幾何-曲線型幾何-扇形-4星題

課程目標(biāo)

知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率

扇形B1.了解扇形的特征和有關(guān)概念少考

2.能夠通過(guò)圓的面積和周長(zhǎng)公式推

導(dǎo)出扇形的面積和弧長(zhǎng)公式

3.能夠運(yùn)用公式計(jì)算扇形的弧長(zhǎng)、

面積和周長(zhǎng)

知識(shí)提要

扇形

?概念

圓上兩點(diǎn)之間的部分叫做弧。

扇形是指一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。

其中，圓的半徑也稱為扇形的半徑，而兩條半徑所形成的夾角稱為扇形的圓心角。

?公式

扇形的弧長(zhǎng)=《；x2nr

360

扇形的面積=公冗/

360

其中，n表示圓心角的度數(shù)

注意：扇形的弧長(zhǎng)不是周長(zhǎng)，扇形的周長(zhǎng)還需要加上兩條半徑。

精選例題

扇形

1.如圖，分別以B,C為圓心的兩個(gè)半圓的半徑都是1厘米，則陰影部分的周長(zhǎng)是_______厘

米.（7T取3）

【答案】3

【分析】BE,BC,CE均為圓的半徑，所以等邊三角形，每個(gè)角均為60度，所以

陰影部分的兩段圓弧均為60度的扇形所對(duì)應(yīng)的圓弧，所以周長(zhǎng)為

601LW

X7rxdx2+l=：x3x2x2+l=3（厘米）.

3606

2.如圖，分別以長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)邊的兩個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)方形的寬為半徑作例若圖中

的兩個(gè)陰影部分的面積相等，則此長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比值是.

【答案】兀：2

【分析】因?yàn)镾2=S'兩個(gè)［圓的面積

Si+S2+S2+S3=Si+S2+S3+5*4

與長(zhǎng)方形面積相等.

所以設(shè)長(zhǎng)為a,寬為b,

1,

—7ibzx2=ab,

4

Tib=2a,

a:b=Ti'.2.

3.如下圖所示，平行四邊形的長(zhǎng)邊是6,短邊是3,高為2.6,則陰影部分的面積

為.(TT取3.14)

【答案】15.9

【分析】根據(jù)容斥的思想，

陰影的一半=大扇形+小扇形-平行四邊形,

所以陰影面積為：

片x3.14x(62+32)-6x26]x2=15.9.

4.6個(gè)半徑相同的小圓和1個(gè)大圓如圖擺放.大圓的面積是120,那么，陰影部分面積

是________

【答案】40

【分析】設(shè)大圓半徑和小圓半徑分別為R和r,畫出大小圓半徑會(huì)發(fā)現(xiàn)它們同處一個(gè)正三角

形，如下圖，兩條粗線分別為大圓直徑和小圓直徑，由正三角形性質(zhì)和勾股定理，有

R2+「2=（2r）2=R2=3r2,

這說(shuō)明大圓面積和小圓面積是3倍關(guān)系，即小面面積為40；

由于三個(gè)小圓面積等于大圓面積，所以下圖中紅色部分面積等于灰色部分;

如下圖，可以看出，上圖中的兩種陰影部分拼在一起可以形成扇形，一共可以形成6個(gè)120

度扇形，總和為2個(gè)小圓，又因?yàn)閮煞N陰影部分面積相等，所以所求面積為一個(gè)小圓面積40.

5.如圖，直角三角形4BC中，為直角，且BC=2厘米，AC=4厘米，則在將△4BC繞

C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。的過(guò)程中，邊掃過(guò)圖形的面積為.(n=3.14)

【答案】12.56平方厘米.

【分析】如下圖所示，假設(shè)△ABC旋轉(zhuǎn)120。到達(dá)△ABC的位置.陰影部分為4B邊掃過(guò)

的圖形.

B'

從圖中可以看出，陰影部分面積等于整個(gè)圖形的總面積減去空白部分面積，而整個(gè)圖形總面積

等于扇形ACA，的面積與△ABC的面積之和，空白部分面積等于扇形BC夕的面積與ZARC

的面積，由于△ABC的面積與448C的面積相等，所以陰影部分的面積等于扇形4CA，與扇

形BCB，的面積之差，為

120,1209十

—XTTX42--XTTX22=4TT=12.56（平方厘米）.

36U36U

6.如下圖所示，4B是半圓的直徑，。是圓心，AC=CD=DB,M是CO的中點(diǎn)，H是弦CD

的中點(diǎn).若N是0B上一點(diǎn)，半圓的面積等于12平方厘米，則圖中陰影部分的面積

【答案】2

【分析】連接。C、OD、0H,由于C、。是半圓的兩個(gè)三等分點(diǎn)”是CO的中點(diǎn)，H是弦

CD的中點(diǎn)，可見這個(gè)圖形是對(duì)稱的.由對(duì)稱性可知CD與AB平行，由此可得：△CHN的面

積與△CHO的面積相等，所以，陰影部分面積等于扇形COD面積的一半，而扇形C。。的面

積又等于半圓面積的3所以，陰影部分面積等于半圓面積的；，為12x；=2（平方厘米）.

