2025年高考一輪復習第三次月考卷

（測試范圍：除解析幾何、統計概率外）

（滿分150分，考試用時120分鐘）

一、選擇題

1.已知集合M=x<0},N={x]-2<x<4},則&M)cN=()

A.{x\x>-2}B.{x|-2<x<0}

C.{x\x<4}D.{x|0<x<4}

【答案】D

【分析】由集合的補集和交集運算可得.

【解析】q"={x|x20},

所以（［；M）CN={疝）<尤<4},

故選：D.

2.命題"Hx>O1—>/"的否定是（）

A.Vx>0,x2>x3B.Vx>0,x2<x3

C.Vx<0,x2<x3D.3x>0,x2<x3

【答案】B

【分析】根據存在量詞命題的否定即可得解.

【解析】命題>/〃的否定是〃Vx>0,%2v/j

故選：B.

3.已知網=2同，若1與B的夾角為60。，則在B上的投影向量為（）

1T1-3-3-

A.-bB.——bC.——bD.-b

2222

【答案】B

【分析】應用向量的數量積及運算律，結合投影向量公式計算即可得解.

【解析】因為|a=2同，2與B的夾角為60。,

所以萬?B=同Wcos60。=同x2同x；=|同2,

貝l](2d_B)Z=25Z_廬=2|5|2-4|5|2=-2|5|2,

2a-b\bB-2

a:bT

所以而-3在B上的投影向量為

\b\時2a一,麗

故選：B.

￡),則/(A-3))=(

4.已知/(x)=<

sinTLX

B.0C.

2

【答案】D

【分析】先求/'(-3)=；,再求-3))=/,JI

Isiny,即可求解.

【解析】根據已知/(-3)=-(—3/=g,

所以/(/(-3))=/匕]=5171

sm—

32

故選：D.

5.a、0、Y是平面，a,b,c是直線,以下說法中正確的是()

A.al/,丫1B=a110B.a^-b^cnallc

C.a-L/,an/=ana_LyD.b!la,bU0=a110

【答案】C

【分析】利用空間中直線、平面的位置關系一一判定選項即可.

【解析】對于A,a,夕可以平行，也可以相交，

對于B,a,?？梢云叫校梢韵嘟唬部梢援惷?，

對于D,a,4可以平行，也可以相交，

對于C,不妨設夕07="/07=〃，在平面a內作

因為a_Ly,則/同理在平面￡內作f_L〃，則

所以//〃，

又lBAtu/3,則/〃分，而ac￡=a,所以〃/a,所以。■17,即C正確.

故選：C

6.清代的蘇州府被稱為天下糧倉，大批量的糧食要從蘇州府運送到全國各地.為了核準糧食的數量，蘇州

府制作了"小嘴大肚”的官斛用以計算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛的容量恰好為一斛，其形狀近似

于正四棱臺，上口為正方形，內邊長為25cm,下底也為正方形，內邊長為50cm,斛內高36cm,那么一斗

米的體積大約為立方厘米？（）

A.10500B.12500C.31500D.52500

【答案】A

【分析】利用棱臺的體積公式，即可計算得出答案.

【解析】一斛米的體積為憶=；（S上+S下+7^7）〃=gx（25?+502+25x50）x36=52500（cm3）,

因為五斗為一斛，所以一斗米的體積為g=10500（cm3）,

故選：A.

7.已知正項等比數列｛g｝滿足q=3,且-3囚，出，4成等差數列，則數列｛%｝的前〃項和為（）

3""-33"-3「3向+3c3"+1-1

A.---------Bn.-------C.---------D.---------

2244

【答案】A

【分析】設正項等比數列｛%｝的公比為式4>0）,根據等差中項的性質及等比數列通項公式得到方程，求出

q,再由等比數列求和公式計算可得.

【解析】設正項等比數列｛4｝的公比為4（4>0）,

由%=3,且-3%,。2，成等差數列,

得2。2=%-3。],即2aM=04-3q,即6g=3/-9,

解得4=3或g=T(舍去).

3(1-3")_3向-3

■s“1-3-2

故選：A.

