2025年新高考數學一輪復習收官卷01

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知向量°=（1,2）,。=（-1,1）,若4=（x,y）滿足（c+a）〃匕，貝”+y=（）

A.-3B.2C.-5D.4

、…1-i

2.已知z=,則z+z=（）

2+2i

A.-iB.iC.,0D.1

3.已知等差數列｛風｝滿足4+%+%=3。，則2+%=（）

A.12B.18C.,20D.30

1472

4.已知正三棱臺ABC-A8。的體積為若AB=2,A'B'=4,則該正三棱臺的高為（）

3

A,巫14^/61476D.遞

RD.-------C.

315,273

41

2cos2

則/

5.已知sina+cosa-SA

-sin2^

Jcos21a——|ex—

I4J4J

A.二B.18

C.D.--

3998

6.在第33屆夏季奧運會期間，中國中央電視臺體育頻道在某比賽日安排甲、乙、丙、丁4個人參加當天4

B,C三個比賽場地的現場報道，且每個場地至少安排一人，甲不在A場地的不同安排方法數為（）

A.32B.24C.18D.12

7.已知函數/（x）=x+—^+3的圖象與直線>=上（尤-1）+4有兩個交點（占,%）,（%2，%），則占+%+%+%=

X—1

（）

A.6B.8C.10D.12

22

8.已知雙曲線C:3-2=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為耳，F2,過點耳作傾斜角為30。的直線/與C

ab

的左、右兩支分別交于點P,Q,若華+野.（&P-外。）=0,則C的離心率為（）

A.6B.V3C.2D.45

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下圖為2024年中國大學生使用APP偏好及目的統計圖，根據統計圖，下列關于2024年中國大學生使用

APP的結論正確的是（）

中國大學生使用APP偏好情況中國大學生APP使用目的

,?0.6%

購物類II25.7%

8.4%①社交需要

娛樂類I122.2%①

②了解最新資訊

④16.3%

新聞類

I119.3%14.0%③學習需要

④生活需要

社交類I118.9%②

⑤娛樂需要

③26.4%

金融類

II6.2%34.3%⑥其他

生活類匚二I5.0%

工具類口2.7%

A.超過;的大學生更愛使用購物類APP

B.超過半數的大學生使用APP是為了學習與生活需要

C.使用APP偏好情況中7個占比數字的極差是23%

D.APP使用目的中6個占比數字的40%分位數是34.3%

10.已知定義在R上的函數“X）滿足/（x+y）=〃x）+/（y）,/（x+2）=-/（%）,且對任意號赴目一1,0］,

都有無2）］>。，則下列結論正確的是（）

A.”司是周期為4的奇函數B.圖象關于直線％=1對稱

C.”尤）在區間［1,2］上單調遞增D.42026）=0

11.已知實數。，6是方程三一（左一3）x+左=0的兩個根，且a>l,b>i,則（）

A.ab的最小值為9B./+k的最小值為18

31

C.-+-—的最小值為了D.a+4〃的最小值為12

a—1b—i

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

卜”<5

12.已知集合4=B={-3,-2,0,1,2,3},則AB=

13.與曲線y和曲線>=-瓜-2均相切的直線的方程為.

14.若對項數為〃的數列｛%｝中的任意一項為,；也是該數列中的一項，則稱這樣的數列為“我⑺可倒數數

ai

列”.已知正項等比數列出｝是“我⑸可倒數數列”，其公比為4，所有項和為亍，寫出一個符合題意的q的

值.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)

已知VABC的內角A,氏C的對邊分別為6,c,72(ccosB+ZJCOSC)=a.

cosA

⑴求A;

(2)若AB邊上的高等于;c,求sinC.

16.(15分)

如圖，在三棱臺中，和VABC都為等腰直角三角形,

CCi=GA=2,CA=4,ZACC,=ZBCC,=/CBA=90,G為線段AC的中點，H為線段BC上的點.

