大題02一次函數與反比例函數、二次函數綜合一次函數和反比例函數、二次函數綜合問題是全國中考的熱點內容，更是全國中考的必考內容,每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟等原因導致失分.從考點頻率看，一次函數、反比例函數、二次函數的圖象和性質是考査的基礎也是高頻考點、必考點.從題型角度看，一次函數與反比例函數、二次函數常結合特殊四邊形綜合，難度較高，解題時要全面考慮，避免遺漏可能出現的情況.題型一：比較大小（取值問題）大題典例1．（2020·湖南衡陽·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，關于x的二次函數y=x2+px+q的圖象過點(?1,0)（1）求這個二次函數的表達式；（2）求當?2≤x≤1時，y的最大值與最小值的差；（3）一次函數y=(2?m)x+2?m的圖象與二次函數y=x2+px+q的圖象交點的橫坐標分別是a和b，且a<3<b2．（2023·貴州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，反比例函數y=kxx>0的圖象分別與AB,BC交于點D4,1和點E，且點

(1)求反比例函數的表達式和點E的坐標；(2)若一次函數y=x+m與反比例函數y=kxx>0的圖象相交于點M，當點M在反比例函數圖象上D,E之間的部分時（點M可與點D,E解法指導比較一次函數與反比例函數值大小一般解題步驟:①求交點:聯立方程求出方程組的解;②分區間:將一次函數和反比例函數兩個交點以及y軸左右兩側分層4個區間;③比大小:圖像誰在上方誰就大;④寫出對應區間自變量的取值范圍。變式訓練1．（2023·浙江寧波·模擬預測）已知：一次函數y1=x的圖象與拋物線y2=x(1)求p，(2)直接寫出當y1>y(3)若將拋物線y2=x2+bx（b為常數）的圖象向右平移m個單位，再向上平移n個單位，且平移后的拋物線的頂點落在直線y2．（2023·浙江杭州·一模）已知：一次函數y1=x?2?k與反比例函數(1)若一次函數y1的圖象經過點?1,?4①求函數y1②當y1<y(2)試證明：當k取任何不為0的值時，兩個函數的圖象總有交點．題型二：求三角形的面積大題典例1．（2023·黑龍江大慶·中考真題）一次函數y=?x+m與反比例函數y=kx的圖象交于A，B兩點，點A的坐標為

(1)求一次函數和反比例函數的表達式；(2)求△OAB的面積；(3)過動點Tt，0作x軸的垂線l，l與一次函數y=?x+m和反比例函數y=kx的圖象分別交于M，N兩點，當M2．（2022·河南安陽·一模）二次函數y=x2?2x+5和一次函數y=2x+k（k(1)證明：交點A的橫坐標x0必是方程x(2)二次函數y=x2?2x+5和一次函數y=2x+k有兩個不同的交點B和C，其中B點的坐標為(?2,13)(3)在（2）的條件下求點B、C與y=x解法指導1）當三角形的一邊在x軸或y軸上時,可直接利用面積公式求面積.【方法技巧】在求幾何圖形面積時，線段的長度往往通過計算某些點橫坐標之差的絕對值，或縱坐標之差的絕對值去實現.(橫坐標相減時最好用右邊的數減左邊的數，縱坐標相減時用上邊的數減下邊的數，這樣所得結果就是邊或高的長度，就不用絕對值符號了).2）利用割補法求面積，即將不規則圖形分割為規則圖形計算面積，可根據題的特點靈活選擇解法.3）利用鉛垂高計算三角形面積變式訓練1．（2022·浙江寧波·一模）如圖所示，已知二次函數y1=?x2+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（3,0），另一個交點為B(1)求m的值；(2)若經過點B的一次函數y2=kx+b平分△ABC的面積．求k、2．（2024·甘肅武威·二模）已知一次函數y1=?x+7的圖象與反比例函數y2=kx圖象交于(1)反比例函數的解析式．(2)△AOB的面積．題型三：動點與三角形面積問題大題典例1．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，直線AB與反比例函數y=kxx<0的圖象交于點A?2,m，Bn,2，過點A作AC∥y軸交x軸于點C，在x軸正半軸上取一點D，使OC=2OD，連接BC

(1)求反比例函數的解析式．(2)點P為第一象限內直線AB上一點，且△PAC的面積等于△BAC面積的2倍，求點P的坐標．2．（2023·四川雅安·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形．點A，C在坐標軸上．反比例函數y=kxx>0

(1)求反比例函數的表達式；(2)點D在反比例函數圖象上，且橫坐標大于2，S△OBD=3．求直線解法指導動點P的一般解題思路:①根據情況設P的坐標，如在x軸上則設(m,0)，若在直線y-kx+b上，則設(m，km+b);②根據題意列式，注意距離要加絕對值;③分類討論，寫出正確結果。變式訓練1．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）如圖，正比例函數y=x與反比例函數y=kxx>0的圖象相交于點A22,m，點P是反比例函數y=kxx>0圖象上的一動點，過點P作PH⊥x(1)求k與m的值；(2)若△OPG的面積是2，求此時點P的坐標．2．（2023·河南濮陽·模擬預測）如圖，反比例函數y=kxx>0和y=6xx>0的圖象如圖所示，點Ca,0是x軸正半軸上一動點，過點C作x軸的垂線，分別與y=

(1)當a=2時，線段AB=92，求A，B兩點的坐標及(2)小明同學提出了一個猜想：“當k值一定時，△OAB的面積隨a值的增大而減小．”你認為他的猜想對嗎？請說明理由．題型四：與線段關系問題大題典例1．（2023·江蘇常州·模擬預測）如圖，在△ABC中，AC=BC，AB⊥x軸，垂足為A．反比例函數y=kx(x>0)的圖象經過點C，交AB于點D．已知AB=8(1)若OA=9，求k的值；(2)連接OC，若BD=BC，求k的值．2．（2023·山東聊城·中考真題）如圖，一次函數y=kx+b的圖像與反比例函數y=mx的圖像相交于A?1,4

(1)求反比例函數和一次函數的表達式；(2)點Pn,0在x軸負半軸上，連接AP，過點B作BQ∥AP，交y=mx的圖像于點Q，連接PQ．當BQ=AP解法指導等量關系一般解題思路:利用反比例函數和一次函數圖象上的點的坐標特征得到兩個點的坐標并用含同一字母的代數式表示，再利用線段等量關系得到關于該字母的方程，然后解方程即可得到這兩個點坐標:【補充】:①根據全等，求線段等量關系:②根據特殊角(30°，45°，60°)，求線段等量關系:③根據相似，求線段等量關系;④)根據三角函數，求線段等量關系;變式訓練1．（2023·浙江金華·一模）如圖，點A是反比例函數y=3xx<0上一點，點B是反比例函數y=kxx>0上一點，點O為坐標原點，且(1)若AO=BO，求k的值．(2)若AO=2BO，求k的值．題型五：最值問題大題典例1．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角頂點C3，0，頂點A、B

(1)分別求反比例函數的表達式和直線AB所對應的一次函數的表達式；(2)在x軸上是否存在一點P，使△ABP周長的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．2．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩點A?3,0,B

(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點Px0,y0，其中y(3)若點D，E分別是線段AC，AB上的動點，且AE=2CD，求CE+2BD的最小值．3．（2023·寧夏·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．已知點A的坐標是?1,0

(1)直接寫出點B的坐標；(2)在對稱軸上找一點P，使PA+PC的值最小．求點P的坐標和PA+PC的最小值；(3)第一象限內的拋物線上有一動點M，過點M作MN⊥x軸，垂足為N，連接BC交MN于點Q．依題意補全圖形，當MQ+2CQ的值最大時，求點4．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線y=x2+bx+c過點A?1,0、點B5,0

