第04講幕函數與二次函數

目錄

第一部分：基礎知識.................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點一遍過...........................................3

高頻考點一：塞函數的定義........................................3

角度1：求哥函數的值..........................................3

角度2：求塞函數的解析式......................................4

角度3：由幕函數求參數........................................4

高頻考點二：塞函數的值域........................................6

高頻考點三：幕函數圖象..........................................8

角度1：判斷褰函數圖象........................................8

角度2：然函數圖象過定點問題..................................10

高頻考點四：塞函數單調性........................................13

角度1：判斷幕函數的單調性....................................13

角度2：由事函數單調性求參數.................................14

角度3：由嘉函數單調性解不等式...............................15

高頻考點五：塞函數的奇偶性......................................18

高頻考點六：二次函數...........................................20

角度1：二次函數值域問題.....................................20

角度2：求二次函數解析式.....................................21

角度3：由二次函數單調性（區間）求參數.......................22

角度4：根據二次函數最值(值域)求參數.......................23

角度5：動軸定范圍，定軸動范圍的最值問題.....................24

第四部分：新定義題(解答題)......................................29

第一部分：基礎知識

1、塞函數

(1)幕函數定義

一般地，形如/(x)=x"的函數稱為塞函數，其中X是自變量，a是常數.

(2)五種常見暴函數

2-1

函數y二xy=xy=/y=盧y=%

小VVJL

圖象7T

定義域RRR{x\x>0]{x\x^0}

值域R{yly>0)Rbly>0)3"。}

奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函數奇函數

性在(-8,0］上

在(-8,0)和

質在尺上單單調遞減；在在R上單調在［0,+8)上單

單調性(0,+8)上單

調遞增(0,+8)上單遞增調遞增

調遞減

調遞增

公共點(1,1)

(3)嘉函數性質(高頻考點)

哥函數/(幻="，在xe(O,”)

①當a>0時，/(%)=/在(0,+8)單調遞增；

②當。<0時，/(%)=%”在(0,+8)單調遞減；

2、二次函數

形如/(x)=ax2+bx+c(a豐0)的函數叫做二次函數.

第二部分：高考真題回顧

1.（2023?天津?統考高考真題）=1.0105,Z>=1.01°-6,c=O.605,則。，瓦c的大小關系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【詳解】由y=L01'在R上遞增，則a=1.01°5<6=1.01°6,

由y=在［0,+網上遞增，貝U.=1,01。5>c=O.60-5.

所以6>a>c.

故選：D

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：塞函數的定義

角度1：求募函數的值

典型例題

例題L（2024下?河南?高一信陽高中校聯考開學考試）已知/'（》）=（上?+2左+2）/1+九一3是幕函數，則

f（m）=（）

r21

A.3B.-C.6D.-

33

【答案】D

【分析】由幕函數的性質得出結果即可.

【詳解】由題知《2+2左+2=1,解得％=—1,且加一3=0,解得機=3,.=/⑶=；.

故選：D

例題2.（2024上?河北承德?高一統考期末）已知事函數的圖象過點（3,8）,則返卜.

【答案】16

【分析】由題意可求出幕函數的解析式，再代入求值，即可求得答案

【詳解】設〃尤）=x"，因為募函數外力的圖象過點（0,8）,故（近）。=8,

(2A6

所以a=6,/(x)=冗6,.二=23=2，=16,

故答案為：16

角度2：求募函數的解析式

典型例題

例題1.(2024上?安徽蕪湖?高一統考期末)若事函數/(x)=a?S，bcR)的圖象經過點(3,6),則

f(x)=-

【答案】石

【分析】根據幕函數的定義和過點，求解解析式.

【詳解】根據塞函數/(x)=依〃，則。=1,

又由〃力=湛過點(3,若)，所以3"=相，

故6=g,所以=

故答案為：y/x.

(2\

例題2.(2024上?河北保定?高一統考期末)已知累函數的圖象過點(2,8),則/2^=.

I)

【答案】4

【分析】利用待定系數法求得函數解析式，進一步計算即可.

【詳解】設〃X)=X"，因為2a=8,所以a=3,

(2、/2A3

貝lj/(x)=%3,/=V=4,

\)\)

故答案為：4.

