已知角度為定值求動點坐標

一階方法突破練

1.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（（2m-1，血）（??1）0）過點人作4181x軸于點B.

⑴若乙40B=30。,,求m的值;

⑵若.N40B=60。,,求m的值.

2.如圖，在平面直角坐標系中，直線Z1：y=|x+1分別交x軸，y軸于點A,B,直線l2-.y=緊+t與x軸交于點

C,與直線h交于點D,P是x軸上的一點，且.BP=DP若Z.BPD=90。,求t的值.

第2題圖

3.如圖，拋物線y=-j%2+|%+4^x軸交于A,B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C,點P是拋物

線上一點，若乙4PB=45。,，求點P的坐標（點P的橫、縱坐標均為整數）.

第3題圖

4.如圖，拋物線y=-必+2久+8與x軸交于A,B兩點（點A在點B左側），點P是拋物線的對稱軸上一點，

若4APB=150。,求點P的坐標.

5.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-久+2與x軸交于點A,與y軸交于點B,點P為x軸上一點，若

乙PBA=15°,,求點P的坐標.

6.如圖，在平面直角坐標系中，直線.y=-久+2與x軸交于點A,與y軸交于點B,點Q為y軸上一點，若

乙QAB=75°,,求點Q的坐標.

第6題圖

二階設問進階練

例如圖，拋物線y=-/+2無+3與x軸交于A,B兩點(點A在點B左側)，與y軸交于點C.

⑴若點F是拋物線對稱軸上一點，當乙4FC=90。時，求點F的坐標；

例題圖①

(2)若點N為拋物線上一點，當/.NBA=30。時，求點N的橫坐標；

例題圖②

(3)若點P為拋物線對稱軸上一點，當AAPC=45。時，求點P的坐標；

例題圖③

(4)如圖④，連接AC,BC,點D在線段AC上(不與點A,C重合)且tan^BDC=3,,求點D的坐標；

例題圖④

(5)如圖⑤，已知點Q(0,1),連接BQ,拋物線上是否存在點M,使得tan/MBQ=巳?若存在，求出點M的坐

標；若不存在，請說明理由；

例題圖⑤

⑹創新題?定角求平移距離如圖⑥，將拋物線向下平移m個單位，交BC于點E,R,若乙EOR=45。,求m的值.

例題圖⑥

階綜合強化練

1.如圖①,在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=/_1的頂點為P,A,B為拋物線上兩點，且線段

軸，過點A作4D1無軸于點D,過點B作BC1久軸于點C,連接BP,PD,BD.

（1）求證:NBPD=90°;

⑵創新題?猜想角度定值條件小櫻證明完⑴中的4BPD為90。后，她猜想：所有拋物線

中的“NBPD,都為90°,,為驗證她的猜想，她提出如下問題：如圖①，拋物線y=ax2+c中字母

a,c滿足什么條件才能使NBPD=90。..請回答小櫻的問題并說明理由；

⑶如圖②,拋物線y'=ax2+bx+c中字母a,b,c滿足什么條件才能使.NBPD=90。請直接寫出

結論.

作圖區答題區

圖②

第1題圖

備用圖

2.如圖，拋物線y=ax2-3x+c（a豐0）與x軸交于A（4,0）,C兩點交y軸于點.8（0,一4）,點P為y軸右側拋物

線上一個動點.

⑴求拋物線的解析式；

⑵過點B作久軸，過點P作PD1BD于點D,且BP=迷PD,求點P的坐標；

⑶（三角函數值確定）當點F為AB的中點，且tanzFCP=泄,求點P的橫坐標.

答題區

備用圖①

備用圖②

3.在平面直角坐標系中，拋物線y=adx+1）（久-3）（a豐0））與x軸交于A,B兩點（點A在點B左

側）,與y軸交于點C（0,3）,點D為拋物線的頂點，點P是拋物線的對稱軸上一點.