(1)求b，c的值．(2)點Px①當x0取何值時，△PBC的面積最大？并求出△PBC②過點P作PE⊥x軸，交BC于點E，再過點P作PF∥x軸，交拋物線于點F，連接EF，問：是否存在點P，使△PEF為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解法指導一、面積最值問題題目要求：在拋物線上的第一象限找一點P，使S△方法簡介：方法一：S=12方法二：作l//BC，l與拋物線只有一個交點P，此時h最大，S△PBC面積最大，聯立l與拋物線，△二、線段最值問題對于阿氏圓而言：當系數k＜1的時候，一般情況下，考慮向內構造.當系數k＞1的時候，一般情況下，考慮向外構造.【注意事項】針對求PA+kPB的最小值問題時，當軌跡為直線時，運用“胡不歸模型”求解；當軌跡為圓形時，運用“阿氏圓模型”求解.變式訓練1．（2023·山東濟南·一模）如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線y=kxx>0經過B、C兩點，△ABC為直角三角形，AC∥x軸，AB(1)求反比例函數的表達式及點B的坐標；(2)點M是y軸正半軸上的動點，連接MB、MC；①求MB+MC的最小值；②點N是反比例函數y=kxx>0的圖像上的一個點，若△CMN是以CN2．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=14x2?14x?3與x軸交于A，B兩點，點C為y軸正半軸上一點，且OC=OB，

(1)寫出A、B、C三點坐標；(2)如圖1，當點D關于x軸的對稱點剛好落在拋物線上時，求此時D點的坐標；(3)如圖2，若點E是線段AB上的動點，連接BD、CE，當CD=AE時，求BD+CE的最小值．3．（2023·遼寧丹東·模擬預測）如圖，直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于C，拋物線y=?x2+bx+c經過A、C兩點，與x軸正半軸交于點B，M(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；(2)如圖（1），P點為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA、PC、PO，PO交AC于點Q，若PO將△APC的面積分為1：2兩部分，求點Q的坐標；(3)如圖（2），若點N是第三象限的拋物線上一點，連接NM，交直線AC于E，當∠NEC=∠BCM時，求點N的坐標；(4)在（3）的條件下，若F是y軸上的一個動點，請直接寫出NF+104．（2023·浙江·模擬預測）已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(?1,0)，B(5,0)兩點，C為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸交x軸于點D，連接AC，BC(1)求拋物線的解析式；(2)設P是拋物線的對稱軸上的一個動點．①過點P作x軸的平行線交線段BC于點E，過點E作EF⊥PE交拋物線于點F，連接FB、FC，求△BCF的面積的最大值；②連接PB，求355．（2023·浙江·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=?14x2+bx+3的對稱軸是直線x=2，與x軸相交于A，B兩點（點A在點B(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；(2)M為第一象限內拋物線上的一個點，過點M作MN⊥x軸于點N，交BC于點D，連接CM，當線段CM=CD時，求點M的坐標；(3)以原點O為圓心，AO長為半徑作⊙O，點P為⊙O上的一點，連接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．題型六：特殊四邊形存在性問題大題典例1．（2023·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l:y=kx+2與x，y軸分別相交于點A，B，與反比例函數y=mxx>0的圖象相交于點C，已知OA=1(1)求k，m的值；(2)平行于y軸的動直線與l和反比例函數的圖象分別交于點D，E，若以B，D，E，O為頂點的四邊形為平行四邊形，求點D的坐標．2．（2021·山東濟南·中考真題）如圖，直線y=32x與雙曲線y=kxk≠0交于A，B兩點，點A的坐標為m,?3，點C是雙曲線第一象限分支上的一點，連接BC并延長交（1）求k的值并直接寫出點B的坐標；（2）點G是y軸上的動點，連接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是坐標軸上的點，Q是平面內一點，是否存在點P，Q，使得四邊形ABPQ是矩形？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．解法指導類型一：平行四邊形存在性問題平行四邊形存在性問題通常可分為“三定一動”和“兩定兩動”兩大類問題.而且“三定一動”的動點和“兩定兩動”的動點性質并不完全一樣,“三定一動”中動點是在平面中橫縱坐標都不確定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動點”，而有一些動點在坐標軸、直線或者拋物線上，用一個字母即可表示點坐標，稱為“半動點”.找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個未知量.究其原因，在于平行四邊形兩大性質:(1)對邊平行且相等:(2)對角線互相平分.但此兩個性質統一成一個等式:xA類型二：菱形存在性問題和平行四邊形相比，菱形多一個“對角線互相垂直”或“鄰邊相等”，但這兩者其實是等價的，故若四邊形ABCD是菱形，則其4個點坐標需滿足:xA解決問題的方法也可有如下兩種:思路1:先平四，再菱形.設點坐標，根據平四存在性要求列出“4+C-B+D”(AC、BD為對角線)，再結合組鄰邊相等，得到方程組，思路2:先等腰，再菱形.在構成菱形的4個點中任取3個點，必構成等三角形，根據等腰存在性方法可先確定第3個點，再確定第4個點.類型三：矩形存在性問題矩形除了具有平行四邊形的性質之外，還有“對角線相等”或“內角為直角”，因此相比起行四邊形，坐標系中的矩形滿足以下3個等式:xA+xC=xB+xD類型四：正方形存在性問題思路1:從判定出發1）若已知菱形，則加有一個角為直角或對角線相等:2）若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或對角線互相垂直:3）若已知對角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件.思路2:構造三乖直全等若條件并未給關于四邊形及對角線的特殊性，則考慮在構成正方形的4個頂點中任取3個，必是等腰直角三角形，若已知兩定點，則可通過構造三垂直全等來求得第3個點，再求第4點.總結：構造三垂直全等的思路僅適合已知兩定點的情形，若題目給了4個動點，則考慮矩形的判定出發，觀察該四邊形是否己為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關系.（正方形的存在性問題在中考中出現得并不多，正方形多以小題壓軸為主）變式訓練1．（2024·山東濟南·一模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=mx+n與反比例函數y=kx的圖象在第一象限內交于Aa,4和B4,2兩點，直線AB與x軸相交于點(1)求一次函數與反比例函數的表達式；(2)當x>0時，請結合函數圖象，直接寫出關于x的不等式mx+n≥k(3)過點B作BD平行于x軸，交OA于點D，在x軸上是否存在點P，使以點O、B、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在請求出P點坐標，若不存在請說明理由．2．（23-24九年級上·四川成都·期末）如圖1，反比例函數y=kx與一次函數y=x+b的圖象交于A，(1)求反比例函數和一次函數的表達式；(2)一次函數y=x+b的圖象與x軸交于點C，點D（未在圖中畫出）是反比例函數圖象上的一個動點，若S△OCD=3，求點(3)若點M是坐標軸上一點，點N是平面內一點，是否存在點M，N，使得四邊形ABMN是矩形？若存在，請求出所有符合條件的點3．（2023·山東濟南·模擬預測）一次函數y=12x+2與x軸交于C點，與y軸交于B點，直線BC與反比例函數y=(1)求出a，k的值；(2)M為線段BC上的點，將點M向右平移4個單位，再向上平移2個單位得到點N，點N恰巧在反比例函數y=kx上，求出點(3)在（2）的條件下，若點P是x軸上的一個動點，點Q是平面內的任意一點，試判斷是否存在這樣的點P，Q，使得四邊形MAPQ為菱形，若存在，請直接寫出符合條件的點P坐標；若不存在，請說明理由．題型七：特殊角存在性問題大題典例1．（2024·四川成都·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數圖象y=2x+b與y軸交于點A0,6，與反比例函數y=mx的圖象的交點為B

(1)求點B的坐標及反比例函數的表達式；(2)求△BCO的面積；(3)當x<0時，在反比例函數圖象上是否存在點Q，使得∠BOQ=∠OAB？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．解法指導【常見的構角方法】1）平行線的同位角、內錯角相等；2）等腰三角形的等邊對等角；3）角平分線分的兩個角相等；4）全等（相似）三角形對應角相等；5）若兩角的三角函數值相等，則兩角相等；6）同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.探究角度問題的一般步驟如下：1）讀題、理解題意，畫圖；2）分析動點、定點、找不變特征（如角有兩邊，其中一條邊是確定的）；3）確定分類特征，進行分類討論；4）將角度進行轉化.角度轉化的一般方法為：通過銳角三角形函數、特殊角的三角函數值，相似三角形或等腰三角形的性質，轉化為常見的類型，然后利用解直角三角形、相似三角形邊的比例關系作為計算工具去計算求解，難度相對較大.變式訓練1．（2024·四川成都·一模）如圖，一次函數y=12x?1的圖象與反比例函數y=mx(1)求反比例函數表達式；(2)當∠MBA=45°時，求點M的坐標；(3)我們把對角線互相垂直且相等的四邊形稱為“垂等四邊形”．設點N是平面內一點，是否存在這樣的N,M兩點，使四邊形ABNM是“垂等四邊形”，且∠ABM=∠MAN？若存在，求出M，N兩點的坐標；若不存在，請說明理由．2．（23-24九年級上·四川成都·期末）如圖1，直線y=ax+4經過點A2,0，交反比例函數y=kx(x<0)的圖象于點