角度3：由塞函數求參數

典型例題

例題L(2024上?山東威海?高一統考期末)已知幕函數/(x)=(公一2014)/在(0,+“)上單調遞增，則人

()

A.-3B.3C.-5D.5

【答案】D

【分析】由基函數的定義即可得解.

【詳解】由題意得幕函數/（X）=a2-2k-14）/在（0,+8）上單調遞增,

所以％2—2左一14=1次＞0,解得左=5或左=一3（舍）.

故選：D.

例題2.（2024上?安徽阜陽?高一阜陽市第三中學校考期末）已知暴函數y=（療-m-1卜”（meR）的圖象不

經過第二象限，則機=（）

A.2B.-2或1C.-1或2D.-1

【答案】D

【分析】根據幕函數的概念求出小，再由函數圖象不經過第二象限得出即可.

【詳解】解：因為〉=（1-根-1卜'"是黑函數，所以蘇_機_1=1,解得〃=?T或m=2,

當機=7時，＞=無一=工，顯然其圖象不經過第二象限，滿足題意；

當機=2時，y=Y,其圖象經過第二象限，不滿足題意；

綜上，m=—l.

故選：D.

練透核心考點

1.（2024上?河南商丘?高一校考期末）若〃元）=（療-3卜”是定義域為R的幕函數，則加=.

【答案】2

【分析】由幕函數的性質求解即可.

【詳解】解：因為〃x）=（療-3）/為塞函數，

則有m2-3=1,解得m=±2,

又因為函數尤）=/的定義域為R,所以加=2.

故答案為：2

2.（2024上?安徽淮南,高一深圳市高級中學校聯考期末）若事函數〃x）=（蘇-2加-2卜公”"+|在區間（0,+。）

上單調遞減，則加=.

【答案】3

【分析】根據嘉函數的定義求出加值，再根據在（0,+e）上單調遞減求值即可.

【詳解】因為/（力=（加—2加一2）/f+i為募函數，所以加一2〃一2=1；解得9=-1或〃2=3,

又因為“X）在（。,+8）上遞減，所以加2-4〃7+1＜0,故m=3.

故答案為：3

3.（2024下?湖北?高一湖北省漢川市第一高級中學校聯考開學考試）已知累函數/（*）=（加+根-5）廿M在

（0,+8）上單調遞減，則機=.

【答案】-3

【分析】根據嘉函數的定義求出加值，再根據在（0,+。）上單調遞減求得機值.

【詳解】因為“尤）=（加+機-5b"'+1為募函數，所以療+〃-5=1；解得加=一3或m=2,

又因為“X）在（0,+8）上遞減，所以〃2+1<0,故根=-3.

故答案為：-3

4.（2024上?安徽亳州?高一亳州二中校考期末）已知事函數/（x）的圖象過點尸（2,0）,則/（4）等

于.

【答案】2

【分析】首先求暴函數的解析式，再代入求值.

【詳解】設〃引=j，〃2）=2"=0,得1=

1,、

即〃元）=/，所以"4）=2.

故答案為：2

高頻考點二：然函數的值域

典型例題

例題1.（2024?全國?高一假期作業）下列函數中，值域為（0,+8）的是（）

A.于（"=&B./（^）=.x+—（x>0）

C.D-'（x）=l-：（x>l）

【答案】C

【分析】根據函數的定義域、幕函數的性質、以及基本不等式可直接求得選項中各函數的值域進行判斷即

可.

【詳解】由已知/（尤）=正值域為［0,+8）,故A錯誤；

x>0,f（x］=x+—>2.xx—=2,尤=1時，等號成立，所以〃x）=JVH■—（x>0）的值域是［2,+co）,B錯誤；

XVXX

/（尤）=/^因為定義域為xe（T,+e）,Jx+1>0,函數值域為（。,+°°）,故C正確；

/（x）=l--（x>l）,-e（O,l）,--e（-l,0）,所以〃x）e（0,l）,故D錯誤.

故選：c.

例題2.（2024?全國?高一假期作業）已知幕函數〃同=鏟?”6（加€2）在區間（0,+8）上是減函數.

