單元質檢卷二函數

（時間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.設集合/={x/y=lg（x-3）},B=[y]yZxGR},貝！I/Cl8等于（）

A.0B.R

C.{x/x>3}D.{x/xX）}

2.下列函數中，既是偶函數又在區間（0,+8）上單調遞增的是（）

A.y=x

B.y=~x+1

C.y=\.ogiX

D.

0203

3.已知a=log20.2,Z）=2-,c=0.2,貝l|（）

A.a<b〈cB.a〈c〈b

C.c〈a〈bD.b<c<a

4.如圖，點。為坐標原點，點2（1,1）,若函數尸且收1）及尸Log8x（6>0,且6W1）的圖像與線

段OA分別交于點四人且四N恰好是線段OA的兩個三等分點，則。"滿足（）

A.a<bCB.b<a<\

C.b>a>\D.a>b>\

5.函數F（X）二的圖像大致為（）

6.已知函數Hx）左[,實數典〃滿足不等式廣（2加w）仔（2比為,則下列不等關系成立的是（）

A.m+n>lB.m+n（\

C.D.m一水八

7.小明在如圖1所示的跑道上勻速跑步,他從點A動身,沿箭頭方向經過點刀跑到點C共用時30s,

他的教練選擇了一個固定的位置視察小明跑步過程.設小明跑步的時間為M單位:s）,他與教練間的

距離為y(單位：m),表示y與力的函數關系的圖像大致如圖2所示,則這個固定位置可能是圖1中的

()

圖1圖2

A.點〃B.點”C點PD.點0

8.設奇函數F(x)在(0,+8)上單調遞增,且/(I)4).則不等式個)<0的解集是()

A.(-1,0)U(1,+8)

B.(-1,0)U(0,1)

C.(-8,-1)U(1,+OO)

D.(-8,-1)U(0,1)

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全

部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分.

9,在下列函數中，既是偶函數,又在(0,+⑹上單調遞增的是()

A.y=ln(Jl+9/-3X)B.

C.y=x+1D.y=cosx+3

10.某同學在探討函數f(x)=&+i+J/一叔+5的性質時,受兩點間距離公式的啟發，將f(x)變

形為f(x)=j(x-0)2+(0-1)2+&X-2)2+(0一1)2,則下列關于函數f(x)的描述正確的是()

A.函數/(X)在區間［1,+8)上單調遞增

B.函數f(x)的圖像是中心對稱圖形

C.函數『(x)的值域為［2也,+8)

D.方程f(『(x))=1入后無實數解

H.已知函數/U)對VxdR,滿足f^x)=-f(6-x),f(x+l)=f(-x+l),若F(a)=-f(2020),ae［5,9］且

F(x)在［5,9］上具有單調性,則下列結論正確的是()

A"」⑶=0

B.a3

C.F(x)是周期為4的周期函數

D.y=f(x)的圖像關于點(1,0)對稱

12x-%>0

(_4%,%<0,'當"+8)時,_f(x)的值域為(-8,16］,則實數t的可能取值

為()

A.-3B.-1C.1D.3

三、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分.

fx2+2xx<0,((

13.函數f{x)>0,則/〈J'-.

14.某公司租地建倉庫，已知倉庫每月占用費又與倉庫到車站的距離成反比，而每月車載貨物的運費

姓與倉庫到車站的距離成正比.據測算,假如在距離車站10千米處建倉庫,這兩項費用外刃分別是

2萬元和8萬元,那么要使這兩項費用之和最小,倉庫應建在離車站千米處.

15.已知定義域為R的函數fdv_---有最大值和最小值,且最大值和最小值的和為

4,貝1|A-u=.

flnx,x>1,

16.已知函數F(x)=(2工3-3,+I,%<1,則當xG[-1,e]時,f(x)的最小值為;設

g(x)=[F(x)]2-f(x)+a,若函數g(x)有6個零點,則實數a的取值范圍是.

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)函數f(x)=m+logax(a券,且aWl)的圖像過點(8,2)和(1,T).