8.已知函數/(x)滿足對任意的x/e(l,+⑹且x<>都有/［三匕［=/］￡|一/1；］，若

an=f\~~~~\?〃￡N*'貝U%+。2+。3+…+。2024=()

\n+5〃+5J

/253、/2531/253、

A-B-ZUJu4訴J

【答案】D

x—y11]11

【分析】根據一將%,再用裂項相消法求

1-xyXyn2+5n+5n+2〃+3

q++Q3+…+々2024的值.

【解析】???函數/(x)滿足對任意的x/e(l,+e)且x<y都有/—

r,X-V(〃+2)-(〃+3)1

???令%=〃+2/=〃+3,則匚H

1一(幾+2)(〃+3)n2+5n+5

+…+…+?”[:佃+…康)(擊j

'(3)1,2027),(1-3x2027)<760/

故選：D

【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查數列的求和問題，關鍵是理解數列的規律，即研究透通項，本題的關

鍵是將通項分析為:

n2+5:n+51J/\n4+2]J-/\一n+?]>)

二、多選題

9.已知〃>0,6>0,ab=2,貝!J()

A.log?。Jog2b的最大值為:B.2"+4"的最小值為8

C."+尸的最小值為4近D.5+2的最小值為：

ba2

【答案】BCD

【分析】利用基本不等式判斷A、B、C,由4+2=4仔+加],令/㈤=]+〃伍>0),利用導數說明函數

ba2\bJb

的單調性，即可求出函數的最小值，從而判斷D.

【解析】因為〃>0,Z?>0,ab=2,

對于A：log?log"4[旭等幽當且僅當.=b=也時等號成立，故A錯誤；

對于B：2"+4'=2"+*22。2J2?'=2打+2bN212?屈=8，當且僅當。=2,b=l時等號成立，故B正確;

對于C：/+/=(q+b)(q2-仍+⑹=(q+b)(q2—2+/),

5La+b>2y[ab=2^/2,a1+b2>lab=4>a2+b2—2>2

所以〃3+廿之4血，當且僅當Q=6=后時等號成立，故C正確;

r-1ba+b2a

對于D：-+-=——=-

baab22

設〃6)=>2僅>0),則/，9)=3+26=2僅2-1)2僅一1)伍+1)

b2b2

所以當0<b<l時/'優)<0,則“6)單調遞減,

當b>l時/'e)>0,則“6)單調遞增，

所以/㈤”⑴=3,

所以1+2的最小值為：，當且僅當6=1、a=2時取等號，故D正確.

ba2

故選：BCD

10.函數/(x)=Nsin(0x+e)[/>O,0>O,|d<|^的部分圖象如圖所示，則()

TT

A.該圖像向右平移十個單位長度可得N=3sin2x的圖象

0

B.函數y=/(x)的圖像關于點]對稱

5兀

C.函數y=/(x)的圖像關于直線對稱

27r7i

D.函數y=/(x)在---上單調遞減

30

【答案】ABC

【分析】利用圖象求出函數的解析式，利用三角函數圖象變換可判斷A選項.利用正弦型函數的對稱性可判

斷BC選項；利用正弦型函數的單調性可判斷D選項;

【解析】由圖象知，/=3,函數/(x)的周期「二”方一己卜兀，則。=1=2,則〃x)=3sin(2x+。，

由/信]=3得2x尚+°=/2配左eZ,而|同＜§,則左=0,夕竹，因此=3sin卜x+"對于A,函

數尸/(X)圖象向右平移看個單位長度，得/U]=3sin2x即y=3sin2x的圖象,故A正確,

對于B,/^j=3sin^+1j=0,則/'(x)的圖象關于點對稱，故B正確；

對于C,/f-^=3sinf-^+^=-3,則函數小)的圖象關于直線x=T對稱，故C正確;

V127ko5)12

對于D,當xw-y,-^時，2x+；e[f,0],當2x+；=g即》=個時，〃x)取得最小值，所以函

27r7T

數y=/(x)在一號，一不上不單調，故D錯誤.

