因錐曲線中的定點、定值、定直線問題【八大題型】

?題型歸納

【題型1直線過定點問題】.....................................................................2

【題型2存在定點滿足某條件問題】............................................................3

【題型3面積定值問題】.......................................................................5

【題型4斜率的和差商積定值問題】............................................................6

【題型5向量數量積定值問題】.................................................................8

【題型6線段定值問題】.......................................................................9

【題型7角度定值問題】......................................................................10

【題型8動點在定直線上問題】................................................................12

?命題規律

1、圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題

圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題是高考的重點、熱點內容，從近幾年的高考情況來看，此類問

題考查頻率較高，此類問題一般有直線過定點問題、滿足某條件的定點問題、定值問題以及定直線問題等,

主要在解答題中考查，選擇、填空題中考查較少，在解答題中考查時綜合性強，難度較高.

?方法技巧總結

【知識點1圓錐曲線中的定點、定值問題】

1.圓錐曲線中的定點、定值問題

圓錐曲線中的定點定值問題一般與圓錐曲線的基本量和題設條件中的給定的點或值有關，曲線過定點

問題以直線過定點居多，定點問題其實也可以歸結到定值問題(定點的橫縱坐標為定值).這類問題用函數的思

想方法來處理，具體操作流程如下：

(1)變量一一選擇合適的參變量；

(2)函數一一要證明為定值的量表示出參數的函數；

(3)定值一一化簡函數解析式，消去參數得定值.

一些存在性問題，是否存在定點使得某一個量為定值，是否存在定值使得某一量為定值，是否存在定

點使得曲線過定點，是否存在定值使得曲線過定點，可以看做定點定值問題的延伸.

2.定點問題的求解思路：

一是從特殊入手，求出定點，再證明這個點與變量無關；

二是直接推理、計算，并在計算過程中消去變量，從而得到定點.

3.過定點問題的兩大類型及解法

(1)動直線/過定點問題

解法：設動直線方程(斜率存在)為y-kx+t,由題設條件將t用k表示為t=mk+n,得y=fc(x+m)

+n,故動直線過定點(—m,ri)；

(2)動曲線C過定點問題

解法：引入參變量建立曲線C的方程，再根據其對參變量恒成立，令其系數等于零，得出定點.

4.定值問題的求解思路：

將問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角式，證明該式的值與參數無關.

5.求解定值問題的三個步驟

(1)由特例得出一個值，此值一般就是定值；

(2)證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉化為代數式，可證明該代數式與參數(某些變量)

無關；也可令系數等于零，得出定值；

(3)得出結論.

【知識點2圓錐曲線中的定直線問題】

1.圓錐曲線中的定直線問題

定直線問題是指因圖形變化或點的移動而產生的動點在定直線上的問題.這類問題的核心在于確定定點

的軌跡，主要方法有：

(1)設點法：設點的軌跡，通過已知點軌跡，消去參數，從而得到軌跡方程；

(2)待定系數法：設出含參數的直線方程、待定系數法求解出系數；

(3)驗證法：通過特殊點位置求出直線方程，對一般位置再進行驗證.

?舉一反三

【題型1直線過定點問題】

【例1】(2024?河南周口?模擬預測)已知橢圓與=l(a>6>0)的焦距為2,不經過坐標原點。且斜

率為1的直線I與C交于尸，0兩點，4為線段的中點，直線04的斜率為一：

(1)求橢圓C的方程；

(2)設B(2,0),直線P8與C的另一個交點為M,直線。8與C的另一個交點為N,其中M,N均不為橢圓C的頂

點，證明：直線過定點.

【變式1-1](2024?江西九江?二模)已知雙曲線黨|—l(a>0力>0)的離心率為心點P(3,4)在C上.

⑴求雙曲線C的方程；

(2)直線I與雙曲線C交于不同的兩點4B,若直線P4PB的斜率互為倒數，證明：直線I過定點.

【變式1-2](2024?云南?模擬預測)拋物線「:產=2px(p>0)的圖象經過點M(l,—2),焦點為F,過點F且

傾斜角為。的直線/與拋物線「交于點力，B,如圖.

(1)求拋物線「的標準方程；

(2)當時,求弦|4B|的長;

(3)已知點P(2,0),直線AP,BP分別與拋物線「交于點C,D.證明：直線CD過定點.