(1)若點//為線段BC的中點，求證：48〃平面GGH；

(2)若平面CfiH分三棱臺A與G一ABC所成兩部分幾何體的體積比為2:5,求二面角C.-GH-Bt的正

弦值.

17.（15分）

22

己知橢圓c：1r+方=1(。>6>。)的左、右焦點分別為K，尸2,橢圓C的右焦點與拋物線丁=4尤的焦

點重合，兩曲線在第一象限的交點為P,、尸可&的面積為型.

3

(1)求橢圓C的方程；

⑵過點P的直線/交橢圓C于另一點A,若5?明=%對弓，求I的方程?

18.(17分)

牛頓(1643—1727)給出了牛頓切線法求方程的近似如圖設「是y=f(x)的一個零點，任意選取無。作為

「的初始近似值，過點(期)，〃々)))作曲線y=/0)的切線《，人與尤軸的交點為橫坐標為4，稱4為「的1次

近似值，過點(的,/(均))作曲線y=f(x)的切線34與x軸的交點為橫坐標為馬，稱％為「的2次近似值.一

般地，過點(％,〃尤“))作曲線y=f(x)的切線加，/用與x軸的交點為橫坐標為彳向，就稱x用為r的〃+1次

近似值，稱數列｛%｝為牛頓數列.

⑴若/'(力=*3+%-1的零點為r，xo=O,請用牛頓切線法求『的2次近似值；

(2)已知二次函數g(x)有兩個不相等的實數根4c(c>6),數列｛■為g(x)的牛頓數列，數列｛%｝滿足

c?=^-^(?eN：')-且無“>J

相一c'

(i)設x“+i=，(％),求M%)的解析式;

1112

(ii)證明：一+—+-+—-

jc2C?Inq

19.（17分）

如果離散型隨機變量x的取值為占，無2,當，，z，離散型隨機變量y的取值為弘，%，％，,”，％,，則稱

區y)為二維離散型隨機變量.稱(乂,卜)取(4”)"1,2,3,—,〃,/=1,2,3,的概率

P(X=Xi,Y=yj)=%(i=1,2,3,,.,j=1,2,3,，加),4>0為(X,7)的聯合分布律.記

mn

Pi.=￡%=P(X=xJ(i=l,2,3,，磯％=W。"=尸(^=%)(，=1，2,3,1,m)分別稱口，〃..為(乂,丫)關于*

j=li=l

x=；fol第一次摸摸到到白黑球球y=[]1o第第二二次次摸摸到到白黑球球分別求有放回和不放回取球下,(x,y、)的聯合分布律和邊

緣分布律(表格形式表示)；

(2)若二維離散型隨機變量(x,Y)的聯合分布律與邊緣分布律滿足

Pij=Pi.xp.jg=123,j=1,2,3,…，〃。則稱隨機變量X與I7相互獨立.

(i)那么(1)中有放回和不放回取球下的(x,y)是否相互獨立并說明理由；

(ii)證明：若x與y相互獨立，則分布律中任意兩行(或任意兩列)對應成比例.

2025年新高考數學一輪復習收官卷01

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知向量a=(1,2),。=(-1,1),若c=(x,y)滿足(c+a)〃0,則x+y=()

A.-3B.2C.-5D.4

【答案】A

【解析】設向量C=(x,y),則c+&=(x+l,y+2),

因為(<f+a)〃o,所以尤+l=_y_2,

故x+y=-3.

故選：A.

1-i_

2.已知z=——,則z+z=()

A.-iB.iC.0D.1

【答案】C

1-i(1-i)2l-2i+i21.

【解析】

2+2i2(l+i)(l-i)2x22

-1_

貝!Jz=/i,所以z+z=0.

故選：C.

3.已矢口等差數歹lj{q}滿足％+。5+〃9=30,則。2+〃8=()

A.12B.18C.20D.30

【答案】C

【解析】由已知得3。5=30,故〃5=10,所以。2+4=2%=2。.