7.如圖，△ABC是一個(gè)等腰直角三角形，直角邊的長(zhǎng)度是1米.現(xiàn)在以C點(diǎn)為圓心，把三角

形4BC順時(shí)針轉(zhuǎn)90度，那么，48邊在旋轉(zhuǎn)時(shí)所掃過(guò)的面積是平方米.（n=3.14）

BC

【答案】0.6775

【分析】如圖，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，A點(diǎn)沿弧4A'轉(zhuǎn)到4'點(diǎn)，B點(diǎn)沿弧B夕轉(zhuǎn)到B，點(diǎn)，。點(diǎn)沿

弧。ZT轉(zhuǎn)到ZT點(diǎn).因?yàn)镃D是C點(diǎn)到48的最短線段，所以48掃過(guò)的面積就是圖中的弧

4ZB與BDD'A'之間的陰影圖形.

S陰影=S半圓一S空白，

11

^AABC=S&BDC+^AADC=2X1X1=］（平方米），

。1

S^ABC=S正方形4DCZV=CD?=公平方米），

所以，

IT?TC1TC、、“

S扇形DCD，=IXco=1*2=W（平萬(wàn)米），

我們推知

n2

S陰影=5X80—S扇形DCD，-MbDC+SAACDf）

TTTI1

=2-8-2

_3K1

=~8~2

=0.6775（平方米）.

,4(3)

8.如圖，邊長(zhǎng)為12米的正方形池塘的周圍是草地，池塘邊4B,C,。處各有一根木樁，且

4B=BC=CO=3米.現(xiàn)用長(zhǎng)4米的繩子將一頭羊拴在其中的某根木樁上（不計(jì)打結(jié)

處）.為使羊在草地上活動(dòng)區(qū)域的面積最大，應(yīng)將繩子拴在_______處的木樁上.

【答案】C

【分析】在a點(diǎn)時(shí)活動(dòng)區(qū)域的面積是一個(gè)半徑為4米的半圓，即

1_

—X42X7T=8Tt（平方米）.

在B、D點(diǎn)時(shí)活動(dòng)區(qū)域的面積都是一個(gè)半徑為4米的半圓加一個(gè):半徑為1米的

4

圓.即

111

—X42XTI+—xl2xii=8.M平方米）?

在C點(diǎn)時(shí)活動(dòng)區(qū)域的面積是:個(gè)半徑為4米的圓，即

4

3

—x42xK=12冗（平方米）.

綜上所述，拴在C處的木樁上時(shí)活動(dòng)范圍最大.

9.如右圖，正方形的邊長(zhǎng)為5厘米，則圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（兀=3.14）

【答案】7.125

【分析】觀察可知陰影部分是被以4。為半徑的扇形、以4B為直徑的半圓形和對(duì)角線BD

分割出來(lái)的，分頭求各小塊陰影部分面積明顯不是很方便，如果能求出左下邊空白部分的面積,

就很容易求出陰影部分的面積了，再觀察可以發(fā)現(xiàn)左下邊空白部分的面積就等于三角形4BD

的面積減去扇形4DE的面積，那么思路就很清楚了.

因?yàn)閆.ADB=45°,

所以扇形ADE的面積為：Sx兀x4￡>2=會(huì)x3.14x52=9.8125（平方厘米），

那么左下邊空白的面積為：5x5-9.8125=2.6875（平方厘米），

又因?yàn)榘雸A面積為：（I）?=9.8125（平方厘米），

所以陰影部分面積為：9.8125-2.6875=7.125（平方厘米）.

10.如圖，C、。是以為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，。是圓心，且半徑為6.求圖中陰影部分

的面積.

【答案】6n

如圖，連接。c、OD、CD.由于C、O是半圓的三等分點(diǎn)，所以△AOC和△C。。都是正三角

形，那么CO與4。是平行的.所以△ACO的面積與△OCD的面積相等，那么陰影部分的面

積等于扇形。CD的面積，為TTX62X2=6TT.

6

11.（1）如圖（1）,一只小狗被拴在一個(gè)邊長(zhǎng)為4米的正方形的建筑物的頂點(diǎn)A處，四周都

是空地，繩長(zhǎng)8米，小狗的活動(dòng)范圍是多少平方米？

（2）如圖（2）小狗不是被拴在4處，而是在一邊的中點(diǎn)B處，那么小狗的活動(dòng)范圍是多少

平方米？（建筑外墻不可逾越，小狗身長(zhǎng)忽略不計(jì)，兀取3.14）

(2)

【答案】（1）175.84；（2）163.28

【分析】（1）如下左圖，小狗的活動(dòng)范圍為圓心角為270。、半徑為8米的扇形，和兩個(gè)圓

心角為90。、半徑為4米的扇形，總大小為

31

-7Tx82+-x7Tx42x2=567T=175.84（平方米）.

（2）如下右圖，小狗的活動(dòng)范圍為半徑是8米的半圓，和兩個(gè)圓心角為90。、半徑為6米的

扇形，以及兩個(gè)圓心角為90。、半徑為2米的扇形.總大小為

111

-X7rx82+-X7TX62X2+-X7rx22x2=527r=163.28（平方米）.

