@研0，模型介紹

考點(diǎn)1一點(diǎn)一垂線模型

【模型講解】反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的垂線、另一坐標(biāo)軸上一點(diǎn)（含原點(diǎn)）圍成

的三角形面積等于:|6.

【示例】

拓展:

SAOAC=SAAOE+、&OCE，

S-S4-S

°AaW)一少口邊射丁。△仇E，

,?,Q必-一S通壽砧""

【例1].如圖，已知?jiǎng)狱c(diǎn)48分別在x軸，y軸正半軸上，動(dòng)點(diǎn)尸在反比例函數(shù)>=旦（x

>0）圖象上，出，x軸，△E4B是以唐為底邊的等腰三角形.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)逐漸增

大時(shí)，△P43的面積將會(huì)()

B.越來(lái)越大

C.不變D.先變大后變小

解：如圖，過(guò)點(diǎn)8作BCJ_朋于點(diǎn)C,

設(shè)點(diǎn)尸(x,2)，

X

則S△孫?旦?元=3,

22x

當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，△B42的面積將會(huì)不變，始終等于3,

故選：C.

A變式訓(xùn)練

【變17].如圖，點(diǎn)A、8在反比例函數(shù)y上的圖象上，過(guò)點(diǎn)A、8作x軸的垂線，垂足分

別是/、N,射線交x軸于點(diǎn)C,若OM=MN=NC,四邊形的面積是4,貝隈

的值為16

3―

解：設(shè)OM=a,則OM=MN=NC=a,

:點(diǎn)A、8在反比例函數(shù)y=K的圖象上，AM_LOC、BN±OC,

：.AM=^~,BN=±,

a2a

,**SAAOC-S/\AOM+S四邊形AMNB+S/VBNC,

-工X3aX&=-2計(jì)4-AxaXJL,

2a222a

解得k=-也，

3

故答案為：-」旦.

3

【變1-2].如圖，在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P(2,3),MQ,2)是雙曲線y=K(kWO)上的

X

兩點(diǎn)，以，工軸于點(diǎn)A,MBJLx軸于點(diǎn)3,B4與交于點(diǎn)C,則^。4c的面積為()

A.旦B.AC.2D.3

233

解：把尸(2,3),M(a,2)代入y=K得％=2X3=20,解得％=6,a=3,

X

設(shè)直線0M的解析式為y=nvc,

把M(3,2)代入得3根=2,解得根=2,

3

所以直線0M的解析式為當(dāng)x=2時(shí)，y="|'X2=?,

所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),

3

所以△OAC的面積=』X2X&=4.

233

故選：B.

考點(diǎn)2一點(diǎn)兩垂線模型

【模型講解】

反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)與坐標(biāo)軸的兩條垂線所圍成的矩形面積等于|用.

【示例】

°ABCD

【例2】.雙曲線y」包與yK■在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，作一條平行于y軸的直線分

XX

別交雙曲線于A、8兩點(diǎn)，連接OA、OB,則△AO8的面積為（）

解：設(shè)直線A8與x軸交于點(diǎn)C.

軸，

；.AC_Lx軸，BC_Lx軸.

?.,點(diǎn)A在雙曲線>=也?的圖象上,

X

，AA0C的面積=工義10=5.

2

?..點(diǎn)8在雙曲線>=旦的圖象上，

:.△COB的面積=1乂6=3.

2

...△AOB的面積=4AOC的面積-4cOB的面積=5-3=2.

A變式訓(xùn)練

【變2-1].如圖，函數(shù)>=工（尤>0）和支性（x>0）的圖象分別是/1和江設(shè)點(diǎn)尸在，2

XX

上，E4〃y軸交/1于點(diǎn)A,PB〃x軸交/1于點(diǎn)B,的面積為9

一百一

解：設(shè)點(diǎn)P(X,—?jiǎng)t點(diǎn)8(―,—),A(X,—

x4xx

；.8P=x-三=鼻x，AP=A-A=_3

44xxx

.1is29

SAABP=yBP■AP=]X,—

8

故答案為：1.

8

【變2-2].如圖，直線A8〃x軸，分別交反比例函數(shù)產(chǎn)區(qū)和了』1（心〈上）圖象于4、

YY1N

8兩點(diǎn)，若SAAOB=2,則依-總的值為4

■:S叢AOB=2,

??—~cd~--4zZ7=2,

22

??cd~cib~~4,

:?ki-匕=4,

故答案為：4.

