實際問題中的二次函數應用中考專項練習

一、單選題

1.在完成勞動課布置的“青棵生長狀態觀察”的實踐作業時，需要測量青棵穗長，同學們查

閱資料得知：由于受儀器精度和觀察誤差影響，/次測量會得到”個數據q,gL,6，如

果a與各個測量數據的差的平方和最小，就將。作為測量結果的最佳近似值.若5名同學對

某株青棵的穗長測量得到的數據分別是：7.9,8.0,8.0,8.3,8.3（單位：cm）,則這株

青棵穗長的最佳近似值為（）

A.8.1cmB.7.9cmC.8.0cmD.8.3cm

2.某一芯片實現國產化后，每片芯片的單價為300元，現準備進行兩次降價.如果每次降

價的百分率都為無，經過兩次降價后的價格為y元，則y與x之間的函數關系式為（）

A.y=（300-x）2B.y=300（l-x）2C.j=300（1+2%）D.y=3OO-2x

3.綠茵場上，足球運動員將球踢出，球的飛行高度乂米）與前行距離$（米）之間的關系為：

49

〃=3'-忘/,那么當足球落地時距離原來的位置有（）

A.25米B.35米C.45米D.50米

4.在體育訓練中嘉淇擲出的實心球的運動路線呈如圖所示的拋物線形，若實心球飛行的高

度y（單位：m）與水平距離無（單位：m）之間的函數關系是>=-g（x-3>+個，則嘉淇

此次擲球的初始高度和擲球的成績（即的長度）分別是（）

5.公路上行駛的汽車，當遇到緊急情況時，司機急剎車，但由于慣性汽車要滑行才能停下

來，若急剎車時汽車的行駛路程s（米）與時間/（秒）的函數關系式為s=20…5產，則下

列說法正確的是（）

A.汽車可以滑行4秒后才停止B.汽車滑行2秒時停止

C.滑行速度先變大后變小D.滑行的最遠距離是22米

6.如圖，正方形ABC。的邊長為4cm,動點P,。同時從點A出發，以lcm/s的速度分別沿

Af3fC和AfDfC的路徑向點C運動，設運動時間為x/s,四邊形的面積為

j/cm2,則y與x之間函數關系可以用圖象表示為（）

A,r/cm2

二、填空題

7.建水雙龍橋，俗稱“十七孔橋”，位于云南省建水縣，是一座具有極高歷史，藝術和科學

價值的古橋，如圖，古橋橫斷面是拋物線形狀，當水面在/時，拱頂（拱橋洞的最高點）離

水面3m,水面寬6m.則水面上升2米后水面寬度為米.

8.一塊三角形材料如圖所示，/3=30。，ZC=90°,AC=4,用這塊材料剪出一個矩形

CDEP,其中，點E,尸分別在BC,AB,AC上,能夠剪出的矩形CDEF的面積最大為.

試卷第2頁，共21頁

9.如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離無（單位：m）之間

的關系是J=-^-（-X-4）2+3,則他將鉛球推出的距離為.

10.如圖，某農場擬建造由甲乙兩個矩形組成的羊羔飼養室，飼養室的一面靠9米長的墻AB，

其余的部分用柵欄圍成甲乙兩部分，己知提前準備的建筑材料可以建造24米長的柵欄，則

該羊羔飼養室最大面積可以建造平方米.

AB

11.已知直角三角形的兩條直角邊的和等于12,則該直角三角形面積的最大值是.

12.如圖是某隧道截面，由部分拋物線和矩形構成，以矩形的頂點A為坐標原點，所在

直線為x軸，豎直方向為y軸，建立平面直角坐標系，拋物線的解析式為了=-；/+2%+。，

頂點為P,且A￡）=2m.點C的坐標為.

13.如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30。角的方向擊出時，小球的飛行路線是一條

拋物線.若不考慮空氣阻力.小球的飛行高度耳（單位：m）與飛行時間/（單位：t）之間

只有函數關系無=20/-4產.則小球飛出小時，達到最大高度.

14.如圖1是我國著名建筑“東方之門”，它通過簡單的幾何曲線處理，將傳統文化與現代建

筑融為一體，最大程度地傳承了中國的歷史文化.“門”的內側曲線呈拋物線形，如圖2,已

知其底部寬度A3為80米，高度為200米，則離地面150米處的水平寬度（即CD的長）為

三、解答題

15.有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為20m,拱頂距離水面4m（如圖）.

（1）直接在圖中建立適當的平面直角坐標系，并求出該拋物線的函數表達式；

（2）由于該河流上游暴雨，導致水位上升3m達到警戒線.一艘裝有防汛器材的運輸船，露出

水面部分的寬為4m,高為0.8m.暴雨后這艘船能從這座拱橋下通過嗎？請說明理由.

16.杭州亞運會期間，某網店經營亞運會吉祥物“宸宸、琮琮和蓮蓮”鑰匙扣禮盒裝，每盒進

價為30元，出于營銷考慮，要求每盒商品的售價不低于30元且不高于42元，在銷售過程

中發現該商品每周的銷售量y（件）與銷售單價無（元）之間滿足一次函數關系：當銷售單

價為32元時，銷售量為40件：當銷售單價為36元時，銷售量為32件.