【變式1-31(2024?貴州貴陽?二模)已知橢圓E的一個焦點是(一8,0).直線=任》+比與直線Sy=矽

x+打關于直線〃y=%+1對稱，且相交于橢圓E的上頂點.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)求七七的值；

(3)設直線分別與橢圓E另交于P,Q兩點，證明：直線PQ過定點.

【題型2存在定點滿足某條件問題】

【例2】(2024?新疆喀什?三模)已知雙曲線E：/—3產=3的左、右焦點分別為％,F2,4是直線八

y=—然(其中a是實半軸長，c是半焦距)上不同于原點。的一個動點，斜率為的的直線4%與雙曲線E交

于M,N兩點，斜率為后的直線ZF2與雙曲線E交于P,Q兩點.

11

(1)求甚+記的值；

(2)若直線。M,ON,OP,OQ的斜率分別為岫”，k0N,k0P,k0Q,問是否存在點4滿足初〃++

k0Q=0,若存在，求出力點坐標；若不存在，說明理由.

【變式2-1](2024?陜西榆林?模擬預測)已知橢圓C：捻+:=l(a>b>0)的左，右焦點分別為Fi

(―c,0)，F2(C,0),過松的直線與橢圓C交于N兩點，且△MN%的周長為8,△MF/2的最大面積為

V3.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設b>l,是否存在x軸上的定點P,使得△PMN的內心在x軸上，若存在，求出點尸的坐標，若不存在,

請說明理由.

【變式2-2](2024?四川雅安一模)已知。為坐標原點，過點P(2,0)的動直線均拋物線=4%相交于4B

兩點.

⑴求才??甌

(2)在平面直角坐標系xOy中，是否存在不同于點P的定點Q,使得乙4QP=/BQP恒成立？若存在，求出點Q

的坐標；若不存在，請說明理由.

【變式2-3](2024?全國?模擬預測)在平面直角坐標系中，點(3,注)在雙曲線C:^—'=l(a>0,b>0)±,

漸近線方程為久-V3y=0.

(1)求雙曲線C的方程；

⑵過點P,1)作直線I與雙曲線C交于48兩點，在x軸上是否存在一定點Q,使得直線Q2與QB的斜率之和為

定值？若存在，請求出點Q的坐標及定值；若不存在，請說明理由.

【題型3面積定值問題】

【例3】(23-24高二下?貴州遵義期中)已知雙曲線噂一f|=l(a>0力〉0)的離心率為孝，虛軸長為2

V3.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若動直線/與雙曲線C恰有1個公共點，且分別與雙曲線C的兩條漸近線交于尸，。兩點，O為坐標原

點，證明：△OPQ的面積為定值.

【變式3-1](2024?江蘇蘇州?模擬預測)已知橢圓償+'=l(a>b>0),y與圓/+尸=a?—〃在

第一、第二象限分別交于。、P兩點，且滿足/-POQ=pPQ=1,

(1)求橢圓y的標準方程；

(2)A是橢圓上的一點，若存在橢圓的弦BC使得OA//BC.OA=BC,求證:四邊形O4BC的面積為定值.

【變式3-2](2024?廣東廣州?模擬預測)已知4(—1,0),B(l,0),平面上有動點P,且直線&P的斜率與直線

BP的斜率之積為1.

(1)求動點P的軌跡。的方程.

(2)過點/的直線與。交于點M(M在第一象限)，過點B的直線與。交于點N(N在第三象限)，記直線4M,

BN的斜率分別為七，k2,且好=4七.試判斷aAMN與aBUN的面積之比是否為定值，若為定值，請求出

該定值；若不為定值，請說明理由.

【變式3-3](2024?河北衡水?三模)已知拋物線C:/=2py(p>0)的焦點為F,過F且傾斜角為方的直線/與C

交于48兩點.直線0，L與。相切，切點分別為4&k，%與久軸的交點分別為。，月兩點，且1。回=

2V3

⑴求C的方程；

(2)若點「為。上一動點(與48及坐標原點均不重合)，直線％與C相切，切點為P,b與6的交點分別為

G,H.記△DFG,的面積分別為Si，S2.

①請問：以G,"為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出該定點坐標；若不過定點，請說明理由；

②證明：為定值.