【變2-3].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M為y軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線/〃尤軸,

I分別與反比例函數(shù)〉='和■的圖象交于兩點(diǎn)，若麋408=3,則k的值為

：.AM±y^,軸，

5AAOM=—S/\BOM——X4=2,

22

'."SAAOB=3,

??S/\AOM=19

：.\k\=2,

V^<0,

:?k=-2,

故答案為：-2.

考點(diǎn)3兩曲一平行模型

模型講解】

兩條雙曲線上的兩點(diǎn)的連線與一條（或兩條）坐標(biāo)軸平行，求這兩點(diǎn)與原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

圍成的圖形面積，過(guò)這兩點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，結(jié)合上的幾何意義求解.

類型1兩條雙曲線的左值符號(hào)相同

【例3].如圖，四邊形0ABe是矩形，四邊形AD跖是正方形，點(diǎn)A、。在x軸的負(fù)半軸

上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)尸在AB上，點(diǎn)2、E在反比例函數(shù)y=K（左為常數(shù)，k

#0）的圖象上，正方形AOEF的面積為16,且8P=2AR則上值為（）

y

aA.-8B.-12C.-24D.-36

解：設(shè)A(尤，0).

,/正方形ADEF的面積為16,

：.ADEF的邊長(zhǎng)為4,

：.E(x-4,4),

,:BF=2AF,

：.BF=2X4=8,

：.B(尤，12).

?.?點(diǎn)&E在反比例函數(shù)y=K(左為常數(shù)，kWO)的圖象上，

X

.'.4(x-4)=12%,

解得x=-2,

：.B(-2,12),

：.k=-2X12=-24,

故選：C.

【變3-1].若正方形OABC的頂點(diǎn)3和正方形4DE尸的頂點(diǎn)E都在函數(shù)y」￡（k〉0）的

圖象上.若正方形048c的面積為1,則上的值為1；點(diǎn)￡的坐標(biāo)為（1+1,1

------2-2一2

一2

解：?..正方形OABC和正方形AEDF各有一個(gè)頂點(diǎn)在一反比例函數(shù)圖象上，且正方形

0A8C的邊長(zhǎng)為1.

...B點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,1),

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=K;

X

?*xy~~k~~1?

設(shè)正方形ADE尸的邊長(zhǎng)為〃，則￡(l+m〃)，

代入反比例函數(shù),=工(x>0)得：1=(1+〃)a,又〃>0,

x

解得：。=近_-」.

22

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為：(遮+工，遮-工).

2222

【變3-2].如圖，A、8兩點(diǎn)在雙曲線y=&上，分別經(jīng)過(guò)A、8兩點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線段，

解：如圖,

；?S四邊形AEOF=4,S四邊形BDOC=4,

-

5I+S2=S四邊形AE。尸+S四邊形B。。。2X5陰影,

???SI+S2=8-3.4=4.6

故答案為：4.6.

【變3-3].如圖，在反比例函數(shù)y上（x>0）的圖象上，有點(diǎn)P1,尸2,P3,P4,…,它們

的橫坐標(biāo)依次為1,2,3,4,分別過(guò)這些點(diǎn)作無(wú)軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰

影部分的面積從左到右依次為Si,S2,S3,…，則S1+S2+S3+…+%=衛(wèi).（用”的

—n+L

當(dāng)X=2時(shí)，尸2的縱坐標(biāo)1,

當(dāng)％=3時(shí)，尸3的縱坐標(biāo)2,

3

當(dāng)％=4時(shí)，尸4的縱坐標(biāo)1,

2

當(dāng)冗=5時(shí)，尸5的縱坐標(biāo)2,

5

則5i=ix(2-1)=2-1；

52=ix（i-2）=i-2；

33

SEX=rv

SQX或得得2

5

.22

nn+1

S1+S2+S3+…+Sz=2-1+1-2+Z-2+2-2+…+2--?-=2-

33445nn+1n+1n+1

故答案為：_2n_.

n+1

考點(diǎn)4兩點(diǎn)一垂線模型

【模型講解】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)及由交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作垂線圍成的三角形

面積等于|川，反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)及坐標(biāo)軸上任一點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積，等

于坐標(biāo)軸所分的兩個(gè)三角形面積之和.