⑴求函數“X）的解析式；

⑵討論函數〃尤）的奇偶性和單調性；

⑶求函數〃尤）的值域.

【答案】⑴"X）=尸或"力='或=X-5

（2）答案見解析

⑶答案見解析

【分析】（1）依題意可得2〃/一機一6<0,求出機的取值范圍，再根據meZ,即可得到加，再代入求出函

數解析式；

（2）根據（1）中的解析式及累函數的性質得出結論；

（3）根據（1）中的解析式及幕函數的性質得出結論；

【詳解】（1）解：依題意_〃?_6<0,即（2m+3）（機—2）<。，解得—5<加<2,因為帆eZ,所以機=-1

或〃7=0或租=1,所以〃力=尸或”工六"6或

（2）解：若/（x）=M定義域為（_8,0）U（0,4w）,則/（%）=小為奇函數，且在（一,0）和（0,+8）上單調遞

減；

若〃力=一定義域為（-力,0）U（0,+s）,則〃彳）=/為偶函數，且在（-8,0）上單調遞增，在（0,+功上單

調遞減；

若〃力=一定義域為（_e,o）u（O,+8）,則/（x）=x-5為奇函數，且在（0,0）和（0,+力上單調遞減；

⑶若〃%）=/，則”X）為奇函數，當x>0時〃x）e（0,+8）,所以x<0時〃x）e（F，0）,所以函數的

值域為（-°o,o）u（o,+00）；

若〃x）=—,則為偶函數，當尤>0時/（x）e（O,+e）,所以x<0時/⑺?0,+。），所以函數的值域

為（0,+8）；

若〃力=/，則/⑺為奇函數，當彳>0時〃x）e（O,+8）,所以無<0時〃x）e（y）,0）,所以函數的值域為

（-oo,0）U（0,+oo）；

練透核心考點

1.（2024?全國?高三專題練習）下列函數中，定義域和值域不相同的是（）

l2[x-2,x<0

Av=—xD、，——/vr、，一_n、，一1

【答案】D

【分析】根據一次函數、反比例函數、幕函數和分段函數的性質，逐個選項進行判斷即可得到答案.

【詳解】對于A：函數y=-x+2的定義域為R,值域也為R,不符合題意；

對于B：函數y=&的定義域和值域都為［0,+e）,不符合題意；

對于C：>=：的定義域和值域都為卜卜片。｝,不符合題意；

fx-2,x<0

對于D：y=\）八的定義域為R；

［工+2,兀〉0

當時，y=x-2<-2；當x>0時，y=x+2>2；

所以值域為（-8,-2］=（2,+8）,定義域和值域不相同，符合題意；

故選：D.

"2

x^,-l<x<0

2.（2024下?河北承德?高二承德縣第一中學校聯考開學考試）函數y=,八工的值域為

【答案】（o,i）/（y（ov”i））

【分析】分別求出各段函數的值域再求并集即可

2

【詳解】當TWxWO時，y=/在上單調遞減，

所以OV”1；

當o<xwi時，y=在（。』上單調遞減,

2

所以y4y<l；

尤3,-14尤<0

所以函數〉="｛（八工的值域為［0,1］，

§，。<1

故答案為：［0』

高頻考點三：嘉函數圖象

角度1:判斷塞函數圖象

典型例題

例題L（2024?江蘇?高一假期作業）函數=與g（x）=g（依?+1）+尤在同一平面直角坐標系中的圖

象不可能為（）

【答案】B

【分析】對B選項，根據/（力確定.<0,二次函數開口向下，不滿足，其他選項滿足類幕函數和二次函數

性質，得到答案.

【詳解】g（無）=|■（依2+1）+*=；依2+》+1.,當°力0時，二次函數對稱軸為x=-：,

對選項A：根據〃尤）確定a<0,二次函數開口向下，對稱軸在y軸右邊，滿足；

對選項B：根據/（x）確定a<0,二次函數開口向下，不滿足；

對選項C：根據“X）確定二次函數開口向上，對稱軸在y軸左邊，滿足；

對選項D：取。=2,則=g尤2,g（x）=/+x+；,滿足圖像；

故選：B

例題2.（2024?全國?高三專題練習）給定一組函數解析式：

（5）y=；（2）y=；（3）y=X5；（§）y=尤5；y=1萬；y=%§；（J）y=1號.

