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酒&模型介紹

【模型】已知點A,2是平面內兩點，再找一點C,使得△ABC為等腰三角形.

【結論】分類討論：

若A8=AC,則點C在以點A為圓心，線段的長為半徑的圓上；

若BA=8C,則點C在以點8為圓心，線段A8的長為半徑的圓上；

若CA=C2,則點C在線段AB的垂直平分線P。上.以上簡稱''兩圓一中垂”.

“兩圓一中垂”上的點能構成等腰三角形，但是要除去原有的點A,B,還要除去因共線無法

構成三角形的點M,N以及線段AB中點E(共除去5個點)，需要注意細節.

□fl

例題精講

【例1］如圖，平面直角坐標系中，已知A(2,2),B(4,0).若在坐標軸上取點C,使

△ABC為等腰三角形，你能否將點C的坐標表示出來？

解：：點A、2的坐標分別為(2,2)、B(4,0).

:.AB=2?

①若AC=AB,以A為圓心，48為半徑畫弧與無軸有2個交點(含8點)，即Ci(0,0)、

(4,0)(舍去。

②若以3為圓心，54為半徑畫弧與x軸有2個交點（A點除外）：（4-2圾,

0）（4+2加,0）,即滿足△ABC是等腰三角形的C點有2個；

③若CA=CB,作A8的垂直平分線與x軸，y軸各有一個有1個交點，分別為（2,0）,

（0,-2）；

綜上所述：點C在x軸上，AABC是等腰三角形，符合條件的點C共有5個.

A變式訓練

【變式17].直線y=-x+2與無軸、y軸的正半軸分別交A、8兩點，點P是直線y=-x+2

上的一點，當△AOP為等腰三角形時，則點P的坐標為（0,2）,（1,1）,（2-亞,

如）,（2+芯,-近）_.

解：依題意得A（2,0）,B（0,2）,△AOP為等腰三角形，有三種情況：

當點O為頂點，OA為腰時；以OA為半徑畫弧交直線于點P,P（0,2）符合題意；

當點A為頂點，OA為腰時，以點A為圓心，OA為半徑畫弧交直線42于兩點，過P點

作x軸的垂線，由解直角三角形得點P坐標是（2-、歷，我），（2+&,-&）；

當OA為底時，作線段OA的中垂線交直線48于P點，則P（l,1）.

故答案為：（0,2）,（1,1）,（2-V2，&）,（2+V2，-V2）.

【變式1-2].如圖，在矩形A8CD中，AB=5,BC=3,點P為邊AB上一動點，連接CP,

DP.當△€?尸為等腰三角形時，AP的值為1或2.5或4

解：在矩形A8CZ）中，CD=AB=5,

①當CQ=CP=5時，過點P作于點。,

：.PQ=AD=3,

C2=VCP2-PQ2=4,

：.BP=4,

：.AP=1；

②當CD=DP=5時，同①可得AP=4,

③當DP=C/時，可知P為A2的中點，AP=2.5.

故答案為：1或2.5或4.

【例2].如圖，己知點A（1,2）是反比例函數y=區圖象上的一點，連接A。并延長交雙

x

曲線的另一分支于點8,點尸是x軸上一動點；若是等腰三角形，則點P的坐標

是（-3,0）或（5,0）或（3,0）或（-5,0）.

；.4、B兩點關于。對稱,

.?.0為AB的中點，且8(-1,-2),

當△RW為等腰三角形時有PA^AB或PB=AB,

設尸點坐標為(x,0),

VA(1,2),B(-1,-2),

2222PB

???AB=V[l-(-l)]+[2-(-2)]=2存PA=V(X-1)+2，=

V(X+1)2+(-2)2)

當PA^AB時，則有[(X-1)2+22=2&，解得X=-3或5,此時尸點坐標為(-3,

0)或(5,0)；

當PB=AB時，則有｛(*+1)2+(-2)2=2泥,解得x=3或-5,此時P點坐標為(3,

0)或(-5,0)；

綜上可知尸點的坐標為(-3,0)或(5,0)或(3,0)或(-5,0),

故答案為：(-3,0)或(5,0)或(3,0)或(-5,0).