⑴求拋物線的解析式及點D的坐標；

⑵如圖①，連接PB,PD,求PB+的最小值；

（3）（特殊角+定邊）如圖②，連接CP,PB,BC,若NCPB=135°,,求點P的坐標.

作圖區答題區

備用圖

考向1已知角度為定值求動點坐標

一階方法突破練

1.解:⑴.NAOB=30°,A(2m-Lm),AB，x軸〃QB=2m-LAB=m,AA0B是直角三角形,，0A=2m,

由勾股定理得，OB2+AB2=0A2,

(2m—1)2+m2=(2m)2,

解得m=2+遍或m=2-V3;

(2).NAOB=60°,A(2m-Lm),AB，x軸,.?QB=2m-LAB=m,AA0B是直角三角形,.?QA=4m-2,

由勾股定理得，m2+(2m-1)2=(4m-2/解得m=，^或m=

2.解:如解圖，過點D作DEJ_x軸于點E,設點坐標，表示出線段長.

設P(m,O),D(xD,yD),

■_1..

知一通+1(xD=6-6t

由題意得-%=%+*行4=3*

.-.D(6-6t,3-2t),E(6-6t,0),

■.B(O,l),P(m,O),

.-.OB=l,PE=|6-6t-ml,OP=|ml,DE=|3-2t|,

?.zBPD=90°,

.?.zBPO+zDPE=90o,zBPO+zPBO=90o,

.?.zDPE=zPBO,

?.zBOP=zPED=90°,BP=PD,第2題解圖

."PBO學DPE(AAS),利用全等關系式求未知數

，BO=PE=|6-6t-m|=LOP=DE=|m|=|3-2t|,當m=3-2t時,|6-6t-3+2t|=|3-4t|=l,解得t=號或t=l(點B,D重

合,舍去)，當m=-(3-2t)時,|6-6t+3-2t|=|9-8t|=l,解得t=:或t=l(舍去)，

綜上所述，"域t/

3.解：根據已知條件構造輔助圓，以AB為斜邊作等腰RfAGB廁AG=BG/AGB=90。,以點G為圓心,AG長

為半徑畫圓，則點P在優弧AB上時總有NAPB=45°,

分兩種情況討論，如解圖①，若點G在x軸上方時，OG與拋物線的交點只有A,B,即沒有點P使NAPB=

如解圖②，若點G在x軸下方時，過點G作GM軸于點M,連接PG.

?.?拋物線的解析式為y=+|久+%

二令y=0彳導—+1%+4=0,解得均=-2,X=8,

4Z2

.-.A(-2,0),B(8,0),.-.AB=10.

???AMBM=GM=^AB=5,G(3--5).

設P(P'-^P2+|p+4),

???PG=AG=—AB=5Vx

2

PG2=50,即(p-3)2+(-ip2+jp+4+5)=50,

1?點P的橫縱坐標均為整數，

二有(p-3)2=1,(-(p2+|p+4+5)=49,此時無解,

或(p—3)2=25,(—；p2+|p+4+5)=25,

解得Pi=-2,pz=8,此時兩點為A,B兩點，舍去，

或(p-3)2=49,(-(p2+|p+4+5)=1

解得p3=-4,p4=10,

當p=-4或p=10時,-*2+|「+4=-6.

綜上所述，符合條件的點P的坐標為(-4,-6)或(10,-6).

4.解：由題意得，拋物線的對稱軸為直線％=-5=1,令-久2+2久+8=0,解得x=-2或x=4,

■:點A在點B左側,，A(-2,0),B(4,0),

..AB=6,

?2APB=150。,點P在拋物線的對稱軸上,

150。角的補角的2倍是60。角，可以以AB為邊作等邊三角形找圓心，構造輔助圓.