試卷第4頁，共21頁

⑴請求出y與無的函數關系式；

(2)設該網店每周銷售這種商品所獲得的利潤為w元，

①寫出卬與x的函數關系式：

②將該商品銷售單價定為多少元時，才能使網店每周銷售該商品所獲利潤最大？最大利潤是

多少？

17.在元旦來臨之際，寶龍商場某商鋪抓住商機，以單價40元的價格購進一批商品，再以

單價50元出售，每天可賣出200件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每天少賣10件(假

如售價不能低于50且不能高于56元)，每件商品的價定為多少元時，每天可獲得最大利潤？

最大利潤是多少元？

18.某商店銷售一種商品，平均每天可以銷售20件，每件盈利12元.為了擴大銷售量，增

加盈利，該商店決定采取適當的降價措施，經調查發現，如果每件商品降價1元，平均每天

可以多賣5件.

(1)若每件商品降價5元，每件商品盈利____元，則平均每天可賣件商品，所得利潤

是_____兀；

⑵該商店想要一天的盈利最大，應降價多少元？所得的最大利潤是多少？

料學校決定在大棚兩側安裝兩根垂直于地

2面且關于y軸對稱的支撐柱尸。和MN,

如圖所示.

材為了進一步固定大棚，準備在兩根支撐柱

料上架橫梁PN.搭建成一個矩形“腳手架”

3PQMN,如圖所示.

問題解決

任

按如圖所示建立平面直角坐標系，求拋物

務確定大棚形狀

線AED的函數表達式.

1

任

若兩根支撐柱的高度均為6米,求

務嘗試計算間距

兩根支撐柱PQ,MN之間的水平距離.

2

為了進一步固定大棚，準備在兩根支撐柱

任

上架橫梁PN.搭建成一個矩形“腳手架”

務確定搭建方案

PQMN,求出“腳手架”三根支桿

3

PQ,PN,MN的長度之和的最大值.

20.有一條拋物線形狀的隧道，隧道的最大高度為6m,跨度為8m.把它放在如圖所示的平

面直角坐標系中（1個單位表示1m）.

試卷第6頁，共21頁

（1）求這條的表拋物線表達式；

⑵若要在隧道壁上尸點處安裝一個照明燈離地面的高度為4.5m,求照明燈與點B的距離.

21.如圖是南水北調某段河道的截面圖.河道輪廓為某拋物線的一部分，小紅在枯水期測得

河道寬度。4=20米，河水水面截痕BC=10米，水面到河岸水平線0A的距離為7.5米，以

點。為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，解決如下問題：

（1）求河道輪廓的函數表達式，并求此時最大水深為多少米？

（2）在豐水期，測得水面到。4的距離為3.6米，求此時水面截痕DE的長；

（3）在（2）的條件下，小紅乘坐小船游弋到河道正中央時，向右側河岸拋出一個小球，小球

恰好落在點E處，小球飛行過程中到水面最大距離是8米,若小紅拋球的力道和角度不改變,

要想讓小球飛到河岸上（即點A右側），求小紅的小船至少要向右劃行多少米？

22.第31屆世界大學生夏季運動會于2023年7月28日至8月8日在成都舉行，大熊貓是

成都最具特色的對外傳播標識物，此次成都大運會吉祥物“蓉寶”便是以熊貓基地真實的大熊

貓“芝麻”為原型創作的.某商店銷售“蓉寶”毛絨玩具，進價為25元.經市場調查發現，銷

售這種毛絨玩具，每天的銷售量y（件）是每件的售價x（元）（30工元〈45且》為正整數）

的一次函數，其部分對應數據如表所示：

每件的售價X（元）363738

每天的銷量y（件）787674

⑴直接寫出了與x之間的函數關系式；

（2）求出每天銷售的總利潤卬（元）與x之間的函數關系式；

（3）請你分析該商店銷售這種毛絨玩具，能否實現投入總成本最少且獲利最大.

23.國慶期間某旅游點一家商鋪銷售一批成本為每件50元的商品，規定銷售單價不低于成

本價，又不高于每件70元，銷售量?。┡c銷售單價x（元）的關系可以近似的看作一

次函數（如圖）.

(1)請直接寫出y關于尤的函數表達式______________

(2)設該商鋪銷售這批商品獲得的總利潤為卬元，當銷售單價為多少元時，可獲得的總利潤

最大？最大總利潤是多少？

24.在“美麗鄉村”建設中，某村施工人員想利用如圖所示的直角墻角，再用30米長的籬笆

圍成一個矩形花園ABC。，如果D4。。所在兩面墻體均足夠長，設=x米，花園的面

積為y平方米.

