析】本題考查了勾股定理逆定理、三角形面積公式、直線與圓的位置關系，先由勾股定理逆定理判斷出△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，設斜邊BC上的高為?，根據等面積法求出?=2.4，即可得解．【詳解】解：∵AB∴△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，設斜邊BC上的高為?，則S△ABC∴?=AB?AC∴以頂點A為圓心，2.4為半徑作圓，則該圓與直線BC的位置關系是相切，故選：C．10．（2024·上海·模擬預測）在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD交于O，若△BCD面積是△ABD面積的2倍，那么△BOC與△BDC【答案】2:3【分析】本題考查了平行線間的距離，相似三角形的判定與性質，梯形，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.過點D作DM⊥BC,垂足為M，過點B作BN⊥AD,交DA的延長線于點N，根據已知易得DM=BN,再根據S△BCD=2S△ABD，從而可得BC=2AD，然后再證明△AOD∽△COB,，利用相似三角形的性質可得ADBC=DO【詳解】解：過點D作DM⊥BC,垂足為M,過點B作BN⊥AD,交DA的延長線于點N,∵AD∥BC,∴BN=DM,∵S∴1∴BC=2AD,∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠ACB,∴△AOD∽△COB,∴AD∴BO∵△BOC與△BDC的高相等,∴S故答案為:2:3.11．（2024·重慶·三模）如圖，△ABC中，BD⊥AC于點D，AB⊥CE于點E，CE與BD相交于點H，已知AD=HD=2，CD=6，則△ABC的面積為．【答案】24【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質，根據ASA證明△ADB≌△HDC，得到BD=CD=6，再根據△ABC的面積=12AC·BD【詳解】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠HDC=∠ADB=∠AEC=90°，∴∠A+∠HCD=90°，∠DHC+∠HCD=90°，∴∠A=∠DHC，在△ADB與△HDC中，∠A=∠DHCAD=HD∴△ADB≌△HDCASA∴BD=CD=6，∵AC=AD+CD=2+6=8，∴△ABC的面積=1故答案為：24．12．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD、AE分別是邊BC上的中線和高，AE＝2，SA．5－1 B．3－1 C．1 D．3【答案】A【分析】本題主要考查了直角三角形的性質，求三角形的面積，先根據三角形的面積公式求出BD，再根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得AD=CD，然后根據勾股定理求出DE，進而得出答案．【詳解】∵AE=2，S△ABD∴12解得BD=5∵AD是Rt△ABC∴AD=CD=BD=5在Rt△ADE中，DE=∴CE=CD?DE=5故選：A．??題型04等面積法求高13．（2024·陜西西安·二模）如圖，在3×3的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A?B?C都在格點上，若BD是△ABC

【答案】4105【分析】本題主要考查了求三角形的高，割補法求三角形面積，勾股定理，先利用割補法求出△ABC的面積，再利用勾股定理求出AC的長，再利用三角形面積公式求出BD即可．【詳解】解：S△ABC由勾股定理得AC=1∵BD是△ABC的高，∴S△ABC∴S△ABC∴BD=4故答案為：41014．（2024·陜西商洛·二模）如圖，△ABC的頂點A，B，C均在邊長為1的正方形網格的格點上，則AC邊上的高為（

）A．302 B．855 C．5【答案】B【分析】本題考查網格與勾股定理、網格中求三角形的面積，先利用割補法和勾股定理求得三角形的面積和AC，再利用三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：根據網格特點，S△ABCAC=2∴AC邊長的高=2S故選：B．15．（2024貴州省模擬）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網格，△ABC的頂點A，B，C均在格點上．若AD⊥BC于點D，則線段AD的長為（