，分兩種情況討論：

①當點P在x軸下方時，如解圖，以AB為邊在AB上方構造等邊AAEB,設拋物線對稱軸與x軸交于點D,

以點E為圓心，AB長為半徑構造。E,則。E與拋物線對稱軸在x軸下方的交點即為點P,

??AB=6/EAB=60°,

OE的半徑為6,ED=AEsinzEAB=3V3,

.?.DP=EP-ED=6-3V3,

.?點P的坐標為(L3V3-6);

②當點P在x軸上方時，利用對稱性可知，點P的坐標為(1-6-3遍),

綜上所述，點P的坐標為((1，3V3-6)或(1，6-3V3).

5.解:直線y=-x+2與x軸交于點A,與v軸交于點B,

..A(2,0),B(0,2)"?.OA=OB=2,..NOBA=45°,分兩種情況討論:

如解圖，當點P在點A左側，即Pi處時，

???zPiBA=15°

ZOBPi=ZOBA-NPZBA=301

.-.0P1=OB-tan/OBPi=乎，

二點Pi的坐標為律，0);當點P在點A右側，即P2處時,

???ZP2BA=15°

NOBP2=NOBA+ZP2BA=60°

~oP,A\P2x

0P2=OB-tan/OBP?=2V3,

第5題解圖

.?點Pz的坐標為(2V3,0),

綜上所述，點P的坐標為(竽，。)或(2V3,0).

6.解:如解圖,二直線y=-x+2與x軸交于點A,與y軸交于點B,.-.A(2,0),B(0,2),

.QA=OB=2,「.NOAB=45°.將非特殊角轉化為特殊角第6題解困

???NQAB=75°>45：

二點Q只能在y軸負半軸.

???zQAB=75°,

.-.zQAO=zQAB-zOAB=30°,

OQ=0A-tan/QA。=乎，

..點Q的坐標為(0一誓)

二階設問進階練

例解：Q)；拋物線與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,

令x=0,得y=3,令y=0,解得:石=-l,x2=3,

.-.A(-1,O),B(3,O),C(O,3),

:y-—x2+2x+3=—(x—1)2+4,

,拋物線的對稱軸為直線x=l,

設點F的坐標為

222222

則CF=1+(f-3Y,AF=2+f,AC=12+32=10)

?.zAFC=90°,

AF2+CF2=AC2^22+/2+l2+(/-3)2=10,解得f=l或f=2,

??.當NAFC=90°時，點F的坐標為(LD或(L2)；

(2)①當點N在x軸上方時，如解圖①，設BN與y軸交于點K,

?.?B(3,0),.-.OB=3；.-zNBA=30°,

OK=~OB=V3,.-.K(0,V3),

，直線BN的解析式為y=-裂+但聯立直線BN和拋物線的解析式得^%+V3=-x2+2x+3,解得x=

3(舍去)或X=-1+

二點N的橫坐標為一1+*y

②當點N在x軸下方時，?

同理可得，點N的橫坐標為-1-當A0三

綜上所述，點N的橫坐標為噂；'I'

例題解圖①

⑶如解圖②，連接AC,取AC的中點S,過點S作SE±AC交拋物線對稱軸于點E,連接AE,CE,

?.A(-l,0),C(0,3),

，直線AC的解析式為y=3x+3.

???S為AC的中點SE^AC,

.■.s(-||,),CE=AE.

設直線SE的解析式為y=-|%+d,

將點S的坐標代入，得一]x(-q+d=|,

解得d=,

，直線SE的解析式為y=-|%+|,

二點E的坐標為(1,1).

由⑴可知/AEC=90。,

1

?，4PC=jEC=45。，

.?以點E為圓心,AE長為半徑作。E,OE與拋物線對稱軸的交點即為點P,連接AP,CP,AP',CP',

.?.AE=EP.