⑴求y與x的函數關系式；

(2)求矩形花園面積的最大值，及此時A3的長；

(3)若位于圖中的點尸處有一顆古樹，且點尸到墻體ZM、0c的距離分別是8米、16米，現

要求古樹P與籬笆的距離不小于2米，(2)中矩形的花園面積的最大值會改變嗎？如果不

變，請說明理由，如果改變，求出最大值.

25.在校園科技節期間，科普員為同學們進行了水火箭的發射表演，圖1是某型號水火箭的

實物圖，水火箭發射后的運動路線可以看作是一條拋物線.為了解水火箭的相關性能，同學

們進一步展開研究.如圖2建立平面直角坐標系，水火箭發射后落在水平地面A處.科普

員提供了該型號水火箭與地面成一定角度時，從發射到著陸過程中，水火箭距離地面。4的

豎直高度V(m)與離發射點。的水平距離x(m)的幾組關系數據如下：

水平距離x(m)341012142021

豎直高度y(m)2.7558.7598.7552.75

試卷第8頁，共21頁

k-y/va

Ax/m

(1)根據上表，求出拋物線的表達式；

(2)請計算當水火箭距離地面的豎直高度為8米時水火箭飛行至離發射點。的水平距離.

26.受金融危機影響，某小賣部的經營業績每況愈下，于是該小賣部開始轉行經營A產品.小

賣部老板做了市場調查發現：A產品進價為每件30元，目前市場售價為每件40元，每星期

可賣出150件，如果售價每漲1元，那么每星期少賣5件.根據目前小賣部的資金實力，每

星期進貨款不得超過3900元；根據生產廠家的要求，每星期進貨量不得少于105件.設每

件漲價尤元(尤為非負整數)，每星期銷量為y件，且進貨剛好賣完.

(1)求y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍；

(2)如何定價才能使每星期的利潤最大？每星期的最大利潤是多少？

27.某超市在中秋節前夕購進價格為3元/個的月餅.根據市場預測，該月餅每個售價4元

時，每天能售出500個，并且售價每上漲0.1元，其銷售量將減少10個.為了維護消費者

的利益，物價部門規定，該月餅售價不能超過進價的200%.

(1)如果該超市想從月餅銷售中每天獲得800元的利潤，應該怎樣給月餅定價？

(2)定價為多少時每天的利潤最大？最大利潤是多少？

28.如圖，在一次足球訓練中，某球員從球門(原點。處)正前方8m的A處射門，球射向

球門的路線可近似成一條拋物線，當球飛行的水平距離為6m時，球達到最高點，此時球離

地面的高度為3m.

ty(m)

1

<-----------8-----------H

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)已知球門高08為2.44m,通過計算判斷該球能否射進球門(忽略其他因素的影響)；

⑶己知點C為02上一點，OC=2.25m,若該球員帶球向正后方移動再射門(射門路線

的形狀、球的最大高度均保持不變），球恰好經過OC區域（含點。和點C）,求W的取值范

圍.

29.2024年8月6日，在巴黎奧運會女子10米跳臺跳水決賽中，中國選手全紅嬋以五跳共

425.60分的總成績奪得金牌.已知跳水運動員起跳后的運動軌跡可近似看作拋物線，建立如

（1）某位運動員在第一次跳水中，從點4（3,10）處起跳（如圖），她的豎直高度》（單位：m）

與水平距離無（單位：m）近似滿足函數關系式y=a（x-3.5『+Ma<0）,測得幾組數據如

下表：

水平距離x/m33.544.5

豎直高度y/m10k106.25

則上的值為,滿足的函數關系式為

（2）若該運動員在第二次跳水中，她的豎直高度》（單位：m）與水平距離x（單位：m）近

似滿足函數關系式y=-5%2+40%-68,記她這兩次跳水的入水點的水平距離分別為4，d.2,

則4d2；（填“”，=”或）

（3）在（2）的條件下，從該運動員起跳后到達最高點8處時開始計時，已知點8到水平面的

距離為c,豎直高度,（單位：m）與時間/（單位：s）之間近似滿足函數關系式y=-5t2+c.若

該運動員在達到最高點后需要1.5s才能完成某個極具難度的動作，請通過計算說明，該運動

員能否在落水前完成此動作.

30.如圖，在VABC中，ZABC=90°,AB=3C=4cm,點尸從點A出發，以2cm/s的速度

沿折線Af3fC運動，同時點。從點8出發，以lcm/s的速度沿線段BC運動.當點尸到

達點C時，P,。停止運動.設點尸運動的時間為^⑸，的面積為yjcn?）.

試卷第10頁，共21頁

（1）請直接寫出％與尤的函數關系式，并注明自變量X的取值范圍;

（2）在平面直角坐標系中，畫出％的函數圖象，并寫出這個函數的一條性質;

⑶若M與x的函數圖象與直線%x+”有兩個交點，則n的取值范圍是.

31.《勞動教育》成為一門獨立的課程，某校率先行動，在校園內開辟了一塊勞動教育基地.九

年級數學興趣小組在課余時間里，利用一面學校的墻（墻的最大可用長度為22米），現用長

為34米的籬笆（籬笆正好要全部用完，且不考慮接頭的部分），圍成中間隔有一道籬笆的長

方形菜地，在菜地的前端各設計了兩個寬1米的小門，供同學們進行勞動實踐.設垂直于墻

的籬笆邊A3長為x米.