(1)求函數/'(X)的解析式；

(2)令g(x)=2/1(x)-f(xT),求g(x)的最小值及取得最小值時x的值.

18.(12分)已知函數g(x)=af-2ax+lM(a刈在區間［2,3］上有最大值4和最小值1.設f(x)岑.

⑴求a"的值；

(2)若不等式fS-k?2^0在xd［-1,1］上有解,求實數k的取值范圍.

19.(12分)某廠生產某種產品的年固定成本為250萬元,每生產x(xdN)千件,需另投入成本為C(x)

萬元,當年產量不足80千件時，C(x)="+10x(萬元)；當年產量不少于80千件時，C(x)力期曾-1

450(萬元).通過市場分析,若每件售價為500元時,該廠年內生產的商品能全部銷售完.

(1)寫出年利潤L(單位:萬元)關于年產量x(單位:千件)的函數解析式；

(2)年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？

20.（12分）某市明年支配投入600萬元加強民族文化基礎設施改造.據調查,改造后預料該市在一個

月內（以30天計）民族文化旅游人數/"（X）（單位:萬人）與時間x（單位:天）的函數關系近似滿足

f（x）可（1弓），人均消費g（x）（單位:元）與時間x（單位:天）的函數關系近似滿足g（x）=104-/x-23/.

⑴求該市旅游日收益p（x）（單位:萬元）與時間x（lW啟30,xGN*）的函數關系式；

（2）若以最低日收益的15%為純收入，該市對純收入按1.5%的稅率來收回投資,按此預料兩年內能否

收回全部投資.

t+2,2

21.（12分）已知二次函數尸f（x）在XF處取得最小值《（-0）,且A1）4）.

（1）求y=f{x）的表達式；

（2）若函數尸/＞（X）在區間［-1'］上的最小值為七，求此時t的值.

22.(12分)已知函數f(x)=lg(x+￡2),其中xX),aX.

(1)求函數F(x)的定義域；

(2)若對隨意g[2,+8)恒有f(x)X,試確定a的取值范圍.

參考答案

單元質檢卷二函數

1.C：2={x/y=lg(x-3)}={x/x-3X}={x/x，3},8={y/y玄,xCR}={y/yX},.：/C6={x/x>3},故選C.

2.D函數是奇函數，不符合;函數y=_/+l是偶函數,但是在(0,+8)上單調遞減，不符合;函數

y=log?x不是偶函數,不符合;函數y"/既是偶函數又在區間(0,,8)上單調遞增，符合.故選D.

203

3.Blog20.2<log214),2°->2°=1,0<0.2<0.2°=1,貝Ua<0,6>1,OG<1,故a<c<b.故選B.

4.A由題圖,得即a=(?,log《=W即消=：后(吳(力b(?=a,且斥(強(?。=1,即

a<b<i.故選A.

11

5.Ar(l)?加%,解除選項c,D;由f(x)0/再1尹°，得函數沒有零點，解除選項B.故選A.

6.C:Y(x)的定義域為R,f(-x)=^S=-f(x),

.：『(x)是R上的奇函數.

1-e-2，2

f(a7R=T匯心不，則Hx)是R上的增函數，

?：由f(2m-n)+f{2~n)A)得，_f(2/一〃)Af(〃-2),

?：2%-力-2,.:口

故選c.

7.D由圖知固定位置到點A距離大于到點C距離,所以舍去點N,M,解除選項A,B;若是點P,則從最

高點到點Cy單調遞減，與圖2沖突，解除選項C;因此取點&故選D.

8.B:?函數f(x)是奇函數，函數f(x)在(0,+8)上單調遞增，.：/(x)在(-8,0)上也單調遞增.

:'f(-x)⑴=0,不等式<0可化為2xf(x)<0,即xf{x)<0.

當x<0時,可得/

當才為時,可得f(x)e=f(l),

綜上,不等式f(x)J(r)式的解集為(-1,0)U(0,1).故選B.