A變式訓練

【變式2-1].直線y=-x+4與x軸、y軸的正半軸分別交A、3兩點，點尸是直線y=-x+4

上的一點，當△A。尸為等腰三角形時，則點尸的坐標為(2,2),(0,4),(4-2后，

2技，(4+2后，-2后)..

解：依題意得A(4,0),B(0,4),

.?.04=02=4,

...△AOB為等腰直角三角形，有三種情況：

(1)當點。為頂點，OA為腰時；以OA為半徑畫弧交直線于點8,B(2,2)符合

題意；

(2)當點A為頂點，。4為腰時，以點A為圓心，0A為半徑畫弧交直線AB于兩點，過

尸點作x軸的垂線，由解直角三角形得點P坐標是(4-2版,2&)，(4+2&,-2弧)；

(2)當為底時，作線段OA的中垂線交直線于P點，則P(2,2).

故本題答案為：(2,2),(0,4),(4-2&,2&),(4+2&,-2^2).

【變式2-2].如圖，平面直角坐標系中，直線y=-3x+9■與直線>=旦尤+9交于點8,與

4422

x軸交于點A.

(1)求點B的坐標.

（2）若點。在x軸上，且△ABC是以A5為腰的等腰三角形，求點。的坐標.

：.B(-1,3)；

(2)\?直線y=-3x+旦與直線y=3x+9交于點3,與無軸交于點A.

4422

AA(3,0),B(-1,3),

AC2=(3-m)2—m2-6m+9,BC2=(m+1)2+32=m2+2m+10,

當AC—AB時，m2-6m+9=52,解得：m=8或-2；

當時，m2+2m+10=52,解得：根=-5或3(與點A重合，舍去);

故點C的坐標為(-5,0),(-2,0),(8,0).

實戰演練

1.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(3,3),B(0,5),若在坐標軸上找一點C,使

得△ABC是等腰三角形，則這樣的點C有(

A.4個B.5個C.6個D.7個

解：由題意可知：以AC、AB為腰的三角形有3個;

以AC、為腰的三角形有2個;

以BC、為腰的三角形有2個.

x軸交于點A,與y軸交于點8,點尸是無軸上

則點P的坐標不可能是()

A.(-3-2M,0)B.(3,0)C.(-1,0)D.(273，0)

解：如下圖所示:

,/函數尸冷的圖象與無軸交于點A,與y軸交于點B,

在中，令y=0可得％=-3,令x=0可得

3

.,.A（-3,0）,B（0,a），

32+（V3）2=2百，

（1）當4B=BP時，點尸與尸1重合，則Pi（3,0）；

（2）當AP=BP時，點尸與點P2重合，如圖②所示：

過的中點C作x軸的垂線，垂足為￡）,

由題意知：CD1=AD-PD,

,點C的坐標為（-旦，亞"）,設點尸的坐標為（a,0）

22

（近）2=（-3+3）（a+S）

222

解之得：a--1

即：點尸的坐標為（-1,0）

（3）當時，點尸3重合，則P3（-3-273-0）或（-3+2我，0）

綜上所述：若△B42為等腰三角形，則點尸的坐標可能是（3,0）、（-1,0）、（-3-2我,

0）,（-3+2我，0）

故選：D.

3.在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0,2）,點8的坐標為（K巧，0），點C在

x軸上.若△ABC為等腰三角形時，ZABC=30°,則點C的坐標為（

A.(-2V3.0),2a0),(2>/3-4,0)

3

B.(-26，0),d0),(4+2V3-0)

3

0),(返，0)

C.(-2V3,0),(阻

33

D.(-2V3.0),(1,0),(4-273-o)

解：：點A的坐標為（0,2）,點3的坐標為（2>/§，0）,

；.OA=2,OB=2如,

???A"、0A?40B2=62+(2近)2=4,tan/AB0=冷品=(

480=30°，

VZABC=30°,

...點C在點3的左邊.