如圖所示一組函數圖象.圖象對應的解析式號碼順序正確的是（）

(1)⑵(3)

A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

【答案】C

【分析】根據幕函數的圖象的性質判斷各圖象對應解析式的形式，即可得答案.

【詳解】圖象（1）關于原點對稱，為奇函數，且不過原點、第一象限遞減，故y=滿足；

圖象（2）關于y軸對稱，為偶函數，且不過原點、第一象限遞減，故y=滿足；

圖象（3）非奇非偶函數，且不過原點、第一象限遞減，故y=滿足；

圖象（4）關于y軸對稱，為偶函數，且過原點、第一象限遞增，故＞=苫9滿足；

圖象（5）關于原點對稱，為奇函數，且過原點、第一象限遞增，故y滿足；

3

圖象（6）非奇非偶函數，且過原點、第一象限遞增，而增長率隨X增大遞減，故滿足;

3

圖象（7）非奇非偶函數，且過原點、第一象限遞增，而增長率隨X增大遞增，故y=q滿足;

故圖象對應解析式順序為⑥④③②⑦①⑤.

故選：C

角度2：然函數圖象過定點問題

典型例題

例題L（2024上?上海?高一上海市吳淞中學校考期末）下列命題中正確的是（）

A.當加=0時，函數y=x”的圖象是一條直線

B.募函數的圖象都經過（0,0）,（LD兩點

C.累函數＞"圖象不可能在第四象限內

D.若累函數、=/為奇函數，則y=x"是定義域內的嚴格增函數

【答案】C

【分析】由幕函數的圖象與性質判斷即可.

【詳解】對A,當機=0時，函數y=/的圖象是一條直線除去點（0,1）,所以A項不正確;

對B,塞函數的幕指數小于。時，圖象不經過（0,0）,所以B項不正確；

對C,幕函數y=/的圖象不可能在第四象限內，所以C項正確；

對D,當機=-1時，幕函數y=/為奇函數，但在定義域內不是嚴格的增函數，所以D項不正確；

故選：C.

例題2.（2024?全國?高一專題練習）已知函數丁=/，"。＜0）的圖象恒過定點A,若點A在一次函數

y=的圖象上，其中n＞0,則—I—的最小值為（）

mn

A.1B.0C.2D.4

【答案】D

【分析】求出定點A的坐標，并求出小，〃的關系，再利用基本不等式"1"的妙用求解即得.

【詳解】依題意，Ad』），則+〃=因止匕工+!=（%+力（L+3=2+二+'\2+2、口^=4,

mnmnmn\mn

當且僅當〃?="=1時取等號，

所以當時，'取得最小值4.

2mn

故選：D

練透核心考點

1.（2024,全國?高三專題練習）已知事函數、且。,夕互質）的圖象關于y軸對稱，如圖所示,

則（）

A.p,4均為奇數，且:＞。

B.q為偶數,p為奇數，且‘＜0

q

C.q為奇數，p為偶數，且“＞。

q

D.q為奇數，p為偶數，且“＜。

q

【答案】D

【分析】根據函數的單調性可判斷出“<0；根據函數的奇偶性及〃，夕互質可判斷出〃為偶數，q為奇數.

q

【詳解】因為函數、，一4的定義域為(-8,0)(0,+8),且在(0,+8)上單調遞減，

所以“<o,

q

因為函數v_/的圖象關于y軸對稱，

所以函數、為偶函數，即P為偶數，

又p、q互質，所以q為奇數，

所以選項D正確，

故選：D.

2.(多選)(2024上?重慶北轎高一統考期末)函數/("=依2-2X+1與8(力=無。在同一直角坐標系中的

圖象不可能為()

【分析】結合二次函數與幕函數的性質，逐一分析各選項即可得解.