【示例】

=j-ui+j-iki=iki

=—CO?\xB-xA\

【例4].如圖，正比例函數(shù)y=依與反比例函數(shù)尸-圓相交于A,。兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)

為-4,過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于8點(diǎn)，連接8C,下列結(jié)論：①人=-』；②不等式

2

kx<-呈的解集為-4<x<0或x>4；③AABC的面積等于16.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為

X

（）

X

A.0B.1C.2D.3

解：將x=-4代入■得y=-&-=2,

x-4

...點(diǎn)A坐標(biāo)為（-4,2）,

將（-4,2）代入y=fcc得2=-4Z,

解得k=-—,

2

...①正確.

由反比例函數(shù)及正比例函數(shù)的對(duì)稱性可得點(diǎn)C坐標(biāo)為（4,-2）,

.,.當(dāng)-4<x<0或x>4時(shí)，履<一旦，

x

...②正確.

S^AOC=SMOB+S^BOC=—OB,yA+—OB,Q-yc）=—B0（yA-yc）=—Xdx（2+2）

2-222

=8,

③錯(cuò)誤.

故選：c.

A變式訓(xùn)練

【變47】.如圖所示，一次函數(shù),=京（ZVO）的圖象與反比例函數(shù)y=-三的圖象交于A,

8兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)3作8C_Ly軸于點(diǎn)C,連接AC,則△ABC的面積為4

.*.5AC0B=—|-4|=2,

2

???正比例函數(shù)y=fci(Jt>0)與反比例函數(shù)y=-9的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

x

：.OA=OB,

S4Aoe=S/\COB=2,

??SAABC=SAAOB+SABOC=2+2=4,

故答案為:4.

【變4-2］如圖，過(guò)點(diǎn)0的直線與反比例函數(shù)>=乂2的圖象交于A、3兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作

x

解：???點(diǎn)A反比例函數(shù)>=返■的圖象上，過(guò)點(diǎn)A作AC_Lx軸于點(diǎn)C,

x

:.SAAOC=—W=

22

..?過(guò)點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)y=亞的圖象交于A、B兩點(diǎn),

X

：,OA=OB,

**?S^BOC=S/\AOC=

2

S^ABC=2s△ACO=&,

故答案為：V2.

【變4-3］如圖，函數(shù)y=冗與y=K的圖象交于A、5兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC垂直于y軸，垂

x

足為C,連接5C,若S^BC=3,則k=3.

???函數(shù)y=x與y=K的圖象的中心對(duì)稱性，

x

B（-〃，-〃），

1

S^ABC=一?〃?2〃=〃9=3,

2

?e?a—，

/.A（F，Vs）＞

把A（百，M）代入y=區(qū)得％=?xV3=3.

x

故答案為：3.

考點(diǎn)5兩點(diǎn)兩垂線模型

【模型講解】

反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)及由交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等于

2\k\.

示例】

【例5].如圖，正比例函數(shù)y=依與反比例函數(shù)＞=的圖象交于A,C兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作

X

軸于點(diǎn)5,過(guò)點(diǎn)。作C。，工軸于點(diǎn)。，則△A3。的面積為4.

解：?點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=-9上，且軸,

VA,C是反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)，且無(wú)軸，

二。是8。的中點(diǎn)，

??SAABD=2SAAB(9-4.

故答案為：4.

?變式訓(xùn)練

【變57].如圖，一次函數(shù)〉=日與反比例函數(shù)y生上的圖象交于A,C兩點(diǎn)，AB〃y軸,

解：設(shè)A2交x軸于點(diǎn)，

由函數(shù)的對(duì)稱性可得點(diǎn)。為AC中點(diǎn)，即。O為AABC中位線，

.SAADO_1

??~,

,△ABC4

'.S^ABC=4S^ADO=2\k\=4,

'：k<0,

：.k=-2.

故答案為：-2.

【變5-2].如圖，正比例函數(shù)(%>0)與反比例函數(shù)y=1的圖象交于A,C兩點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)A作無(wú)軸的垂線，交x軸于點(diǎn)2,過(guò)點(diǎn)C作無(wú)軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D,連接AD,

BC,則四邊形ABC。的面積為2.