(1)求反比例函數表達式；(2)過點P作PC∥x軸交直線AB于點C，連接AP，BP若△ACP的面積是△BPC面積的2倍，請求出點P坐標．(3)在反比例函數y=kx(x<0)圖象上是否存在點P，使∠BAP=45°必刷大題刷模擬1．（2024·河南周口·一模）如圖，一次函數y=kx+1(k≠0)的圖象與反比例函數y=ax(a≠0,x>0)的圖象交于點A(1,m)，與y軸交于點B，與x(1)求k與a的值．(2)P是x軸正半軸上一點，若BP=BC，求△PAB的面積．2．（2023·山東青島·模擬預測）一次函數y1=?x+4圖像與反比例函數y2=kx圖像在第一象限內交于兩點A，B，與坐標軸交于點(1)求反比例函數關系式和A與B兩點坐標．(2)若點P在反比例函數圖像上，S△POD=2S3．（2024·四川達州·二模）如圖，一次函數y=12x+1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點C，與反比例函數y=kxk≠0的圖象交于(1)求k的值；(2)請直接寫出不等式kx(3)若P是x軸上一點，PM⊥x軸交一次函數y=12x+1的圖象于點M，交反比例函數y=kxk≠0的圖象于點4．（2023·山東濟南·模擬預測）一次函數y=12x+2與x軸交于C點，與y軸交于B點，直線BC與反比例函數y=(1)求出a，k的值；(2)M為線段BC上的點，將點M向右平移4個單位，再向上平移2個單位得到點N，點N恰巧在反比例函數y=kx上，求出點(3)在（2）的條件下，若點P是x軸上的一個動點，點Q是平面內的任意一點，試判斷是否存在這樣的點P，Q，使得四邊形MAPQ為菱形，若存在，請直接寫出符合條件的點P坐標；若不存在，請說明理由．5．（2024·山東濟寧·一模）如圖，一次函數．y1=kx+bk≠0與反比例函數y2=(1)求這兩個函數的解析式；(2)點P在線段AB上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數y2的圖象于點Q，若△POQ面積為3，求點P6．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=2x的圖象l與函數y=kx（k>0，x>0）的圖象（記為Γ）交于點A，過點A作AB⊥y軸于點B，且AB=1，點C在線段OB上（不含端點），且OC=t，過點C作直線l1∥x軸，交l于點(1)求k的值，并且用含t的式子表示點D的橫坐標；(2)連接OE、BE、AE，記△OBE、△ADE的面積分別為S1、S2，設7．（2024·貴州·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=x+b的圖象經過點A?2,0，且與二次函數y=kx2(1)求一次函數與二次函數的表達式；(2)設M是直線AB上一點，過點M作MN∥y軸，交二次函數y=kx2+x?1的圖象于點N，若以點O、C、M、N8．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，一次函數y=33x+3的圖象與坐標軸交于點A、B，拋物線y=?3

(1)求二次函數的表達式；(2)若點P為拋物線上一動點，在直線AB上方是否存在點P使△PAB的面積最大？若存在，請求出△PAB面積的最大值及點P的坐標，請說明理由．刷真題1．（2023·西藏·中考真題）如圖，一次函數y=x+2與反比例函數y=ax的圖象相交于A，B兩點，且點A的坐標為1,m，點B的坐標為

(1)求m,n的值和反比例函數的解析式；(2)點A關于原點O的對稱點為A'，在x軸上找一點P，使PA'2．（2023·四川·中考真題）如圖，已知一次函數y=kx+6的圖象與反比例函數y=mxm>0的圖象交于A3，4，B兩點，與x軸交于點C，將直線AB沿

(1)求k，m的值及C點坐標；(2)連接AD，CD，求△ACD的面積．3．（2023·湖北黃岡·中考真題）如圖，一次函數y1=kx+b(k≠0)與函數為y2

(1)求這兩個函數的解析式；(2)根據圖象，直接寫出滿足y1?y(3)點P在線段AB上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數y2的圖象于點Q，若△POQ面積為3，求點P4．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，一次函數y=2x的圖象與反比例函數y=kx(x>0)的圖象交于點A4,n．將點A沿x軸正方向平移m個單位長度得到點B,D為x軸正半軸上的點，點B的橫坐標大于點D的橫坐標，連接BD,BD的中點

(1)求n,k的值；(2)當m為何值時，AB?OD的值最大?最大值是多少?5．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=4x的圖象交于點Am,4，與x軸交于點B，與y

(1)求m的值和一次函數的表達式；(2)已知P為反比例函數y=4x圖象上的一點，S△OBP6．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，一次函數y=kx+b(k>0)的圖像與反比例函數y=8x(x>0)的圖像交于點A，與x軸交于點B，與y軸交于點C，AD⊥x軸于點D，CB=CD，點C關于直線AD(1)點E是否在這個反比例函數的圖像上？請說明理由；(2)連接AE、DE，若四邊形ACDE為正方形．①求k、b的值；②若點P在y軸上，當|PE?PB|最大時，求點P的坐標．

7．（2022·江蘇鎮江·中考真題）如圖，一次函數y=2x+b與反比例函數y=kxk≠0的圖像交于點A1,4，與(1)k=_________，b=_________；(2)連接并延長AO，與反比例函數y=kxk≠0的圖像交于點C，點D在y軸上，若以O、C、D為頂點的三角形與△AOB8．（2020·山東泰安·中考真題）若一次函數y=?3x?3的圖象與x軸，y軸分別交于A，C兩點，點B的坐標為3,0，二次函數y=ax2+bx+c的圖象過A，B（1）求二次函數的表達式；（2）如圖（1），過點C作CD//x軸交拋物線于點D，點E在拋物線上（y軸左側），若BC恰好平分∠DBE．求直線（3）如圖（2），若點P在拋物線上（點P在y軸右側），連接AP交BC于點F，連接BP，S△BFP①當m=12時，求點②求m的最大值．

大題02一次函數與反比例函數、二次函數綜合一次函數和反比例函數、二次函數綜合問題是全國中考的熱點內容，更是全國中考的必考內容,每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟等原因導致失分.從考點頻率看，一次函數、反比例函數、二次函數的圖象和性質是考査的基礎也是高頻考點、必考點.從題型角度看，一次函數與反比例函數、二次函數常結合特殊四邊形綜合，難度較高，解題時要全面考慮，避免遺漏可能出現的情況.題型一：比較大小（取值問題）大題典例1．（2020·湖南衡陽·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，關于x的二次函數y=x2+px+q的圖象過點(?1,0)（1）求這個二次函數的表達式；（2）求當?2≤x≤1時，y的最大值與最小值的差；（3）一次函數y=(2?m)x+2?m的圖象與二次函數y=x2+px+q的圖象交點的橫坐標分別是a和b，且a<3<b【答案】（1）y=x2?x?2；（2）25【分析】（1）利用待定系數法將點(?1,0)，(2,0)代入解析式中解方程組即可；（2）根據（1）中函數關系式得到對稱軸x=12，從而知在?2≤x≤1中，當x=-2時，y有最大值，當（3）根據兩函數相交可得出x與m的函數關系式，根據有兩個交點可得出Δ>0，根據根與系數的關系可得出a，b的值，然后根據a<3<b，整理得出m的取值范圍．【詳解】解：（1）∵y=x2+px+q的圖象過點(?1,0)∴1?p+q=0解得p=?1∴y=（2）由（1）得，二次函數對稱軸為x=∴當?2≤x≤1時，y的最大值為(-2)2-(-2)-2=4,y的最小值為1∴y的最大值與最小值的差為4??（3）由題意及（1）得y=整理得x即(x+1)∵一次函數y=(2?m)x+2?m的圖象與二次函數y=x2+px+q的圖象交點的橫坐標分別是a∴Δ=化簡得m即m?5解得m≠5∴a，b為方程(x+1)x?又∵a<3<b∴a=-1，b=4-m即4-m>3∴m<1綜上所述，m的取值范圍為m<1．【點睛】本題考查了利用待定系數法求二次函數解析式，二次函數圖象的性質，根與系數的關系等知識．解題的關鍵是熟記二次函數圖象的性質．2．（2023·貴州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，反比例函數y=kxx>0的圖象分別與AB,BC交于點D4,1和點E，且點