故選:ABC

11.在長方體/BCD-N4G。中，40=2/8=2/4=4,E是棱與。的中點，過點5,E,R的平面a交

棱40于點尸，尸為線段。尸上一動點(不含端點)，則()

A.三棱錐尸-4陽的體積為定值

B.存在點尸，使得。尸，a

C.直線尸￡與平面3CG4所成角的正切值的最大值為血

D.三棱錐尸也外接球的表面積的取值范圍是（12肛44"）

【答案】ACD

【分析】對于選項A,利用面面平行的性質，得到。尸//平面/8C,從而可判斷出選項A正確；對于選項

B,假設存在，可推出8尸，平面44QQ,從而判斷選項B錯誤；對于選項C,利用線面角的定義，找出線

面角為NPEP,從而在Rt?PPE中，求出tan/PEP的值，進而判斷選項C正確.對于選項D,利用球的截

面圓的幾何性質，找出球心在直線。。2上，利用露=/+/,建立方程|OOJ+Q02=Q0/+。尸匕

從而求出球的表面積的取值范圍.

【解析】對于A,因為平面44QQ//平面ABCC，

根據面面平行的性質，平面。與這兩個平面的交線互相平行，

即2b//2E,因為。尸O面W,BEu面ABE,

所以。///平面/班，又點P在線段上，

所以三棱錐P-45E的體積為定值，故A正確；

對于B,若存在點P,使得DPLa,因為3bua,

則。P_L8尸，因為/，DD、cDP=D,

DD1,DPu平面44］。。,所以AF，平面4gD,

與題意矛盾，故B錯誤;

對于C,如圖1所示,

則點尸在平面5CC4內的射影P'在C?上,

直線PE與平面BCC品所成角即/PEP',

PP'

且有由已知可得|PP|=2,

EP

1呼'|最小為近，所以tanNPEP的最大值為近，故C正確;

對于D,如圖2,

取4A的中點G,連接ZG,分別取BE,/G的中點Q,2,

連接因為乃是等腰直角三角形，

所以三棱錐P-BB\E外接球的球心。在直線上，

設三棱錐尸-8月￡外接球的半徑為R,貝/。8|=|OP|=火，

所以「=|。。2「+1。2尸『,

設|OOJ=d,則屋+2=(2-d『+|O2尸F，

所以"二工+惚既,當點P與歹重合時，

24

1。2尸1取最小值0，止匕時d=l,尺2=3,

三棱錐P-跖由外接球的表面積為4位?2=12兀，

當點P與。重合時，10尸1取最大值a6,

此時d=3,尺2=11,三棱錐外接球的表面積為4兀浦=44兀，故D正確.

故選：ACD.

【點睛】關鍵點點睛：對于選項D,利用球的截面圓的幾何性質，找出球心在直線002上，利用

222

R=r+d,建立方程|OO"2+ia8|2=|OO25+RpF，從而求出球的表面積的取值范圍.

三、填空題

12.已知z=x+yi,x,yeR,i是虛數單位，復數三+i是實數.則目的最小值為______.

1—1

【答案】亞

【分析】

根據復數代數形式的除法運算化簡復數三+i,依題意可得x+，2=0,即p=-x-2,再計算目，由

1-12

二次函數的性質求出最小值.

zx+WIi_(x+yi)(l+i)

【解析】因為=+i=+i

1-i-(l-i)(l+i)

_x-y+(x+〉)i._x-yx+y+2.

222

又復數。+i是實數，所以x+；+2=0,即y=-x-2,

l-i2

所以目=yjx2+y2=yjx2+(-x-2)2=+4x+4=小2(x+l)2+2，

所以當x=-l,y=-l時|zLn=&.

故答案為：V2

13.已矢口直線歹=丘（左NO）與曲線y=2--3/相切，貝必=.

【答案】-1

【分析】利用導數的幾何意義以及切線過點（。,0）求切線的斜率.

【解析】設直線了=履（后W0）與函數/（力=2--3/相切，切點為：尸（％,2x：-3器）,

因為小）=8/-9一,所以切線斜率為：無=/，（%）=8x；-9*.

所以切線方程為：y-（2x：-3x；）=（胱-9x；）（x-x。）.

由切線過點（0,0）,得：一（2只一3只）=-%（8君一9焉）

所以-x；（2xo-3）=-x；（8xo-9）,解得：x0=O^xo=1.