12.如圖，邊長(zhǎng)為3的兩個(gè)正方形BDKE、正方形OCFK并排放置，以BC為邊向內(nèi)側(cè)作等邊

三角形，分別以8、。為圓心，BK、CK為半徑畫弧.求陰影部分面積.（n=3.14）

【答案】8.58

【分析】根據(jù)題意可知扇形的半徑r恰是正方形的對(duì)角線，所以

r2=32x2=18,

如上圖將左邊的陰影翻轉(zhuǎn)右邊陰影下部，

S陰影=S扇形一S柳葉

60x2/I

=--X181T—2（x18IT—3x3

360\4

=18-3K

=8.58.

13.先做一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的等邊三角形，再以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，2czn為半徑作弧，形成曲邊三

角形（如下圖）.再準(zhǔn)備兩個(gè)這樣的圖形，把一個(gè)固定住（下圖中的陰影），另一個(gè)圍繞著它

滾動(dòng)，如下圖那樣，從頂點(diǎn)相接的狀態(tài)下開始滾動(dòng).請(qǐng)問(wèn)此圖形滾動(dòng)時(shí)經(jīng)過(guò)的面積是多少平方

厘米？（TTas3.14）

2

3

【答案】25.12cm2

【分析】在處理圖形的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，描繪出物體的運(yùn)動(dòng)軌跡是解決問(wèn)題的第一步，只有大的

方向確定了，才能實(shí)施具體的計(jì)算.

Er、

在數(shù)學(xué)中，本題所作出的這個(gè)曲邊三角形叫“萊洛三角形”，“萊洛三角形”有一個(gè)重要的性質(zhì)就

是它在所有方向上的寬度都相同.

為了求出“萊洛三角形”滾動(dòng)時(shí)經(jīng)過(guò)的面積，可以分2步來(lái)思考：

第1步：如圖⑵所示，當(dāng)“萊洛三角形”從頂點(diǎn)4的上方滾動(dòng)到頂點(diǎn)4的左邊時(shí)，這時(shí)陰影“萊

洛三角形”滾動(dòng)的這部分面積是以力為圓心、2cm為半徑、圓心角為60。的扇形.在頂點(diǎn)A、B、

C處各有這樣的一個(gè)扇形；

第2步：如圖⑶所示，當(dāng)“萊洛三角形”在邊48上滾動(dòng)時(shí)，這時(shí)可以把陰影“萊洛三角形”看作

是以圖⑶中。點(diǎn)為圓心的圓的一部分，這個(gè)圓在以C點(diǎn)為圓心的弧AB上滾動(dòng)，可知此時(shí)圓心

。運(yùn)動(dòng)的軌跡是圖⑶中的弧0。'，所以此時(shí)陰影“萊洛三角形”滾動(dòng)的這部分面積是以C為圓心、

4cm為半徑、圓心角為60°的扇形減去半徑為2cm的60°的扇形；

綜上所述，去掉圖⑷中陰影“萊洛三角形”后所形成的組合圖形就是要求的面積.

滾動(dòng)時(shí)經(jīng)過(guò)的面積是：

60\，76060\

3x71X22X+3xTCX4/X-----HX2」9X

360/360360/

=871

=25.12(cm2).

14.正三角形ABC的邊長(zhǎng)是6厘米，在一條直線上將它翻滾幾次，使A點(diǎn)再次落在這條直線上,

那么A點(diǎn)在翻滾過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路線總長(zhǎng)度是多少厘米？如果三角形面積是15平方厘米，那么

三角形在滾動(dòng)過(guò)程中掃過(guò)的面積是多少平方厘米？（結(jié)果保留7T）

【答案】24TT+15

【分析】如下圖所示，A點(diǎn)在翻滾過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路線為兩段120。的圓弧，所以路線的總長(zhǎng)

度為：

120「，，

2TTx6x——x2=（厘米）；

ACBA

三角形在滾動(dòng)過(guò)程中掃過(guò)的圖形的為兩個(gè)120。的扇形加上一個(gè)與其相等的正三角形，面積為:

TTX62X—x2+15=24TT+15（平方厘米）.

360

15.如圖，一只狗被栓在底座為邊長(zhǎng)3米的等邊三角形建筑物的墻角上，繩長(zhǎng)是4米，求狗所

能到的地方的總面積？

3

【答案】43.96平方米.

【分析】如下圖，狗被栓在底座為邊長(zhǎng)3米的等邊三角形建筑物的墻角上，繩長(zhǎng)是4米，狗

的活動(dòng)區(qū)域可以分割成三個(gè)部分：

藍(lán)色部分是一個(gè)半徑為4米、圓心角為300度的扇形：

360-60=300（度）

紅色部分是兩個(gè)同樣的邊長(zhǎng)為1米、圓心角為120度的扇形：

4-3=1（米）,180-60=120（度）

所以狗能到的地方的總面積為：

300120丁,?