故選：C

4.已知正三棱臺ABC-A?。的體積為絲也，若AB=2,A6=4,則該正三棱臺的高為()

3

A2#R14#-1476n4>/3

A.----D.-----------U.------D.--

315273

【答案】A

【解析】在正三棱臺中，上、下底面均為正三角形，設正三棱臺A8C的高為兒

則SABC=￥'G，S"，8，c=42=46，

又^ABC-A'B'C=g卜百+”昂6+母人=,解得〃=半.

故選：A

71

2cos2Clf——

I,則

5.已知sina+cosa=)

7171

cos2(X-~-sin2CC—

4

211

A.B.c|D.

398

【答案】D

1

【解析】因為sina+cosa=貝I(sin。+cos。)？=1+sin2a=—,可得sin2a=——,

3

2cos之)l+cos|id

_l+sin2a_9_1

所以

2

cos2|-sinfsin2a88

cos~9

故選：D.

6.在第33屆夏季奧運會期間，中國中央電視臺體育頻道在某比賽日安排甲、乙、丙、丁4個人參加當天A,

B,C三個比賽場地的現場報道，且每個場地至少安排一人，甲不在A場地的不同安排方法數為（）

A.32B.24C.18D.12

【答案】B

【解析】按照A場地安排人數，可以分以下兩類：

第一類，A場地安排1人，共C；C；A；=18種安排方法，

第二類，A場地安排2人，共C；A；=6種安排方法,

由分類加法計數原理得，共有18+6=24（種）不同安排方法.

故選：B

7.已知函數/（x）=x+」~^+3的圖象與直線>=->-1）+4有兩個交點（占則占+%+%+%=

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【解析】由題意可得直線＞=依彳-1）+4恒過點（1,4）,且無論上取何值，直線與函數都有兩個交點,

所以分析函數/（尤）=》+二7+3=尤-1+17+4的對稱中心為（1,4）,

X-lX-L

所以%+%=2,必+%=8,

所以再+%+%+%=10,

故選：C.

22

已知雙曲線__右焦點分別為五一,過點工作傾斜角為。的直線/與

8.C:2=l(a>0,b>0)的左、F230C

/b

的左、右兩支分別交于點P,Q,若華+號.（名尸-乙。）=0,則C的離心率為（

)

A.72B.6C.2D.加

【答案】A

【解析】依題意，由冬+粵?（耳尸-耳。）=。，

得W+簪T?。尸=0,即NPRQ的平分線與直線尸。垂直,

設NP與Q的平分線耳。與直線尸。交于點。，如圖，

則=N。8，ZF2DP=ZF2DQ=9Q,又砥=理|,

所以巴四△QD8,所以|即=|四,\PF2\^\QF2\.

由題得G(fO),瑪(G。),設|亞|=九，|QE|=s,|尸￡|=f,

在R3D4工中，ZF,DF2=90,ZD/?K=30,則/z=c,|班|=辰,

[QF,—\OF=IPQ\+t—s=2a..

由雙曲線的性質可得pJ_p"?_，解得|尸。|=4。,

則==所以在RLQO8中，-商+伽丁,

=|Z)^|—|PD|=y[3c—2a,s—t=2a,所以Jc'+(2〃)，--2a)=2a,

即"+(2a)2=瓜,整理得2〃2=°2,所以e=1區

故選：A

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下圖為2024年中國大學生使用APP偏好及目的統計圖，根據統計圖，下列關于2024年中國大學生使用

APP的結論正確的是()