DDDDD□DD

野.出窗!逐甘電也DpDD

百瑙尊國汨將在黨DDdDDDdD

:

Ii——~~HI~~1cB

（1）求當x為何值時，圍成的菜地面積為81平方米；

（2）要想圍成菜地面積為120平方米，可能嗎？請計算說明理由；

（3）求垂直于墻的籬笆邊AB長為多少米時，圍成菜地的面積最大？最大面積是多少平方米？

32.某商場要經營一種新上市的文具，進價為10元/件.試營銷階段發現：當銷售單價為20

元時，每天的銷售量是200件；銷售單價30元時，每天的銷售量為100件.其中每天的銷售

量是售價的一次函數.

（1）求這種文具每天的銷售量y（件）與銷售單價無（元）之間的函數關系式；

（2）銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大？

⑶若商店想要每天獲利2000,售價應定為多少元？

33.某超市新上架一款產品，每個成本為6元，在銷售過程中銷售數量y（個）與銷售價格

x（元/個）的關系如圖所示，其圖象是線段4艮

（2）若該超市每天銷售這款產品的利潤為w（元），請寫出w與x之間的函數表達式，并求該

超市每天銷售這款產品的最大利潤.（利潤=總銷售額-總成本）.

34.【項目式學習】

【項目主題】自動旋轉式噴泉景觀

【項目背景】學習完二次函數的相關知識后，某校九年級數學創新小組，開展項目式學習，

深入探究噴泉設計與二次函數密切關系

【項目素材】

某公園要在小廣場上建造一個噴泉景觀，在小廣場中央。處垂直于地面安裝一個高為L25

米的花形柱子Q4,安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的

拋物線路徑落下，且在過。4的任一平面上拋物線路徑如圖1所示.為使水流形狀較為美觀，

設計成水流在距。4的水平距離為1米時達到最大高度，此時離地面2.25米.

任務一：模型構建

（1）以點。為原點建立如圖2所示的平面直角坐標系，水流到水平距離為尤米，水流

噴出的垂直高度為y米,求出在第一象限內的拋物線解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）;

數量任務二：模型分析

（2）張師傅正在噴泉景觀內維修設備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻

沒有被水淋到，此時他離花形柱子。4的距離為d米，求d的取值范圍；

試卷第12頁，共21頁

任務三：問題解決

(3)為了美觀，在離花形柱子4米處的地面8、C處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成45。

角，如圖3所示，光線交匯點尸在花形柱子Q4的正上方，其中光線所在的直線解析式

為了=-尤+4,求光線與拋物線水流之間的最小垂直距離.

35.某山體的隧道截面近似于拋物線，隧道最高點A距離地面5m,隧道地面MN寬8m.如

圖，以為x軸,M為坐標原點構建平面直角坐標系.

(1)求拋物線的函數表達式.

(2)現要在拋物線型隧道內安裝一個矩形L￡D屏，應＞屏長為2m,寬為50cm,若矩形

屏的兩個頂點在拋物線上且長邊需平行于求LED屏底邊距離地面的最大高度.

36.綜合與實踐

如圖，是某公園的一座拋物線形拱橋,夏季正常水位時拱橋的拱頂到水面AB的距離為1.8m,

秋季水位會下降約0.2m,此時水面CD寬度約為4.0m.

圖I圖2

⑴如圖1,以AB的中點。為原點，A3所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，求拋物

線的解析式；

(2)一天小明媽媽帶著小明乘坐腳踏游船想要從橋下通過，已知游船的寬度約為1.6m,船頂

高出水面約為1.3m,為保證安全，游船要盡量從橋下正中間通過，且船頂與拱橋至少要間

隔0.1m,請問當水位處于正常水位(即水面為AB)時，游船是否能夠通過？并說明理由；

(3)如圖2,國慶節期間為裝點節日的氣氛，公園決定在拱橋上掛一串小彩燈，這串彩燈在拱

橋中間部分與水面接近平行，兩邊自然垂下且關于拋物線的對稱軸對稱，彩燈兩端的最低點

到水面CZ）的距離為1.4m,求這串彩燈的最大長度.

37.綜合與實踐：根據以下素材，探索完成任務.

如何設計大棚苗木種植方案？

【素材1】如圖①是一個大棚苗木種植基地及其截面圖，其下半部分是一個長為20m,寬為

1m的矩形，其上半部分是一條拋物線，現測得，大棚頂部的最高點距離地面6m.

【素材2】種植苗木時，每棵苗木高1.95m.為了保證生長空間，相鄰兩棵苗木種植點之間

間隔1m,苗木頂部不觸碰大棚，且種植后苗木成軸對稱分布.（即苗木的數目為偶數個）

圖①圖②

【解決問題】

（1）大棚上半部分形狀是一條拋物線，設大棚的高度為》種植點的橫坐標為尤.根據圖②建

立的平面直角坐標系，通過素材1提供的信息確定點的坐標，求出拋物線的解析式；

⑵探究種植范圍.在圖②的坐標系中，在不影響苗木生長的情況下（即y>1.95）,確定種

植點的橫坐標X的取值范圍；

（3）擬定種植方案.給出最前排符合所有種植條件的苗木數量，并求出最左邊一棵苗木種植

點的橫坐標%的值.