3.14x4x4x--+2x3.14x1x1x--=43.96（平萬(wàn)米）

360360

16.一條直線上放著一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為4厘米和3厘米的長(zhǎng)方形I（如下圖）.讓這個(gè)長(zhǎng)方形繞

頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后到達(dá)長(zhǎng)方形n的位置，這樣連續(xù)做三次，4點(diǎn)到達(dá)E點(diǎn)的位置.求4

點(diǎn)經(jīng)過(guò)的總路程的長(zhǎng)度.（圓周率按3計(jì)算）

【答案】5

【分析】如下圖，4點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過(guò)的為三段四分之一圓的弧長(zhǎng)，其中人=4,小=3.

由勾股定理知:

22222

r2=ri+r3=4+3=25,

則

r2=5.

17.如圖所示，求陰影面積，圖中是一個(gè)正六邊形，面積為1040平方厘米，空白部分是6個(gè)

半徑為10厘米的小扇形.（圓周率取3.14）

【答案】412平方厘米

【分析】所要求的陰影面積是用正六邊形的面積減去六個(gè)小扇形面積、正六邊形的面積已知,

現(xiàn)在關(guān)鍵是小扇形面積如何求，有扇形面積公式5扇=寥.

可求得，需要知道半徑和扇形弧的度數(shù)，由已知正六邊形每邊所對(duì)圓心角為60。，那么

^AOC=120°,又知四邊形ABC。是平行四邊形，所以乙4BC=120。，這樣就可求出扇形的面

積和為6x券x兀x1。2=628（平方厘米），陰影部分的面積=1040-628=412（平方厘米）.

18.如圖，在3x3方格表中，分別以4E、尸為圓心，半徑為3、2、1,圓心角都是90。的

三段圓弧與正方形4BCD的邊界圍成了兩個(gè)帶形，那么這兩個(gè)帶形的面積之比Si：S2=?

【答案】5:3

【分析】如下圖,

仔細(xì)觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)帶形S1的面積等于曲邊三角形BCD的面積減去曲邊三角形B1CD1的

面積，而這兩個(gè)曲邊三角形的面積都可以在各自所在的正方形內(nèi)求出.

所以，

2222

Si的面積=f3-7ix3x^-(2-Trx2x1)

=5x(1-》

同理可求得帶形S2的面積：帶形$2的面積=曲邊三角形BRDI的面積-曲邊三角形B2CD2

的面積=3x(1—所以，SI：52=5：3.

19.已知三角形是直角三角形，AC=4cm,BC=2cm,求陰影部分的面積.

【答案】3.85cm2

【分析】從圖中可以看出，陰影部分的面積等于兩個(gè)半圓的面積和與直角三角形4BC的面

積之差，所以陰影部分的面積為：xgy+|TTx(|)2-1x4x2=2.5TT-4=3.85(

cm2).

20.如圖，4BCD是平行四邊形，AD=8cm,AB=10cm,Z.DAB=30",高CH=4cm,弧

BE、OF分別以4B、CO為半徑，弧DM、BN分別以40、CB為半徑，則陰影部分的面積為

多少？（精確到0.01）

【答案】5.83cm2

【分析】因?yàn)樗倪呅?BCD是平行四邊形，AD=8cm,AB=10cm,^DAB=30",所以

S扇形E4B=S扇形FCD=10"X券=g兀（cm2）,

S扇形D4M=S扇形BCN=82兀x熬=學(xué)兀（cm2）.

2

因?yàn)槠叫兴倪呅?BCD的高CH=4cm,所以SaABCD=10x4=40（cm）.

由圖中可看出，扇形瓦4B與FCD的面積之和，減去平行四邊形4BCD的面積，等于

曲邊四邊形OFBE的面積；平行四邊形4BCD的面積減去扇形ZMM與扇形BCN的面積，等

于曲邊四邊形DMBN的面積.則

S陰影=$曲邊四邊形川咕￡一,曲邊四邊形DMBN

=（2S扇形E4B—SCJABCD）一（S口4BCD—2s扇形口出）

=2X（S扇形E4B+S扇形D4M—S口ABCD）

=2X管兀+芋兀-40）=2X售x3.14-40）?5.83（cm2）.

21.如圖中三個(gè)圓的半徑都是5c772,三個(gè)圓兩兩相交于圓心.求陰影部分的面積和.（71取

3.14)

【答案】39.25(czn2)

【分析】

將原圖割補(bǔ)成如圖，陰影部分正好是一個(gè)半圓，面積為

5x5X3.14+2=39.25(cm2).

22.已知圖中正方形的邊長(zhǎng)是2,分別以其四個(gè)頂點(diǎn)為圓心的直角扇形恰好交于正方形的中心,

求圖中陰影部分的面積.

【答案】2n—4

【分析】r2=2,S陰影=TTM-2?=2TT—4.

23.如圖，等腰直角三角形4BC的腰為10；以4為圓心，EF為圓弧，組成扇形4EF；兩個(gè)陰

影部分的面積相等.求扇形所在的圓面積.