中國大學生使用APP偏好情況中國大學生APP使用目的

/⑥0.6%

購物類II25.7%

8.4%①社交需要

娛樂類I122.2%①

②了解最新資訊

④16.3%

新聞類I119.3%③學習需要

14.0%

④生活需要

社交類I118.9%②

⑤娛樂需要

③26.4%

金融類II6.2%

34.3%⑥其他

生活類匚二I5.0%

工具類口2.7%

A.超過;的大學生更愛使用購物類APP

B.超過半數的大學生使用APP是為了學習與生活需要

C.使用APP偏好情況中7個占比數字的極差是23%

D.APP使用目的中6個占比數字的40%分位數是34.3%

【答案】AC

【解析】對于選項A,根據圖表知，大學生使用購物類APP占比為25.7%,所以選項A正確，

對于選項B,根據圖表知，大學生使用APP是為了學習與生活需要的占比為34.3%+14.0%=48.3%,所以

選項B錯誤，

對于選項C,根據圖表知，使用APP偏好情況中7個占比數字的極差是25.7%-2.7%=23%,所以選項C

正確，

對于選項D,根據圖表知，APP使用目的中6個占比數字從小排到大分別為

0.6%,8.4%,14.0%,16.3%,26.4%,34.3%,

又6x40%=2.4,所以40%分位數是14.0%,故選項D錯誤.

故選：AC.

10.已知定義在R上的函數〃尤)滿足/(x+y)=/(x)+/(y),/(x+2)=-/(%),且對任意%,％,

都有(占-%)［"%)-/^)］〉。，則下列結論正確的是()

A.f(x)是周期為4的奇函數B./(X)圖象關于直線x=l對稱

C.“X)在區間［L2］上單調遞增D.”2026)=0

【答案】ABD

【解析】任意秋yeR,有f(x+y)=f(x)+f(y),

令尤=y=0,則/(0+0)=2/(0)=/(0),解得7(0)=0,

任意xeR,令y=-x,貝ij/(x-x)=/(x)+y(-x)=0,

即/(-x)=-f(x),所以/(無)是奇函數，則"X)的圖象關于原點對稱；

又+2)=-/(x)=/(-x),則函數y=/(%)的圖象關于直線X=1對稱；

又/(%+2)=-/(%),則/(x+4)=-f(x+2)=/(%),

所以函數y=/(%)為周期函數，4為函數y=/O)的一個周期，

故A正確，B正確；

C項，對任意%,%e［-1,0］,都有(占-X2)［ya)-〃X2)］>0,

故/(無)在［-1,0］單調遞增，又于(x)圖象關于原點對稱，

則/(元)在［0,1］單調遞增，又f(x)的圖象關于直線x=1對稱，

則Ax)在［1,2］單調遞減，故C錯誤；

D項，由的周期為4,且/(x)的圖象關于直線尤=1對稱，

則/(2026)=7(2024+2)=/(2)=/(0)=0,故D正確:

故選：ABD.

11.已知實數6是方程內-(無-3)x+左=0的兩個根,且a>l,b>l,則(

A.的最小值為9B.1+方?的最小值為］&

31

C.-----+-—的最小值為百D.。+46的最小值為12

a-1b-\

【答案】ABC

【解析】因為實數。，。是方程(左一3)%+左=0的兩個根，

所以(左一3)2—4左>0,所以左29或左W1,

由根與系數的關系得，a+b=k—3,ab=k,

又a>l,b>l,所以左一3>2,且左>1,綜上得左29.

消去鼠得ab=a+Z?+3,

由基本不等式得ab=a+b+3>2\/ab+3,BPab-2y［ab-3>0,

令&=t>l,貝1J/—2/—320,解得此3或區一1(舍去),

當3時，y［ab>3,解得必29,當。=/?=3時，的最小值為9,故A正確;

因為當a=b=3時取等號，/+〃的最小值為18,故B正確;

31

-----+------N2

a-1b—1

當W即"26+1-=手+1時取等號,

所以一3三+11三的最小值為6,故c正確；

（7-10-1

因為必=a+6+3,所以（。一1）（6-1）=4,

a+46=a—l+4（〃_l）+5N2j（a—l）-4（〃—l）+5=13,

當。-1=4僅-1）,即a=5,6=2時等號成立，此時。+劭的最小值為13,故D錯誤.