【詳解】因為-2x+l,g(x)=x",

對于A,當。=-1時，f^x)--jC-2x+\,其圖象開口向下，對稱軸為彳=一1,

g(x)=k=L其圖象關于原點對稱，且在(0,+8)上單調遞減，故A滿足要求;

X

對于B,當/(%)=加-2尤+1開口向上時，〃>0,

此時g(x)=￡在(0,+功上單調遞增，故B不滿足要求；

11

對于C,當〃=5時，/(X)=-X2-2X+1,其圖象開口向上，對稱軸為％=2,

1r、

屋外二/，其圖象在［。,+8）上單調遞增，且越來越緩，故c滿足要求；

對于D,當/（九）=辦2-2尤+1開口向上時，a>0,

-22

此時其對稱軸為1=-丁=—>0,故D不滿足要求.

2aa

故選：BD.

3.（多選）（2024?全國?高一專題練習）已知事函數〃*）=?的圖象經過函數g（x）=/2一：（。>0且“i）

的圖象所過的定點，則嘉函數〃x）具有的特性是（）

A.在定義域內單調遞減B.圖象過點。,1）

C.是奇函數D.定義域是R

【答案】BC

【分析】求出函數g（x）的圖象所過定點的坐標，代入函數“X）的解析式，求出。的值，再利用事函數的基

本性質逐項判斷，可得出合適的選項.

【詳解】由x-2=0,即x=2,可得g⑵=1一g=

故函數g（x）=a2一;（°>0且awl）的圖象過定點

則/⑵=2〃=；,解得匕=-1,則〃無）=}定義域為{尤卜20},且為奇函數，

函數/（X）在（一雙0）上單調遞減，在（0,+8）上單調遞減，但在定義域內不單調遞減.

因為『（1）=1,所以函數/（無）的圖象經過點（1,1）,所以選項B、C正確.

故選：BC.

高頻考點四：塞函數單調性

角度1：判斷事函數的單調性

典型例題

例題L（2023上?北京海淀?高一統考期末）下列函數中，既是奇函數，又在（。,+⑹上單調遞減的是（）

A./（x）=4xB.f（x）=-x\x\

C.=D./（x）="

【答案】B

【分析】利用定義判斷函數的奇偶性可對A、C判斷；利用函數奇偶性的判斷并結合函數單調性可對B、D

判斷

【詳解】對A、C：由〃x）=?,定義域為[0,+8）,所以〃力=石不是奇函數，故A錯誤；

“無）=’7定義域為R,〃-）=：=2=〃尤）,所以“工人丁二是偶函數，故C錯誤；

對B、D：f（x）=-x\^,定義域為R,/（-X）=-（-x）|-^|=x|x|=-f（x）,所以/（X）為奇函數，

當x>0時，〃x）=f2,且〃力=-/在（0,+向上單調遞減，故B正確；

〃x）=d，定義域為R,且〃T）=（r）3=_*3=_/（天），所以〃力=尤3為奇函數，且在定義域上為增函

數，故D錯誤；

故選：B.

1

例題2.（2023上?湖南常德?高一湖南省桃源縣第一中學校考期中）函數/（同=（_/+2》+3）-5的單調遞減

區間為（）

A.[―1,1]B.（—8,1]C.（—1,1]D.（1,3）

【答案】C

【分析】令--/+2了+3,“一5,利用復合函數的單調性求解.

【詳解】解：由—d+2x+3>0,得/一2》一3<0,BP（x+l）（x-3）<0,

m-l<x<3,所以〃無）的定義域為{x|—l<x<3},

令/=-/+2了+3,在（TH上遞增，在口,3）上遞減，又“=谷，在（0,+8）上遞減，

所以〃力在（-M]上遞減，

所以函數〃尤）的單調遞減區間為（T1],

故選：C

角度2：由塞函數單調性求參數

典型例題

例題1.（2023上,江蘇鎮江?高一江蘇省鎮江第一中學校考階段練習）若y=（，〃2-2機-2卜是幕函數，

且在（0,+8）上單調遞增，則機的值為（）

A.-1或3B.1或-3C.-1D.3

【答案】D

【分析】根據塞函數的性質即可求解.