）A．5 B．25 C．1 D．2【答案】D【分析】此題主要考查了勾股定理以及三角形面積求法，利用勾股定理得出BC的長，再利用等面積法得出AD的長．【詳解】解：由圖可知：S△ABC=4×4?1∵S△ABC=∴S△ABC=解得：AD=2．故選：D．??題型05求網格中的三角形面積1．（2024·河北唐山·二模）如圖，在4×4的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，△ABC的頂點均在格點上，將△ABC向右平移1個單位長得到△A（1）△ABC的面積為；（2）陰影部分的面積為．【答案】59【分析】本題考查借助網格求面積，平移的性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握平移的性質，是解題的關鍵：（1）借助網格求面積即可；（2）設AB與A'C'的交點為E，BC與A'C【詳解】解：（1）△ABC的面積為：3×4?1故答案為：5；（2）設AB與A'C'的交點為E，BC與A根據格點可得，四邊形AA'CD是矩形，對角線交于點G，△ABC∴點G和點H是兩個相鄰格點的中點∴BH=2?0.5=1.5，BG=3?0.5=2.5，由平移的性質可知，A'∴△BEF∽△BAC，∴S△BEF∵S∴S即陰影部分的面積為95故答案為：9517．（2024瓊海市三模）如圖，已知A0,2，B2,1，(1)在平面直角坐標系中畫出△ABC；(2)在圖中畫出△ABC關于x軸對稱的△A'B'C'（點A、B、C的對稱點分別為(3)已知P為y軸上一點，若△A'C'P【答案】(1)見解析(2)見解析(3)P0,0或【分析】本題主要考查了坐標與圖形，在平面直角坐標系中畫三角形以及畫關于x軸的對稱的圖性，及其根據三角形面積求點的坐標．1先根據A0,2，B2,1，2先求出A，B，C三點關于x軸的對稱點，然后描點連接即可．3設點P0,m，根據題意，得PA'=m+2，根據△A'C'P【詳解】（1）解：根據題意，A0,2，B2,1，則△ABC即為所求．（2）根據A0,2，B2,1，C4,3，得到關于x軸對稱的△A'B'則△A（3）設點P0,m根據題意，得PA∵△A'C∴1解得m=0或m=?4，故點P的坐標為P0,0或P18．（2024莆田市模擬）如圖，每個小正方形的邊長為1．(1)求四邊形ABCD的面積；(2)求∠BCD的度數．【答案】(1)17.5(2)∠BCD=90°【分析】本題考查勾股定理和逆定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．（1）利用網格割補法求面積進行求解即可；（2）先用勾股定理求出各邊的長，再利用勾股定理的逆定理進行求解即可．【詳解】（1）四邊形ABCD的面積=5×7?1（2）解：連接BD，根據勾股定理得AB=12+CD=12+∵BC=25，CD=5，∴BC∴∠BCD=90°．19．（2024金沙縣模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A?3,?1，B1,3，C2,?3，則三角形ABC

【答案】14【分析】利用割補法求解即可，【解答】解：S△ABC＝5×6﹣×3×7﹣×2×7＝30﹣6﹣3﹣5＝16．??題型06與三角形中線有關的計算20．（2024·上海浦東新·一模）如圖，在△ABC中，AB=4，AC=6，E為BC中點，AD為△ABC的角平分線，△ABC的面積記為S1，△ADE的面積記為【答案】1:10【分析】此題考查角平分線的性質，關鍵是根據三角形中線的性質和角平分線的性質得出面積關系解答．根據三角形中線的性質和角平分線的性質解答即可．【詳解】解：過點D作DM⊥AB,DN⊥AC，∵AD為△ABC的角平分線，∴DM=DN,

∵AB=4,AC=6,E為BC中點，∴S∴設S△ABD=2x,S△ADC則S2故答案為：1:10．21．（2024·浙江·模擬預測）如圖，D是△ABC的邊AB上一點，且AD:DB=2:1，過點D作DE∥BC，交AC于點E，取線段AE的中點F，連接DF．若DF=4，則△ABC中AC邊上的中線長為（A．2 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，三角形的中線的定義，熟練掌握知識點是解決本題的關鍵．證明出△ADF∽△ABH，得到DFBH【詳解】解：取AC中點為H，連接BH，則BH為AC邊上的中線，∵DE∥BC，∴ADDB設AE=4x,EC=2x，則AC=6x，∴AH=3x，∵線段AE的中點F，∴AF=2x，∴AFAH∵∠A=∠A，∴△ADF∽△ABH，∴DFBH∴4BH∴BH=6，故選：B．22．（2024·廣東廣州·二模）如圖，已知△ABD中，AC⊥BD，BC=8，CD=4，cos∠ABC=45，BE(1)求AC的長；(2)求△BED的面積．【答案】(1)AC=6(2)18【分析】本題考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定義及三角形中線的性質是解題的關鍵．（1）先根據∠ABC的余弦求出AB的長，再利用勾股定理即可解決問題．（2）根據BE為AD邊上的中線可知，△BED的面積是△ABD面積的一半，據此可解決問題．【詳解】（1）∵AC⊥BD，∴∠ACB=∠ACD=90°．在Rt△ABCcos∠ABC=∴AB=8AC=10（2）∵BE為AD邊上的中線，∴S又∵S∴S23．（2024·山西太原·三模）如圖示，BE是△ABC的中線，點D是AB邊靠近頂點B的一個三等分點，連接CD，交BE于點F，則DFCF等于（