(1)求反比例函數的表達式和點E的坐標；(2)若一次函數y=x+m與反比例函數y=kxx>0的圖象相交于點M，當點M在反比例函數圖象上D,E之間的部分時（點M可與點D,E【答案】(1)反比例函數解析式為y=4x(2)?3≤m≤0【分析】（1）根據矩形的性質得到BC∥OA，AB⊥OA，再由D4,1是AB的中點得到B4，（2）求出直線y=x+m恰好經過D和恰好經過E時m的值，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵四邊形OABC是矩形，∴BC∥OA，∵D4,1是AB∴B4∴點E的縱坐標為2，∵反比例函數y=kxx>0的圖象分別與AB,BC交于點D∴1=k∴k=4，∴反比例函數解析式為y=4在y=4x中，當y=4∴E2（2）解：當直線y=x+m經過點E2，2時，則2+m=2當直線y=x+m經過點D4，1時，則4+m=1∵一次函數y=x+m與反比例函數y=kxx>0的圖象相交于點M，當點M在反比例函數圖象上D,E之間的部分時（點M∴?3≤m≤0．【點睛】本題主要考查了求一次函數解析式，一次函數與反比例函數綜合，矩形的性質等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．解法指導比較一次函數與反比例函數值大小一般解題步驟:①求交點:聯立方程求出方程組的解;②分區間:將一次函數和反比例函數兩個交點以及y軸左右兩側分層4個區間;③比大小:圖像誰在上方誰就大;④寫出對應區間自變量的取值范圍。變式訓練1．（2023·浙江寧波·模擬預測）已知：一次函數y1=x的圖象與拋物線y2=x(1)求p，(2)直接寫出當y1>y(3)若將拋物線y2=x2+bx（b為常數）的圖象向右平移m個單位，再向上平移n個單位，且平移后的拋物線的頂點落在直線y【答案】(1)p=3(2)當y1>(3)m=n?2【分析】（1）根據題意，利用待定系數法，列二元一次方程組求解即可得到答案；（2）根據題意，聯立方程組求出兩個圖象交點坐標，數形結合由函數圖象解不等式的方法求解即可得到答案；（3）根據函數圖象的平移法則得到平移后的拋物線解析式，再由新拋物線頂點落在直線y1【詳解】（1）解：∵一次函數y1=x的圖象與拋物線y2=x∴p=3p=3∴p=3，（2）解：聯立方程組y=xy=x2?2x，解得作出一次函數y1=x的圖象與拋物線y2∴當y1>y2（3）解：由（1）知拋物線為y2若將拋物線y2=x2?2x的圖象向右平移m個單位，再向上平移n∵平移后的拋物線y2=x?1?m2?1+n∴m=n?2．【點睛】本題考查一次函數與二次函數綜合，涉及函數圖象與性質、待定系數求系數、解二元一次方程組、求函數圖象交點坐標、作函數圖象、利用函數圖象解不等式、函數圖象平移等知識，讀懂題意，掌握相關函數圖象與性質解函數綜合題目是解決問題的關鍵．2．（2023·浙江杭州·一模）已知：一次函數y1=x?2?k與反比例函數(1)若一次函數y1的圖象經過點?1,?4①求函數y1②當y1<y(2)試證明：當k取任何不為0的值時，兩個函數的圖象總有交點．【答案】(1)①一次函數解析式為：y1=x?3；反比例函數解析式為：y2=?4x；兩函數的交點坐標為1,?2(2)見解析【分析】本題考查一次函數和反比例函數的綜合運用：（1）利用待定系數法求出解析式，即可求解；（2）聯立兩函數解析式，可得x2【詳解】（1）解：①∵一次函數y1=x?2?k的圖象經過點∴?1?2?k=?4，∴k=1，∴一次函數解析式為：y1=x?3；反比例函數解析式為：聯立方程組y=x?3y=?2x，解得x=1∴兩函數的交點坐標為1,?2，2,?1．②畫出兩個函數圖象如圖所示：當y1<y2時，寫出x的取值范圍為（2）解：一次函數y1=x?2?k與反比例函數y2?2k整理得：x2∵Δ=∴當k取任何不為0的值時，兩個函數的圖象總有交點．題型二：求三角形的面積大題典例1．（2023·黑龍江大慶·中考真題）一次函數y=?x+m與反比例函數y=kx的圖象交于A，B兩點，點A的坐標為

(1)求一次函數和反比例函數的表達式；(2)求△OAB的面積；(3)過動點Tt，0作x軸的垂線l，l與一次函數y=?x+m和反比例函數y=kx的圖象分別交于M，N兩點，當M【答案】(1)一次函數的解析式為y=?x+3，反比例函數的解析式為y=(2)3(3)t<0或1<t<2【分析】（1）把A1，2（2）聯立y=?x+3y=2x求出點B的坐標，令直線AB與x交于點C，由直線AB求出點C（3）直接由函數圖象即可得到答案．【詳解】（1）解：把A1，2得?1+m=2，解得：m=3，∴一次函數的解析式為：y=?x+3，把A1，2得k1解得：k=2，∴反比例函數的解析式為：y=2（2）解：聯立y=?x+3y=解得：x=1y=2或x=2∴B2令直線AB與x交于點C，如圖，

，當y=0時，?x+3=0，解得：x=3，∴C3∴（3）解：由圖象可得：

，當M在N的上方時，t的取值范圍為：t<0或1<x<2．【點睛】本題考查了求反比例函數的解析式、求一次函數的解析式、反比例函數與一次函數的交點問題，熟練掌握反比例函數和一次函數的圖象與性質，是解題的關鍵．2．（2022·河南安陽·一模）二次函數y=x2?2x+5和一次函數y=2x+k（k(1)證明：交點A的橫坐標x0必是方程x(2)二次函數y=x2?2x+5和一次函數y=2x+k有兩個不同的交點B和C，其中B點的坐標為(?2,13)(3)在（2）的條件下求點B、C與y=x【答案】(1)見解析(2)（6，29）(3)60【分析】（1）聯立一次函數與二次函數解析式即可得到答案；（2）先求出一次函數的解析式，然后聯立一次函數和二次函數即可求解；（3）先求出拋物線y=x2?2x+5的頂點D的坐標，然后求出直線CD的解析式，從而求出點E【詳解】（1）解：聯立y=x2?2x+5∵二次函數y=x2?2x+5和一次函數y=2x+k（k∴點A既在二次函數圖象上，也在一次函數圖象上，∴交點A的橫坐標x0必是方程x（2）解：∵二次函數與一次函數的一個交點為（-2，13），∴?4+k=13，∴k=17，∴一次函數解析式為y=2x+17，聯立y=x2?2x+5解得x=6或x=?2（舍去），∴y=12+17=29，∴點C的坐標為（6，29）；（3）解：設拋物線y=x2?2x+5∵拋物線y=x2?2x+5∴拋物線y=x2?2x+5設直線CD的解析式為y=mx+n，直線CD與直線y=13交于點E∴m+n=46m+n=29∴m=5n=?1∴直線CD的解析式為y=5x?1，∴點E的坐標為145∴BE=24∴S△BCD=1===60【點睛】本題主要考查了一次函數與二次函數綜合，三角形面積，熟知待定系數法求函數解析式和求一次函數與二次函數的交點坐標是解題的關鍵．解法指導1）當三角形的一邊在x軸或y軸上時,可直接利用面積公式求面積.【方法技巧】在求幾何圖形面積時，線段的長度往往通過計算某些點橫坐標之差的絕對值，或縱坐標之差的絕對值去實現.(橫坐標相減時最好用右邊的數減左邊的數，縱坐標相減時用上邊的數減下邊的數，這樣所得結果就是邊或高的長度，就不用絕對值符號了).2）利用割補法求面積，即將不規則圖形分割為規則圖形計算面積，可根據題的特點靈活選擇解法.3）利用鉛垂高計算三角形面積變式訓練1．（2022·浙江寧波·一模）如圖所示，已知二次函數y1=?x2+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（3,0），另一個交點為B(1)求m的值；(2)若經過點B的一次函數y2=kx+b平分△ABC的面積．求k、【答案】(1)m=3(2)k=【分析】（1）將點A（3，0）代入y1=?x（2）由（1）的m=3得?x2+2x+3=0，求出點B、C的坐標，再由一次函數y2=kx+b平分△ABC的面積，可知一次函數y2=kx+b【詳解】（1）解：∵二次函數y1=?x2+2x+m∴0=?9+6+m，∴m=3；（2）如上圖，∵一次函數y2=kx+b平分△∴一次函數y2=kx+b平分線段∴一次函數y2=kx+b經過AC的中點∵m=3，∴?x2+2x+3=0時，解得x∴點B的坐標為B（-1，0），

