二元一次方程組的應用

知識梳理

1.應用

(1)求待定字母的值；

⑵解應用問題.

2.問題解決步驟

(1)審題，厘清已知和未知，分析數量關系；

⑵考慮如何根據等量設元，列出方程組；

(3)列出方程組并求解，得到答案；

(4)檢查和反思解題過程，檢驗答案的正確性以及是否符合題意.

3.主要問題

⑴“雞兔同籠”問題;

⑵增收節支問題；

⑶數字問題.

典型例題

例1

李大叔今年五月份購買了一臺彩電和一臺洗衣機，根據“家電下鄉”的補貼標準：農戶每購買一件家電，國家

將按每件家電售價的13%補貼給農戶.因此，李大叔從鄉政府領到了390元補貼款.若彩電的售價比洗衣機的售價高

1000元，求彩電和洗衣機的售價各是多少元.

分析本題主要考查學生運用二元一次方程組解決實際問題的能力.

解設一臺彩電的售價為x元，一臺洗衣機的售價為y元

根據題意得：[13短3M線。

儼=2。。。

用牛1守｛y=1000

答：一臺彩電的售價為2000元，一臺洗衣機的售價為1000元.

例2

某中學新建了一棟教學大樓，進出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側門大小也相同.安全

檢查中，對4道門進行了測試：當同時開啟1道正門和2道側門時，每分鐘可以通過280名學生；當同時開啟1道

正門和1道側門時，每分鐘可以通過200名學生.

(1)平均每分鐘1道正門和1道側門分別可以通過多少名學生？

(2)緊急情況時因學生擁擠，出門的效率會降低20%，現規定在緊急情況下全大樓的學生應在5分鐘內通過這

4道門安全撤離.假設這棟教學樓共有32間教室，每間教室最多有45名學生，建造的這4道門是否符合規定?請說

明理由.

分析⑴設平均每分鐘一道正門可以通過x名學生，一道側門可以通過y名學生，根據當同時開啟一道正門和

兩道側門時，每分鐘可以通過280名學生；當同時開啟一道正門和一道側門時，每分鐘可以通過200名學生.通過

上述兩個關系列方程組求解.

⑵根據⑴的數據，可以求出擁擠時5分鐘四道門可通過的學生人數，與這棟樓學生總人數比較得出答案.

解(1)設平均每分鐘一道正門可以通過x名學生，一道側門可以通過y名學生

根據題意，得：一摩鬻

解得:

答：平均每分鐘一道正門可以通過120名學生，一道側門可以通過80名學生.

⑵這棟樓最多有學生32x45=1440(名).

擁擠時,5分鐘內4道門能通過的學生數為:5x4(120+80)(l-20%)=1600(名).

因為1600>1440,

所以建造的4道門符合安全規定.

例3

某人乘汽車，他看到第一塊里程碑上寫著一個兩位數(表示千米)；經過1小時，他看到第二塊里程碑上寫的兩

位數恰好是第一塊里程碑上的數字互換了；又經過1小時，他看到第三塊里程碑上寫著一個三位數，這個三位數

恰好是第一塊里程碑上的兩位數中間加上一個0,汽車的速度是多少？

分析假設這個兩位數的個位數字是x,十位數字是y,汽車的速度為z千米/時.那么這個兩位數數值就是10y+

x,1小時后站牌數值是10x+y,又經過1小時，他看到第三塊里程碑上數值是100y+x;因而列方程(10x+y)-(10y+x)

=z與((100y+x)-(10x+y)=z,求得x與y的比例關系.通過數字x,y滿足0SxS9/WyW9,確定出x,y的取值，代入

求得z的值.

解設這個兩位數的個位數字是x,十位數字是y,汽車的速度為z千米/時.

((10z+y)—(10y+z)=z(9(x—j)=z

[(lOOy+尤)一(10z+y)=219(111y—z)=z

所以念即x=6y

iiy—x

又因為0<x<9,l<y<9

所以X只能取6,所以y=l

所以z=9x(6-1)=45

答：汽車的速度是45千米/時.

例4

若x+y+z=30,3x+y-z=50,x,y,z皆為非負數，求M=5x+4y+2z的取值范圍.