A．12 B．13 C．14【答案】B【分析】本題考查相似三角形的性質和判定，三角形中線的性質，作EH∥AB，交CD于點H，證明△CEH∽△CAD，結合三角形中線的性質，得到EH=12AD，CH=DH=12CD，根據題意得到BD=1【詳解】解：作EH∥AB，交CD于點∴△CEH∽△CAD，∵BE是△ABC的中線，∴CHCD=CEAC∵點D是AB邊靠近頂點B的一個三等分點，∴BD=1∴BD=EH，∵EH∥∴△EHF∽△BDF，∴DF即DF=HF=12DH=∴DFCF故選：B．??題型07與三角形重心有關的計算24．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）如圖①，是某教材七年級下冊某一頁的插圖，這幅插圖告訴我們可以用鉛筆支起一張均勻的三角形卡片．請用尺規作圖法，在圖②的△ABC中找到這個支點P（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】見解析【分析】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質．作AC和BC的垂直平分線得到三角形的兩條中線，它們的交點為P．【詳解】解：如圖，點P即為所求．25．（2024·江蘇徐州·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，D、E分別為AB、BC的中點，AE與CD交于點O，則OD的長為（

A．53 B．56 C．52【答案】B【分析】本題考查了勾股定理定理，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，三角形中線交點的性質，根據勾股定理可求出AB=5，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得CD=1【詳解】解：∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∴AB=B∵點D，E是AB，BC中點，∴CD=12AB=52∴OC=2OD，∴OD=1故選：B．26．（2024·山東聊城·二模）綜合與實踐教材重現：取一塊質地均勻的三角形木板，用一枚鐵釘頂在這個三角形的重心上，木板會保持平衡（如圖），這是重心的物理性質．

瑩瑩提前準備了一個等腰三角形紙片ABC，如圖，AB=AC=5，BC=6．為了找到重心，以便像教材上那樣穩穩用筆尖頂起，她先把點B與點C重疊對折，得折痕AE，展開后，她把點B與點A重疊對折，得折痕DF，再展開后連接CD，交折痕AE于點O，則點O就是△ABC的重心．

(1)初步觀察：連接AF，判斷AF與BF的數量關系并說明理由；(2)猜想驗證：瑩瑩通過測量發現OA與OE，OC與OD有同樣的數量關系，寫出它們的關系并說明理由；(3)嘗試運用：利用（2）的結論計算△AOC的面積；(4)拓展探究：瑩瑩把△AFC剪下后得△A'F'C'，發現可以與△ABF拼成四邊形，且拼的過程中點【答案】(1)AF=BF，見解析(2)OA=2OE，OC=2OD，見解析(3)4(4)OA'的長為97【分析】（1）利用折疊的性質即可得到答案；（2）連接DE，易得DE為△ABC的中位線，則DE∥AC，DE=1（3）由折疊可知，BE=CE=12BC=3（4）連接OB，由（2）知OA=83，則OE=43，利用勾股定理求得OB=973，由折疊可知∠ADF=∠BDF=90°，AF=BF，AD=BD=52，易證△FBD∽△ABE，由相似三角形的性質可求得BF=25【詳解】（1）解：∵點B與點A重疊對折，得折痕DF，∴△ADF≌∴AF=BF；故答案為：AF=BF；（2）解：猜想：OA=2OE，OC=2OD理由如下：連接DE．

∵點D，E分別為AB，BC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，∴∠ODE=∠OCA，∠OED=∠OAC，∴△ODE∽△OCA，∴OEOA∴OA=2OE，OC=2OD；（3）解：由折疊可得，BE=CE=12BC=3∵AC=5，∴AE=A由（2）知，OA=2OE，∵OA+OE=AE=4，∴OA=2∴S△AOC（4）解：如圖，連接OB，

由（2）知，OA=8∴OE=4?8在Rt△OBE中，OB=由折疊可知，∠ADF=∠BDF=90°，AF=BF，∴∠BDF=∠BEA=90°，∵∠FBD=∠ABE，∴△FBD∽∴BDBE=BF∴BF=25∴EF=BF?BE=25當A'與點B重合時，如圖①②，連接OB

