專題08跨學科綜合題(解答壓軸題)

壓軸題密押

通用的解題思路：

1.理解題目背景：首先，要仔細閱讀題目，理解題目背景，明確題目所涉及的知識點。這有助于確定解題

所需的跨學科知識。

2.提取關鍵信息：從題目中提取關鍵信息，如數學公式、物理定律、化學方程式等。這些信息是解題的基

礎。

3.建立數學模型：根據題目要求，建立相應的數學模型。這可能涉及代數、幾何、概率等數學知識。

4.應用跨學科知識：將提取的關鍵信息與建立的數學模型相結合，運用跨學科知識解決問題。例如，在物

理題中可能需要運用數學公式計算速度、加速度等。

5.檢查答案：最后，檢查答案是否合理，是否符合題目要求。如果可能，使用不同的方法或角度再次驗證

答案。

經典例題

1.(2020?江蘇鹽城?中考真題)以下虛線框中為一個合作學習小組在一次數學實驗中的過程記錄，請閱讀

后完成虛線框下方的問題1~4.

(1)在RtABC中，ZC=90°,AB=272,在探究三邊關系時，通過畫圖，度量和計算，收集到，組數據

如下表：(單位：厘米)

AC2.82.72.62.321.50.4

BC0.40.81.21.622.42.8

AC+BC3.23.53.83.943.93.2

(2)根據學習函數的經驗，選取上表中BC和AC+3C的數據進行分析；

①設3c=x,AC+3C=y,以(x,y)為坐標，在圖①所示的坐標系中描出對應的點;

②連線；

觀察思考

（3）結合表中的數據以及所面的圖像，猜想.當x=_時，y最大;

（4）進一步C猜想：若MMBC中，ZC=90°,斜邊AB=2a（q為常數，。＞0）,則3C=_時，AC+BC

最大.

推理證明

（5）對（4）中的猜想進行證明.

問題1.在圖①中完善（2）的描點過程，并依次連線;

問題2.補全觀察思考中的兩個猜想：⑶（4）

問題3.證明上述（5）中的猜想:

問題4.圖②中折線B-E-尸-G-A是一個感光元件的截面設計草圖，其中點間的距離是4厘米，

AG=3E=1厘米，/石=/尸=/3=90。,平行光線從43區域射入，/8'￡=60。,線段月0、為感光區域,

當跖的長度為多少時，感光區域長度之和最大，并求出最大值.

2.（2023?江蘇宿遷?中考真題）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即

=尸）.小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點E處平放一面鏡子，經調整自己位置后,

在點。處恰好通過鏡子看到建筑物的頂端人經測得，小軍的眼睛離地面的距離CD=L7m,BE=20m,

觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點。處不動，將鏡子

移動至用處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G,測出=2m；再將鏡子移動至召2處，恰好通過鏡子

看到廣告牌的底端A，測出。E2=3.4m.經測得，小軍的眼睛離地面距離CD=L7m,BP=10m,求這個

【應用拓展】

小軍和小明討論后，發現用此方法也可測量出斜坡上信號塔的高度.他們給出了如下測量步驟（如圖）：

①讓小軍站在斜坡的底端。處不動（小軍眼睛離地面距離CD=1.7m），小明通過移動鏡子（鏡子平放在坡

面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂以②測出OE=2.8m；③測出坡長AD=17m；④測出坡比為8:15

Q

（即tan/AOG=1）.通過他們給出的方案，請你算出信號塔A8的高度（結果保留整數）.

3

-8.........D

3.（2023?江蘇蘇州?中考真題）某動力科學研究院實驗基地內裝有一段筆直的軌道長度為1m的金屬

滑塊在上面做往返滑動.如圖，滑塊首先沿AB方向從左向右勻速滑動，滑動速度為9m/s,滑動開始前滑塊

左端與點A重合，當滑塊右端到達點8時，滑塊停頓2s,然后再以小于9m/s的速度勻速返回，直到滑塊的

左端與點A重合，滑動停止.設時間為電)時，滑塊左端離點A的距離為4(m),右端離點B的距離為/2(m),

記d=與/具有函數關系.已知滑塊在從左向右滑動過程中，當仁4.5s和5.5s時，與之對應的d的兩

個值互為相反數；滑塊從點A出發到最后返回點A,整個過程總用時27s(含停頓時間).請你根據所給條

件解決下列問題：

從左向右

---------

|-<------4,------>-|滑塊--------------------->>

AB

從右向左

⑴滑塊從點A到點8的滑動過程中，d的值________________；(填“由負到正”或“由正到負”)

(2)滑塊從點B到點A的滑動過程中，求d與f的函數表達式；

(3)在整個往返過程中，若d=18,求f的值.