故選：ABC

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

已知集合4=卜片42，＜5

12.B={-3,-2,0,1,2,3},則AB=

【答案】{-3,-2,0,1,2}

【解析】由題意，可得A={x|—3Wx<log25},又2<log25<3,所以AcB={—3,—2,0,1,2}.

故答案為：{-3,-2,0,1,2}

13.與曲線y=3和曲線＞=一研一2均相切的直線的方程為—.

【答案】y=9

【解析】設y=g在點和y=Tnx-2在點3a，—ln與-2）的切線重合,

,1,1

-，

y=-7)e=——x

11

故―/=一￡,即ef=無1，x0=InXj,

在點A（x。，*處的切線方程為丁-'=-'（X-%。），

將5(%,—In%—2)代入得_1nxi—2——=——(x,—x0)

即一In石—2-----=---(玉一In%),

%百

所以一（西+l）ln石=石+1,

11

又%>0,故菁=—,則Xo=ln_=_l,

ee

故切線方程為y—e=—e（x+l）,即y=v

故答案為：'=9

14.若對項數為〃的數列｛%｝中的任意一項為,；也是該數列中的一項，則稱這樣的數列為“我⑺可倒數數

ai

列”.已知正項等比數列出｝是“我⑸可倒數數列”，其公比為4，所有項和為亍，寫出一個符合題意的q的

值__________.

【答案】2或1（答案不唯一）

【解析】已知正項等比數列｛〃｝是“R⑸可倒數數列”，

首先4>0,

若4=1,結合物=］,解得4=去此時⑸：備名義系今，但塔不在這5個數中,矛盾，故小，

?乙V/乙V/乙V/乙V/乙V/JJ.

41,,、11,1,

則若4=1,則7=1也在數列出｝中，若2*1在數列中，則了（尸且丁白）也在數列中，

因為正項等比數列｛2｝是“K⑸可倒數數列”，

所以數列也｝嚴格單調，而色｝:冬,色也也4也才，

qq

所以只能4=1,

bb

（否則打片1，不妨設0<么<1，那么或4也q也d一定有三個數小于1，而他們的倒數都大于1，

qq

這必定導致有一個數的倒數不在也〃｝中），

從而］+/+3+”!=所以［9+口+^+—=o,

1517

角軍得q+—二;或4+_=_不（舍去），

q2q2

所以解得勺=2或q=g.

故答案為：2或1（答案不唯一）.

2

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

已知VABC的內角A,B,C的對邊分別為。，&c,>/2（ccosB+Z>cosC）=a.

cosA

⑴求A；

（2）若A5邊上的高等于;c,求sinC.

【解析】（1）由V2（ccosB+Z?cosC）=—-—V2（sinCcosB+sinBcosC）=,

cosAcosA

所以0sin（B+C）='24,即0sinA=2±3,又sinAwO,所以cosA=變，

cosAcosA2

IT

又0<A<7i,得4=一.（6分）

（2）由題得示意圖，如圖，作CD_LAB,則|C￡>|=；c,

C

AD

因為A=,所以|Aq=|C￡>|=gc,得|AC|=#C,|D2|=|c,（9分）

所以忸C|=@c,利用等面積法可知：||AB||CZ）|=||AC||BC|sinC

322

即ex—c=ex——cxsinC，

333

解得：sinC=-----.（13分）

16.（15分）

如圖，在三棱臺中，△ABC1和VABC都為等腰直角三角形，

CC,=GA=2,CA=4,NACG=/BCC廣ZCBA=90,G為線段AC的中點，H為線段BC上的點.

G4

（1）若點H為線段BC的中點，求證：48〃平面GG8；

⑵若平面CfiH分三棱臺ABC所成兩部分幾何體的體積比為2:5,求二面角C.-GH-B,的正

弦值.