38.賽龍舟是中國端午節最重要的一種節日民俗活動，一場賽龍舟活動中，圖1是比賽途中

經過的一座拱橋，圖2是該橋露出水面的主橋拱的示意圖，可看作拋物線的一部分，建立如

圖所示的平面直角坐標系xOy,橋拱上的點到水面的豎直高度y（單位：m）與到點。的水

平距離尤（單位：m）近似滿足二次函數關系，水面的寬度。4為60m；

拱橋最高處到水面的距離為9米.

C

圖1圖2

（1）求橋拱上的點到水面的豎直高度y（單位：m）與到點。的水平距離x（單位：m）滿足

試卷第14頁，共21頁

的二次函數解析式；

（2）據調查，各參賽隊所用龍舟均為活動主辦方統一提供，每條龍舟寬度為9m.龍舟最高處

距離水面2.5m；為保障安全，通過拱橋時龍舟最高處到橋拱的豎直距離至少為2.5m.問5

條龍舟（不考慮龍舟之間的間隔）是否可以同時通過橋洞？

39.某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標系，并標出相關數

據（單位：m）.

（1）求池底所在拋物線的解析式；

（2）若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，求水面下降的高度.

40.如圖1是一款固定在地面。處的高度可調的羽毛球發球機，A是其彈射出口，能將羽毛

球以固定的方向和速度大小彈出羽毛球，在不計空氣阻力的情況下，球的運動路徑呈拋物線

狀（如圖2所示），設飛行過程中羽毛球與發球機的水平距離為x（米），與地面的高度為y

（米），y與％的部分對應數據如表所示.

X（米）1.82222.426-

2.242.252.24

y（米）221216-

圖1圖2

（1）求y關于x的函數表達式，并求出羽毛球的落地點B到發球機。點的水平距離.

（2）為了訓練學員的后場應對能力，需要改變球的落地點，可以通過調整彈射出口A的高度

來實現.此過程中拋物線的形狀和對稱軸位置都不變，要使發射出的羽毛球落地點到。點

的水平距離增加1米，則發球機的彈射口高度Q4應調整為多少米？

41.

制作簡易水流裝置

設如圖，是進水通道，A3是出水通道，OE是圓柱形容器的底面直徑，從CD將圓

計柱形容器注滿水，內部安裝調節器，水流從8處流出且呈拋物線型.以點。為坐標原

方點，所在直線為無軸，6M所在直線為y軸建立平面直角坐標系水流最終落

案到x軸上的點M處.

示

圖

M

已軸，AB=5cm,OM=15cm,點8為水流拋物線的頂點，點A、B、。、E、

知M在同一平面內，水流所在拋物線的函數表達式為=ax2+bx+15（a豐0）

任

務求水流拋物線的函數表達式；

任現有一個底面半徑為3cm,高為Hem的圓柱形水杯，將該水杯底面圓的圓心恰好放

務在M處，水流是否能流到圓柱形水杯內？請通過計算說明理由；（圓柱形水杯的厚度

忽略不計）

任

還是任務二的水杯，水杯的底面圓的圓心P在X軸上運動，為了使水流能流到圓柱形

務

水杯內，直接寫出OP長的取值范圍.

請根據活動過程完成任務一、任務二和任務三.

42.如圖，某同學觀察校門口的隔離欄發現，各個欄桿上涂有顏色部分的頂端及點A,B所

在曲線呈拋物線形（欄桿寬度忽略不計）；隔離欄長為2.6m,隔離欄AB被12根欄桿等

分成13份，左起第4根欄桿涂色部分的高度CE=0.36m.

試卷第16頁，共21頁

c

工-廠---產--卜---”-

請根據上述研究步驟與相關數據，完成下列任務：

⑴請以點A為坐標原點，線段A3所在直線為x軸，過點A且垂直于A3的直線為，軸，建

立平面直角坐標系，并求出拋物線的函數表達式.

(2)若相鄰某兩根欄桿涂色部分的高度差為0.02m,求這相鄰的兩根欄桿分別是左起第幾根？

43.河南靈寶蘋果是全國農產品地理標志登記產品之一.如圖1,給蘋果樹壓枝，可以促進

果樹生長，提高果實品質.如圖2是一棵蘋果樹的樹枝AB在平面直角坐標系中的示意圖，

樹枝4B近似呈直線生長，樹枝上一點的生長高度J(m)與它到樹干OA的水平距離x(m)近

似滿足一次函數關系＞=0.卜+1,測得樹枝48的末梢點B到地面OD的豎直高度3。為

1.35m；現在其上一點M處向地面垂直拉線進行壓枝，使得樹枝近似呈拋物線形生長，該

拋物線近似滿足函數關系：y=ax2-4ax+l(a^0),測得其最低點M到地面OD的距離(即

拉線肱V的長)為0.6m.