解：：人、C是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn),

；.A、C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

,.?C￡)_Lx軸，軸，

：.OA=OC,OB=OD,

???S^AOB=S/^BOC=S^DOC—S/^AODf

又,：k點(diǎn)在反比例函數(shù)y=2的圖象上，

X

S&AOB-S&BOC=S^DOC—SMOD—義1=工，

22

.'.S四邊形ABCD=4S/\AOB=4X2=2，

2

故答案為：2.

【變5-3].如圖，直線分別與反比例函數(shù)y=-2和y=3的圖象交于點(diǎn)A和點(diǎn)8,與y軸

xx

交于點(diǎn)P,且尸為線段A2的中點(diǎn)，作軸于點(diǎn)C,無(wú)軸交于點(diǎn)D,則四邊形

ABCD的面積是5.

解：過(guò)點(diǎn)A作AfUy軸，垂足于點(diǎn)B過(guò)點(diǎn)8作軸，垂足為點(diǎn)E.

：.PA=PB.

又；NAPF=NBPE,ZAFP=ZBEP=90°,

/\APF^/\BPE.

:.S^APF—S/\BPE.

?,?S四邊形ABCD=S四邊形ACOF+S四邊形=|-2|+|3|=5.

故答案為：5.

考點(diǎn)6反比例函數(shù)上兩點(diǎn)和外一點(diǎn)模型

【模型講解】

反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)和原點(diǎn)所圍成的三角形面積，若兩交點(diǎn)在同一分支上，用

減法.

方法二：作軸于點(diǎn)￡,交08于點(diǎn)5月，不軸于點(diǎn)尸，貝!JS^OAM=S四邊形MMB（戈I」歸

到模型一），則S^AOB=SMWAEFB.

方法二：作EA/_Lx軸于貝!JS^OE尸=S直角梯形EMA尸（劃歸到上一個(gè)模型不例）.

【例6】.如圖，一次函數(shù)y=ox+b的圖象與反比例函數(shù)y=K的圖象交于A,B兩點(diǎn)，則S

叢AOB=()

y

A.工B.2C.13D.6

222

解：把A(-4,1)代入y=K的得：k=-4,

x

???反比例函數(shù)的解析式是丁=-1,

X

VB(1,m)代入反比例函數(shù)y=-4得：m=-4,

x

.?.3的坐標(biāo)是(1,-4),

把A、8的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=ox+b得：「4a+b=l,

Ia+b=_4

解得：a=-1,b--3,

一次函數(shù)的解析式是y=-x-3；

把％=0代入一次函數(shù)的解析式是y=-%-3得：丁=-3,

：.D(0,-3),

SMOB=SAOD+S^BOD=Ax3X(1+4)

22

故選：A.

?變式訓(xùn)練

【變67].如圖，直線A8經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。，且交反比例函數(shù)y■的圖象于點(diǎn)8,A,點(diǎn)C在x

軸上，且若S^BCA=12,則/的值為()

y

A.12B.-12C.-6D.6

解：作AO_Lx軸于O,8￡LLx軸于E,

???點(diǎn)A、8在反比例函數(shù)y士的圖象上，直線A3經(jīng)過(guò)原點(diǎn),

：.OA=OB=—AB,

2

7BC=yBA^S^BCA=12,

：?OB=BC,S^BCO=—SABCA=6,

2

VBE±OC,

：,OE=CE,

SA(?BE=—5ABCO=3,

2

???5ELc軸于E,

??S/\OBE--|^|，

2

???因=6,

VJI<0,

:?k=-6.

故選：C.

【變6-2］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)丁=區(qū)與直線丁=里乂交于A，B,x軸

x3

的正半軸上有一點(diǎn)C使得NACB=90°,若△OCD的面積為25,則k的值為48

解：設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（3a,4a）,

由反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得點(diǎn)B坐標(biāo)為L(zhǎng)3a,-4a）,

°A=°B=7（3a）2+（4a）2=5fl,

VZACB=90°,。為AB中點(diǎn)，

/.OC=OA=OB=5a,

設(shè)直線BC解析式為y=kx+b,

將（-3a,-4a）,（5a,0）代入y=fcv+6得「4a=-3ak+b

I0=5ak+b

[k=l

2

解得，u，

|bR

._15

??y----x-

-22

二點(diǎn)。坐標(biāo)為（0,-9°）,

2

：.S^ocD=—OC-OD=-^x5aX^a=25,

222

解得a=2或〃=-2（舍），

???點(diǎn)A坐標(biāo)為（6,8）,

;?左=6X8=48.