【解析】（1）連接AC，設A￡cGG=O,連接HO，AG,

三棱臺A^Q-ABC,則A61//AC,又CG=gAC=2=G4,

四邊形AGCG為平行四邊形，

故。是AC的中點，且點H是BC的中點，

故HO〃A8,且HOU平面CfiH,A3CZ平面CfiH,

故AB〃平面GGH（5分）

（2）,ZQG4=ZBCC1=90°

qc±BC,CQlAC,BCr>AC=C,且BC,ACu面ABC,則CG，面ABC,

故以用G-ABC=耳（s.C+S4用。+JsABcSA耳c）C￡,Vq-CGH

=—S3C（G,r/H7CC1*,

4約=G2=GA=J_故s

且三棱臺A4G-ABC中,=L

4se_4MC，

ABCBCA2"lS

17

則[Gm=]X]SA/G，（7分）

平面CfiH分三棱臺44G-ABC所成兩部分幾何體的體積比為2:5,

V

YG-CGH21

故N，化簡得：SCGH='SABC，

Vv-V乙

AiBlCl-ABCvG-CGHJ

故此時點H和點B重合,

又VABC為等腰直角三角形，則3GLAC,又（1）知AG//CG，則面ABC,

則H（2,0,0）,A（0,2,0）,G（0,0,0）,C（0,-2,0）,Q（0,-2,2）,（1,-1,2）,G￡=（0,—2,2）,=（2,0,0）,

GBi=（l,-l,2）（11分）

/、nGC,=-2y+2z=0（、

設平面GHG的法向量”=（x,y,z）,則",令y=l,解得”=（0,1,1）,

n-GH=2x=0

m?GB[=a-b+2c=0

設平面31GH的法向量加=（a,慶c）,,則＜,令c=l,解得根=（0,2J），

m-GH=2a=Q

mn2+13A/10

設二面角6-3”一用的平面角為6,COS九〃=-;—r;-r=-7=------7==-----,

\m\\n\0.出10

所以sin。=Vl-cos20=^/1-cos2m,n=~~?（15分）

17.（15分）

22

已知橢圓C：5+斗.=1（。＞力＞0）的左、右焦點分別為耳，F2,橢圓C的右焦點與拋物線y2=4x的焦

ab

點重合，兩曲線在第一象限的交點為尸，一尸耳&的面積為減.

3

⑴求橢圓C的方程；

（2）過點P的直線/交橢圓C于另一點A,若必以&二s△尸石馬,求/的方程.

【解析】（1）由拋物線方程V=4x知6（1,0）,所以片（-1,0）,

設尸優，%），則S△曄=；X|片鳥|x%=%=2^，

又點尸K，%）在拋物線＞2=4尤上，所以［半］=4x。，解得飛=|,即尸［，子），

根據橢圓定義2a=|P4|+|PKI=§+§=4,解得a=2,c=l,所以b=而=7=6，

22

所以橢圓C的方程為Z+乙=1.（6分）

43

還一。

y=-2-76（x+1）

直線M：y=—2指聯立f2,

——+—=1

143

214

消去y得，33爐+64%+28=0,角軍得工=一§或％=一行,

2后)，.」146同

所以A|-|一亍J或(12分)

又因為直線/過點尸

2y[66A/6

=屈或卜催-

所以左四1W而

即"x-y=0或"x-16y+10n=0.（15分）

18.（17分）

牛頓(1643—1727)給出了牛頓切線法求方程的近似如圖設「是y=f(x)的一個零點，任意選取無。作為

『的初始近似值，過點(&"(久0))作曲線V=/(久)的切線4，4與x軸的交點為橫坐標為4,稱4為「的1次

近似值，過點OiJOi))作曲線y=/O)的切線4,乙與x軸的交點為橫坐標為馬,稱％為廠的2次近似值.一

般地，過點(乙,〃%))作曲線y=f(x)的切線4用，J1與x軸的交點為橫坐標為無用，就稱無用為「的〃+1次

近似值，稱數列｛玉｝為牛頓數列.