【答案】400

【分析】題目已經(jīng)明確告訴我們4BC是等腰直角三角形，4EF是扇形，所以看似沒(méi)有關(guān)系

的兩個(gè)陰影部分通過(guò)空白部分聯(lián)系起來(lái).等腰直角三角形的角4為45度，則扇形所在圓的面

積為扇形面積的8倍.而扇形面積與等腰直角三角形面積相等，即

1.、,一

S扇形=5x1°x1°=50

則圓的面積為

50x8=400

24.直角三角形ABC放在一條直線上，斜邊4C長(zhǎng)20厘米，直角邊BC長(zhǎng)10厘米.如下圖所

示，三角形由位置I繞4點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，到達(dá)位置II,此時(shí)B,C點(diǎn)分別到達(dá)4,Q點(diǎn)；再繞4點(diǎn)轉(zhuǎn)

動(dòng)，到達(dá)位置III,此時(shí)4,七點(diǎn)分別到達(dá)人2，。2點(diǎn).求。點(diǎn)經(jīng)Ci到。2走過(guò)的路徑的長(zhǎng).

【答案】厘米.

【分析】由于BC為4C的一半，所以ZCAB=30。，則弧CCi為大圓周長(zhǎng)的嗤

JoU1Z

弧GC2為小圓周長(zhǎng)的i,而CC1+的。2即為C點(diǎn)經(jīng)C1到C2的路徑，所以C點(diǎn)經(jīng)C1到c2走

過(guò)的路徑的長(zhǎng)為

515065「，，

2nx20x---1-2nx10x—=—n+5n=—（厘米）.

12433TiI'

25.如圖，一頭山羊被拴在一個(gè)邊長(zhǎng)為4米的等邊三角形的建筑物的一個(gè)頂點(diǎn)處，四周都是空

曠，繩長(zhǎng)剛好夠山羊走到三角形建筑物外的任一位置，請(qǐng)問(wèn)：山羊的活動(dòng)范圍有多少平方米？

（建筑外墻不可逾越，山羊身長(zhǎng)忽略不計(jì)，兀取3）

【答案】98

【分析】山羊的活動(dòng)范圍如圖所示，繩長(zhǎng)為6米，面積為

300,12098?r十、?

心*兀*62+2義不、兀'292=『=98（平方米）.

3603603

26.△ABC為等腰直角三角形，。為半圓中點(diǎn)，為半圓直徑.已知4B=BC=10,那么陰

影部分面積為多少？（圓周率取3.14）

【答案】32.125

【分析】設(shè)BC中點(diǎn)為0,連接。。，則0D=5,0B=5,BP:P0=AB-.0D=10:5=2:1,

211?1112

BP=5x-=3-,PO=OB-BP=S-3-=S=-xABxBP=-x10x3-=16-,

33332AARP233

c1r42.1

SAopD=-x5xl-=4-f

陰影部分的面積為16i|+：xnx52-4：=12+,Y-ii=32.125.

34624

27.如圖，已知扇形B4C的面積是半圓面積的q倍，則角C4B的度數(shù)是多少？

【答案】60度

【分析】設(shè)半圓4DB的半徑為1,則半圓面積為）x12=5扇形B4C的面積為］義；

V.因?yàn)樯刃蜝4C的面積為TTNX蕓，所以，7TX22X-^=^,得到n=60,即角C4B的度

3SoU36U3

數(shù)是60度.

28.如圖所示，一個(gè)半徑為1的圓繞著邊長(zhǎng)為4的等邊三角形滾動(dòng)一周又回到原來(lái)的位置時(shí),

掃過(guò)的面積是多少？（兀取3.14）

【答案】36.56

【分析】掃過(guò)的面積為三個(gè)相同的長(zhǎng)方形，加三個(gè)相同的圓心角為120度的扇形，長(zhǎng)方形

總面積2X4X3=24,扇形總面積為12.56,所以，掃過(guò)的整個(gè)面積是36.56.

29.一只狗被拴在底座為邊長(zhǎng)3m的等邊三角形建筑物的墻角上（如圖），繩長(zhǎng)是4m,求狗所

能到的地方的總面積.（圓周率按3.14計(jì)算）

3

【答案】43.96m2

【分析】如圖所示，狗活動(dòng)的范圍是一個(gè)半徑4m,圓心角300。的扇形與兩個(gè)半徑1m,圓

心角120。的扇形之和.所以答案是43.96m2.

30.面上有7個(gè)大小相同的圓，位置如圖所示.如果每個(gè)圓的面積都是10,那么陰影部分的面

積是多少？（7T取3.14）

【答案】20

【分析】陰影包括中間的一個(gè)圓和周圍六個(gè)花瓣?duì)畹男⌒D形.這個(gè)圖形可以割補(bǔ)成一個(gè)頂

角為60。的扇形，如下圖所示，因此六個(gè)這樣的圖形面積和正好是一個(gè)圓：陰影部分的面積等

于兩個(gè)圓的面積，為20.

31.如下圖，以04為斜邊的直角三角形的面積是24平方厘米，斜邊長(zhǎng)10厘米，將它以。點(diǎn)

為中心旋轉(zhuǎn)90。，問(wèn)：三角形掃過(guò)的面積是多少？（IT取3）

o

【答案】99平方厘米.