【題型4斜率的和差商積定值問題】

【例4】(2024?陜西西安?模擬預測)已知橢圓。今2+:2=l(a>6>0)的離心率為f-1橢圓上的點到焦點的

距離的最大值為3.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設4,8兩點為橢圓C的左、右頂點，點尸(異于左、右頂點)為橢圓C上一動點，直線尸/,尸2的斜

率分別為七，k2,求證：為定值.

【變式4-1](2024?浙江紹興?三模)設雙曲線C：1(a>0,b>0)的一條漸近線為久—3y=0,

焦點到漸近線的距離為1.41，4分別為雙曲線C的左、右頂點，直線1過點7(2,0)交雙曲線于點M,N,記

直線M4,M42的斜率為七，k2.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)求證裝為定值.

【變式4-2](2024?全國?模擬預測)已知雙曲線嗒一餐=l(a>0,6>0)的離心率為%且點(一4四,3)在

雙曲線C上.

(1)求雙曲線C的標準方程.

(2)過點P(0,l)的直線I與雙曲線C的左、右兩支分別交于點4B.問：在y軸上是否存在定點Q,使直線4Q與BQ

的斜率之和為定值？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

【變式4-3](2024?天津濱海新?三模)已知橢圓M：g+1(a>b>0)的離心率為，4B分別為橢圓

的左頂點和上頂點，尸1為左焦點，且的面積為手.

(1)求橢圓M的標準方程；

(2)設橢圓M的右頂點為C,P是橢圓M上不與頂點重合的動點.

①若點P(i,yo)(y0>。)，點。在橢圓M上且位于支軸下方，設aapc和△DPC的面積分別為S1，S2.若

S1-S2=求點。的坐標；

②若直線4B與直線CP交于點Q,直線BP交支軸于點N,設直線QN和直線QC的斜率為％N，kQC,求證：2kQN

—/CQC為定值，并求出此定值.

【題型5向量數量積定值問題】

[例5]⑵-24高三上?天津河北?期末)設橢圓E:5+f|=l(a>b>0)的左右焦點分別為Fi,&，短軸的兩

個端點為48,且四邊形是邊長為2的正方形CD分別是橢圓的左右頂點，動點M滿足MD1CD,連

接CM，交橢圓E于點P.

(1)求橢圓E的方程；

(2)求證：而T方為定值.

【變式5-1](23-24高三上?上海嘉定?階段練習)已知雙曲線C的中心在原點，D(1,O)是它的一個頂點.2=(1,

魚)是它的一條漸近線的一個方向向量.

⑴求雙曲線C的方程；

(2)設P(O,1),〃為雙曲線右支上動點，當1PM取得最小時，求四邊形即的面積；

(3)若過點(一3,0)任意作一條直線與雙曲線C交于/,B兩點(A,8都不同于點。)，求證:畫?麗為定值.

【變式5-2](2024?河北保定?三模)設橢圓C：9+看=l(0<b<V7)的左、右頂點和橢圓若|+亨=1的

左、右焦點均為E,EP是C上的一個動點(異于E,尸)，已知直線EP交直線人：久=V7于點/,直線燈

交直線，2：%=一V7于點8.直線48與橢圓「交于點M，N,。為坐標原點.

(1)若b為定值，證明：瓦？?麗為定值；

(2)若直線ON,ON的斜率之積恒為—《求A

【變式5-3](2024?河北石家莊?二模)己知M為平面上一個動點，M到定直線x=1的距離與到定點F(2,0)

距離的比等于孝，記動點M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)過點F的直線Z與曲線C交于4B兩點,在x軸上是否存在點P,使得西?麗為定值？若存在，求出該定值;

若不存在，請說明理由.

【題型6線段定值問題】

【例6】(2024?河南濮陽?模擬預測)已知雙曲線嗒一卷=1(￡1>0力>0)尸1尸2分別是。的左、右焦點.若

。的離心率e=2,且點(4,6)在C上.

⑴求C的方程；

⑵若過點尸2的直線，與C的左、右兩支分別交于48兩點，與拋物線產=16x交于P,Q兩點，試問是否存在常

數九使得高1-合2為定值？若存在，求出常數;I的值；若不存在，請說明理由.

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【變式6-1](2024?山東荷澤?模擬預測)已知橢圓C蚩+:=l(a>6>0)的左、右焦點分別為%,尸2,點

4(8,1)在橢圓C上，點8與點4關于原點對稱，四邊形的面積為4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線l：x—my—幾=0與橢圓C交于P,Q兩點.與%軸交于點N.試判斷是否存在ne(—逐,竭，使得

向1+意1為定值？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由.