故答案為：48.

【變6-3].如圖，正比例函數(shù)y=-邑x與反比例函數(shù)y=區(qū)的圖象交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C

3x

在了軸上，連接AC,BC.若NAC3=90°,△ABC的面積為10,則該反比例函數(shù)的解

析式是丫=-2.

解：設(shè)點(diǎn)A為(a,~—a),

3

則。A={a?+/a)=q",

:點(diǎn)C為x軸上一點(diǎn)，ZACB=90°,且△ACB的面積為20,

.".OA—OB—OC—-—a,

3

5AACB=—XOCX(yA+|yB|)=—X(-—a)X(-—a)=10,

2233

解得，a=土司巨(舍棄正值)，

2

...點(diǎn)A為(-2近),

：.k=-嵬2乂2版=-6,

2

...反比例函數(shù)的解析式是y=-旦，

X

故答案為：y=-—.

x

考點(diǎn)7反比例函數(shù)上兩點(diǎn)和原點(diǎn)模型

【模型講解】

反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)和原點(diǎn)所圍成的三角形面積，若兩交點(diǎn)分別在兩個(gè)分支上,

用加法.

【示例】

方法一：SAAOB=-1-OD?\XB-XA\=OC,\yA-ys\.

方法二：S^AOB=SAAOC+S^OCD+S^OBD.

方法三：作AELy軸于點(diǎn)E,班軸于點(diǎn)凡延長(zhǎng)AE與8尸相交于點(diǎn)N,則

SAAOB=S^ABN~S^AOE~S^OBF~S矩形OENF.

【例7].如圖，直線AB交雙曲線y上于A、B,交無(wú)軸于點(diǎn)C,B為線段AC的中點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)5作軸于連接。4.若0M=2MC,SAOAC=12.則k的值為8

解：過(guò)A作⑷V_LOC于N,

9：BM1.OC

J.AN//BM,

V,B為AC中點(diǎn),

：.MN=MC,

*：OM=2MC,

：?ON=MN=CM,

設(shè)A的坐標(biāo)是（a,b）,

貝ljB（2〃，L）,

2

*.*S^OAC=12.

A—?3tz*Z?=12,

2

A變式訓(xùn)練

【變77].如圖，在以。為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，矩形。A3。的兩邊0C、04分別在x軸、

y軸的正半軸上，反比例函數(shù)？=區(qū)（x>0）與AB相交于點(diǎn)。，與8C相交于點(diǎn)E,若

BD=3AD,且四邊形ODBE的面積為21,貝！|左=7

解：設(shè)。點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X,則其縱坐標(biāo)為區(qū)，

X

VBD=3AZ),

???點(diǎn)5點(diǎn)的坐標(biāo)為(4x,K),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4x,0)

x

,**S四邊形ODBE=2L

:?S矩形ABCD-S^OCE-S^OAD=21f

即：-K-K=21

x22

解得：k=7.

故答案為：7.

【變7-2].如圖，點(diǎn)A(旦，4),B(3,m)是直線43與反比例函數(shù)y』(x>0)圖象

2x

的兩個(gè)交點(diǎn)，ACLx軸，垂足為點(diǎn)C,已知。(0,1),連接A。，BD,BC.

(1)求反比例函數(shù)和直線AB的解析式;

(2)△A8C和△A3。的面積分別為Si,S2,求S2-S1.

—(x>0)圖象上,

X

??n—X4=6,

2

...反比例函數(shù)的解析式為>=旦(x>0),

將點(diǎn)8(3,m)代入>=2(x>0)并解得m=2,

：.B(3,2),

設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b,

’3(4

.?.,5k+b=4,解得k=萬(wàn)，

3k+b=2b=6

/.直線AB的表達(dá)式為尸-g+6；

(2)由點(diǎn)A坐標(biāo)得AC=4,

則點(diǎn)B到AC的距離為3-3=3

22

?'?51=-^-X4X1=3,

22

設(shè)AB與y軸的交點(diǎn)為E,則點(diǎn)石(0,6),如圖:

由點(diǎn)A(旦，4),B(3,2)知，點(diǎn)A,B到DE的距離分別為3,3,

22

?*-S2=S&BDE-SAAE￡>=—X5x3Vx5x—=—

2224

：.S2~51=至-3=3.