①若AB=AC=4,

XVOAXBC,

OC=O8=2百，

.,.點Ci坐標為（-273-0）；

②若BC=AB=4,

又：點B的坐標為（2^^，0）,

.?.點C2坐標為（2百-4,0）；

③若CA=CB,則C在線段A5的垂直平分線上.

設OC=x,貝ijAC=BC=OB-OC=2A/3-x.

在直角△OAC中，VZAOC=90°,

：.OA2+OC2=AC2,即22+/=（2?-尤）2,

解得x=22Zl_.

3

...點C3坐標為（2巨，0）.

3

綜上所述：點C坐標為（-2?,0）或（273-4,0）或（且巨，0）.

3

故選:A.

4.已知平面直角坐標系中有A(2,2)、B(4,0)兩點，若在坐標軸上取點C,使AABC

為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數是()

-?

x

D.8個

解：如圖：

當時，以點A為圓心，長為半徑畫弧，交y軸于點Ci,C2,

當氏4=2C時，以點2為圓心，42長為半徑畫弧，交x軸于點C3,C4,

當CA=CB時，作42的垂直平分線，交x軸于點C5,交y軸于點C6,

:點A,B,C2三個點在同一條直線上,

...滿足條件的點C的個數是5,

故選：A.

5.如圖，拋物線y=/-2x-3與y軸交于點C,點。的坐標為（0,-1）,在第四象限拋

物線上有一點尸，若△PC。是以8為底邊的等腰三角形，則點P的橫坐標為（）

C.V2-1D.1-&或1+V2

所以，點C的坐標為（0,-3）,

:點。的坐標為（0,7）,

線段CD中點的縱坐標為工X（-1-3）=-2,

2

???△PC。是以CD為底邊的等腰三角形，

點P的縱坐標為-2,

-2尤-3=-2,

解得=X2=l+&,

..?點尸在第四象限，

.?.點尸的橫坐標為1+V2.

故選：A.

6.在平面直角坐標系xOy中，已知點A（2,-2）,在y軸上確定點P,使△AOP為等腰三

角形，則符合條件的有4個.

解：分二種情況進行討論：

當。4為等腰三角形的腰時，以。為圓心。4為半徑的圓弧與y軸有兩個交點，以A為

圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個交點；

當OA為等腰三角形的底時，作線段04的垂直平分線，與丁軸有一個交點.

符合條件的點一共4個.

故答案為：4.

7.如圖，已知點A,8的坐標分別為（2,0）和（0,3）,在坐標軸上找一點C,使AABC

是等腰三角形，則符合條件的C點共有8個.

以點A為圓心，為半徑畫圓，與坐標軸有三個交點（2點

與坐標軸有三個交點（A點除外）,

當CA=CB時，畫42的垂直平分線與坐標軸有2個交點,

綜上所述：符合條件的點C的個數有8個,

故答案為：8.

8.已知直線y=-，§x+3與坐標軸分別交于點A,B,點P在拋物線y=-5(x-、口)2+4

3

上，能使為等腰三角形的點P的個數有3個.

解：以點B為圓心線段AB長為半徑做圓，交拋物線于點C、M、N點，連接AC、BC,

如圖所示.

令一次函數y=-中尤=0,則y=3,

.?.點A的坐標為(0,3)；

令一次函數y=-焉x+3中y=0,貝!]-百x+3=0,

解得：x=V3>

.?.點8的坐標為(百，0).

：.AB=2y/3-

?.?拋物線的對稱軸為

.?.點C的坐標為(2如，3),

.?.AC=2F=AB=BC,

」.△ABC為等邊三角形.

令尸-(x-2+4中y=0,則-《(x-V3)2+4=0,

33

解得：x=_M，或了=3百.

.?.點M的坐標為(-我，0),點N的坐標為(373-0).