【變式6-2](2024?四川內江?三模)己知拋物線E的準線方程為：x=-l,過焦點尸的直線與拋物線E交

于N、8兩點，分別過/、8兩點作拋物線E的切線，兩條切線分別與y軸交于C、。兩點，直線C尸與拋

物線E交于“、N兩點，直線DF與拋物線E交于尸、0兩點.

(1)求拋物線E的標準方程;

(2)證明：意+高為定值.

2

【變式6-3](2024?全國?模擬預測)已知雙曲線從會一步=1的左、右焦點分別為％,F2,左、右頂點分

別為公，A2,橢圓E以公，4為焦點，以FF2為長軸.

(1)求橢圓E的離心率；

(2)設點滿足小2<4",過M且與雙曲線H的漸近線平行的兩直線分別交”于點P,Q,過時且與PQ平

行的直線交”的漸近線于點S,T.證明：猊為定值，并求出此定值.

【題型7角度定值問題】

【例7】(2024?山西?三模)已知拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點尸到準線的距離為2,O為坐標原點.

⑴求E的方程；

(2)已知點T(t,0),若E上存在一點P,使得麗?丙=—1,求/的取值范圍；

(3)過“(一4,0)的直線交￡于4,8兩點，過N(—4,4場的直線交￡于出C兩點，B,C位于x軸的同側,

證明：NBOC為定值.

【變式7-1](23-24高三下?云南昆明?階段練習)平面上一動點P(x,y)滿足—2)2+”—履+2)2+”

=2.

(1)求p點軌跡r的方程；

⑵己知4(—2,0),B(l,o),延長尸/交「于點。，求實數m使得NP4B=MNPB4恒成立，并證明：乙PBQ為

定值

【變式7-2](2024?全國?模擬預測)在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：/—？=1的右焦點為5人必

分別為雙曲線C的左、右頂點，過尸的直線[與C的右支相交于點M,N.

(1)若直線4M/1N分別與線段042的垂直平分線相交于點PQ，求而-質的值.

(2)當直線/任意旋轉時，試問：羌察是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

【變式7-3](2024?浙江寧波?二模)己知雙曲線C:y2—久2=1,上頂點為0,直線/與雙曲線C的兩支分別交

于4B兩點(B在第一象限)，與x軸交于點「設直線。4DB的傾斜角分別為a,反

⑴若r停,0),

(i)若4(0,-1),求伙

(ii)求證：a+￡為定值；

(2)若￡=也直線DB與x軸交于點E,求△BET與△4DT的外接圓半徑之比的最大直

【題型8動點在定直線上問題】

【例8】(2024?北京?三模)已知橢圓E:《+卷=l(a〉6>0)的短軸長為2存左、右頂點分別為C,。，過

右焦點尸(1,0)的直線咬橢圓E于48兩點(不與&D重合)，直線AC與直線BD交于點T.

(1)求橢圓E的方程；

(2)求證：點T在定直線上.

【變式8-1](2024?湖南婁底?一模)若拋物線「的方程為產=4居焦點為F,設P,Q是拋物線「上兩個不同的

動點.

⑴若|PF|=3,求直線P尸的斜率;

(2)設PQ中點為R,若直線PQ斜率為孝，證明R在一條定直線上.

22

【變式8-2］（2024?河北衡水?模擬預測）已知橢圓。a+左=1（。>。>0）的左、右焦點分別為

是C上一點，且點M到點％,出的距離之和為2g.

⑴求C的方程；

（2）斜率為的直線I與C交于48兩點，則4MaB的外心是否在一條定直線上？若在，求出該直線的方程；若

不在，請說明理由.

【變式8-3］（2024?貴州遵義一模）已知雙曲線唁一看=1（a>0,b>0）的左、右焦點分別為%,

F2,直線y=3與C的左、右兩支分別交于M,N兩點,四邊形MF1F2N為矩形，且面積為12.

⑴求四邊形MF1&N的外接圓方程；

（2）設48為C的左、右頂點，直線1過點（一3,0）與C交于P,Q兩點（異于4,B）,直線2P與8Q交于點R,

證明：點R在定直線上.