當x=0時，y=3，∴點C的坐標為C（0，3），∴點E的坐標為E（32，32∵一次函數y2=kx+b經過點∴0=?k+b3解得：{【點睛】本題考查了二次函數的性質和一次函數解析式的求法，解題的關鍵是求出點E的坐標．2．（2024·甘肅武威·二模）已知一次函數y1=?x+7的圖象與反比例函數y2=kx圖象交于(1)反比例函數的解析式．(2)△AOB的面積．【答案】(1)y=?(2)63【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求函數解析式解題關鍵是反比例函數與一次函數圖象的交點坐標滿足兩函數解析式，注意數形結合思想．（1）把x=?1代入y1=?x+7可確定A點坐標為（2）解析式聯立，解方程組求得B的坐標，然后確定C點坐標，再利用△AOB的面積=S【詳解】（1）解：∵A點的橫坐標?1且在一次函數y1∴A?1,8∵A?1,8在反比例函數y∴k=?8，故反比例函數的解析式為：y=?（2）過點A作AM⊥x軸，過點B作BN⊥x軸如圖：一次函數y1=?x+7與x軸交點為令y1解得x=7，∴C7,0聯立y=?x+7y=?解得：x=?1y=8或x=?8∴B8,?1∴=63題型三：動點與三角形面積問題大題典例1．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，直線AB與反比例函數y=kxx<0的圖象交于點A?2,m，Bn,2，過點A作AC∥y軸交x軸于點C，在x軸正半軸上取一點D，使OC=2OD，連接BC

(1)求反比例函數的解析式．(2)點P為第一象限內直線AB上一點，且△PAC的面積等于△BAC面積的2倍，求點P的坐標．【答案】(1)y=?8(2)P【分析】（1）根據OC=2OD，可得三角形面積之比，計算出△AOC的面積，面積乘2即為k=8（2）根據點的坐標求出直線AB的解析式為y=x+6，設符合條件的點Pm,m+6【詳解】（1）解：∵OC=2OD，△ACD的面積是6，∴S△AOC∴k=8∵圖象在第二象限，∴k=?8，∴反比例函數解析式為：y=?8（2）∵點A?2,m，Bn,2，在∴m=4，n=?4，∴A?2,4，B設直線AB的解析式為y=kx+b，?2k+b=4?4k+b=2解得：k=1b=6∴直線AB的解析式為y=x+6，∵AC∥y軸交x軸于點C，∴C?2,0∴S△ABC設直線AB上在第一象限的點Pm,m+6∴S△PAC∴2m+4=8，∴m=2，∴P2,8【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，交點坐標滿足兩個函數關系式．2．（2023·四川雅安·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形．點A，C在坐標軸上．反比例函數y=kxx>0

(1)求反比例函數的表達式；(2)點D在反比例函數圖象上，且橫坐標大于2，S△OBD=3．求直線【答案】(1)y=(2)y=?【分析】（1）根據四邊形OABC是邊長為2的正方形求出點B的坐標，代入y=kx求出（2）設Da,4a，過點D作DH⊥x軸，根據S△OBD=【詳解】（1）解：∵四邊形OABC是邊長為2的正方形，∴S正方形∴k=4；即反比例函數的表達式為y=4（2）解：設Da,4a，過點D

∵點B2,2，Da,4∴SS△BHDS∵S∴a+4(a?2)解得：a1=4，a2即點D4,1設直線BD的函數解析式為y=kx+b，得∶2k+b=24k+b=1，解得：k=?即：直線BD的函數解析式為y=?1【點睛】本題考查了反比例函數的幾何意義和待定系數法求一次函數解析式，反比例函數y=kx圖象上任意一點做x軸、y軸的垂線，組成的長方形的面積等于解法指導動點P的一般解題思路:①根據情況設P的坐標，如在x軸上則設(m,0)，若在直線y-kx+b上，則設(m，km+b);②根據題意列式，注意距離要加絕對值;③分類討論，寫出正確結果。變式訓練1．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）如圖，正比例函數y=x與反比例函數y=kxx>0的圖象相交于點A22,m，點P是反比例函數y=kxx>0圖象上的一動點，過點P作PH⊥x(1)求k與m的值；(2)若△OPG的面積是2，求此時點P的坐標．【答案】(1)k=8，m=2(2)P【分析】本題考查了反比例函數與正比例函數，熟練掌握待定系數法是解題關鍵．（1）將點A22,m代入正比例函數y=x可得m值，從而可得點A的坐標，再將點A（2）根據（1）可得反比例函數的解析式為y=8x，再設點P的坐標為Pa,8a，則點G的坐標為Ga,a，從而可得【詳解】（1）解：將點A22,m代入正比例函數y=x則A2將點A22,22代入反比例函數（2）解：由（1）可知，反比例函數的解析式為y=8設點P的坐標為Pa,8aa>0，則點∴OH=a,PG=8∵△OPG的面積是2，∴12a8解得a=2或a=?2<0（不符合題意，舍去），經檢驗，a=2是所列方程的解，∴8a即此時點P的坐標為P2,42．（2023·河南濮陽·模擬預測）如圖，反比例函數y=kxx>0和y=6xx>0的圖象如圖所示，點Ca,0是x軸正半軸上一動點，過點C作x軸的垂線，分別與y=

(1)當a=2時，線段AB=92，求A，B兩點的坐標及(2)小明同學提出了一個猜想：“當k值一定時，△OAB的面積隨a值的增大而減小．”你認為他的猜想對嗎？請說明理由．【答案】(1)點A為(2,?32)，點B為(2,3)，k(2)小明猜想不正確，理由見解析【分析】本題考查了反比例函數k的幾何意義，三角形面積，一次函數的性質等知識點，其中理解反比例函數k的幾何意義是解題的關鍵．（1）由過點C作x軸的垂線叫解析式為A、B兩點可知：當點C為(a,0)，則點B坐標為(a,6a)，點A坐標為(a,?ka（2）根據題意列出AB的關系式，再根據公式S△OAB【詳解】（1）由題意可知：點C為(a,0)，則點B坐標為(a,6a)，點A當a=2時，則點A為(2,?k2)，點B∴BC=3．∵AB=9∴AC=AB?BC=3∴?k∴k=?3．∴點A為(2,?32)，點B為(2,3)，k（2）由題意可知：AB=6a?∴S∵k值一定，∴△OAB的面積一定，∴小明猜想不正確．題型四：與線段關系問題大題典例1．（2023·江蘇常州·模擬預測）如圖，在△ABC中，AC=BC，AB⊥x軸，垂足為A．反比例函數y=kx(x>0)的圖象經過點C，交AB于點D．已知AB=8(1)若OA=9，求k的值；(2)連接OC，若BD=BC，求k的值．【答案】(1)k=24(2)k=36【分析】本題考查了反比例函數圖象和性質，勾股定理，等腰三角形的性質，熟練掌握其性質是解題的關鍵．（1）利用等腰三角形的性質得出AE、BE，的長，再利用勾股定理得出的長，得出C點坐標即可得到答案．（2）首先表示出C、D兩點的坐標，進而利用反比例函數圖像上的性質求出C點坐標，然后利用勾股定理可求得的長．【詳解】（1）解：（1）作CE⊥AB，垂足為E，∵AC=BC，AB=8，∴AE=BE=4．在Rt△BCE中，BC=5，∴CE=B∵OA=9，∴C點的坐標為：(6,4)，∵反比例函數y=kx(x>0)∴k=6×4=24，（2）（2）設A點的坐標為(m,0)，∵BD=BC=5，AB=8，∴AD=3，∵D，C兩點的坐標分別為：(m,3)，(m?3,4)．∵點C，D都在反比例函數y=k∴3m=4(m?3)，∴m=12，∴C點的坐標為：(9,4)，∴k=9×4=36．2．（2023·山東聊城·中考真題）如圖，一次函數y=kx+b的圖像與反比例函數y=mx的圖像相交于A?1,4