44

考點(diǎn)8兩雙曲線k值符號(hào)不同模型

模型講解】

兩條雙曲線上的兩點(diǎn)的連線與一條(或兩條)坐標(biāo)軸平行，求這兩點(diǎn)與原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

圍成的圖形面積，過(guò)這兩點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，結(jié)合上的幾何意義求解.

類型1兩條雙曲線的左值符號(hào)相同

【示例】

V

【例8].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=依與y=上的圖象交于42兩點(diǎn)，過(guò)A作

y軸的垂線，交函數(shù)y2的圖象于點(diǎn)C,連接2C,則△ABC的面積為()

A/J_

A.2B.3C.5D.6

解：?..正比例函數(shù)y=fcv與反比例函數(shù)y=-2的圖象交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

X

???設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(X,--),則B點(diǎn)坐標(biāo)為(-X,—),C(-2%,—-

XXX

SAABC=—X(-2x-x)*(----)=—X(-3J;)*(--)=6.

2xx2x

故選：D.

A變式訓(xùn)練

【變8-1］如圖，過(guò)x軸正半軸上的任意一點(diǎn)尸，作y軸的平行線，分別與反比例函數(shù)y=

旦(尤＞0)和＞=-2(尤＞0)的圖象交于2、A兩點(diǎn).若點(diǎn)C是y軸上任意一點(diǎn)，則4

A.3B.6C.9D.9

2

解：設(shè)0),a＞0,則A和8的橫坐標(biāo)都為a,

將x=a代入反比例函數(shù)＞=-旦中得：y=-—,故A(a,-—)；

xaa

將冗=〃代入反比例函數(shù)》=旦中得：y=—,故3(〃，旦)，

xaa

AB^AP+BP=—+—=—,

aaa

ri11Qq

貝1的橫坐標(biāo)=2XM_X4=M_,

22a2

故選：D.

【變8-2].如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別是反比例函數(shù)>=刊(x>0)和y=2(x>0)的圖象上

XX

的點(diǎn)，軸，點(diǎn)。為y軸上一點(diǎn)，若SZXABC=2,則濟(jì)-〃的值為4.

,?工8，%軸，點(diǎn)。為丁軸上一點(diǎn),

???A3〃y軸，

???SAABC=SAABO=2,

?m-n一0

??-----乙,

2

即m-n—4.

故答案為：4.

a3實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，Rt^ABC的頂點(diǎn)A在雙曲線y=K的圖象上，直角邊BC在無(wú)軸上，ZABC=90°,

ZAOB=6Q°,則人的值是（）

C.2V3D.-2A/3

解：VZACB=30°,ZAOB=60°,

：.ZOAC=ZAOB-ZACB=3Q°,

：.ZOAC=ZACO,

：.OA=OC=4,

在△AOB中，ZABC=90°,NAOB=60°,OA=4,

：.ZOAB=30°,

：.OB=^OA=2,

2

AAB=V3OB=2V3>

點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,2我），

把A（-2,2我）代入y=K得左=-2X2百=-4\笈.

X

故選：B.

2.如圖，平行四邊形048。的頂點(diǎn)bC在第一象限，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)。為邊

A8的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=K（尤>0）的圖象經(jīng)過(guò)C,。兩點(diǎn)，若NCOA=a,則左的值

等于（）

y

A.8sin2aB.8cos2aC.4tanaD.2tana

解：方法一：

過(guò)點(diǎn)C作CELOA于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DFLOA交。4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

設(shè)C點(diǎn)橫坐標(biāo)為：a,貝!］：CE=a'tana,

C點(diǎn)坐標(biāo)為：（a,a*tana）,

:平行四邊形OABC中，點(diǎn)。為邊AB的中點(diǎn)，

...￡）點(diǎn)縱坐標(biāo)為：—oBtana,

2

設(shè)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為x,

VC,。都在反比例函數(shù)圖象上，

,

aXatana=xXAfl?tana,

2

解得:x=2a,

則F0=2a,

.'.FE=a,

,：/C0E=ZDAF,ZCE0=ZDFA,

:.叢COEs叢DAF,

.CE_EO

DFAF

2

：.AO=OF-AF=^-a,

2

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,

.u.A0=3,

：.l=3,

2a

解得：4=2,

???左=aXa?tana=2X2tana=4tana.