?過關測試

一、單選題

1.（2024?山東?模擬預測）已知拋物線C：%2=4y,過直線Lx+2y=4上的動點P可作C的兩條切線，記

切點為4B,則直線48（）

A,斜率為2B.斜率為±2C.恒過點（0,—2）D.恒過點（—1,—2）

2.（2024?河南信陽?模擬預測）已知橢圓C：?+產=1的下頂點為工,斜率不為0的直線I與C交于2,D

兩點，記線段8。的中點為E,若力E1B。，貝I」（）

A.點E在定直線y=：上B.點E在定直線y=|■上

C.點￡在定直線丫=，上D.點E在定直線y=；上

o4-

3.（23-24高二上?上海浦東新?期末）已知雙曲線「：1,點尸為曲線「在第三象限一個動點，以下

Z.D

兩個命題，則（）

①點尸到雙曲線兩條漸近線的距離為由，d2,貝兔「42為定值.

②己知/、8是雙曲線上關于原點對稱不同于尸的兩個點，若加、依的斜率存在且分別為好，k2,則

的為定值.

A.①真②真B.①假②真

C.①真②假D.①假②假

4.（2024?江蘇南通?模擬預測）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓著+菅=1的左、右頂點為/、

B,右焦點為F.設過點7（9即）的直線"、窗與此橢圓分別交于點M（%,為）、NCx2,y2）,其中m>0,月

A.（1,0）B.（-1,0）

C.（0,-1）D.（0,1）

5.（2024?甘肅定西?一模）已知橢圓嗒+y=i（a>1）的離心率為手,P是C上任意一點，。為坐標原點，P

到x軸的距離為d,則（）

A.4|OP|2—d2為定值B.3|OP|2—d2為定值

C.|OP『+4d2為定值D.|OP『+3d2為定值

6.（2024?湖南長沙?二模）已知4、B分別為雙曲線C:/—9=1的左、右頂點，過雙曲線C的左焦點F作直

線PQ交雙曲線于P、Q兩點（點P、Q異于力、B）,則直線4P、BQ的斜率之比七P：/Q?Q=（）

123

A.——B.——C.-3D.——

7.（23-24高三下?河南鄭州?階段練習）已知曲線C:/=a2/（a>0）與直線y=2x+4有3個公共點，點

4、B是曲線C上關于y軸對稱的兩動點（點4在第一象限），點M、N是x軸上關于原點對稱的兩定點（點M

在無軸正半軸上），若|AB|—|AM|—|8N|為定值，則該定值為（）

A.8B.16C.-8D.-16

8.（2024?黑龍江哈爾濱?二模）如圖，P,M,Q,N是拋物線E:y2=4%上的四個點（P，〃在無軸上方,

0,N在無軸下方），已知直線P0與的斜率分別為一日和2,且直線尸。與相交于點G,則

\PGV\GQ\_

\MG\-\GN\一,,

二、多選題

9.（2024?全國?模擬預測）已知雙曲線C§—f=1的右焦點為尸，動點M,N在直線—=|上，且FM1FN,

線段FM交C于點P,過P作/的垂線，垂足為R,則（）

A.的面積B.黑=噂

C.\MR\-\HN\=\FH\-\PR\D.扁\MP扁\-\N為F\定值

10.（2024?江蘇蘇州?模擬預測）對于拋物線y:y2=2px,（p>0）乃是它的焦點，y的準線與x軸交于T,過

點7作斜率為k（k>0）的直線與y依次交于B、/兩點，使得恰有BT-BF=0,下列說法正確的是（）

A.k是定值，p不是定值

B.k不是定值，p也不是定值

C.4、B兩點橫坐標乘積為定值

D.記AB中點為M,則/和/橫坐標之比為定值

11.（2024?浙江金華?模擬預測）己知橢圓5+V=1,。為原點，過第一象限內橢圓外一點P（久o，yo）作橢圓

1

的兩條切線，切點分別為4B.記直線。4。8,4PB的斜率分別為七,的,七,瓢，若七貝1J（）

A.直線48過定點B.（如+瓢）?（的+七）為定值

C.久o—見的最大值為2D.5久o—3yo的最小值為4

三、填空題

12.（2024?四川宜賓?二模）已知尸為拋物線C:久2=—8y的焦點，過直線0=4上的動點M作拋物線的切線,

切點分別是P,Q,則直線PQ過