???AC2=io,TIC=VTo,

???AE=—AC=V5,

2

.,點P的坐標為(01+向或(1-1-V5);

⑷如解圖③，過點B作BH±AC于點H,

例題解圖②

則NBHD=90°,

3V10

?，-A(-l,0),B(3,0),C(0,3),--AB=4,AC=VTovsinzBAH=sinzBAC=—

101

nrrAn-ATT340.640

BH=AB?sm^BAH=-----x4=------,

105

DH

??,tanZBDC—3,???一二3,

DH

2r116^/10

DH=一BH=一x-----=

335

在RbBDH中,BD=>JBH2+DH2=4,

由⑶可知直線AC的解析式為y=3x+3,

設D(t,3t+3),

(3—t)2+(3t+3)2=16,

解得h=_g,tz=-1(舍去)，

當t=V時，"/'￡)，

.??點D的坐標為(-超)；

⑸存在.

取線段BQ的中點G,再將QG繞點Q旋轉90。得到QG',則tan/GBQ=*直線BG'與拋物線的交點即為點

M.

①如解圖④，將QG繞點Q順時針旋轉90。,過點Q作NZIIx軸，過點G1,B分別作G'N±NZ于點N,BZ±NZ

于點乙易得WQG5ZBQ,且相似比為I，

由題意得BZ=OQ=1,QZ=OB=3,/.NG'=|Qz=|,QN=|BZ=.點G1的坐標為(一1嚀)，又：B(3,0),/.直

線BG的解析式為y=、-|,聯立丫=丁一弓，解得比一二「憑二舍去),一為；

77ly=-/+2x+3y=-(2'7497

②如解圖⑤，將線段QG繞點Q逆時針旋轉90。得至I」QG",過點G"作G"L，CQ于點L,

同理，可得點G''G，|),

，直線BG"的解析式為y=-x+3.

聯立［y=：二；；+3,解得［；：＞｛；：；(舍去)，??點乂。3).

綜上所述，點M的坐標為(-號-高或(0,3);

(6)如解圖⑥，將AOCE繞點。順時針旋轉90。得到AOBS,連接RS,

■-0B=0C=3,

.?.zOCB=zOBC=45°,

?.zEOR=45°,

.?.zEOC+zROB=zSOB+zROB=45°,

.-.zEOR=zSOR=45°,

■.OR=OR,OE=OS,

.“EOR學SOR(SAS),

，ER=RS,

由旋轉性質得,zSBO=NOCB=45。，

?.zRBS=zRBO+zSBO=45°+45°=90：

RS2=BR2+BS2,WER2=BR2+CE2,

設E(x1,y1),R(x2,y2),

2

則=[V2(x-Xl)]=2[(%!+4%1%],

ER22x2y-2

設平移后的拋物線的解析式為y=-久2+2%+3-m,

72

聯立[2,7IB得x-3%+m=0,

%i+%2=3

=m

+yi=3

{%2+為=3

???yi=x2fy2=xlf

，E,R關于直線y=x對稱，

「.CE二BR,設CE=BR=a，貝!JER=3V2—2a,

???(3V2—2a)2=2a2,

a=3V2-3nga=3V2+3(舍去)，

???ER=6—3Vx

2

(6-3V2)=2(32—4m),

解得m=|(V2-1).

三階綜合強化練

1.⑴證明:設點D(-m,0),由題意可知A,B兩點關于y軸對稱，

A1),B(mfm2—1),P(0,—1),

???PB2=m2+m4,PD2=m2-}-1,BD2=4m2+(m2—1)2,

???BD2=4m2+(m2-1)2=m4+2m2+1=PB2+PD2,

??.△BPD是直角三角形,??.NBPD=90。；

(2)解:ac=-l;

理由:「y=ax2+c,.,》((),c),

2

設點D(-nf0),/.B(n/an+c),

PB2=n2+a^^PD2=n2+c2,BD2=4n2+^an2+c)2,

222

???NBPD=90：??.BD=PB+PDf

4n2+[an2-\-c)2=n2+a4i4+n2+c2,

：.2c=-2,

/.ac=-l;

(3)解:4ac—b2=—4.