方法二：

*.*C(a,atana),A(3,0),:?B(。+3,atana),

是線段A3中點(diǎn)，:.D(4+3+3,A^ana),即。(史亂A^ana).

2222

?.?反比例函數(shù)過(guò)C,。兩點(diǎn)，.'.k=a9atana=—(?+6)e—tztana,

22

解得a=2,

.??％=4tana.

3.如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A,2分別在無(wú)軸和y軸，—.NA08的角平分線

0B4

與04的垂直平分線交于點(diǎn)C,與AB交于點(diǎn)D,反比例函數(shù)y=K的圖象過(guò)點(diǎn)C.當(dāng)以

X

co為邊的正方形的面積為2時(shí)，上的值是（）

7

解：設(shè)0A=3a,則0B=4a,

/.A(3a,0),B(0,4a).

設(shè)直線AB的解析式是y=kx+bf

則根據(jù)題意得：［3ak+b=0,

lb=4a

\_4

解得：,『可

b=4a

則直線AB的解析式是y=-—x+4?,

3

直線CD是的平分線，則OD的解析式是y=x.

'y=x

根據(jù)題意得：，4，

y=-x+4a

o

f12

x=^-a

解得：

y=_y_a

則。的坐標(biāo)是（竿a，竿a），

04的中垂線的解析式是x=§a，則C的坐標(biāo)是（3@，-a）＞

222

將C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)丫=上，

x

則上=22.

4

設(shè)OA的垂直平分線交尤軸于點(diǎn)凡過(guò)點(diǎn)。作。E_Lx軸于點(diǎn)E,如圖,

則0F=CF=3a，0E=DE=^a,

27

VZr)0A=45o,

二AC0F和△DOE為等腰直角三角形，

：.OC=?OF=^^-a,OD=42OE^12^-a，

：.CD=OD-OC=(12^2_aJ^2_a)=&(早a-知=-^V2

???以CD為邊的正方形的面積為2,

7

./啦,2_2

"(1Ta)一彳

則次=%

9

:.k=＞乂2-=7.

49

故選：D.

4.如圖，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=2的圖象上，第二象限內(nèi)的點(diǎn)B在反比

例函數(shù)y=W_的圖象上，且。4_L0B,cosA=W",則左的值為（)

3

-4C.-V3D.-273

解：過(guò)A作AEJ_x軸，過(guò)5作瓦LLx軸,

AZAOB=90°,

：.ZBOF+ZEOA=90°,

VZBOF+ZFBO=90°,

???/EOA=/FBO,

9：ZBFO=ZOEA=90°,

/.△BFOs^OEA,

在RtZ^A05中，cosZBAO=—=^-f

AB3

設(shè)A5=y,則。4=1,根據(jù)勾股定理得：BO=M，

：.OB：0A=近:1,

S/\BFOtS/\OEA=2:19

VA在反比例函數(shù)y=2上,

x

???S/\OEA=1,

???S叢BFO=2,

貝！Jk=-4.

故選：B.

5.如圖，反比例函數(shù)y=K（x<0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1,1）,過(guò)點(diǎn)A作軸，垂足

為B,在y軸的正半軸上取一點(diǎn)P（0,力，過(guò)點(diǎn)尸作直線的垂線/,以直線/為對(duì)稱

軸，點(diǎn)2經(jīng)軸對(duì)稱變換得到的點(diǎn)B在此反比例函數(shù)的圖象上，貝卜的值是（）

4釁

解：如圖，

???點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1,1）,

k=-1X1=-1,

...反比例函數(shù)解析式為尸-工，

X

OB=AB=lf

???AOAB為等腰直角三角形，

AZAOB=45°,

VP2±OA,

???/0尸。=45°,

???點(diǎn)3和點(diǎn)"關(guān)于直線,對(duì)稱，

：.PB=PB',BB'_LP。，

：.ZBfPQ=ZOPQ=45°,ZB'PB=90°,

：.B'P_Ly軸，

???點(diǎn)8’的坐標(biāo)為（-工，/）,

■:PB=PB',

整理得P-L1=O,解得〃=止區(qū)，及=上返（不符合題意，舍去）,

22

.?./的值為止區(qū).