4.(2020?江蘇鹽城?中考真題)木門常常需要雕刻美麗的圖案.

（1）圖①為某矩形木門示意圖，其中A3長為200厘米，9長為100厘米，陰影部分是邊長為30厘米的正

方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心點尸處，在雕刻時始終保持模具的一邊緊貼木門的一邊，所刻圖案

如虛線所示，求圖案的周長；

AD

B——C

圖①

（2）如圖②，對于⑴中的木門，當模具換成邊長為30&厘米的等邊三角形時，刻刀的位置仍在模具的中

心點尸處，雕刻時也始終保持模具的一邊緊貼本門的一邊，使模具進行滑動雕刻.但當模具的一個頂點與木

門的一個頂點重合時，需將模具繞著重合點進行旋轉雕刻，直到模具的另一邊與木門的另一邊重合.再滑

動模具進行雕刻，如此雕刻一周，請在圖②中畫出雕刻所得圖案的草圖，并求其周長.

AD

BC

圖②

5.（2020.江蘇連云港.中考真題）筒車是我國古代利用水力驅動的灌溉工具，唐代陳廷章在《水輪賦》中

寫道：“水能利物，輪乃曲成”.如圖，半徑為3m的筒車(。按逆時針方向每分鐘轉二圈，筒車與水面分別

0

交于點A、B,筒車的軸心。距離水面的高度OC長為2.2m,筒車上均勻分布著若干個盛水筒.若以某個

盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間.

(1)經過多長時間，盛水筒尸首次到達最高點？

(2)浮出水面3.4秒后，盛水筒尸距離水面多高？

(3)若接水槽所在直線是：0的切線，且與直線A3交于點M,=8m.求盛水筒尸從最高點開始,

至少經過多長時間恰好在直線政V上.(參考數據：cos43°=sin47"?—,sinl6°=cos74°?—,

1540

。o3

sin22°=cos68°?—)

8

壓軸題預測

1.【問題提出】

唐朝詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的

數學問題——將軍飲馬問題：

（1）如圖1,ABC中，ZC=90°,AC=BC=2,E是A3的中點，P是8c邊上的一動點，則F4+PE的

最小值為一；

【問題探究】

（2）如圖2,已知ABC和.。斯都是等腰直角三角形，ZABC=ZEDF=90°.AB=6,DE=3,所在直

線AC上運動時，求3E+3D的最小值；

【拓展應用】

（3）如圖3,是某公園的示意圖，AB、AC,是三處柵欄，CQ是該公園附近的一條道路（寬度不計），

半圓AM及其內部是一個帶舞臺的廣場.已知的C=/ASD=90。，CD所對的圓心角為120。，AC與C。所

在的圓相切于點C,點E、G在AC上，點尸、”在3。上，點〃在A3上，矩形EFHG是一條河流在該公

園內的一段（砂〃AB）,其中半圓A0的直徑為300m,AB=600m,AC=700^3m,河岸EF離AB的

距離為200圓，河寬EG為200gm,為方便運輸設備，現計劃垂直于河岸造橋QS,使得PQ、QS與ST之

和最短，求出此時E。的長.（結果保留根號）

圖1圖2圖3

2.中新社上海3月21日電（記者繆璐）21日在上海舉行的2023年全國跳水冠軍賽女子單人10米跳臺決

賽中，陳芋汐以416.25分的總分奪得冠軍，全紅嬋全紅嬋?位列第三，掌敏潔獲得銅牌.在精彩的比賽過程

中，全紅嬋選擇了一個極具難度的207c（向后翻騰三周半抱膝）.如圖2所示，建立平面直角坐標系.如

果她從點入（3/0）起跳后的運動路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過程中她的豎直高度》（單

位：米）與水平距離無（單位：米）近似滿足函數關系式y=a（x-"）2+M“＜0）.