此時OA

∵∠AFB+∠AFC=180°，∴∠AFB+∠A此時拼成的圖形為三角形，不符合題意；當點A'與點F重合時，如圖③④

在Rt△OEF中，OF=∴OA綜上所述，OA'的長為973【點睛】本題主要考查折疊的性質、中線的定義、勾股定理、全等三角形的判定與性質、三角形中位線的判定與性質、相似三角形的判定與性質，解題關鍵是讀懂題意，熟知折疊的性質，學會利用數形結合和分類討論思想解決問題．??題型08與三角形中位線有關的計算27．（2024·重慶·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，若CD=3cm，則EF=【答案】3【分析】本題考查了三角形的中位線以及為直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等知識點，由題意得：CD=12AB，再結合EF【詳解】解：由題意得：CD=1∴AB=6cm∵E、F分別是BC、CA的中點，∴EF是Rt△ABC∴EF=1故答案為：328．（2024·青海西寧·二模）在探索平面圖形的性質時，往往需通過剪拼的方式幫助我們尋找解題思路．（1）【知識回顧】在證明三角形中位線定理時，就采用了如圖①的剪拼方式，將三角形轉化為平行四邊形使問題得以解決，請寫出已知，求證，并證明三角形中位線定理．（2）【數學發現】如圖②，在梯形ABCD中，AD∥BC，F是腰DC的中點，請你沿著如圖③，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是兩腰AB、DC的中點，我們把EF叫做梯形ABCD的中位線．請類比三角形的中位線的性質，猜想EF和AD、【證明猜想】（3）證明（2）的結論，并在“AD=5，BC=7”的條件下，求EF的長．【答案】（1）見解析；（2）畫圖見解析，猜想：EF∥AD∥【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，平行四邊形的性質與判定，全等三角形的性質與判定：（1）根據三角形中位線定理的內容寫出對應的已知，求證和證明過程即可；（2）延長AF交BC延長線于M，證明△ADF≌△MCFAAS（3）如圖③，連接AF并延長，交BC延長線于點M，證明△ADF≌△MCFAAS得到AD=MC，AF=MF，在△ABM中，利用三角形的中位線可證得EF∥BM，EF=12【詳解】解：（1）已知：在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，求證：DE=1證明：如圖所示，過點C作CF∥AB交DE延長線與F，∵D、E分別是AB、AC的中點，∴AD=BD，∵CF∥AB，∴∠EAD=∠ECF，∴△ADE≌△CFEAAS∴DE=FE，∴CF=BD，∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴BC=DF=2DE，∴DE=1（2）如圖所示，延長AF交BC延長線于M，則把△ADF延AF剪開后放置到△MCF的位置，△ABM即為所求；猜想：EF∥AD∥（3）連接AF并延長，交BC延長線于點M，∵AD∥BC∴∠M=∠DAF．∵F是DC的中點，∴DF=CF．∵∠AFD=∠MFC，∴△ADF≌△MCFAAS∴AD=MC，AF=MF．∴點F是AM的中點，又點E是AB的中點，∴EF是△ABM的中位線，∴EF∥BM，EF=1∴EF=1∵AD∥BC，∴EF∥AD．∴EF∥AD∥∵AD=5，BC=7，∴EF=129．（2024·山西·模擬預測）閱讀下列材料，并完成相應任務：下面是小華同學，課后學習過程中遇到的一個問題：如圖①，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點，CD，BE相交于點P．求證：PEBE小華認真思考后，寫出下面的證明過程：連結DE．∵D，E分別是邊AB，AC的中點，∴DE∥BC，DE=1∵……；∴……．∴PE任務：(1)填空：材料中的依據是指：______．(2)將材料中的證明過程補充完整．(3)如圖②，在△ABC中，AB=AC，AD為邊BC的中線．點E，F分別為邊AB，AC的中點，EF與AD交于點O，BF與AD交于點P．則S△POF【答案】(1)三角形中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半）(2)見解析(3)S【分析】本題考查了三角形中位線定理，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．（1）利用三角形中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”解答即可；（2）證明△PDE∽△PCB，即可解答；（3）如圖中，連接DF．設△POF的面積為a．證明EF∥BC，得出OPPD=OFBD=12，從而得出S【詳解】（1）解：依據：三角形中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半）．（2）解：補充如下：∵DE∥∴∠DEP=∠CBP，∠EDP=∠BCP，∴△PDE∽△PCB，∴PE∴PE（3）解：如圖中，連接DF．設△POF的面積為a．∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥CB，∵AE=EB，AF=FC，∴EF∥BC，∴△AOF∽△ADC，∴AOAD∴AO=12AD∵OF∥∴△OFP∽△DBP，∴OP∴S∴S∵AF=CF，∴S∴S四邊形∴S△POF30．（2024·山東棗莊·一模）下面是小穎同學的數學日記，請你仔細閱讀，并完成相應的任務10月30日