所以k=r（o）=o（舍去）或?”）=_1.

故答案為：-1

14.已知正四棱錐P-48co的底面邊長為4指,高為60,其內切球與面P4B切于點球面上與P距離最

近的點記為N,若平面。過點"，N且與43平行，則平面。截該正四棱錐所得截面的面積為.

【答案】9百

【分析】取/伉C。中點0，R，連尸。，尸幾。尺，取。尺中點S,連尸S,則PS，平面ABCD,根據已知可得“PQR

為正三角形，正棱錐尸-NBCD內切球的球心為正APQ?的內心O,與面切于點M為尸。中點，球面上

與P距離最近的點為。尸與球面的交點，即在OP之間且ON長為內切球的半徑，連肱V并延長交PR于/,

平面。過與Z3平行，可得平面a分別與平面尸/8、平面PCD的交線為過川,/與M平行的直線，即

可得到截面為梯形，根據長度關系，即可求解.

【解析】取力伉。中點0,R,連PQ,PR,QR,取。尺中點S,連尸S,

則R01/3,S為正方形/BCD的中心，四棱錐尸-4BCD是正四棱錐，

所以尸S_L平面488,：.PS=6后，

在R3SQ中，PQ=1Jps2+(—)2=在2+24=476,

同理尸尺=4而，所以AP?；馂檎切?，

所以正四棱錐尸-N8CD內切球的球心為正的內心O,

內切球的半徑是正人尸”的內切圓半徑為20,

內切球與平面尸48的切點/為正APQ?內切圓與直線P。的切點，

所以M為尸。中點，球面上與P距離最近的點為連。尸與球面的交點，

即在。尸之間，且ON=2ji，因此N為。P中點，

連"N并延長交?我于/,平面a過與直線4g平行，

設平面a分別與平面尸48、平面PCD交于M,G77,

因為N3u平面P48,所以E尸〃48,又因為4B〃CD,CD<za,

所以CO〃a,同理可證G〃〃CD,所以跖〃G〃，連GF,HE,

則梯形EFGH為所求的截面，因為

PSHRQ=S,所以48,平面P。凡血u平面尸Q?,

所以/2，血,/2〃瓦"所以E尸,加，

連。。，則。。為/尸。S的角平分線，所以4。。=30。，

又因為M,N分別為尸0,P。的中點，所以ACV〃。。，

所以/尸M=N尸。0=30。，而/MP/=60。，所以//W=90。，

所以M=P〃cos300=3近，尸/=PAfsin30°=&=",

4

又HG//CD,所以旅=空=而，

4

所以截面梯形EFGH的面積S=-{EF+G〃)=；*30x3n=9百.

故答案為：9VL

【點睛】本題以多面體的內切球為背景，考查空間線、面位置關系，應用直線與平面性質確定截面是解題

的關鍵，要注意平面幾何知識的應用，考查直觀想象、邏輯推理能力，屬于較難題.

四、解答題

15.已知。，ac分別為△4BC的內角C的對邊，且c(acos2-6sin/)=a2.

⑴求A；

(2)若a=2,ZU3C的面積為2,求b+c.

【答案】(1)/=；

(2)2+272

【分析】(1)根據余弦定理代入化簡，結合角的范圍即可求解；

(2)根據三角形面積公式和余弦定理代入求解即可.

【解析】(1)在A/BC中，由余弦定理得，cosB=a~+c、',

2ac

代入。(QCOS_8—bsinZ)=Q2一〃,

(a+c2-b1.12

貝a-----------bsm/=a2-b,

I2ac,

即/+。2_〃_2bcsinA=2a2-2〃，

日口..b1+c2-a2.

即sinA----------=cosA,

2bc

因為4e(O㈤,所以tan/=l,貝上三

(2)因為△4BC的面積為2,

所以g6csin/=2,即6c=4a，

JT

又因為=/+02-2bccos/，4=2,4=1，所以62+02=12,

則(6+c)=/+/+2bc=12+8^/2,則6+c=2+2-\/2

16.如圖，已知正三棱柱/3C-4與。］,/3=夜44，。1分別為棱4練8。的中點.