【詳解】因為y=（*-2吁2）”+帆是塞函數,

貝IIm2—2m—2=1,則加=—1或m=3,

當根=-1,y=x0=1,不符合題意，

當機=3,/（x）=x12,則〃龍）在區間（。,+8）上是單調遞增函數，符合題意，則根=3；

故選：D.

例題2.（2023上?廣東佛山?高一佛山市順德區樂從中學校考階段練習）已知累函數》=（憶2-3卜"2+%3單調

遞減，則實數機=.

【答案】-2

【分析】由累函數的定義及性質列方程求解.

【詳解】因為幕函數y=（布-3卜兩*3單調遞減，

2-3=1

所以＜m2cc，解得m=-2.

m+m-3＜0

故答案為：-2

角度3：由塞函數單調性解不等式

典型例題

例題L（2023上?高一課時練習）已知哥函數y=x?-3（peN+）的圖象關于y軸對稱，且在（0,+8）上單調遞

減，求滿足+＜（3—2°,的°的取值范圍.

【答案】（-8,（）

【分析】利用事函數的性質求得P=l,利用幕函數的單調性解不等式即可.

【詳解】因為函數y=在（0,+8）上單調遞減，所以。-3＜0,即。＜3.

又？eN+，所以0=1或p=2.

又函數y=-3的圖象關于y軸對稱，所以p-3是偶數，所以P=l,即y=x-2.

則原不等式可化為（a+1）；＜（3-2a）5.

i2

因為函數＞=/在R上是增函數，所以a+l＜3-2a,解得a＜§.

2

故實數”的取值范圍是（-8彳）.

例題2.（2023上?廣西欽州?高一校考期中）已知＞=（機2+2"2_2）?%口1+2〃_3是屬函數.

⑴求加、”的值；

（2）若〃2a+l）＜/（3-4a）,求實數。的取值范圍.

m=-3

【答案】⑴3

n=—

[2

「11、

【分析】（1）根據幕函數的定義列出關于刑〃的方程組，由此求解出〃7,的值；

（2）分析/（X）的定義域和單調性，然后列出關于。的不等式組，由此求解出結果.

]

【詳解】（1）因為y=（病+2zn-2）?工/-1+2〃-3是累函數，

m2+2m-2=1m=-3

所以2〃-3=0解得3

n=—

m2-102

i「、1

（2）由（1）可知〃力=小,定乂域為[0,+8）,>->0,

所以“力=￡是[0,+。）上的單調遞增函數，

又因為/（2a+l）v〃3—4a）,

2tz+1>0

所以，3-4aZ0,解得

2〃+1<3—4〃

所以0的取值范圍是-ggj.

練透核心考點

1.（多選）（2024?全國?模擬預測）下列函數中既是奇函數，又是定義域上的減函數的是（）

A./（x）=-3x5B./（x）=2x

c-:D-〃x）=-2/

【答案】AD

【分析】由解析式直接判斷函數的奇偶性與單調性即可得解.

【詳解】對于A,/（同=-3丁是奇函數，在其定義域上單調遞減，故A正確；

對于B,/（》）=2"是在其定義域上單調遞增的指數函數，故B錯誤；

對于C,f（-1）=-1,/（1）=1,故=：在其定義域上不單調遞減，故C錯誤；

1

對于D,〃同=_23是奇函數，在其定義域上單調遞減，故D錯誤?

故選：AD.

2.（2023上?河北滄州?高一統考期中）若幕函數〃尤）=（疝-9加+19）尤"I在（0,+向上單調遞增，則實數

m=.

【答案】6

【分析】根據基函數定義及性質求解即可.

【詳解】由函數為幕函數可知,m2-9w+19=1,

解得根=3或m=6,

因為塞函數〃X）=（4-97"+19bI在（0,+8）上單調遞增，

所以m—4>0,即機〉4,

所以加=6.

故答案為：6

3.（2023?全國?高三專題練習）已知暴函數〃尤）=（2療+加一2）V在（0,+8）上是增函數.

⑴求“X）的解析式；

⑵若/（萬可求實數。的取值范圍.

【答案】（1）〃X）=X3

【分析】（1）利用幕函數的定義與單調性可得出關于實數〃2的等式與不等式，解出加的值，即可得出函數

“X）的解析式；

（2）分析函數/（X）的定義域與單調性，根據可得出關于實數a的不等式組，由此可解

得實數。的取值范圍.

