壓軸題06相似相關壓軸題

高分必搶

?題型01相似三角形壓軸題

1.(2023?紹興模擬)小明在學習角平分線知識的過程中，做了進一步探究：如圖1,在△ABC中，ZBAC

的平分線交8C于點。，

發現-^金口.小明想通過證明來驗證這個結論.證明：延長至E,使得AC=AE,…請你完成上述

ACCD

證明過程：

結論應用

己知在△ABC中，NC=30°,/B=ci,BC邊上有一動點連結A。，點B關于的對稱點為點，

連結AB'交BC于點、E.

(1)如圖2當a=30°,AB'±BC,求旦1的值.

DE

(2)如圖3當a=45°,AB'與AABC的邊垂直時，求坨的值.

DE

2.(2023?湖州)【特例感知】

(1)如圖1,在正方形A2CD中，點P在邊48的延長線上，連結尸。，過點。作。M_LPZ),交2C的

延長線于點求證：ADAP2ADCM.

【變式求異】

(2)如圖2,在Rt^ABC中，ZABC=90°，點。在邊AB上，過點。作。Q_LAB,交AC于點。，點

尸在邊AB的延長線上，連結尸。，過點。作QMLP。，交射線8C于點己知2C=8,AC=10,AD

=2DB,求曳的值.

QM

【拓展應用】

(3)如圖3,在RtZkABC中，ZBAC=90°，點P在邊AB的延長線上，點。在邊AC上(不與點A,

C重合)，連結PQ,以Q為頂點作NPBC,ZPQM的邊QM交射線BC于點M.若AC=mAB,

CQ=nACGn,〃是常數)，求型的值(用含機，”的代數式表示).

QM

圖1圖2圖3

?題型02相似與四邊形的結合問題

1.(2023?鄲州區校級模擬)【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點E為邊BC上的一點，連接AE、DE,

ZA￡D=90°,

可得到△ABEs△△￡Q)(不需要證明).

【探索】如圖②，有一矩形紙片ABCZ),點E為邊8c的中點，點廠為邊A8上的一點.連接DE,EF,

將矩形紙片A8CZ)分別沿。E、EF折疊，使CE、8E在EG處重合.

(1)求證：ABEFs^CDE.

(2)若BC=8,CD=5,則屏'=.

【應用】如圖③，在邊長為2的正方形ABC。中，點E為邊BC的中點.連接。E,將△CZ)E沿。E折

疊得到DF交AC于點G,直接寫出CG的長.

2.(2023?余姚市一模)【基礎鞏固】

(1)如圖1,在△ABC中，。為BC上一點，連結AD,E為AO上一點，連結CE,若/BAO=/ACE,

CD=CE,求證：XABDsXCKE.

【嘗試應用】

(2)如圖2,在平行四邊形中，對角線AC、2。交于點。，E為0c上一點，連結BE,ZCBE

=NDCO,BE=DO,若BD=12,0E=5,求AC的長.

【拓展提升】

（3）如圖3,在菱形ABC。中，對角線AC、BD交于點O,E為BC中點,,F為。C上一點，連結。E、

AF,ZAEO=ZCAF,若更至，AC=6,求菱形4BCZ）的邊長.

3.（2023?婺城區模擬）在矩形ABC。中，AB=4,AD=10,E是上的一點，且AE=2,M是直線A2

上一點，射線ME交直線CD于點F,EG±ME交直線BC于點G,連結MG、FG,直線FG交直線AD

于點N.

（1）①當點M為A3中點時，求。尸與EG的長;

②求購的值.

FG

（2）若AEGN為等腰三角形時，求滿足條件的AM的長.

AED

BC

?題型03相似與圓的結合問題

1.（2023?溫州）如圖1,AB為半圓。的直徑，C為8A延長線上一點，切半圓于點。，BELCD,交

C￡）延長線于點E,交半圓于點尸，已知。4=旦，AC=1.如圖2,連結AF,尸為線段A尸上一點，過點

2

尸作的平行線分別交CE,8E于點M,N,過點尸作于點從設PH=x,MN=y.

（1）求CE的長和y關于尤的函數表達式；

（2）當PHVPN,且長度分別等于尸”，PN,。的三條線段組成的三角形與ABCE相似時，求。的值;

（3）延長PN交半圓。于點°,當NQ=』?x-3時，求MN的長.

EE

FF

A0

圖1

1.如圖，在RtZXABC中，ZBAC=90°,AO_L8C于點。，石為AC邊上的中點，連接BE交AO于R將

△AFE沿著AC翻折到△AGE,恰好有GE//AD,則下列結論:①四邊形AFEG為菱形;②2AE?=BD?BC；

@SAABF=SACBF；④連接3G,tanZABG=-^-上述結論中正確的有.(填正確的序號).

5

2.如圖，在矩形ABCZ)中，48=5,AD=3,先將△ABC沿AC翻折到△AB'C處，再將△A9C沿翻折到

△ABC處，延長CD交AC'于點則OM的長為.

3.如圖，在△ABC中，AB=BC,AD±BC,CE1AB,垂足分別是點。、點E,點尸在D4的延長線上,

連接BF交CE的延長線于點M,AD=2CD.

(1)若AE=2,則BD=；

(2)若8M：MF=6：7,EM=\,貝！IAF=

4.如圖1,在矩形ABC。中，AB=6,8C=8,點。在邊BC上，以O為圓心8。為半徑作。0,OO與射

線8。的另一個交點為E,直線CE與射線AO交于點F.

(1)設BO=x,BE=y,求y與x之間的函數關系式，并直接寫出x的取值范圍;

(2)如圖2,連接A0,當AO〃CE時，請求出。。的半徑；

(3)如果射線EC與。。的另一個交點為0,連接?！?問是否存在△COQ為直角三角形，若存在，請

直接寫出RtACO。的面積；若不存在，請說明理由.

圖2備用圖

5.在學習圖形的旋轉時，創新小組同學們借助三角形和菱形感受旋轉帶來圖形變化規律和性質.

【操作探究】

(1)如圖1,已知△ABC,ZC=90°,將△ABC繞著直角邊AC中點G旋轉，得到△￡>￡1/,當ADEF

的頂點D恰好落在△ABC的斜邊AB上時，斜邊DE與AC交于點H.

①猜想：ZADC—.

②證明：△DGHsXADH.

【問題解決】

(2)在(1)的條件下，已知AC=4,BC=3,求C”的長.

【拓展提升】

(3)如圖2,在菱形中，AC=8,BD=6,將菱形ABC。繞著A8中點M順時針旋轉，得到菱形

EFGH,當菱形EFG”的頂點E分別恰好落在菱形A8CD的邊和對角線8。上時，菱形EFGH的邊

與BC邊相交于點N,請直接寫出8N的長.

6.綜合與實踐.