⑴若〃耳=丁+》-1的零點為『，xo=O,請用牛頓切線法求『的2次近似值；

(2)已知二次函數g(x)有兩個不相等的實數根反。(c>6),數列｛%｝為g(x)的牛頓數列，數列仁｝滿足

工^(〃eN*),且無,>c.

x?~c

(i)設%=〃(4),求從%)的解析式；

1112

(ii)證明：-+—++—<；—

qc2cnInq

【解析】(1)f(%)=x3+x-l，r(x)=3x2+l

,

x0=O,/(xo)=-l,/(O)=l,所以4:y_(-l)=x=y=x_l

當y=o=石=l,/(l)=l，r(l)=4,所以，2：y_l=4(無一l)ny=4x_3

3

當y=0n%2="

3

所以廠的2次近似值為：.(4分)

(2)(i)因為二次函數f(x)有兩個不等實根反c,

所以不妨設/(x)=a(x—旬卜―c),

1

貝J/(-X,,)=a(x,;-&)(x?-c)=說-(ab+ac)x“+abc,

因為/''(x)=a(2x-b-c),所以/'(x“)=a(2x,-》-c),

所以在橫坐標為x,的點處的切線方程為y-〃％)=a(2x“-b-c)(x-x“),

人v=0川x=a.x“(2x“_b_c)_f(x“)=ax；-abc=七一秘

a(2xn-b-c)?(2xn-b-c)2xn-b-c

rx；-bc

即加

2xn—b—c

所以收）=￡b*分）

(ii)山(i)知x"_片-bc-b(2x_b-c)_x；-2bx“+尸=(五一

田知‘"一一小小42%-八,)-X12CX,+C2-(X._C)2

所以C“+l=C;

因為斗>c,c>b,所以c,>1,所以lnc“+]=ln(c“『=21nc4>0.

d

令n=Inc,,則慮+1=2dn，又4=Inq>0,

d,

所以生=2,(12分)

d?

數列｛4｝是公比為2的等比數列.

d“=(lnq).2"T.

11_r

令g(x)=hu—x+l(x>l),貝I]g,(x)=--l=——

當x>l時,g<x)<0,所以g(x)在(l,+℃)單調遞減,

所以g(x)<g(l)=lnl-l+l=O,gpinx<%-l(x>l),

因為所以。,一即;，

g>L<lnc“<cl<c”,>>0.

a”c”

11111

—+——++——<——+——+

C]。2Cn4

（17分）

19.(17分)

如果離散型隨機變量x的取值為七,工2，毛，，乙，離散型隨機變量丫的取值為m%,%，?，%,則稱

（x,y）為二維離散型隨機變量.稱（X,y）取（4”）0=1,2,3,=1,2,3,,m）的概率

P（X=%,y===1,2,3,一,〃,/=1,2,3,，加）,%＞。為（X,Y）的聯合分布律.記

mn

P"E%=P（X=%）（i=L2,3,㈤，匕=乞。"=2（丫=匕）（，=1，2,3,一,加）分別稱B.,。.）為伍￥）關于

j=li=l

X和關于Y的邊緣分布律用表格形式表示如下:

(x,y)必乃LX邊緣分布律

石AiPn0mA.

x2PnP22P2mPi.

L

LLLLL

P〃iPmPnnPn.

y邊緣分布律P?1P.2P.m1

⑴現袋中有質地大小均相同的2只白球，3只黑球，現先后隨機摸球兩次，定義

1第一次摸到白球]第~至U白

X=<o第二次I到黑球分別求有放回和不放回取球下（x，y）的聯合分布律和邊

0第一次摸到黑球

緣分布律（表格形式表示）；

（2）若二維離散型隨機變量（x,y）的聯合分布律與邊緣分布律滿足

Pti=Pi.xp.*=123,j=l,2,3,.，,〃?)則稱隨機變量X與y相互獨立.

(i)那么(1)中有放回和不放回取球下的(x,y)是否相互獨立并說明理由；

(ii)證明：若