【分析】從圖中可以看出，直角三角形掃過(guò)的面積就是圖中圖形的總面積，等于一個(gè)三角形

的面積與四分之一圓的面積之和.圓的半徑就是直角三角形的斜邊。4

因此可以求得，三角形掃過(guò)的面積為：

1

24+-XTTX10X10=24+25TT=99（平方厘米）.

32.圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（兀取3.14）

【答案】12.765

【分析】如下圖，為了方便說(shuō)明標(biāo)上字母，并稱曲線四邊形BCFE的面積為“①”.

將扇形ABC的面積稱為“大扇形”，扇形CDF的面積稱為“小扇形”，長(zhǎng)方形BCDE的面積稱為

“長(zhǎng)方形”.

陰影部分面積=大扇形-①，①=長(zhǎng)方形-小扇形.

所以有

陰影部分面積=大扇形-（長(zhǎng)方形-小扇形）=大扇形+小扇形-長(zhǎng)方形.

11

-X52X7T+-X22XTT-2X5?29X3.14+4—10=12.765（平方厘米）.

33.如圖，ABCD是一個(gè)長(zhǎng)為4,寬為3,對(duì)角線長(zhǎng)為5的正方形，它繞C點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

90。，分別求出四邊掃過(guò)圖形的面積.

【答案】

DC:4n

AB:4n

AD\——

4

【分析】容易發(fā)現(xiàn)，DC邊和BC邊旋轉(zhuǎn)后掃過(guò)的圖形都是以線段長(zhǎng)度為半徑的圓呢，如圖:

DCB,

因此DC邊掃過(guò)圖形的面積為4n,BC邊掃過(guò)圖形的面積為爭(zhēng).

研究邊的情況.

在整個(gè)邊上，距離C點(diǎn)最近的點(diǎn)是B點(diǎn)，最遠(yuǎn)的點(diǎn)是4點(diǎn)，因此整條線段所掃過(guò)部分應(yīng)

該介于這兩個(gè)點(diǎn)所掃過(guò)弧線之間，見如圖中陰影部分：

DCB,

下面來(lái)求這部分的面積.

觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，所求陰影部分的面積實(shí)際上是：

扇形ACA，面積+三角形A'B'C面積一三角形ABC面積一扇形BCB，面積=扇形ACA'面積一

扇形BC夕面積==--=4TT.

44

研究邊掃過(guò)的圖形.

由于在整條線段上距離C點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)是4最近的點(diǎn)是。，所以我們可以畫出4。邊掃過(guò)的圖

形，如圖陰影部分所示：

用與前面同樣的方法可以求出面積為：粵-W=旋轉(zhuǎn)圖形的關(guān)鍵，是先從整體把握一下”

變化過(guò)程”，即它是通過(guò)什么樣的基本圖形經(jīng)過(guò)怎樣的加減次序得到的.先不去考慮具體數(shù)據(jù)，

一定要把思路捋清楚.最后會(huì)發(fā)現(xiàn)，所有數(shù)據(jù)要么直接告訴你，要么就“藏“在那兒，一定會(huì)有.

34.如圖，直角△4BC的斜邊4B長(zhǎng)為10厘米，^ABC=60°.此時(shí)BC長(zhǎng)5厘米.以B為中

心，將△4BC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，點(diǎn)4C分別到達(dá)點(diǎn)E、。的位置.求4C掃過(guò)圖形的面

積.（1T取3）

【答案】75平方厘米.

【分析】

1

扇形的面積=-n(^B2-AC2)

1

=-TTX(100-25)

=75(平方厘米).

35.求下圖中陰影部分的面積.（IT取3）

【答案】100平方厘米

【分析】看到這道題，一下就會(huì)知道解決方法就是求出空白部分的面積，再通過(guò)作差來(lái)求出

陰影部分面積，因?yàn)殛幱安糠址浅２灰?guī)則，無(wú)法入手.這樣，平移和旋轉(zhuǎn)就成了我們首選的方

法.

（法1）我們只用將兩個(gè)半徑為10厘米的四分之一圓減去空白的①、②部分面積之和即可，

其中①、②面積相等.易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角邊4B的

長(zhǎng)度未知.單獨(dú)求①部分面積不易，于是我們將①、②部分平移至一起，如右上圖所示，則

①、②部分變?yōu)橐粋€(gè)以4c為直角邊的等腰直角三角形，而4C為四分之一圓的半徑，所以有

AC=10.兩個(gè)四分之一圓的面積和為150,而①、②部分的面積和為gx10x10=50,所

以陰影部分的面積為

150-50=100（平方厘米）.

（法2）欲求圖中陰影部分的面積，可將如上左半圖形繞B點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180。，使4與

C重合，從而構(gòu)成如右上圖的樣子，此時(shí)陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角

三角形的面積.所以陰影部分面積為

11

-xnx102--x10x10=100（平方厘米）.

36.如圖所示，一個(gè)半徑為1的圓繞著邊長(zhǎng)為4的正方形滾動(dòng)一周又回到原來(lái)的位置，掃過(guò)的

面積是多少？（7T取3.14）

【答案】44.56

【分析】?jī)蓚€(gè)半徑為2的直角扇形+四個(gè)相同的長(zhǎng)方形即為該圓掃過(guò)的面積，ix7TX22X

4

4+2x4x4=44.56.