圖1圖2

⑴求點B的坐標和。的值.

(2)經過壓枝，樹枝生長一段時間后，末端點C恰好落在80上.為了不影響采光效果，B,

C間的距離超過50cm才算符合要求.試通過計算判斷此次壓枝是否符合要求.

44.根據以下素材，探索完成任務.

如何設計滑雪愛好者滑雪軌跡問題?

素圖1是某跳臺滑雪場地的截

材面示意圖.平臺長為1米,

1平臺距地面18米.以地面

所在直線為x軸，過點B垂直

于地面的直線為y軸，取1米

為單位長度，建立如圖2的

平面直角坐標系.

己知滑道對應的函數為

y--x2-4x+c.

5

運動員（看成點）在54方向

獲得速度v米/秒后，從A處

向右下飛向滑道，點M是下

素

落過程中的某位置（忽略空

材

氣阻力）.設運動員飛出時間

2

為f秒，運動員與點A的豎直

距離為〃米，運動員與點A的

水平距離為/米.

素

材實驗表明：h=6t2,l=vt.

3

滑雪場規定：滑雪愛好者在

素飛行的過程中，若5VxV7

材時，飛行的高度與跳臺滑道

4的垂直距離在8~10米的范

圍內即可獲得獎勵.

問題解決

任

務確定滑道形狀根據圖2,求滑道拋物線的解析式；

1

試卷第18頁，共21頁

任

確定滑雪愛好者與滑道位置根據圖3,當v=5,f=l時，判斷此時滑雪愛好者是否

務

關系在滑道上？

2

任滑雪愛好者從A處飛出，飛出的路徑近似看成函數

務確定滑雪愛好者的滑雪方案y=-^+±X+t,若該滑雪愛好者能夠獲得獎勵，求整

3數/的值.

45.根據以下素材，探索完成任務.

如圖1是某校利用大課間開展陽光體育跳大繩活

問

動的瞬間，跳繩時，繩甩到最高處時的形狀可以看

題

作拋物線，為了了解學生的身高與跳繩時所站位置

背

之間的關系，九年級數學實踐活動小組開展了一次

景

探究活動.

素如圖2,小組成員測得甲、乙兩名同學拿繩的手間

材1距A3為6米，到地面的距離AO和BD均為0.9米.

如圖2,身高為1.4米的小麗站在距點。的水平距

素

離為1米的點尸處，繩子甩到最高處時剛好通過她

材

的頭頂點E.以點。為原點建立如圖所示的平面直

2

角坐標系.

問題解決

任

設此拋物線的解析式為,=62+桁+0.9,求°、6的值.

務1

任

身高為1.85米的張老師也想參加此次跳繩活動，問：他站立時繩子能否順利從他頭頂

務

越過？請說明理由.

2

46.某農場計劃建造一個矩形養殖場，為充分利用現有資源，該矩形養殖場一面靠墻（墻的

長度為13m,另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1:2的矩形，已知柵

欄的總長度為24m,設較小矩形的寬為求當x為多少時，矩形養殖場的總面積最大？

并寫出最大值為多少.

13m

47.甲，乙兩名同學進行羽毛球比賽，羽毛球發出后的飛行路線可以看作是拋物線的一部

分.如圖建立平面直角坐標系，羽毛球從。點的正上方發出，飛行過程中羽毛球的豎直高度

y（單位：rn）與水平距離x（單位：m）之間近似滿足函數關系y=a（x-/z）2+Ma<0）.

比賽中，甲同學連續進行了兩次發球.

（1）甲同學第一次發球時，羽毛球的水平距離x與豎直高度y的七組對應數據如下:

①當羽毛球飛行到最高點時，水平距離是m；

②在水平距離5m處，放置一個高L55m的球網，羽毛球（填“是”或“否”）可以過網;

③求出滿足的函數關系y=+々（。<0）；

（2）甲同學第二次發球時，羽毛球的豎直高度》與水平距離x之間近似滿足函數關系

y=-0.2（%-4.5）2+5.2.乙同學在兩次接球中，都是原地起跳后使得球拍達到最大高度

2.75m時剛好接到球，記乙同學第一次接球的起跳點的水平距離為4,第二次接球的起跳

試卷第20頁，共21頁

點的水平距離為小，則必-4(填“或

48.足球訓練中球員從球門正前方9米的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線.當球飛

行的水平距離為6米時，球達到最高點，此時球離地面3米.現以。為原點建立如圖所示

直角坐標系.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)已知球門高08為2.44米，通過計算判斷球能否射進球門(忽略其他因素).

49.問題提出

(1)如圖①，在RtA4BC中，AB=BC,點。、E、尸分別在VABC的三邊上.若四邊形3EDF

為正方形，AB=4,則DE=.