2

6.如圖，菱形。48c的頂點(diǎn)8在y軸上,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3,2）,若反比例函數(shù)y=K

D.6

解：與C關(guān)于。8對(duì)稱,

的坐標(biāo)是（3,2）.

把（3,2）代入尸K得：2=與

解得：k=6.

故選：D.

7.如圖，直線產(chǎn)品與雙曲線產(chǎn)上（上>。，尤>。）交于點(diǎn)4將直線y=春向上平移4

個(gè)單位長(zhǎng)度后，與y軸交于點(diǎn)C,與雙曲線y=K（Z>0,x>0）交于點(diǎn)8,若。4=3BC,

X

則k的值為（）

A.3B.6C.9D.9

42

解：?.?將直線、=/乂向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后，與y軸交于點(diǎn)C,

平移后直線的解析式為y=/x+4,

分別過(guò)點(diǎn)A、8作AO_Lx軸，BE_Lx軸，CF_L8E于點(diǎn)凡設(shè)A(3x,3x),

2

'：OA=3BC,BC//OA,"〃x軸，

：.4BCFs叢AOD,

：.CF=^OD,

2

7點(diǎn)8在直線尸小+4上，

.'.B(尤，—x+4),

2

?點(diǎn)A、2在雙曲線丫=區(qū)上，

X

/.x=x*(—x+4),解得x=l,

22

...%=3xi><3xi=a.

22

故選：D.

8.如圖，已知四邊形ABC。是平行四邊形，BC=2AB.A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-1,0),

解：設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（。，K）,（左〈0）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（％,y）,

a

???四邊形ABCD是平行四邊形，

二?AC與3。的中點(diǎn)坐標(biāo)相同，

（4,JL）=（三，Z12）,

22a22

貝！I尤=。-1,y=k-2”,

a

代入y=K，可得：左=2〃-2/①；

x

在RtAAOB中，AB=\UWKB2=Q

:,BC=2AB=2娓,

故靖=（0-?）2+（K-2）2=（2遙）2

a

整理得：d+F-4ka=16a2,

將①%=2〃-2/,代入后化簡(jiǎn)可得：/=4,

V?<0,

??a=:-2,

：.k=-4-8=-12.

故答案為：-12.

方法二：

因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以點(diǎn)C、D是點(diǎn)B、A分別向左平移a,向上平移b得到的.

故設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)是（-a,2+b）,點(diǎn)D坐標(biāo)是（-1-〃，b）,（〃>0,b>0）,

-a（2+Z?）=b（-1-a）,

整理得2a+ab=b+ab,

解得b=2a.

過(guò)點(diǎn)。作入軸垂線，交x軸于H點(diǎn)，在直角三角形AOH中，

DH=b=2a

AD1=AH1+DH1,即20=〃2+4/，

得a—2.

所以Z）坐標(biāo)是（-3,4）

所以％=-12.

八y

HA0x

9.如圖，點(diǎn)E,尸在函數(shù)y=K（x>0）的圖象上直線所分別與無(wú)軸、y軸交于點(diǎn)A,B,

X

且BE：BF=1：m.過(guò)點(diǎn)石作砂_Ly軸于尸，已知的面積為I,則上值是2

21

△OEP的面積是一旦——（用含根的式子表示）

m

K

解：作ECLc軸于C,軸于D軸于H,如圖,

?.?△OEP的面積為1,

.?，因=1,

2

而k>0,

:.k=2,

反比例函數(shù)解析式為y=2,

X

???EP_Ly軸，F(xiàn)7/_Ly軸，

C.EP//FH,

:?△BPEsABHF,

.PEBE1

即HF=mPE,

HFBFm

設(shè)七點(diǎn)坐標(biāo)為(/,2),則尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(rm,—),

ttm

S/\OEF+SAOFD=SAOEC+S梯形ECOF,

而S/^OFD=S^OEC=1,

1o