37.如圖，與CO是兩條垂直的直徑，圓。的半徑為15,是以C為圓心，ZC為半徑的

圓弧.求陰影部分面積.

【答案】225平方厘米

【分析】陰影部分是個(gè)月牙形，不能直接通過(guò)面積公式求，那么我們可以把陰影部分看成半

圓加上三角形4BC再減去扇形ACB的結(jié)果.

半圓面積為|X7TX152,

三角形4BC面積為

1

-x(15+15)x15=152,

又因?yàn)槿切蚊娣e也等于jxAC2,

所以4c2=2x152,

那么扇形4CB的面積為

901

-----X7TxACZ9=-x7Tx2x1549

3604

陰影部分面積

S陰影=S半圓+s三角形一S扇形

11

=-X7TX152o+152o——X7Tx2x152

24

=225.

38.如圖所示，48CD是一邊長(zhǎng)為4cm的正方形，E是4D的中點(diǎn)，而尸是3c的中點(diǎn).以C

為圓心、半徑為4cm的四分之一圓的圓弧交EF于G,以尸為圓心、半徑為2cm的四分之一

圓的圓弧交EF于"點(diǎn)，若圖中Si和S2兩塊面積之差為nur-"cm?）（其中租、n為正整

數(shù)），請(qǐng)問(wèn)m+n之值為何？

BC

E

【答案】ii

【分析】(法1)SQFCDE=2x4=8cm2,S扇形此口=1x兀x4?=4兀(cm?),

S扇形BFH=[X兀x22=兀(cm2)，而

S1_￡=S扇形BCD_S扇形BFH_SCJFCDE=4兀一兀一8=3兀-8(cm2),

所以zn=3,n=8,m+n=3+8=ll.

(法2)如右上圖，S+Si=-S扇形3FH=2x4-2x2x7T+4=8—7r(cm2),

S+S2=SABCD一S扇形BCD=4x4—4x4X71+4=16—4兀(cm2),

所以，S]—512—(8—7T)—(16—4TT)=37r—8(cm2),故?n+?i=3+8=11.

39.已知半圓所在的圓的面積為62.8平方厘米，求陰影部分的面積.(TT=3.14)

【答案】5.7平方厘米

【分析】由于陰影部分是一個(gè)不規(guī)則圖形，所以要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形來(lái)計(jì)算.從圖中

可以看出，陰影部分的面積是一個(gè)45。的扇形與一個(gè)等腰直角三角形的面積差.

由于半圓的面積為62.8平方厘米，所以0即=62.8+3.14=20.

因此

S&AOB=04X02+2=0鄧+2=10（平方厘米）.

由于△A0B是等腰直角三角形，所以=20X2=40.

因此

$\begin{split}\text{扇形$ABC$的面積}&={\rm\pi}\times{ABA2}\times\dfrac{{45}}{{360}}

\\&={\rm\pi}\times40\times\dfrac{{45}}{{360}}\\&=15.7\text{（平方厘米）}.\end{split}$

所以，陰影部分的面積等于：15.7-10=5.7（平方厘米）.

40.在半徑為1的圓內(nèi)，畫13個(gè)點(diǎn)，其中任意3點(diǎn)不共線.請(qǐng)證明：一定存在3個(gè)點(diǎn)，以它

們?yōu)轫旤c(diǎn)的三角形面積小于g

【答案】略

【分析】證明：將半徑為1的圓八等分，分為六個(gè)扇形，每個(gè)扇形的面積是g根據(jù)抽屜原

理，至少有三個(gè)點(diǎn)在同一部分中，這三個(gè)點(diǎn)組成的三角形不會(huì)大于所在的扇形，即￡

O

41.如圖所示，陰影部分的面積為多少？（圓周率取3）

3

【答案】

16

【分析】圖中4B兩部分的面積分別等于右邊兩幅圖中的4、B的面積.

所以S4+SB~(1.5271—1.5x3)+4+(3^TT—3x3x2)+8=—H4+9+8=—.

'[、416

42.如圖中的三角形都是等腰直角三角形，求各圖中陰影部分的面積.(兀取3.14)

【答案】4;4.56;8

【分析】（1）割補(bǔ)法，將右邊的弓形補(bǔ)到左邊，兩塊陰影面積之和恰好為等腰直角三角形

面積的一'半.即4x4+2+2=4.

（2）割補(bǔ)法，如圖，將圖中的葉子形從中間分成面積相等的兩個(gè)小弓形，陰影部分可拼成一

個(gè)完整弓形，面積為工x4x4x3.14-；x4x4=4.56.

（3）割補(bǔ)法，正好贏第二問(wèn)的過(guò)程贏來(lái)，把兩個(gè)小弓形補(bǔ)到空白部分，陰影部分面積之

和正好是等腰直角三角形的面積，即4x4+2=8.