（I）求證：48,平面NG。；

⑵求二面角A-CP-E的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

【分析】利用線面垂直判定定理來證明；用向量法計算兩平面夾角的余弦值，再求夾角的正弦值；

【解析】（1）取初中點尸，由正三棱柱性質得，4昂￡>G，所互相垂直，以。為原點，分別以。練。q,

OF所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

不妨設=2,貝!IA[B[=2V2,

（JI[f,）

則4卜0,0,0）,/卜0,0,2）,8（0,0,2），6（0,后,0）,后半，乎,2.

______（6%、

證明：福=（20,0,2）歷=「在0,2）,M=（0,跖0）,瓦=半，半,2,

I22J

由福.刀=（2板,0,2）｛-a,0,2）=-4+0+4=0,得48_L40,

由布.西=修行,0,2）.（0,跖0）=0+0+0=0,得48_LZ）C],

因為AD,DC,u平面AQD,AD^DC^D,所以/田，平面AQD.

(2)

由(1)可知而=(2血,0,2)為平面/CQ的一個法向量，設歷=(x,y,z)平面CQE的法向量,

n-DE=0(x,y,z)-0,x+2?z—0

則!——?，故＜

近DC1=0、

(x,y,z).(0,跖0)=0.y=o

令z=l,得面GOE的一個法向量為萬=卜2友,0』,

設二面角Z-G。-E的值為0,

A\B?五專所以’二面角“一⑦一"的正弦值為*.

則|cosM=

4引|五

17.已知北為正項數列｛冊｝的前〃項的乘積，且%=3,T；=a：+i

⑴求數列｛七｝的通項公式；

-d—1

(2)設勿=」七，數列｛g｝的前〃項和為S“，證明：S?>n-1.

【答案】(1)%=3"

(2)證明見解析

【分析】(1)根據題意可求出。3=?；颍缓髢蛇吶档?1g。用=("+l)lga"，從而得出數列(第)是

常數列，從而可求解；

2

(2)根據(1)中結論可求出，=1-正日，從而可得出色，再結合放縮法及等比數列的前“項和公式即可

證明.

【解析】⑴"=e，%鬻,

T2an+2

所以蕭肅,即心

an

+1

兩邊取常用對數得lga：+1=lg<,

lg%+i炮乙愴％

得〃1gan+\=（H+l）lgQ〃，所以=lg3，

n+\n1

所以數列為常數列，所以Ig%=〃lg3=lg3〃,

所以4=3〃.

%T_3T2

（2）證明：由（1）知％=3",所以〃==1-

%+13〃+13〃+1'

222

貝”〃=+1-+.—1-I1—

31+132+13〃+1

111

=n-2~i17+…+------

31+132+13"+1

11

又因為-------<----,

3〃+13〃

1

11111131

所以----1-----1---1-----<---1---1---1--二<—

3'+132+13"+131323"22

3

111

故S“=〃-2----1------1---1----->n-\.

31+132+13〃+1

18.如圖①，將"個完全一樣質量均勻長為工的長方體條狀積木，一個疊一個，從桌子邊緣往外延伸，最

多能伸出桌緣多遠而不掉下桌面呢？這就是著名的“里拉斜塔問題”.

長為。，如圖③，若"=2,欲使整體伸出桌緣最遠，在保證所有積木最長棱與桌緣垂直的同時，可先將上

面積木的重心與最下方的積木伸出桌外的最遠端齊平，然后設最下方積木伸出桌外的長度為「將最下方積

木看成一個杠桿，將桌緣看成支點，由杠桿平衡原理可知，若積木恰好不掉下桌面，則上面積木的重力G

乘以力臂X,等于最下方積木的重力G乘以力臂X),得出方程GX=G]:-J,求出x=：.所以當疊

IIN

放兩個積木時，伸出桌外最遠為=+==+，此時將兩個積木看成整體，其重心。2恰與桌緣齊平.如圖

424

④，使前兩塊積木的中心儀與下方的第三塊積木伸出桌外的最遠端齊平，便可求出〃=3時積木伸出桌外的

最遠距離.依此方法，可求出4個、5個直至〃個積木堆疊伸出桌外的最遠距離.(參考數據：50<e4<55,

e為自然常數)

⑴分別求出〃=3和〃=4時,積木伸出桌外的最遠距離.(用上表示)；

(2)證明：當〃=64時，積木伸出桌外最遠超過2￡;

⑶證明：當”=352時，積木伸出桌外最遠不超過早.