圖1圖2

圖1圖2

（1）在平時訓練完成一次跳水動作時，全紅嬋的水平距離》與豎直高度y的幾組數據如下:

水平距離x/m033.54.4.5

豎直高度y/m1010k106.25

根據上述數據，直接寫出k的值為，直接寫出滿足的函數關系式：；

（2）比賽當天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度y與水平距離X近似滿足函數關系，、=-5/+40.*-68記

她訓練的入水點的水平距離為4；比賽當天入水點的水平距離為乙，則4—d2（填＞,=,＜）；

（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達最高點8開始計時，若點8到水平面的距離為c,則她到水面的距

離y與時間/之間近似滿足y=-5t2+c,如果全紅嬋在達到最高點后需要1.6秒的時間才能完成極具難度的

207c動作，請通過計算說明，她當天的比賽能否成功完成此動作？

3.如圖，在平面直角坐標系中，40,7）,3（0,4）,嘉琪用手機設計了動畫，光點P從點A出發，以每秒2

個單位的速度向右勻速運動；光點。同時從點B出發，在點尸的正下方沿拋物線乙：y=，+6x+c運動,

3

設運動時間為r,當時，尸、。第一次相遇.

I……X

O

■0「*'I

(1)①尸、。第一次相遇時，點P的坐標為:

②求拋物線4的解析式，并寫出頂點坐標；

(2)當尸、。相遇后，點P的運動保持不變，點。沿與右形狀相同的拋物線(如圖)運動，點。仍在點尸的

正下方，再次相遇時同時停止運動.當7=3時，光點。運動到拋物線4的最低點，求點P、。在運動的整

個過程中，距離不超過2的時間；

(3)在(2)的條件下，尸、。運動結束后，嘉琪用手機截圖右、右后，發現屏幕上有一個黑點K(位置固定)，

剛好落在平面直角坐標系(1。，5)的位置，嘉琪通過手機觸屏功能將乙與4橫向、縱向同時放大a倍，使點K

落在右或右上(放大過程中不改變坐標原點的位置)，直接寫出符合條件的a的值.

4.流感主要的發病季節在春季，因為春季正值季節的交換，氣候溫差大，使人的身體抵抗能力降低，從而

引起流感的發生，所以我們要有健康的生活意識，時刻關注自己身體的變化情況，積極地進行預防，某地

發生流感，第x天(1<%<10)的新增病人y(人)如下表所示：

X1234......910

y4112031......116139

(1)前10天流感發病人數符合二次函數,="2+桁一1,根據上表，求出二次函數的解析式；

(2)將拋物線丁="2+法-1先向右平移3個單位，再向上平移1個單位，平移后的拋物線如圖一所示，與x

軸從左到右依次交于A,8兩點，與y軸交于點C.則該拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得NAPB=NACB?

若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖二，在(2)的拋物線中，點Q是線段AC上的動點，連接。Q,過點。作在射線。町上

取一點N,使得/ONQ=NOC4,連接ML,NB,求，ABN周長的最小值.

5.如圖，甲、乙分別從4(-9,0),3(13,0)兩點同時出發，甲朝著正北方向，以每秒3個單位長度的速度運

動；乙朝著正西方向，以每秒4個單位長度的速度運動.設運動時間為r秒.

規定：f秒時，甲到達的位置記為點4，乙到達的位置記為點B，例如，1秒時，甲到達的位置記為4，乙

到達的位置記為耳（如圖所示）；2.5秒時，甲到達的位置記為&5等等.容易知道，兩條平行且相等的線

段，其中包含有相同的方位信息.所以，在研究有關運動問題時，為研究方便，我們可把點或線段進行合

適的平移后，再去研究（物理上的相對運動觀，就是源于這種數學方法）.現對，秒時，甲、乙到達的位置

點4，B,,按如下步驟操作：第一步：連接4片；

第二步：把線段a片進行平移，使點心與點B重合，平移后，點A的對應點用點用標記.

北

一東

解答下列問題：

（1）【理解與初步應用】當/=1時，

①利用網格，在圖中畫出4，4經過上述第二步操作后的圖形；

②此時，甲在乙的什么方位？（請填空）

答：此時，甲在乙的北偏西。。（其中tan/=）,兩者相距個單位長度.

（2）【實驗與數據整理】補全下表：

f的取值123t

點4的(,(,(,

(-5,3)

坐標)))

（3）【數據分析與結論運用】

①如果把點4的橫、縱坐標分別用變量無，y表示，則y與X之間的函數關系式為

②點的坐標為.