分析首先根據題目中的方程組成三元一次方程組Utt);:既

分別求得y,z用x表示的關系式，將y,z關系式代入M=5x+4y+2z,即得x用M表示的關系式，且x為非負數，求

得M的取值范圍，同理求得y,z用M表示的關系式，根據y,z為非負數，求得M的取值范圍.找出M的公共區

間，即為所求取值區間范圍.

解WzM。①②

由式①+②得4x+2y=80,y=40-2x③,

把式③代入式①得z=x-10④,

所以：M=+4(40-2x)+2(x-10)=—%+140,,即x=140-M⑤,

分別將式⑤代入式③和④,

-%=140-M>0

得卜=2M-240N0

.z=130-M>0

(M<140

解得M>120,

.M<130

所以120<M<130.

答:M的取值范圍為120WMW130.

雙基訓練

1.小嵐與小律現在的年齡分別為x歲、y歲，且x,y的關系式為3(x+2)=y,下列關于兩人年齡的敘述正確的

是()?

A.兩年后，小律年齡是小嵐年齡的3倍B.小嵐現在年齡是小律兩年后年齡的3倍

C.小律現在年齡是小嵐兩年后年齡的3倍D.兩年前，小嵐年齡是小律年齡的3倍

2一列快車和一列慢車的長分別為18。米和225米，若同向行駛，從快車追及慢車起到全部超過，需81秒.現

設快車的車速為x米/秒，慢車的車速為y米/秒，則表示其等量關系的式子是().

A.81(x-y)=225B.81(x-y)=180

C.81(x-y)=225-180D.81(x-y)=225+180

3.足球比賽中，勝一場可以積3分，平一場可以積1分，負一場得0分，某足球隊最后的積分是17分，該足

球隊獲勝的場次最多是().

A.3場B.4場C.5場D.6場

4.災后重建，某村派男女村民共15人到山外采購建房所需的水泥，已知男村民一人挑兩包，女村民兩人抬一

包，共購回15包.請問這次采購派().

A.男村民3人女村民12人B.男村民5人，女村民10人

C.男村民6人，女村民9人D.男村民7人,女村民8人

5.某班為獎勵在校運會上取得較好成績的運動員，花了400元錢購買甲、乙兩種獎品共30件，其中甲種獎品

每件16元，乙種獎品每件12元，求甲乙兩種獎品各買多少件?該問題中，若設購買甲種獎品x件，乙種獎品y

件，則方程組正確的是().

(%+y=30(%+y=30

A(12%+16y=400B，[16x+12y=400

(12x+16y=30(16x+12y=30

%+y=400D'l%+y=400

6.某自然村參加挖渠勞動共135人，其中挖土人數是運土人數的3倍少1人，挖土和運土各多少人?根據題

意，列出方程組｛1匚、；其中x表示一,y表示—.

7.甲、乙兩拖拉機廠，按計劃每月各生產拖拉機a臺，由于兩廠實行技術改革，結果本月甲廠完成計劃的11

0%,乙廠比計劃增產6%,則本月甲廠生產拖拉機—臺，乙廠生產拖拉機一臺.

8.某人步行了5小時，先沿著平路走，然后上山，最后又沿原路返回.假如他在平路上每小時走4里(注：1里=

500米),上山每小時走3里，下山的速度是6里/時，則他從出發到返回原地的平均速度是_____里/時.

9.某校初三⑵班40名同學為“希望工程”捐款，共捐款100元，捐款情況見表17-1：

捐款/元1234

人數/人67

表格中捐款2元和3元的人數不小心被墨水污染，已看不清楚.若設捐款2元的有x名同學，捐款3元的有y

名同學根據題意，可得方程組.

10.如圖17-1所示，在邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形，再將圖中的陰影部分剪拼成一個

長方形，如圖17-2所示.這個拼成的長方形的長為30,寬為20.則圖17-2中H部分的面積是____.

11.為打造古運河風光帶，現有一段長為180米的河道整治任務由A,B兩個工程隊先后接力完成.A工程隊每

天整治12米，B工程隊每天整治8米，共用時20天.