問題探究

(2)如圖②，在Rt/XABC中，ZA=90°,ZC=30°,正方形DEFG和正方形EHTJ在VABC

2

內部，點。在邊AB上，點/在邊AC上，點E、F、J在邊上，若A8=5,BE=~IJ>

求正方形Kffl/的邊長.

問題解決

(3)如圖③，是某種植戶的一處近似等邊三角形的空閑農田，為了趕上6月份水稻的種植，

該種植戶要在此處規劃出兩塊正方形水稻田，其余地方用于修建魚塘養魚.已知在等邊

NABC中，AB=(24+8^)m,正方形DEFG和正方形FHIJ的點E、F、J依次為邊BC上的

點，點。和點;分別在邊AB,AC上,記正方形DEFG的面積為加，正方形FHIJ的面積為S2,

若5=。+邑，求S的最大值.

參考答案:

題號123456

答案ABDBBB

1.A

【分析】本題考查二次函數的應用，令。與各個測量數據的差的平方和的值為y,列出y與

。的函數，根據函數的性質求出最小值即可得到答案；

【詳解】解：設。與各個測量數據的差的平方和的值為y,由題意可得，

y=(a-7.9)2+(a-8.0)2+(a-8.0)2+(a-8.3)2+(a-8.3)2

=5a2-8167+328.19

QI

=5(<72-ytz+8.12-8.12)+328.19

=5(a-8.1)2+0.14,

y=5>0,

?,.當a=8.1時y最小，

y^n=0.14,

故選：A.

2.B

【分析】本題考查了由實際問題列出二次函數，根據經過兩次降價后的價格=原價*(1-每

次降價的百分率)2,即可得解.

【詳解】解：如果每次降價的百分率都為x,經過兩次降價后的價格為y元，則y與x之間

的函數關系式為y=300(l-x『，

故選：B.

3.D

【分析】本題考查了二次函數的實際應用，令?=()，求出此時s的值，即可計算出足球落

地時距離原來的位置的距離.

【詳解】解：令?=(),則(一忘s2=0,

解得：s=0(舍去)，s=50,

故選：D.

4.B

答案第1頁，共43頁

【分析】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意，能正確求出一元二次方程的解.

分別令x=o,y=o,再解方程，即可得到答案.

【詳解】解：令y=o,貝ij—g（尤-3『+T=O，

解得：%=7,x2=-l（舍去）

擲球的成績為7m,

令x=0,止匕時y=-上*9+3=2,

-999

7

上初始高度為gm,

故選：B.

5.B

【分析】本題考查了二次函數的應用，即考查二次函數的最值問題，解答關鍵是弄懂題意，

熟練對函數式變形，從而取得最值.由函數關系式為s=2055/，變形得，s=-5“-2）2+20,

即求函數的最值問題，則汽車滑行2秒，到達最遠距離為20米停止.

【詳解】解：s=20t-5t2=-5（Z2-4r+4）+20=-5（r-2）2+20,

由于慣性汽車速度變小，汽車滑行2秒，滑行的最遠距離是20米，

故選項A,C,D不合題意，

故選：B.

6.B

【分析】本題考查了動點問題的函數圖象，根據題意結合圖形，分情況討論：①0<xW4時，

根據四邊形尸8。。的面積=AABD的面積-AAPQ的面積，列出函數關系式，從而得到函數

圖象；②4Vx<8時，根據四邊形尸8。。的面積三的面積-一"Q的面積，列出函數關

系式，從而得到函數圖象，再結合四個選項即可得解.

【詳解】解：分以下兩種情況：

①0<xV4時，

:正方形的邊長為4cm,

；?y=sABD-s"2=5、4*4一萬工7=—5尤2+8；

②4Vx<8時，

111

y=sBCD~sCPQ=-x4x4--（8-x）（8-x）=--（8-x）+8,

答案第2頁，共43頁

與尤之間的函數關系可以用兩段開口向下的拋物線表示，縱觀各選項，只有B選項圖象

符合.

故選：B.

7.243

【分析】本題考查了二次函數的應用，以拋物線的頂點為原點建立平面直角坐標系，設拋物

線解析式為>=以2,利用待定系數法可得拋物線解析式為y=把y=-1代入可得

尤=±百，據此即可求解，正確建立平面直角坐標系是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，以拋物線的頂點為原點建立平面直角坐標系，

2

設拋物線解析式為>=以2,將點（3,-3）代入得，-3=flx3,

解得。=—,

.??拋物線解析式為y=

當y=-1時，=

解得％=±百，

/.當水面上升2米后水面寬度為73-卜6）=2百米，

故答案為：2#I.

8.4石

【分析】本題考查的是30。直角三角形性質，矩形的性質，勾股定理、二次函數的性質、根

據矩形的面積公式列出二次函數解析式是解題的關鍵.設。E=x,則3E=2x,根據30。直

角三角形的性質求出A尸，根據勾股定理求出斯，根據矩形的面積公式列出函數解析式，

根據二次函數的性質解答即可.