(1)求反比例函數和一次函數的表達式；(2)點Pn,0在x軸負半軸上，連接AP，過點B作BQ∥AP，交y=mx的圖像于點Q，連接PQ．當BQ=AP【答案】(1)y=?4x(2)n=?【分析】（1）根據反比例函數過點A?1,4，Ba,?1兩點，確定（2）根據平移思想，設解析式求解即可．【詳解】（1）解：∵一次函數y=kx+b的圖像與反比例函數y=mx的圖像相交于A?1,4∴m=?1×4=?4，故反比例函數的解析式為y=?4∴a=?4故B4,?1∴4k+b=?1?k+b=4解得k=?1b=3∴直線的解析式為y=?x+3．（2）∵A?1,4，B4,?1，Pn,0，BQ∴四邊形APQB是平行四邊形，∴點A到點P的平移規律是向左平移?1?n個單位，向下平移4個單位，∴點B4,?1到點Q的平移規律也是向左平移?1?n故Q5+n,?5∵Q5+n,?5在y=?∴5+n=?4解得：n=?21∴點P的坐標為0,?21設AB與x軸交于點C，連接PB，如圖所示：把y=0代入y=?x+3，解得：x=3，∴C3,0∴PC=3??∴S△APB∵四邊形APQB為平行四邊形，∴S四邊形∴當n=?21【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的交點，平移規律計算，熟練掌握規律是解題的關鍵．解法指導等量關系一般解題思路:利用反比例函數和一次函數圖象上的點的坐標特征得到兩個點的坐標并用含同一字母的代數式表示，再利用線段等量關系得到關于該字母的方程，然后解方程即可得到這兩個點坐標:【補充】:①根據全等，求線段等量關系:②根據特殊角(30°，45°，60°)，求線段等量關系:③根據相似，求線段等量關系;④)根據三角函數，求線段等量關系;變式訓練1．（2023·浙江金華·一模）如圖，點A是反比例函數y=3xx<0上一點，點B是反比例函數y=kxx>0上一點，點O為坐標原點，且(1)若AO=BO，求k的值．(2)若AO=2BO，求k的值．【答案】(1)k=3(2)3【分析】本題主要考查了反比例函數與幾何綜合，相似三角形的性質與判定，關于原點對稱的點的坐標特點：（1）根據題意可得點A和點B關于原點對稱，設Am，3（2）分別過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D，證明△OAC∽△OBD，得到OCOD=ACBD=【詳解】（1）解：∵A、O、B三點共線，且AO=BO，∴點A和點B關于原點對稱，設Am，3把B?m，?3m（2）解：如圖所示，分別過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D，∴∠ACO=∠BDO=90°，又∵∠AOC=∠BOD，∴△OAC∽△OBD，∴OCOD設Am，3∴OD=?1∴B?把B?12m，題型五：最值問題大題典例1．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角頂點C3，0，頂點A、B

(1)分別求反比例函數的表達式和直線AB所對應的一次函數的表達式；(2)在x軸上是否存在一點P，使△ABP周長的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=6x(2)在x軸上存在一點P5,0，使△ABP周長的值最小,最小值是2【分析】（1）過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BD⊥x軸于點D，證明△ACE≌△CBDAAS，則CD=AE=3,BD=EC=m，由OE=3?m得到點A的坐標是3?m,3，由A、B6，m恰好落在反比例函數y=kx第一象限的圖象上得到33?m=6m，解得m=1，得到點（2）延長AE至點A'，使得EA'=AE，連接A'B交x軸于點P，連接AP，利用軸對稱的性質得到AP=A'P，A'2,?3，則AP+PB=A'【詳解】（1）解：過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BD⊥x軸于點D，則∠AEC=∠CDB=90°，

∵點C3，0∴OC=3,OD=6,BD=m，∴CD=OD?OC=3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=90°,AC=BC，∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACE=∠CBD，∴△ACE≌△CBDAAS∴CD=AE=3,BD=EC=m，∴OE=OC?EC=3?m，∴點A的坐標是3?m,3，∵A、B6，m∴33?m解得m=1，∴點A的坐標是2,3，點B的坐標是6,1，∴k=6m=6，∴反比例函數的解析式是y=6設直線AB所對應的一次函數的表達式為y=px+q，把點A和點B的坐標代入得，2p+q=36p+q=1，解得p=?∴直線AB所對應的一次函數的表達式為y=?1（2）延長AE至點A'，使得EA'=AE，連接A'B交

∴點A與點A'關于x∴AP=A'P∵AP+PB=A∴AP+PB的最小值是A'∵AB=2?62+∴此時△ABP的周長為AP+PB+AB=AB+A設直線A'B的解析式是則2n+t=?36n+t=1解得n=1t=?5∴直線A'B的解析式是當y=0時，0=x?5，解得x=5，即點P的坐標是5,0，此時AP+PB+AB=AB+A綜上可知，在x軸上存在一點P5,0，使△ABP周長的值最小，最小值是2【點睛】此題考查了反比例函數和一次函數的圖象和性質、用到了待定系數法求函數解析式、勾股定理求兩點間距離、軸對稱最短路徑問題、全等三角形的判定和性質等知識，數形結合和準確計算是解題的關鍵．2．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩點A?3,0,B

(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點Px0,y0，其中y(3)若點D，E分別是線段AC，AB上的動點，且AE=2CD，求CE+2BD的最小值．【答案】(1)y=?1(2)?21(3)233．【分析】（1）由待定系數法即可求解；（2）在Rt△AOC中，tan∠CAO=COAO=43（3）作∠EAG=∠BCD，證明△BCD∽△GAE且相似比為1:2，故當C、E、G共線時，CE+2BD=CE+EG=CG為最小，進而求解．【詳解】（1）解：設拋物線的表達式為：y=a(x+3)(x?4)=a(x即?12a=4，則a=?1故拋物線的表達式為：y=?1（2）解：在Rt△AOC中，tan∵∠CAO+∠ABP=90°，則tan∠ABP=故設直線BP的表達式為：y=3聯立①②得：?1解得：x=?21（3）解：作∠EAG=∠BCD，

設AG=2BC=2×42∵AE=2CD，∴△BCD∽△GAE且相似比為1:2，則EG=2BD，故當C、E、G共線時，CE+2BD=CE+EG=CG為最小，在△ABC中，設AC邊上的高為?，則S△ABC即5?=4×7，解得：?=28則sin∠ACD=則tan∠EAG=7過點G作GN⊥x軸于點N，則NG=AG?sin即點G的縱坐標為：?56同理可得，點G的橫坐標為：?7即點G?由點C、G的坐標得，CG=0+即CE+2BD的最小值為233．【點睛】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．3．（2023·寧夏·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．已知點A的坐標是?1,0