(1)根據題意，甲、乙兩個同學分別列出了尚不完整的方程組：

rx+y=(乂+丫=

甲.[12x+8y=-總+(=-

根據甲、乙兩名同學所列的方程組，請你分別指出未知數x,y表示的意義，然后在方框中補全甲、乙兩名同

學所列的方程組：

甲:x表小,y表小:

乙:x表示,y表示;

⑵求A,B兩工程隊分別整治河道多少米?（寫出完整的解答過程）

12.李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種

蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

13.某單位的甲、乙兩人去年共分得現金12240元，今年共分得現金17060元，已知今年所分得的現金，甲

增加了50%,乙增加了30%,兩人兩年所得的現金各是多少元？

14.某超市為開業三周年舉行了店慶活動，對A,B兩種商品實行打折出售.打折前，購買5件A商品和1件B

商品需用84兀;購買6件A商品和3件B商品需用108兀.而店慶期間，購買50件A商品和50件B商品僅需

960元，這比不打折少花多少錢？

15.某人沿公路勻速前進，每隔4分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車，每隔6分鐘就有一輛公共汽車從背后

超過他.假定汽車速度不變，而且迎面開來相鄰兩軍的距離和從背后開來相鄰兩車的距離都是1200米，求某人前進

的速度和公共汽車的速度，那么汽車每隔幾分鐘開出一輛？

16.隨著我國人口增長速度的減緩，小學入學兒童數量每年按逐漸減少的趨勢發展，某地區2003年和2004年

小學入學兒童人數之比為8：7,且2003年入學人數的2倍比2004年入學人數的3倍少1500人，某人估計2005

年入學兒童人數將超過2300人，請你通過計算，判斷他的估計是否符合當前的變化趨勢.

17.已知某電腦公司有A型、B型、C型三種型號的電腦，其價格為：A型每臺6000元，B型每臺4000元，C

型每臺2000元，某中學計劃將64000元錢全部用于從該電腦公司購進兩種不同型號的電腦共30臺，請設計出幾

種不同的購買方案供該校選擇，并說明理由.

18.為節約用水，某地對民用水收費作如下規定：每月用戶不超過24度的按每度9角收費；超過24度時，超

過部分按每度2元收費.同時，為了結算方便，規定水費按整度收取.某月，該地按此規定收費，甲戶比乙戶多交水

費9元6角，該月甲、乙兩戶各交水費多少錢？

19.一輛汽車從A地駛往B地，前1路段為普通公路，其余路段為高速公路.已知汽車在普通公路上行駛的速度

為60千米/時，在高速公路上行駛的速度為100千米/時，汽車從A地到B地一共行駛了2.2小時.

請你根據以上信息，就該汽車行駛的“路程”或“時間,提出一個用二元一次方程組解決的問題，并寫出解答過

程.

20.開學初，小芳和小亮去學校商店購買學習用品，小芳用18元錢買了1支鋼筆和3本筆記本；小亮用31元

買了同樣的鋼筆2支和筆記本5本.

（1）求每支鋼筆和每本筆記本的價格.

⑵校運會后，班主任拿出200元學校獎勵基金交給班長，購買上述價格的鋼筆和筆記本共48件作為獎品，獎

給校運會中表現突出的同學，要求筆記本數不少于鋼筆數，共有多少種購買方案?請你一一寫出.

能力提升

21.在早餐店里，王伯伯買5個饅頭，3個包子，老板少拿2元，只要50元.李太太買了11個饅頭，5個包子,

老板給予售價的九折優惠，只要90元.若饅頭每個x元，包子每個y元，則下列哪一個二元一次聯立方程式可表示

題目中的數量關系（）.

5o+2

,5%+3y=50+2,5%+

3y9o

A'[llx+5y=90x0.9+-

5y5O-02.

（5%+3y=50—2C5%+3y

’（11%+5y=90x0,9D,tllx+5y

22.小明新買了一輛“和諧”牌自行車，說明書中有關于輪胎的使用說明，小明看了說明書后，和爸爸討論（如圖

17-3所示）.小明經過計算，得出這對輪胎能行駛的最長路程是（）千米.

爸爸：“安全行駛路程為1.1萬千米或0.9萬千米”

是指輪胎每年行駛0.1萬千米相當于損耗

使用說明

73）它的吉或看.