【詳解】解：；N3=30。，ZC=90°,且四邊形CDE歹是矩形，

答案第3頁，共43頁

：.DE//AC,EF//BC,

：.ZAEF=ZB=30°,

AC=4f

:.AB=8

???在中，設。石=x,貝=

???AE=AB-BE=8-2x

.,.在Rt.AEE中，AF=-AE=4-x

2

：.EF=ylAE2-AF2=V3（4-X）

，矩形CDEF的面積=DE?跖=x?6（4-x）=-代（*-2）2+4AQ,

:-出>0,

拋物線開口向下，

.?.當x=2時，矩形CD所的面積最大，為4TL

故答案為：4A/3.

9.10米/10〃z

【分析】本題主要考查二次函數的應用，成績就是當高度y=o時x的值,所以解方程可求解.

19

【詳解】解:當y=0時,-—（^-4）+3=0,

（X-4）2=36,

解之得士=1。，馬=-2（不合題意，舍去），

所以推鉛球的距離是10米.

故答案為：10米.

10.45

【分析】本題主要考查二次函數的應用，熟練掌握知識點，正確理解題意是解題的關鍵.

設寬為尤米，則長為24-3彳（米），先求出x的取值范圍，再根據面積公式建立函數關系式,

即可求解最值.

【詳解】解：設寬為了米，則長為24-3%（米），

貝ij24-3xW9,

解得：龍25

答案第4頁，共43頁

由題意得：S=X（24-3X）=-3/+24X=-3（X-4）2+48,

V-3<0,

...當x>4時，S隨著x的增大而減小，

二當尤=5時，S1mx=-3+48=45平方米，

故答案為：45.

11.18

【分析】本題考查二次函數的最值，注意結合題意，構造S關于x的二次函數，利用配方法

求得二次函數的最值.設一條直角邊為x,則另一條為（4-幻，則根據三角形面積公式即可

得到面積S和x之間的解析式，求最值即可.

【詳解】解：設該三角形的一條直角邊為x,則另一條為（12-x）,

則其面積S=Jx（l2—x）=——（x—6）~+18,（x>0）

可得：當x=6時，S取得最大值，此時5=18；

故答案為：18.

12.（8,2）

【分析】本題考查了二次函數的應用、矩形的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題關鍵.先

根據矩形的性質可得AD=3C,從而可得點C與點O關于拋物線的對稱軸對稱，且點C的

縱坐標與點。的縱坐標相等，即為2,再求出拋物線的對稱軸，根據對稱性可求出點C的橫

坐標，由此即可得.

【詳解】解:由題意可知，0（0,2）,

:在矩形ABC。中，AD=BC,

點C與點D關于拋物線的對稱軸對稱，且點C的縱坐標與點。的縱坐標相等，即為2,

119

:拋物線>=-^尤2+2尤+。=-1（尤-4）+C+4的對稱軸是直線x=4,

.?.點C的橫坐標為4x2-0=8,

.?.點C的坐標為（8,2）,

故答案為：（8,2）.

13.2.5

【分析】本題考查二次函數的應用，把函數〃=20-4/配成頂點式〃=7（/一2.5）2+25,

答案第5頁，共43頁

根據二次函數的性質即可得到結論.

【詳解】解：/?=20f-4r=-4（r-2.5）2+25,

：a=T<0,

當f=2.5時，/?的最大值為25,

即r=2.5時，〃的值最大，

故答案為：2.5.

14.40

【分析】本題主要考查了二次函數的應用，先建立直角坐標系，再根據題意設拋物線的解析

式，然后根據點A（-40,0）在拋物線上，可求出拋物線的解析式，最后將'=150代入求出尤

的值，即可得的長.

【詳解】解：以底部所在的直線為尤軸，以線段的垂直平分線所在的直線為y軸建立平

面直角坐標系，

AA（-40,0）,￡（0,200）,

設內側拋物線的解析式為y=+200,

將A（T0,0）代入，

得：0=qx（一40）2+200,

解得：〃=-：，

O

內側拋物線的解析式為y=-1X2+200,

o

答案第6頁，共43頁

將y=150代入得：一工無2+2oo=i5O,

8

解得：入=±20,

/.C(-20,150),0(20,150),

.-.CD=20-(-20)=40(米)，

故答案為：40.

15.⑴尸---%2

25

(2)能，理由見解析

【分析】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是把一個實際問題通過數學建模，轉化為二

次函數問題，用二次函數的性質加以解決.

(1)先設拋物線的解析式>=以2,利用待定系數法求解即可；

(2)求出橋頂。到警戒線的距離為Im,x=2時，y=-0.16,由此即可求解.

設所求拋物線的解析式為：y=o?(aw0),

由題意得。(10,T)

把。的坐標分別代入>=依2得：100。=T,

解得：a=-5,

拋物線的函數表達式為：了=一《/；

(2)解：能通過，理由如下：

4

由題意得：當x=2時，y=—石=—0.16,

工4—3—0.8=0.2>0.16,

，暴雨后這艘船能從這座拱橋下通過.

答案第7頁，共43頁

16.(l)y=-2x+104

(2)@W=-2X2+164X-3120;②銷售