【詳解】⑴因為函數〃尤）=（2療+〃-2）之M為幕函數，則2療+吁2=1,

即2n?+m一3=0,即（2根+3）（加-1）=0,解得根=1或相=—萬，

又因為函數〃無）=（2■+加-2）鐘包在（0,+“）上是增函數，貝|］2利+1>0,解得加>-；，

所以，根=1,故/（x）=a

（2）由（1）可知，=該函數的定義域為R,

對任意的xeR,/（-x）=（-x）3=-x3=-/（x）,則函數為R上的奇函數，

因為函數〃x）=x3在［0,+8）上為增函數，則該函數在（ro,0］上也為增函數，

所以，函數/（X）在R上為增函數，

，2-〃<-1

由a）</（Ja-1）可得，2-a2。,解得一<。工2,

（2-1>0

因此，實數a的取值范圍是（12.

4.（2023上?湖南長沙?高一長沙一中校考期中）已知暴函數〃x）=（2療-在定義域內單調遞增.

⑴求1。）的解析式;

（2）求關于尤的不等式〃*+1）<-2x+3）的解集.

【答案】①/（尤）=尤5

⑵[-LD（2,+8）

【分析】（1）取2療-機-2=1,再驗證單調性得到答案.

（2）根據函數的單調性和定義域得到不等式，解得答案.

【詳解】⑴幕函數〃x）=（2那一根-2卜"I在定義域內單調遞增，

,3

故2m°-m-2=L解得=-1或機=萬，

當根=-1時，”力=/在（0,+8）上單調遞減，在（-8,0）上單調遞增，不滿足；

當m=|時，/（_￥）=%在[0,+8）上單調遞增，滿足；

故/（%）=在,

（2）/⑺:/在2十動上單調遞增，/（X+1）</（X2-2X+3）,

x+l>0

故<%2_2X+3N0,解得一IV犬vl或1>2,gp%e[-l,l）u（2,+oo）.

x+1<—2x+3

高頻考點五：嘉函數的奇偶性

典型例題

例題1.（2024?全國,高一假期作業）"幕函數〃元）=（毋+加-1）/在（0,+8）上為增函數”是“函數

g（x）=2,-療2”為奇函數〃的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】要使函數〃X)=(病+機-1卜”是幕函數，且在(0,+8)上為增函數，求出m=1,可得函數g(x)為

奇函數，即充分性成立；函數g(x)=2-療2”為奇函數，求出相=±1,故必要性不成立，可得答案.

【詳解】要使函數〃尤)=(加+機-1)廿是幕函數，且在(0,+8)上為增函數，

fyTp'+IJ7—1——1

-，解得：m=l,當機=1時，g(x)=T-Tx,xeR,

Im>0

則g(-x)=2f-2，=-(2「2T)=-g(x),所以函數g(尤)為奇函數，即充分性成立；

"函數g⑺=2X-m2-2T為奇函數",

X

貝ijg(x)=-g(-x),即2、一而-2T=,2*)=后-2-2r,

解得：m=±l,故必要性不成立，

故選：A.

例題2.(2024上?上海虹口?高一統考期末)設ae>2,-；彳,3，，若幕函數y=x”的圖像關于>軸對稱，

且在區間(。,+8)上是嚴格增函數，則實數。=.

【答案】|

【分析】利用暴函數的性質來解答即可.

【詳解】

若幕函數y=x"的圖像關于y軸對稱，則ae,

2

又幕函數y=%。在區間(0,+8)上是嚴格增函數，貝IJ0=§.

故答案為：—.

練透核心考點

1.(多選)(2024上廣東深圳?高一統考期末)已知函數f(x)=(2加一叫尤3m為幕函數，則下列結論正確

的為()

A.m=lB./(x)為偶函數

C./(X)為單調遞增函數D.7(無)的值域為[0,+“)

【答案】AC

【分析】根據幕函數的性質可得〃7=1,進而可得了(耳=丁，由基函數的性質即可結合選項逐一求解.