(1)直接寫出點B的坐標；(2)在對稱軸上找一點P，使PA+PC的值最小．求點P的坐標和PA+PC的最小值；(3)第一象限內的拋物線上有一動點M，過點M作MN⊥x軸，垂足為N，連接BC交MN于點Q．依題意補全圖形，當MQ+2CQ的值最大時，求點【答案】(1)3,0(2)點P1,2，PA+PC的最小值為(3)M【分析】（1）根據拋物線的對稱性，進行求解即可；（2）根據拋物線的對稱性，得到PA+PC=PB+PC≥BC，得到當P,B,C三點共線時，PA+PC的值最小，為BC的長，求出直線BC的解析式，解析式與對稱軸的交點即為點P的坐標，兩點間的距離公式求出BC的長，即為PA+PC的最小值；（3）根據題意，補全圖形，設Mm,?m2+2m+3，得到Nm,0【詳解】（1）解：∵點A?1,0關于對稱軸的對稱點為點B，對稱軸為直線x=1∴點B為3,0；（2）當x=0時，y=3，∴C0,3連接BC，

∵B3,0∴BC=3∵點A關于對稱軸的對稱點為點B，∴PA+PC=PB+PC≥BC，∴當P,B,C三點共線時，PA+PC的值最小，為BC的長，設直線BC的解析式為：y=kx+n，則：n=33k+n=0，解得：n=3∴y=?x+3，∵點P在拋物線的對稱軸上，∴P1,2∴點P1,2，PA+PC的最小值為3（3）過點M作MN⊥x軸，垂足為N，連接BC交MN于點Q，如圖所示，

∵A?1,0設拋物線的解析式為：y=ax+1∵C0,3∴3=?3a，∴a=?1，∴y=?x+1設Mm,?m2由（2）知：直線BC：y=?x+3，∴Qm,?m+3∴MQ=?m∵C0,3∴OC=OB=3，BN=3?m，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NQB=∠OBC=45°，∴BQ=2∴CQ=BC?BQ=32∴MQ+2∴當m=52時，MQ+2【點睛】本題考查二次函數的綜合應用．正確的求出函數解析式，利用拋物線的對稱性以及數形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．4．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線y=x2+bx+c過點A?1,0、點B5,0

(1)求b，c的值．(2)點Px①當x0取何值時，△PBC的面積最大？并求出△PBC②過點P作PE⊥x軸，交BC于點E，再過點P作PF∥x軸，交拋物線于點F，連接EF，問：是否存在點P，使△PEF為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)b=?4，c=?5(2)①當x0=52時，②當點P的坐標為7?332,3?333【分析】（1）將將A?1,0、B5,0代入拋物線（2）①由（1）可知：y=x2?4x?5，得C0,?5，可求得BC的解析式為y=x?5，過點P作PE⊥x軸，交BC于點E，交x軸于點Q，易得PE=yE?y0=?x②由題意可知拋物線的對稱軸為x對=??42×1=2，則xF=4?x0【詳解】（1）解：將A?1,0、B5,0代入拋物線可得：1?b+c=025+5b+c=0，解得：b=?4即：b=?4，c=?5；（2）①由（1）可知：y=x當x=0時，y=?5，即C0,?5設BC的解析式為：y=kx+b，將B5,0，C0,?5代入可得5k+b=0b=?5，解得：k=1∴BC的解析式為：y=x?5，過點P作PE⊥x軸，交BC于點E，交x軸于點Q，

∵Px0,∴點E的橫坐標也為x0，則縱坐標為y∴PE=y△PBC的面積=====?5∵?5∴當x0=52時，②存在，當點P的坐標為7?332,3?333理由如下：由①可知PE=?x由題意可知拋物線的對稱軸為直線x對∵PF∥x軸，∴∠EPF=90°，x0+x當點P在對稱軸左側時，即0<x

PF=xF?x0即：?x02解得：x0=7?此時y0=x當點P在對稱軸右側時，即2<x

PF=x0?xF即：?x02解得：x0=4（此時：y0=4綜上所述，當點P的坐標為7?332,3?333【點睛】本題二次函數綜合題，考查了利用待定系數法求函數解析式，二次函數的性質及圖象上的點的特點，等腰直角三角形的性質，解本題的關鍵是表示出點的坐標，進行分類討論．解法指導一、面積最值問題題目要求：在拋物線上的第一象限找一點P，使S△方法簡介：方法一：S=12方法二：作l//BC，l與拋物線只有一個交點P，此時h最大，S△PBC面積最大，聯立l與拋物線，△二、線段最值問題對于阿氏圓而言：當系數k＜1的時候，一般情況下，考慮向內構造.當系數k＞1的時候，一般情況下，考慮向外構造.【注意事項】針對求PA+kPB的最小值問題時，當軌跡為直線時，運用“胡不歸模型”求解；當軌跡為圓形時，運用“阿氏圓模型”求解.變式訓練1．（2023·山東濟南·一模）如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線y=kxx>0經過B、C兩點，△ABC為直角三角形，AC∥x軸，AB(1)求反比例函數的表達式及點B的坐標；(2)點M是y軸正半軸上的動點，連接MB、MC；①求MB+MC的最小值；②點N是反比例函數y=kxx>0的圖像上的一個點，若△CMN是以CN【答案】(1)y=20x(2)①6852；②N209，9【分析】本題考查反比例函數的綜合應用，涉及待定系數法，全等三角形的判定與性質，對稱變換等知識．（1）求出C(5，4)，用待定系數法可得反比例函數的表達式為y=20x，令x=8得（2）①作C關于y軸的對稱點C'，連接BC'交y軸于M，此時MB+MC最小，由C(5，4)，B(8②設M(0，m)，N(n，20n)，分兩種情況：當C為直角頂點時，過C作TK∥y軸，過N作NT⊥TK于T，過M作MK⊥TK于K，由△CMN的等腰直角三角形，證明△CMK≌△NCT(AAS)，可得4?m=5?n5=20n?4，即可解得N(209，9)；當N為直角頂點時，過N作【詳解】（1）∵A(8，4)，∴C(5，將C(5，4)代入4=k解得k=20，∴反比例函數的表達式為y=20在y=20x中，令x=8得∴B的坐標為(8，（2）①作C關于y軸的對稱點C'，連接BC'交y軸于M∵C，C'關于y∴MB+MC=MB+MC當B，M，C'共線時，MB+MC'最小，即MB+MC由（1）知C(5，4)，∴C∴BC∴MB+MC的最小值是6852②設M(0，m)，當C為直角頂點時，過C作TK∥y軸，過N作NT⊥TK于T，過M作MK⊥TK于∵△CMN的等腰直角三角形，∴CM=CN，∠MCK=90°?∠NCT=∠CNT，∵∠K=90°=∠T，∴△CMK≌△NCT(AAS∴CK=NT，MK=CT，∴4?m=5?n5=解得n=20∴N(209，當N為直角頂點時，過N作RS⊥y軸于S，過C作CR⊥RS于R，如圖：同理可得SN=RC，SM=NR，∴n=20解得n=26?2或∴N(26?2，綜上所述，N的坐標為(209，9)或(262．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=14x2?14x?3與x軸交于A，B兩點，點C為y軸正半軸上一點，且OC=OB，

(1)寫出A、B、C三點坐標；(2)如圖1，當點D關于x軸的對稱點剛好落在拋物線上時，求此時D點的坐標；(3)如圖2，若點E是線段AB上的動點，連接BD、CE，當CD=AE時，求BD+CE的最小值．【答案】(1)A?3,0，B4,0(2)?(3)97【分析】（1）根據題意y=14x2?14x?3y=0得x=4y=0，（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，把A?3,0，C0,4分別代入解析式，確定直線的解析式，設點Dm,43（3）過點C作CP∥x軸，且使得CP=CA，連接PB,PD，利用三角形全等，把線段和最小值轉化為三角形不等式，解答即可．本題考查了拋物線與x軸的交點，待定系數法求解析式，三角形全等的判定與性質，三角形不等式求最值，熟練掌握相關知識，特別是三角形不等式是解題的關鍵．【詳解】（1）根據題意得y=1解得x=4y=0，x=?3∴A?3,0，B∴OB=4,∵OC=OB，∴C0,4（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，把A?3,0，C?3k+b=0b=4故直線AC的解析式為y=4設點Dm,則其對稱點坐標為D'代入拋物線解析式y=114整理，得3m解方程，得m=?4當m=?43時，故D?（3）過點C作CP∥x軸，且使得CP=CA，連接PB,PD，