1125

【答案】⑴當"=3時，最遠距離為百乙，當〃=4時，最遠距離為c

127247

(2)證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)將前"-1個看成一個整體，結合題意列式計算即可得;

(2)將前1個看成一個整體，設第〃個積木伸出桌外的長度為%,可得當=當,即有當”=64時，積木

2n

堆疊伸出桌外的最遠距離為411+:+:+--+上],構造函數/(x)=x-ln(x+l),結合導數研究函數單調性

212364J

可得工>1—3],即可得l+」+...+L>ln(〃+l),將，7=64代入即可得證；

(3)構造函數g(x)=ln(x+l)-*，結合導數研究函數單調性可得故有:+$…+:<ln"，

將”=352代入即可得證.

【解析】⑴當附=3時，有2Gx=則x=〈,4+4+鄉=2"

當〃=4時，有3Gx=G(H，則x=”，故'+”=*,

\2,)o12o24

故當〃=3時，積木伸出桌外的最遠距離為金乙，

當〃=4時，積木伸出桌外的最遠距離為2三5乙，

(2)當〃個積木堆疊伸出桌外時，前"-1個看成一個整體，

設第〃個積木伸出桌外的長度為x“，則有=解得當=當,

(2)2n

故當〃=64時，積木堆疊伸出桌外的最遠距離為:

LLL111

―+―+…+----1------1-???H-------

242x642364

令/(x)=xTn(x+l)(x>0),則/(x)=l--=-^—>0,

Jv十1Jv"I1

故/(x)在(0,+8)上單調遞增，故/(x)>/(0)=0,

令x=L則有L-ln仕+1]〉0,

即一>In

nn\n)n

故1+L…+L>ln2+ln2+…+ln5.=ln[2xax…x/-]=ln(〃+

2n12n[12n-\V

即l+g+g+…+￡>ln65，X50<e4<55,故In65>Ine'=4，

故[1+111

----1------F???H------->-x4=2Z

23642

即當〃=64時，積木伸出桌外最遠超過2￡;

(3)由(2)知，當〃=352時，積木堆疊伸出桌外的最遠距離為:

LLL

-----1-------F…+

242x352

Y

令g(x)=ln(x+l)_Q_(x>0),

則(=《-x+1-xX

gx)>0

(x+l『(%+1)2

故g(x)在(0,+8)上單調遞增,故g(x)>g(o)=o,

即有皿1+1)>/?在(0,+8)上恒成立,

.1l一+n1

令工二一，則有In-----------=-----

n\n)J_+|n+1

n

田?2?3(n}111

故In—+ln—+―?+Aln----->—+—H—+—,

12\n-\)23n

即,+』+...+!<In”，則1+工+!+…+-!-<l+ln352,

23n23352

要證當〃=352時，積木伸出桌外最遠不超過半，

4

只需證g(l+ln352)V號，即證M35246.5,

352

由50ve4<55,l^ln352-4<ln—=ln7.04,

即只需證In7.04<2.5,由7.042=49.5616<50<e\

故ln7.04<2,即得證.

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點有兩個，一個是由題意得到第〃個積木伸出桌外的長度為x“時，有

(?-l)x?G=G^--xI,可得x“=文,即可得〃個積木堆疊伸出桌外的最遠距離為不，第二個是證明

(2)、(3)問時，構造對應函數〃x)=x-ln(x+l)及g(x)=ln(x+l)-*,通過研究函數單調性，得到

1+—+-F—>ln(7?+l)^—+—+-F—<Inn.

2n23n

19.若函數〃x)在區間M上有定義，〃x)在區間M上的值域為N,且N=則稱/是/(x)的一個"值

域封閉區間

⑴己知函數〃X)=3X3+2X2,區間兇=［0,小/>0)且M"是f(x)