9.BC由題,易知A,B,C,D四個選項中函數的定義域均為R.對于A,f(-

x)"(x)=ln(Jl+9X2-X)+ln(Jl+9x2-3^)4),則f(x)為奇函數,故A不符合題意;對于B,/(-

x)=e=%、=f(x),即f(x)為偶函數，當xe(0,時,設t=e\t>V),則f㈤=t工,由對勾函數性質可

得,在(1,+8)上單調遞增,又右玉、單調遞增，所以f(6三才e一，在(0)+8)上單調遞增，故B符合

題意；對于C,易知F(x)4+1為偶函數，由其圖像知F(x)在(0,+oo)上單調遞增,故C符合題意;對于

D,易知尸cosx+3是偶函數，但在(0,v-oo)不恒增,故D不符合題意.故選BC.

10.ACD由題意,f(x)=J(x-0)2+(0-1)2+^(X-2)2+(0-I)2,其幾何意義表示點P(x,0)到點

/(0,1),6(2,1)的距離之和，點B關于x軸的對稱點為B',如圖所示.

由對稱性可知lPBl=lPB'/,所以=lPA/+lPBl=/PAl+lPB，/.

當點尸的橫坐標由荀增加到劉時，見4/+/期'/的值也在增加，即『(就"(司)，故f(x)在區間

[1,+2上單調遞增，故A正確；

同理可得,/'(X)在(-8,1)上單調遞減,故函數/'(X)的圖像不是中心對稱圖形，故B錯誤；

由圖可知,f(x)=lPAl+lPB'/》/AB'//+(一1一1)2之也,即F(x)的值域為[2隹,2),故c正

確；

設f(x)=t,方程f1f⑹=1力5等價于r(t)=l+G，即#+1+促-4t+5=1電解得t=O或

t=2,因為『(x)=B2?所以方程/1(Ax))=1S后無實數解,故D正確.故選ACD.

11.AB;f(丫)對"X€1<,滿足f(x)=-F(6-x),f(x丹)=f(-x+l),

?：F(x)--/(6-x)二一/'(一(x-5)+1)=一/*(x-5+l)=-f(x"),

?：f(x")=-F(x),,"(x-8)=-f(x-4)=F(x),故f(x)的周期為TK故C錯誤；

f{a}-A2024)-A252X8必)=-于(4)=-f(3+1)=-/(-2)-[-F(6-(-2))]-Z(8),

又aG[5,9]且f(x)在[5,9]上具有單調性，易得a老故B正確;

；f5=V(6-x),則/■⑶=-/(6-3)=-f⑶，

.：f(3)R,故A正確;

=f(-戶1)，.:尸/U)的圖像關于直線x=\對稱,故D錯誤.故選AB.

12.ABC由題意,函數/U)=U力藍°，

當xNO時，函數f{x)=Y2x-x,則f'(x)=12-3/=-3(x+2)(x-2),

令f'(x)X,即(x+2)(x-2)6,解得-2G<2,令f'(x)<0,即(”2)(x-2)為,解得x<-2或x泣,

所以函數f(x)在[0,2)上單調遞增，在⑵+2上單調遞減，

所以當xt時，函數取得最大值,最大值為『⑵=12X2-23=16,

即當眾0時，函數f(x)的值域為(-8,16]；

當x<D時，函數f(x)在(-8,o)上單調遞減,令f(x)=16,即"矛=16,解得x=-4,

所以當0)時,ye(0,16];

當xG(-8,-4)時,(16,+8).

如圖所示,若xd\,t,+8)時,函數f(x)的值域為(-8,16],可得te[",2].

結合選項,可得可能的值為T,-1,L故選ABC.

(1)1

13.-1:?八J=1噸=-1,

.：/(/(:))=?(-i)=-i.故答案為-1.

14.5設倉庫到車站距離為x千米，由題意得,開4,y2=hx,其中xX,當x=10時,代入兩項費用

42041204204

幾刃分別是2萬元和8萬元可得A=20,在二g,%“二7+當且僅當"=/,即x=5吐

等號成立,故答案為5.