∵A?3,0，C∴AC=?3?0∴CP=CA=5，∴P?5,4∵B4,0∴PB=?5?4∵CP∥x軸，∴∠PCD=∠CAE，∵CP=CA，∵PC=CA∴△PCD≌△CAE∴PD=CE，∴BD+CE的最小值變成了BD+PD的最小值，∵BD+PD≥PB，故當點P，D，B三點共線時，BD+PD取得最小值，且最小值為PB，∴BD+CE的最小值為97．3．（2023·遼寧丹東·模擬預測）如圖，直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于C，拋物線y=?x2+bx+c經過A、C兩點，與x軸正半軸交于點B，M(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；(2)如圖（1），P點為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA、PC、PO，PO交AC于點Q，若PO將△APC的面積分為1：2兩部分，求點Q的坐標；(3)如圖（2），若點N是第三象限的拋物線上一點，連接NM，交直線AC于E，當∠NEC=∠BCM時，求點N的坐標；(4)在（3）的條件下，若F是y軸上的一個動點，請直接寫出NF+10【答案】(1)拋物線的解析式為y=?x2?2x+3(2)?2,1或?1,2；(3)N?4,?5(4)210【分析】本題考查二次函數的應用，涉及待定系數法，三角形面積，銳角三角函數等知識，解題的關鍵是掌握二次函數相關性質，能靈活應用銳角三角函數解決問題．（1）求出C0,3，A?3,0，用待定系數法可得拋物線的解析式為y=?x（2）作QH⊥x軸于H，求得∠OAC=∠OCA=45°，AC=32，分兩種情況：當S△APQ：S△CPQ=1：2時，AQ：CQ=1：2，可得Q(?2,1)；當S△APQ：S△CPQ=2：1（3）延長BC交對稱軸于D，過N作對稱軸的垂線，垂足為K，設AC交對稱軸于G，由∠NEC=∠BCM，知∠MEC=∠MCD，求得∠CMG=45°=∠AGK，即可得∠EMG=∠MDC，故∠EMG=∠BCO，有NK：MK=1：3，設N(t,?t2?2t+3)，得?1?t（4）過N作NR⊥BC于R，NT⊥y軸于T，NR交y軸于F，可求得sin∠BCO=OBBC=110=1010，從而FR=1010CF，NF+10【詳解】（1）在直線y=x+3中，由x=0得y=3，∴C0,3由y=0得x+3=0，解得x=?3，∴A?3,0把A?3,0，C0,3分別代入?9?3b+c=0c=3解得：b=?2c=3∴拋物線的解析式為y=?x∵y=?x∴頂點M(?1,4（2）作QH⊥x軸于H，如圖：∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，AC=32當S△APQ：S△CPQ=1：2時，AQ：CQ=1∴AQ=1∴AH=QH=1，∴OH=OA?AH=2，∴Q(?2,1當S△APQ：S△CPQ=2：1時，AQ：CQ=2∴AQ=22∴AH=QH=2，∴OH=1，∴Q(?1,2綜上所述，Q點坐標為?2,1或?1,2；（3）延長BC交對稱軸于D，過N作對稱軸的垂線，垂足為K，設AC交對稱軸于G，如圖：∵∠NEC=∠BCM，∴∠MEC=∠MCD，∵M(?1,4)，∴∠CMG=45°，∵∠CAO=45°，∴∠AGK=45°，∴∠MEC+∠EMG=∠MCD+∠MDC=45°，∴∠EMG=∠MDC，∵∠MDC=∠BCO，∴∠EMG=∠BCO，∴tan∠EMG=tan∠BCO=OC：∴NK：MK=1：3，設N(t,?t∴?1?t解得：t=?4或t=?1(舍去)，∴N(?4,?5)；（4）過N作NR⊥BC于R，NT⊥y軸于T，NR交y軸于F，如圖：由y=?x2?2x+3∵B1,0，C∴BC=10∴sin∴FR∴FR=10∴NF+10∵NR⊥BC，∴此時NF+1010CF∵∠CFR=∠NFT，∠CRF=∠NTF=90°，∴∠FNT=∠BOC，∴tan∠FNT=tan∴FT∴FT=4∴F(0,?11∴NF=4103∴FR=10∴NR=NF+FR=4∴NF+1010CF4．（2023·浙江·模擬預測）已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(?1,0)，B(5,0)兩點，C為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸交x軸于點D，連接AC，BC(1)求拋物線的解析式；(2)設P是拋物線的對稱軸上的一個動點．①過點P作x軸的平行線交線段BC于點E，過點E作EF⊥PE交拋物線于點F，連接FB、FC，求△BCF的面積的最大值；②連接PB，求35【答案】(1)拋物線的解析式為y=?(2)①△BCF的面積的最大值為32；②35【分析】（1）設拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x?5)，可得對稱軸為直線x=2，由銳角三角函數可求點C坐標，代入解析式可求解析式；（2）①先求出直線BC解析式，設P(2,t)，可得點E(5?34t，t)，點F(5?②根據圖形的對稱性可知∠ACD=∠BCD，AC=BC=5，過點P作PG⊥AC于G，可得PG=35PC，可得35PC+PB=PG+PB，過點B作BH⊥AC于點H，則PG+PB≥BH【詳解】（1）根據題意，可設拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x?5)，∵拋物線的對稱軸為直線x=2，∴D(2,0)，又∵tan∠CBD=∴CD=BD?tan即C(2,4)，代入拋物線的解析式，得4=a(2+1)(2?5)，解得a=?4∴二次函數的解析式為y=?4（2）①設P(2,t)，其中0<t<4，設直線BC的解析式為y=kx+b，∴0=5k+b,4=2k+b.解得k=?即直線BC的解析式為y=?4令y=t，得：x=5?3∴點E(5?34t把x=5?34t代入y=?即F(5?3∴EF=(2t?1∴△BCF的面積=1∴當t=2時，△BCF的面積最大，且最大值為32②如圖，據圖形的對稱性可知∠ACD=∠BCD，AC=BC=5，∴sin∠ACD=過點P作PG⊥AC于G，則在Rt△PCG中，PG=PC?∴35過點B作BH⊥AC于點H，則PG+PB≥BH，∴線段BH的長就是35∵SΔ又∵S△ABC∴52即BH=24∴35PC+PB的最小值為【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求解析式，一次函數的性質，三角形面積公式，銳角三角函數，二次函數的性質等知識，利用數形結合思想解決問題是本題的關鍵．5．（2023·浙江·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=?14x2+bx+3的對稱軸是直線x=2，與x軸相交于A，B兩點（點A在點B(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；(2)M為第一象限內拋物線上的一個點，過點M作MN⊥x軸于點N，交BC于點D，連接CM，當線段CM=CD時，求點M的坐標；(3)以原點O為圓心，AO長為半徑作⊙O，點P為⊙O上的一點，連接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．【答案】(1)y=?14(2)點M的坐標為2(3)2PC+3PB的最小值為2【分析】（1）由x=2=?b2a=?b（2）當線段CM=CD時，則點C在MD的中垂線上，即yC（3）先證明△POG∽△COP，然后利用當B、P、G三點共線時，2PC+3PB最小，最小值為【詳解】（1）∵對稱軸是直線x=2，故x=2=?b2a=?b故拋物線的表達式為y=?1∴拋物線的頂點為2,4；（2）對于y=?14x解得x=6或?2，令x=0，則y=3，故點A、B、C的坐標分別為?2，設直線BC的表達式為y=mx+n，則0=6m+nn=3，解得m=?故直線BC的表達式y=?1設點M的坐標為x,?14x當線段CM=CD時，則點C在MD的中垂線上，即yC即3=1解得x=0（舍去）或2，故點M的坐標為2,（3）在OC上取點G，使OPOC=OGOP=23，即∵OPOC=OG∴△POG∽∴PGPC=OP則2PC+3PB=3PB+故當B、P、G三點共線時，2PC+3PB最小，最小值為3BG，則2PC+3PB的最小值3BG=36【點睛】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養，會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來以及利用點的坐標的意義表示線段的長度是解題的關鍵．.題型六：特殊四邊形存在性問題大題典例1．（2023·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l:y=kx+2與x，y軸分別相交于點A，B，與反比例函數y=mxx>0的圖象相交于點C，已知OA=1(1)求k，m的值；(2)平行于y軸的