1.本輪胎如安裝在前輪，

安全行駛路程為11萬小明：太可惜了,自行車行駛09萬千米后，后

千米；如安裝在后輪.胎報廢,而前胎還可繼續使用.

安全行駛路程為0.9萬

千米.爸爸：你能動動腦筋,不換成其他輪胎，怎樣

使這對輪胎行駛路程最長？

2.請在安全行駛路程范

國內報廢輪胎.小明（沉思）：自行車行駛一段路程后,可以

把前后輪胎調換使用，圾后一起報廢，

就能使這對輪胎行駛路程最長.

(T爸爸（含笑）：明明真聰明！……

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圖17-3

A.0.95萬B.3V11X103C.0.99萬D.1萬

23.一賓館有兩人間、三人間、四人間三種客房供游客租住，某旅行團20人準備同時租用這三種客房，已知這

三種客房共7間，如果每個房間都住滿，租房方案有（）.

A.4種B.3種C.2種D.1種

24.如圖17-4所示，母親節那天，很多同學給媽媽準備了鮮花和禮盒.從圖中信息可知，則買5束鮮花和5個禮

盒的總價為元.

共143元

共⑵元

25.將一種濃度為15%的溶液3。千克，配制成濃度不低于20%的同種溶液，則至少需要濃度為35%的該種溶

液一千克.

26.請你閱讀下面的詩句：“棲樹一群鴉，鴉樹不知數，三只棲一樹，五只沒去處，五只棲一樹，閑了一棵樹,

請你仔細數，鴉樹各幾何?”詩句中談到的鴉為只、樹為一棵.

27.小華從家里到學校的路是一段平路和一段下坡路.假設他始終保持平路每分鐘走60米，下坡路每分鐘走80

米，上坡路每分鐘走40米，從家里到學校需10分鐘，從學校到家里需15分鐘.那么小華家離學校多遠？

28.某刊物報道：“2008年12月15日,兩岸海上直航、空中直航和直接通郵啟動J大三通'基本實現「大三通，

最直接的好處是省時間和省成本，據測算，空運平均每航次可節省4小時，海運平均每航次可節省22小時，以兩

岸每年往來合計500萬人次計算，則共可為民眾節省2900萬小時……”根據文中信息，那么每年采用空運和海運

往來兩岸的人員各有多少萬人次？

29.某縣為鼓勵失地農民自主創業，在2011年對60位自主創業的失地農民進行了獎勵,共計獎勵了10萬元，

獎勵標準是：失地農民自主創業連續經營一年以上的給予1000元獎勵；自主創業且解決5人以上失業人員穩定就

業一年以上的，再給予2000元獎勵.該縣失地農民中自主創業連續經營一年以上的和自主創業且解決5人以上失業

人員穩定就業一年以上的農民分別有多少人?

30.為實現區域教育均衡發展，某市計劃對某縣A,B兩類薄弱學校全部進行改造.根據預算,共需資金1575萬

元.改造一所A類學校和兩所B類學校共需資金230萬元；改造兩所A類學校和一所B類學校共需資金205萬元.

⑴改造一所A類學校和一所B類學校所需的資金分別是多少萬元？

⑵若該縣的A類學校不超過5所，則B類學校至少有多少所？

(3)某市計劃今年對該縣A,B兩類學校共6所進行改造，改造資金由國家財政和地方財政共同承擔.若今年國

家財政撥付的改造資金不超過400萬元；地方財政投入的改造資金不少于70萬元，其中地方財政投入到A,B兩

類學校的改造資金分別為每所10萬元和15萬元.請你通過計算求出有幾種改造方案.

拓展資源

31在1,2,3,…,98,99,100這100個自然數中，滿足“被7除余3,且被3除余1”的最大的是().

A.93B.94C.95D.96

32.求滿足2P2+p+8=Hi?一2nl的所有素數p和正整數m.

33.如圖17-5所示是一個正方體展開圖，已知正方體相對兩面的代數式的值相等.

(1)求a,b,c的值；

(2)判斷a+b-c的平方根是有理數還是無理數.

34.某學校為開展“陽光體育”活動，計劃拿出不超過3000元的資金購買一批籃球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知

籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的單價比為8：3：2,且其單價和為130元.