,、2Aex+Xexx2+2020sin^2020sinx

15.-2?m+-77^r

若才<0,則函數y=f(x)無最小值,不符合題意；

若才為,則函數y=f(x)無最大值,不符合題意.

2020sinx

所以4貝IJ廣(X)=〃+2+*，

2020sinx2020sin(-x)

貝"(x)U)—+FT+P+￡；(_系之”,

所以函數尸f(x)的圖像關于點(0,〃)對稱，則f(x)則“'(㈤眼>之“，則〃=2,因此八-“=-2.

故答案為-2.

16.-4(0,；)f(x)=lnx在［1,e］上單調遞增，所以f(x)111M=/"⑴=lnl4).

當xG［T,1)時，f(x)=2x-3x+1,令f'(x)=6x-6x=0,解得x=l(舍去)或x=Q,則有f(x)在(T,0)

上單調遞增,在(0,1)上單調遞減.

因為『(T)=-2-3+l=Y"(l),所以函數F(x)在［T,e］上的最小值為Y.

令t=F(x),g(x)=0,即干-t=-a,作出函數y=f{x)的圖像,如圖所示，

直線y=t與函數y=f{x)的圖像最多只有三個交點,所以0?<1,即說明方程"t~a有兩個(0,1)

內的不相等的實數根,亦即函數y$t在(0,1)內的圖像與直線y=-a有兩個交點.

1I111

(力五八7,依據尸--力的圖像可知，7{-石<0,即OQq.

17.解⑴由工優(8)6==2,-1,

m+loga8=2,

得17n+iogai=_1,解得〃=T,a2故函數解析式為f(x)=~1+log2X(xX).

(2)g(x)=2f{x}-/>(xT)N(T<Log2X)-［T/log2(xT)］=log2鼻T(x>l).

x2(x-l)2+2(x-1)+1

二(x-l)-+222(%-1>R+2N,當且僅當廠1大,即xt時,等號成

令吃三，因為函數尸log2方在［4,+2上單調遞增，則log2鼻-121og24T=1,故當尸2時,

函數g(x)取得最小值1.

18.解⑴g(x)=a(x-l)2+U,因為aX,所以g(x)在區間⑵3］上單調遞增,故|就I:解得

a=1,

b=0.

11

(2)由已知可得f(x)=x0-2,所以A2J)-k-2。0在xG［-1,1］上有解可化為2，云-224-2'在

1］上有解，

化為1+(PWN4在xe［T,1］上有解,令懸,則kWt2-2t+l在te［；,2］上有解.

記h{t}=/一2什1,則力（方）max=力⑵=1.

故A的取值范圍是（-8,1］.

/、、t,t/、500xlOOOx1o1o

19.解(1)當0<Y<80,X￡N時,￡(x)-10000--10^-250-^/^40^-250;

,.500xlOOOx1000010000

當x280,x￡N時,￡(zx)二-Yoood---——+1450-250-1200-1

1

-/29_|_40%-250(0<x<80,x6N),

?：￡(」10000

x)1200-(%+-^-)(x>80,%GN).

⑵當0<￥<80,N時,/(x)=](x-60)2%50,?：當產60時,L(x)取得最大值L(60)=950;

I/\[10000)I―10000I,L,1,10000

當lzx280,x￡N時,￡(x)=1200-〈X「一)W1200-2%——1200-200-1000,當且僅當x:一,

即x=100時,等號成立，

.：￡(x)取得最大值/(100)=1000>950.

綜上所述,當x=100時,Z(x)取得最大值1000,

即年產量為100千件時,該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大.

20.解⑴由題意知p(x)=f(x)g(x)N(i，)(104-/^-23/)(1WXW30,xGN*).

(2)p(x)=

'1*

4(1+-)(81+x)(l<x<23,xGN),

4(1+)(127-乃(23<%<30,xeN*).

①當Id23時，

p（x）=4（i1）（81笈）=1（82以片）>4（82+2）=100,

O1

當且僅當X、即xR時,等號成立.

故夕（x）取得最小值400.

②當230^30時,p（x）N（lg（127-x）N（126件-J.

127127