星期一

晴今天上午的數學課上，我們小組對“測量某池塘寬度AB”進行了熱烈討論．我發現：同學們都能學以致用，我學到的測量方法也特別多，現舉幾例，賞析如下．小麗的方法：如圖（1），在過點B且與AB垂直的直線l上確定一點D，使點D可直接到達點A，連接AD，在AB的延長線上確定一點C，使CD=AD，測出BC的長，則AB=BC．小麗的理由：∵CD=AD，DB⊥AC，∴AB=BC．小強的方法：如圖（2），在地面上選取一個可以直接到達點A、B的點C，連接AC，BC，在AC，BC，上分別取點D、E，使AD=CD，BE=CE，連接DE，測出DE的長，則AB=2DE．小強的理由：∵AD=CD，BE=CE，∴DE是△ABC的中位線，∴AB=2DE．（依據2）．小亮的方法：如圖（3），在BA的延長線上取一點C，在過點C且與AB垂直的直線a上確定一點D，使從點D可直接到達點B，在過點A且與AB垂直的直線b上確定一點E，使點B，E，D在同一條直線上，測出AC，AE，CD的長，即可求出AB的長．我的方法：在過點A且與AB垂直的直線l上確定一點C，只需測得∠BCA的度數和CA的長度，就可求出池塘AB的寬度．我感悟：數學來源于生活又服務于生活，我們遇到問題要想辦法，用所學的數學知識解決實際問題，同一問題可以用不同的方法來解決．我要會用“數學的眼光觀察現實世界，數學的思維思考現實世界，數學的語言表達現實世界．任務：(1)填空：依據1指的是______；依據2指的是______；(2)若按照小亮的方法測出AC=10m，AE=40m，CD=60m(3)小穎同學的方法如圖，若測得∠BCA=30°，CA的長度為34米，求池塘AB的寬度．（結果精確到1米，參考數據：3≈1.73【答案】(1)等腰三角形三線合一，三角形中位線定理(2)池塘AB的寬度為20(3)池塘AB的寬度約為20【分析】（1）利用等腰三角形的性質，三角形中位線定理解決問題即可；（2）證明△BAE∽（3）根據含30°角三角形的性質得到AB，BC間的關系，再利用勾股定理列方程可求出池塘AB的寬度．【詳解】（1）解：小麗的方法：如圖（1），在過點B且與AB垂直的直線l上確定一點D，使點D可直接到達點A，連接AD，在AB的延長線上確定一點C，使CD=AD，測出BC的長，則AB=BC．小麗的理由：∵CD=AD，∴△ADC是等腰三角形，∵DB⊥AC，∴DB是等腰三角形△ADC的高，∴AB=BC．小強的方法：如圖（2），在地面上選取一個可以直接到達點A、B的點C，連接AC，BC，在AC，BC，上分別取點D、E，使AD=CD，BE=CE，連接DE，測出DE的長，則AB=2DE．小強的理由：∵AD=CD，BE=CE，∴DE是△ABC的中位線，∴AB=2DE．（三角形中位線定理）．答案為：等腰三角形三線合一；三角形中位線定理；（2）解：∵AB⊥直線a，AB⊥直線b，∴AE∥∴△BAE∽∴ABCB∵AC=10m，AE=40m，CD=60m∴ABAB+10解得AB=20m答：池塘AB的寬度為20m（3）∵BA⊥AC，∠BCA=30°，∴BC=2AB，在Rt△ABC由勾股定理，得BC∵AC=34米，∴2AB2解得AB≈20米，（負的已舍），答：池塘AB的寬度約為20m【點睛】本題考查等腰三角形的性質，三角形中位線定理，三角形相似的性質，含30°角直角三角形的性質，勾股定理，能綜合運用與三角形有關的性質是解題的關鍵．??題型09利用角平分線的性質求解31．（2024·四川綿陽·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AE交BC于點E，ED⊥AB于點D，若△ABCA．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查角平分線的性質、全等三角形的性質與判定，根據角平分線的性質可得DE=EC，∠ADE=∠ACE=90°，證得Rt△ADE≌Rt△ACEHL，可得【詳解】解：∵AE平分∠BAC，ED⊥AB，EC⊥AC，∴DE=EC，∠ADE=∠ACE=90°，又∵AE=AE，∴Rt△ADE≌∴AD=AC，∵△BDE的周長為4，△ABC的周長為12，∴BD+DE+BE=BD+EC+BE=BD+BC=4，AB+AC+BC=AD+BD+AC+BC=BD+BC+2AC=12，∴4+2AC=12，∴AC=4，故選：B．32．（2022·廣東深圳·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，用尺規作圖法作出射線AE，AE交BC于點D，CD=5，P為