43.如圖，正方形4BCD的邊長(zhǎng)為4厘米，分別以8、。為圓心以4厘米為半徑在正方形內(nèi)畫

圓.求陰影部分面積.（兀取3）

【答案】8

【分析】由題可知，圖中陰影部分是兩個(gè)扇形重疊的部分，我們可以利用容斥原理從圖形整

體上考慮來(lái)求陰影部分面積；同樣，我們也可以通過(guò)作輔助線直接求陰影部分的面積.

解法一：把兩個(gè)扇形放在一起得到1個(gè)正方形的同時(shí)還重疊了一塊陰影部分.

則陰影部分的面積為=1.TT.42-4X4=8；

解法二：連接4C,我們發(fā)現(xiàn)陰影部分面積的一半就是扇形減去三角形的面積，

所以陰影部分面積=2x（i-7T-42-4x44-2）=8.

44.如圖，正方形邊長(zhǎng)為1,正方形的4個(gè)頂點(diǎn)和4條邊分別為4個(gè)圓的圓心和半徑，求陰影

部分面積.（TT取3.14）

【答案】7.14

【分析】把中間正方形里面的4個(gè)小陰影向外平移，得到如下圖所示的圖形，可見，陰影部

分的面積等于四個(gè)正方形面積與四個(gè)90。的扇形的面積之和，所以，

=4xS.+S圓

=4XI2+TTXI2

=44-n=7.14.

45.如圖，兩個(gè)正方形擺放在一起，其中大正方形邊長(zhǎng)為12,那么陰影部分面積是多少？（n

取3.14）

【答案】陰影部分面積為113.04.

【分析】方法一:：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a,則三角形4BF與梯形ABC。的面積均為

{CL4-12）xa+2.

陰影部分為：

大正方形+梯形-三角形ABF-右上角不規(guī)則部分

=大正方形-右上角不規(guī)則部分

*

=40-

因此陰影部分面積為：

3.14X12X12+4=113.04.

方法二：

連接AC、DF,設(shè)4尸與CD的交點(diǎn)為M,由于四邊形4CDF是梯形，根據(jù)梯形蝴蝶模型有

S&WM=S^cMF，所以

=

S陰R日影影=S廄由形鏘3.14X12X124-4=113.04.

46.圖是由一個(gè)圓與一個(gè)直角扇形重疊組成的，其中圓的直徑與扇形的半徑都是4,陰影部分

的面積是多少？（n取3.14）

4

【答案】4.56

【分析】如下圖所示，將下圖陰影部分對(duì)折，則有：陰影部分面積為:

11

—nx492——x4x4=47i—8=4.56.

42

47.如圖（1）是一個(gè)直徑是3厘米的半圓，是直徑.如圖（2）所示，讓人點(diǎn)不動(dòng)，把整

個(gè)半圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)60。，此時(shí)B點(diǎn)移動(dòng)到C點(diǎn).請(qǐng)問(wèn)：圖中陰影部分的面積是多少平方厘米?

(兀取3.14)

C

(6T

ABAB

(2)

【答案】4.71平方厘米

【分析】圖中陰影部分面積為整個(gè)圖形面積減去半圓的面積，而整個(gè)圖形面積為一個(gè)半圓面

積與一個(gè)圓心角為60。的扇形面積之和.因此陰影面積等于圓心角為60。的扇形面積，即;x

O

71X32=4.71.

48.如圖所示，一塊半徑為2厘米的圓板，從位置①起始，依次沿線段4B、BC、CO滾到位

置②.如果4B、BC、CD的長(zhǎng)都是20厘米，那么圓板經(jīng)過(guò)區(qū)域的面積是多少平方厘米？（兀

取3.14,答案保留兩位小數(shù).）

【答案】228.07

【分析】小圓滾動(dòng)時(shí)所經(jīng)過(guò)的區(qū)域如下圖所示.

半圓FEQ、半圓/KL的面積之和是4兀平方厘米；長(zhǎng)方形FGBQ、BHIP、的面積之和是

（18+16+14）X4=192（平方厘米）;

60°的扇形BGH的面積為

18TT

-X4o2X7T=—；

PIMNO部分的面積為（12+TT）平方厘米.

所以總面積為

87r23…，

4兀+192+可+12+兀=204+—7i?228.07（平萬(wàn)厘米）.

49.在圖中，兩個(gè)四分之一圓弧的半徑分別是2和4,求兩個(gè)陰影部分的面積差.（圓周率取

3.14）

【答案】1.42

【分析】看清楚陰影部分如何構(gòu)成則不難求解.左邊的陰影是大扇形減去小扇形，再扣除一

個(gè)長(zhǎng)方形中的不規(guī)則白色部分，而右邊的陰影是長(zhǎng)方形扣除這塊不規(guī)則白色部分，那么它們的

差應(yīng)為大扇形減去小扇形，再減去長(zhǎng)方形.則為：^X4x4-^x2x2-4x2=3x3.14-

44

8=1.42.

50.如圖是一個(gè)直徑為3cm的半圓，讓這個(gè)半圓以4點(diǎn)為軸沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。，此時(shí)B點(diǎn)

移動(dòng)到夕點(diǎn)，求陰影部分的面積.（圖中長(zhǎng)度單位為c