⑴籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的單價分別是多少元？

⑵若要求購買籃球、羽毛球拍和乒乓球拍的總數量是80個(副),羽毛球拍的數量是籃球數量的4倍，且購買

乒乓球拍的數量不超過15副，那么有幾種購買方案？

35.要用20張白卡紙做包裝盒，每張白卡紙可以做盒身2個或者做盒底蓋3個，如果1個盒身和2個盒底蓋

可以做成一個包裝盒，要求把這些白卡紙分成兩部分，一部分做盒身，一部分做盒底蓋，使做成的盒身和盒底蓋

正好配套.請你設計一種方法：如果不允許剪開白卡紙，能不能找到符合題意的分法?如果允許剪開白卡紙，怎樣才

能既符合題意又能充分地利用白卡紙？

1.C2.D3.C4.B5.B6.運土人數挖土人數

%-1-v-27

久+獷=

{26610.100

“小田fx+y=20r+y=i80

()^(12x+8y=180Z.(X=20

甲：x表示A工程隊工作的天數，y表示B工程隊工作的天數；

乙：x表示A工程隊整治的河道長度，y表示B工程隊整治的河道長度；

⑵若解甲的方程組IC2二A。

式①x8彳導:8x+8y=120③

式③-②，得：4x=20

所以x=5

把x=5代入式①得:y=15,

所以12x=60,8y=120

答：A,B兩工程隊分別整治河道60米和120米.

若解乙的方程組

----1■一=7n

I128

式②X12彳導:x+1.5y=240③

式③-①彳導：0.5y=60

所以y=120

把y=120代入式①，得,x=60

答：A,B兩工程隊分別整治河道60米和120米.

12.李大叔去年甲種蔬菜種植了6畝，乙種蔬菜種植了4畝.

13.甲兩年所得的現金是14350元，乙兩年所得的現金是14950元.

14.少花(1000-960)=40元.

15.人前進的速度為50米/分，公共汽車的速度為250米/分，公共汽車每隔4.8分鐘發一班車.

16.設2003年入學兒童人數為x人，2004年入學兒童人數為y人.根據題意得

(7x=8y

\2x=3y-1500

碗彳日產=2400

用針Yy=2100

因為2300>2100,

所以他的估計不符合當前入學兒童逐漸減少的變化趨勢.

17.有兩種方案供該校選擇，第一種方案是購進A型電腦1臺和C型電腦29臺；第二種方案是購進B型電腦2

臺和C型電腦28臺理由略.

18.該月甲、乙兩戶各交水費是27.6元、18元.

19.問題：普通公路和高速公路各為多少千米?普通公路長為60千米，高速公路長為120千米.

20.(1)每支鋼筆3元，每本筆記本5元.

(2)設買a支鋼筆，則買筆記本(48-a)本

依題意得：3ci+5(48—a)4200

48—a>a

解得:20WaW24

所以，一共有5種方案.

即購買鋼筆、筆記本的數量分別為:20,28;21,27;22,26;23,25;24,24.

21.B22.C23.C24.44025.1026.20,5

27.小華家離學校700米.

28.每年采用空運往來的有450萬人次，海運往來的有50萬人次.

29.失地農民中自主創業連續經營一年以上的有40人，自主創業且解決5人以上失業人員穩定就業一年以上的

農民有20人.

30.(1)改造一所A類學校和一所B類學校所需的改造資金分別為60萬元和85萬元.

⑵設該縣有A、B兩類學校分別為m所和n所.則

60m+85n=1575

17,315

m=---n4------

1212

因為A類學校不超過5所

所以—汾+那5

所以吟15

即：B類學校至少有15所.

⑶設今年改造A類學校x所，則改造B類學校為(6-x)所，依題意得：

C50x+70x(6-x)<400

t10x+15x(6-x)>70

解之得l<x<4

因為x取整數

所以x=l,2,3,4

即：共有4種方案.

31.B

32.由題設得p(2p+l)=(m-4)(m+2),由于p是素數，故p是(m-4)的因數或p是(m+2)的因數

(1)若p整除(m-4),令m-4=kp,k是正整數，

于是m+2>kp,3P2>p(2p+l)=(m-4)(m+2)>k2P