【解法提示】設y=a-N)2+/c；.P(h,k),設D(h-p,O),則Z(/-p>ap2+(/+p>ap2+憶)…PB2=

+a2p4,PD2=p2+k2,BD2=4p2+^ap2+k)號???NBPD=90:BD2=PB2+PD2,/.4p2+^ap2+k)2=p2+

。多4+/+k2,ak+1=0,k=一二：：k=4ac~b4"-"=：.4ac—b2=—4.

a4af4aa

2.解:(1)?.拋物線y=ax2-3x+c(a豐0)與x軸交于A(4,0),C兩點與y軸交于點B(0,-4),

??將點A(4,0),B(0,-4)代入拋物線解析式，

得｛16a。解得｛：二」4，

，拋物線的解析式為y=久2一3久一4;

(2)【思路點撥】點P為拋物線上的點，可以設出點P的坐標，由所給的BP與PD的關系,分點P在點D

上方和下方兩種情況討論，從而得到點P的坐標.設點P3m-4)O〉0),

-.B(0,-4),.-.D(m,-4),

???BP=遍PD,BD=2PD,

2

①當點P在點D上方時，即yp>yDfm-3m-4>-4且m>0,解得m>3,

PD=m2—3m—4—(—4)=m2—3m,

A|m=m2—3zn,解得m=0(舍去)或m=|,

..點P的坐標為@—

②當點P在點D下方，即0<m<3時,PD=(-4)-(m2—3m-4)=-m2+3m,

jm=~m2+3m,解得m=0(舍去)或m=|,

.?點P的坐標為(I，—3)，

綜上所述，點P的坐標為3或尊-3)；

(3)【思路點撥】由中點坐標公式得到點F的坐標，作CF的垂線FM，構造直角三角形，通過等量代換得到角

相等，利用三角形相似和相似比可得到點M的坐標，從而得到MC的解析式，與拋物線解析式聯立求解即可.

?.A(4,0),B(0,-4)〃?.點F的坐標為(2,-2),

1

???tan/FCP.,

，分兩種情況討論：

①若點P在直線CF上方，如解圖①，過點F作CF的垂線FM1，且使得FM】=犯產,連接CM】并延長，交拋物

線于點Pi，則點Pi即為所求.過點F作x軸的平行線RS,分別過點C,Mi作RS的垂線交RS于點S,R,

?.zCFM1=90°,.-.zCFS+zM1FR=90°,

.?NCFS+NFCS=90O/.NMIFR=NFCS,

."FRMLMSF,且相似比為,

拋物線y=*2一3x-4與x軸交于A,C兩點，

.-.C(-l,0).

113

FS=3,CS=2,：.FR=jCS=1,RM1=jFS=j,

直線MiC的解析式為y=-^x-［，令x2-3x-4--^x-/解得x=-l(舍去)或x=手,?點

Pi的橫坐標為取

O

②若點P在直線CF下方，如解圖②，過點F作CF的垂線FM2,且使得FM2=連接CM?并延長，交拋物

線于點P2,則點P?即為所求，過點F作y軸的平行線交x軸于點N,過點Mz作NF的垂線與NF的延長線交于

點Q,

同理可得，FQ=1C/V=l，QM2=/N=1,

2

M2(1，-“直線M2C的解析式為y=一斤-;令X-3x-4=X解得x=-l(舍去)或x=，二點P2

的橫坐標為J

綜上所述，點P的橫坐標為號或

3.解:⑴將C(0,3)代入拋物線解析式y=a(x+l)(x-3),解得a=-l,

拋物線的解析式為y=-x2+2x+3,

y=—x2+2x+3=—(%—1)2+4,

.?點D的坐標為Q,4);

(2)【思路點撥】此題求最小值，通過觀察可知為"胡不歸"

如解圖①，連接CD,過點P作PH^CD,交DC的延長線于點

由⑴得,C(0,3),D(l,4),

..易得NCDP=45°,

V2-pD

APH=2