【詳解】由/(x)=(2〃?-病卜3",為幕函數可得2%疝=],解得〃7=1,

所以/(x)=V,故A正確，C正確；

由于〃T)=(_X)3=T3=_〃X),故為奇函數，故B錯誤；

/a)=x3的值域為R,D錯誤，

故選：AC.

2.(2024上?福建南平?高一統考期末)已知幕函數f(x)H療一3加+1)產2.若人無)是奇函數，則加的值為

【答案】3

【分析】由幕函數的定義結合奇函數的定義即可求解.

【詳解】由題意加2-3加+1=1,解得m=0或租=3,又/(x)是奇函數，

當機=。時，/(-X)=》一°=—^不滿足題意；當〃?=3時，/(x)=x滿足題意.

故答案為：3.

高頻考點六：二次函數

角度1:二次函數值域問題

典型例題

例題1.(2024上?江西?高一校聯考期末)己知函數f(x)=f-2x+3,則/(x)在區間[0,4]的值域為()

A.[3,6]B.[2,6]

C.[2,11]D.[3,11]

【答案】C

【分析】由二次函數的單調性計算即可得.

【詳解】/(X)=X2-2X+3=(X-1)2+2,

則Ax)在(0,1)上單調遞減，在(1,4)單調遞增，

又/⑴=2,/(0)=3,"4)=11,

故f(x)在區間[0,4]的值域為[2,11].

故選：C.

例題2.(2024上?河南新鄉?高一統考期末)已知函數〃尤)滿足log3"x)=〃凡且“力的圖象經過點(1,3).

⑴求/(X)的解析式;

(2)求函數g(x)="(x)f-4〃x)+5在,1]上的值域.

【答案】(1)〃力=3，

(2)[1,5)

【分析】(1)利用指數和對數的互化公式，代入點的坐標即可求解;

(2)利用換元法直接求解函數值域即可.

【詳解】(1)因為log3/(x)=mx,所以/(x)=3*

又因為的圖象經過點(1,3),所以3m=3,

解得m=l,

故的解析式為/(力=3二

(2)當時，0<3x<3,令f=/(x),/e(O,3］,

則"(切2-4/(無)+5=/一4+5=("2)2+1,

函數y=(52)2+1在fe(0,2］上單調遞減，在r42,3］上單調遞增，

則當7=2時，g(x)取得最小值1,

X(r-2)2+l<(0-2)2+l=5,

所以g(x)的值域為［L5).

角度2：求二次函數解析式

典型例題

25

例題L(2024?全國?高三專題練習)已知二次函數y=?+"+。的圖象過點(0,0),(5,0),且最小值為一］.

⑴求函數的解析式；

【答案】⑴--10x

(2)1或3

【分析】(1)先根據題意設出二次函數的兩點式形式，再由條件得到其頂點坐標，代入即可得解；

33S5

(2)根據二次函數的圖象性質，分類討論區：、與三種情況下y=2--10x在上J+1］的單

調情況，從而得到關于f的方程，解之即可.

【詳解】(1)由題意設函數的解析式為y=?x(x-5)(a>0),

由已知可得二次函數的頂點坐標為(g,-

代入得--^-=ax/x(一］］,解得a=2,

所以二次函數解析式為V=2x(%-5)，即y=2X2-10X.

例題2.(2024上?青海西寧?高一統考期末)設/(力=/加2+7a+6,己知函數過點(1,3),且函數的對稱軸

為x=2.

⑴求函數的表達式；

⑵若無q-1,3],函數的最大值為最小值為N,求M+N的值.

【答案】(1)/(%)=--4》+6

(2)13

【分析】根據函數過點(1,3)及二次函數的對稱軸，得到方程組，解得加、〃即可求出函數解析式;

(2)將函數配成頂點式，即可得到函數的單調性，從而求出函數的最值.

機+"+6=3'7

【詳解】(1)解：依題意nc,解得?，所以/(尤)=/-4%+6；

----=2\m=l

、2m

(2)解：由(1)=x2-4x+6=(x-2)2+2,

所以/(力在[-1,2]上單調遞減，在(2,3]上單調遞增，

又"-1)=11,43)=3,"2)=2,

所以A%、="