△ABP為等腰三角形分三種情況：

①當時，以8點為圓心，長度為半徑做圓，與拋物線交于C、M,N三點;

②當尸時，以A點為圓心，AB長度為半徑做圓，與拋物線交于C、M兩點，；

③當AP=B尸時，作線段的垂直平分線，交拋物線交于C、M兩點；

能使△A2P為等腰三角形的點P的個數有3個.

故答案為：3.

9.在平面直角坐標系中，已知A(5,0),B(0,12),且A2=13,在x軸上取一點P,使

得△E4B是以AB為腰的等腰三角形，請寫出所有符合條件的點P的坐標(-5,0),

(-8,0),(18,0).

解：如圖，

①若AB=BP,則。4=0尸=5,則點尸1(-5,0)；

②若A8=A尸，則點尸2(-8,0)；點尸3(18,0)；

符合條件的點P的坐標分別為：(-5,0),(-8,0),(18,0).

10.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在第一象限內，NAO2=50°,軸于3,

點C在y軸正半軸上運動，當△OAC為等腰三角形時，頂角的度數是40?；?00。.

當OA=OC時，NAOC=90°-40°,

當AO=AC時，Z040=180°-2X40°=100°,

當CO=C4時，NACO=180°-2X40°=100°,

綜上所述，當△OAC為等腰三角形時，頂角的度數為40°或100°,

故答案為：40°或100。.

11.如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，直線/分別交x軸、y軸于A、8兩點，

OA<OB,且。4、的長分別是一元二次方程/-7x+12=0的兩根.

(1)求直線的函數表達式；

(2)若在y軸上取一點P,使△A8P是等腰三角形，則請直接寫出滿足條件的所有點尸

的坐標.

得xi=3,%2=4,

*：OA<OB,???OA=3,08=4.

AA(3,0)B(0,4)

設直線AB的函數表達式y=kx+b,

則［0=3k+b

14=b

f,4

lr=----

：.i3

b=4

.4，

,?y=-7-x+4

o

(2)滿足條件的P的坐標：(0,9)(0,工)(0,-1)(0,-4)

8

因為。4=3,。2=4所以A2=5,

以8為圓心，以為半徑作弧，交y軸與兩點，

這兩點的坐標分別是(0,9)、(0,-1)

這兩點與A、8都構成的△A8P是等腰三角形.

根據軸對稱的意義，當尸(0,-4)時，

△ABP是等腰三角形.

當點尸在的垂直平分線與y軸的交點上時，

設P(0,m)

則(4-相)2—m2+32

解得，m=—

8

所以點尸的坐標為：(0,9)(0,工)(0,-1)(0,-4)

8

12.如圖1,在平面直角坐標系中，點A、點8的坐標分別為(4,0)、(0,3).

(1)求A8的長度.

(2)如圖2,若以為邊在第一象限內作正方形ABC。，求點C的坐標.

(3)在x軸上是否存在一點P,使得是等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐

：.OA=4,OB=3,

-'-AB=VOA2-K)B2=5)

(2)如圖，過點C作CEL02于E,

AZCBE+ZBCE^9Q0,

:四邊形ABC。是正方形，

：.AB=BC,ZABC=90°,

AZCBE+ZABO=90°,

：.ZABO=ZBCE,

，ZAOB=ZBEC=90°

在AAOB和△BEC中，，NABO=/BCE

AB=BC

△AOB妾△BEC,

：.BE=OA=4,CE=OB=3,

：.OE=OB+BE=I,

：.C(3,7)；

(3)設P(a,0),

VA(4,0),B(0,3),

：.PA=\a-4\,PB2=a2+9,AB=5,

???△ABP是等腰三角形，

①當時，

；.|a-4|=5,

'.a=-1或9,

：.P(-1,0)或(9,0),

②當=時，

22

(A-4)=a+9,

③當PB=AB時，

：.cr+9=25,

.'.a—4(舍)或a—-4,

：.P(-4,0).