（4）【拓展應用】我們知道，在運動過程中的任意時刻乙甲相對于乙的方位（即，點A相對于點坊的方位）

與4相對于點B的方位相同.這為我們解決某些問題，提供了新思路.請解答：運動過程中，甲、乙之間

的最近距離為個單位長度.

6.今年2月13日，21世紀以來第20個指導“三農”工作的中央一號文件《中共中央國務院關于做好2023

年全面推進鄉村振興重點工作的意見》發布，體現了國家對“三農”的重視.實際上在古代，智慧的勞動人民

有很多發明創造.如圖即為古代勞動人民發明的“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“連桿”,

推動“連桿，，帶動磨盤轉動將糧食磨碎，物理學上稱這種動力傳輸工具為“曲柄連桿機構”.小明受“石磨”的啟

發設計了一個“雙連桿機構”，設計圖如圖1,兩個固定長度的“連桿””，3尸的連接點尸在。上，當點尸在

。上轉動時，帶動點A,8分別在射線加，QV上滑動，OMLON.如圖2,當AP與。相切時，點、B

恰好落在。上.請就圖2的情形解答下列問題：

(1)若/尸80=10。，求/PAO的度數.

(2)若線段4。與(。交于點C,AC=3,AP=5,求。的半徑.

(3)若。的半徑為6,AP=8,求3尸的長.

7.某綜合實踐活動小組設計了一個簡易電子體重秤，已知裝有踏板(踏板質量忽略不計)的可變電阻與與

踏板上人的質量機之間滿足一次函數關系，共圖象如圖1所示；圖2的電路中，電源電壓恒為3伏，定值

電阻凡的阻值為40歐，接通開關，人站上踏板，電壓表顯示的讀數為U。，然后把代入相應的關系式,

該讀數就可以換算為人的質量a,

知識小鏈接：①導體兩端的電壓U,導體的電阻R,通過導體的電流/,滿足關系式/=與；②串聯電路中

R

電流處處相等，各電阻兩端的電壓之和等于總電壓.

(1)求可變電阻與與人的質量，篦之間的函數關系;

⑵用含U。的代數式表示，篦；

⑶當電壓表顯示的讀數4為0.75伏時，求人的質量相.

8.下面是小明同學的一則日記，請仔細閱讀，并完成相應的任務：

年*月*日星期日

利用一次函數知識解決化學問題

今天我看到一則化學實驗材料：

如圖1,在一支10ml的試管中充滿了NQ和2的混合氣體，將其倒立在盛有足量水的燒杯中，這里會發生

化學反應.

4NO2+O2+2Hq=4HNO3①

當NO?和。②的體積比為4:1時，NO?和儀恰好完全反應.如果反應后NO?仍有剩余，則N&會和水繼續發

生化學反應.

3NO2+H2O2=2HNO3+NO②

化學反應②中參與反應的NO2與生成的NO的體積比為3:1.

根據以上材料，我有如下思考：化學反應結束后試管中剩余氣體的體積與化學反應前試管中混合氣體中的

體積存在怎樣的關系？經過分析，我可以建立一次函數模型解決這個問題.

設原混合氣體中NQ的體積為xml,02的體積為完全反應后試管內乘余氣體的體積為yml.

情況一：由反應①可知，當NQ和Q的體積比為4:1時，NO?和恰好完全反應，此時x=8,y=0.

x

情況二：當X<8時，由反應①可知NO?全部參加反應，。2過量，參加反應①的。2的體積;，剩余。2的體

4

積為10-x=10.

44

5x5x

因為不溶于水，故完全反應后試管內剩余氣體的體積y=10-?,即〉=-r+10.

44

在平面直角坐標系中畫出當0<xW8時的函數圖象如圖2所示.

情況三：當8<x<10時，由反應①可知儀全部參與反應，NQ過量,參與反應①的NO?的體積為4(10-x)ml,

剩余的NQ和水發生反應②，產生不溶于水的N。氣體.

任務：

(1)根據材料中的內容，求出當8<x<10時，y與x的函數關系式，并在下面的平面直角坐標系中畫出該函數

(2)當完全反應后試管內剩余氣體的體積為2ml時，求原混合氣體中NQ的體積.

9.在初中物理中我們學過凸透鏡的成像規律.如圖為一凸透鏡，尸是凸透鏡的焦點.在焦點以外的主

光軸