即：滿足條件的點尸的坐標為(T,0)、(-4,0)、(9,0)、(―,0).

13.拋物線y=ax2+bx-3QW0)與直線y=kx+c(4力0)相交于A(-1,0)>B(2,-3)

兩點，且拋物線與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求出C、￡>兩點的坐標

(3)在第四象限拋物線上有一點P,若是以CD為底邊的等腰三角形，求出點P

的坐標.

解：(1)把A(-1,0)、2(2,-3)兩點坐標代入

產一+小3可得卜玲-3=0

I4a+2b-3=-3

解得卜=1

lb=-2

.*.y=x2-2x-3

(2)把x=0代入y=f-2x-3中可得y=-3.9.C(0,-3)

設丁=區+。，把A(-1,0)、B(2,-3)兩點坐標代入

f-k+b=0

I2k+b=-3

解得修1

lb=-l

.?.y=-x-I

：.D(0,-1)

（3）由C（0,-3）,D（0,-1）可知CD的垂直平分線經過（0,-2）

尸點縱坐標為-2,

x2-2x-3=-2

解得：x=l±?Vx>0.\x=l+V2.

：.P（1+V2，-2）

14.如圖，已知二次函數y=-/+6x+c（c>0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點8

的左側），與y軸交于點C,且O8=OC=3,頂點為

（1）求二次函數的解析式；

（2）點P為線段上的一個動點，過點P作x軸的垂線PQ,垂足為。，若。。=優，

四邊形ACPQ的面積為S,求S關于機的函數解析式，并寫出機的取值范圍；

（3）探索：線段8M上是否存在點N,使△NMC為等腰三角形？如果存在，求出點N

的坐標；如果不存在，請說明理由.

.(0=-9+3b+c

,I3=c

解得［b=2］分

1c=3

???二次函數的解析式為y=-/+2x+3.

(2)y=-X2+2X+3=-(x-1)2+4,M(1,4)

設直線MB的解析式為y=kx+n,

則有［4=k+n

I0=3k+n

解得修2

In=6

直線MB的解析式為y=-2x+6

軸，OQ=m,

點尸的坐標為(m,-2m+6)

S四邊形4cPQ=SAAOC+S^PQOC=—AO'CO+—(PQ+C。)，。。

22

=Ax1X3+—(-2m+6+3)*m—-m2+—m+—(lWmW3).

2222

(3)CM=V(l-0)2+(4-3)2=V2，CN=7x2+(-2x+3)2MN=

V(x-1)2+(-2x+2)

①當CM=NC時，Vx2+(-2x+3)2=亞，

解得無1=工，X2=l(舍去)

5

此時N(工，」包)

55

②當CM=MN時，(x-l)2+(-2x+2)2=V2，

解得尤1=1+垣，-=1-垣(舍去)，

55

此時N(i+H,4-

55

③當CN=MN時,7x2+(-2x+3)2=V(x-l)2+(-2x+2)2

解得x=2,此時N(2,2)

綜上所述：線段上存在點N(工，西)，(2,2),(1+YH,4-漢邁)使ANMC

5555

為等腰三角形.

15.直線y=fcc-4與x軸、y軸分別交于8、C兩點，且帶

(1)求點8的坐標和Z的值；

(2)若點A時第一象限內的直線y=fcv-4上的一動點，則當點A運動到什么位置時，

△AOB的面積是6?

(3)在(2)成立的情況下，x軸上是否存在點P,使△POA是等腰三角形？若存在，求

解：(1)?.?直線y=fcc-4與x軸、y軸分別交于8、C兩點,

二點C(0,-4),

0C=4,

..0C=4

,0B百，

.?.03=3,

.,.點B(3,0),

；.3k-4=0,

解得：k=2；

3

(2)設A的縱坐標為〃，

VS^A0B=—0B*h=6,且03=3,

2

；?/i=4,

?直線2C的解析式為：y=^x-4,

-3

.,.當y=4時，4=—.V-4,