專題23圓的有關位置關系（36題）

一、單選題

1.（2024?福建?中考真題）如圖，已知點A,3在。。上，ZAOB=72°,直線肱V與。O相切，切點為C,且

2.（2024?上海?中考真題）在“1SC中，AC=3,BC=4,AB=5,點P在"1BC內，分別以A、B、尸為圓

心畫，圓A半徑為1,圓3半徑為2,圓尸半徑為3,圓A與圓尸內切，圓尸與圓8的關系是（）

A.內含B.相交C.外切D.相離

3.（2024.河南.中考真題）如圖，。。是邊長為4代■的等邊三角形A3C的外接圓，點。是BC的中點，連接

BD,CD.以點D為圓心，的長為半徑在。。內畫弧，則陰影部分的面積為（）

4.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖，EA,即是OO的切線，切點為A,D,點、B,C在。O上，若

ZBAE+ZBCD=236°,則ZE=（）

A.56°B.60°C.68°D.70°

二、填空題

5.（2024?浙江?中考真題）如圖，是。。的直徑，AC與。。相切，A為切點，連接3c.已知NACB=50°,

則N3的度數為

6.（2024?內蒙古包頭.中考真題）如圖，四邊形ABCD是。。的內接四邊形，點。在四邊形A3CD內部，過

點C作。O的切線交的延長線于點尸，連接0408.若4403=140。，ZBCP=35。,則—ADC的度數

為.

7.（2024?天津?中考真題）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A,F,G均在格點上.

（1）線段AG的長為；

（2）點E在水平網格線上，過點A,E,尸作圓，經過圓與水平網格線的交點作切線，分別與AE,?的

延長線相交于點3,C,AABC中，點M在邊3C上，點N在邊上，點尸在邊AC上.請用不刻廖的直

尺，在如圖所示的網格中，畫出點N,P,使△MVP的周長最短，并簡要說明點N,P的位置

是如何找到的（不要求證明）.

8.（2024?江蘇揚州?中考真題）如圖，已知兩條平行線4、/點A是4上的定點，ABL?于點、B,點、C、D

分別是4、4上的動點，且滿足AC=BD,連接CO交線段42于點E,BHLCD于點H,則當NS4H最大

時，sinZfi4H的值為

cA

9.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，0M的圓心為M（4,0）,半徑為2,P是直線y=x+4上的一個動點,

過點尸作。M的切線，切點為Q,則PQ的最小值為

10.（2024?山東煙臺?中考真題）如圖，在YABCD中，ZC=120°,AB=8,3c=10.E為邊8的中點,

廠為邊AD上的一動點，將AD歷沿所翻折得AD'E歹，連接，BD'，則△ABD面積的最小值為.

三、解答題

11.（2024?廣東?中考真題）如圖，在AABC中，ZC=90°.

（1）實踐與操作：用尺規作圖法作-A的平分線A。交BC于點。（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

⑵應用與證明：在（1）的條件下，以點。為圓心，DC長為半徑作求證：與。。相切.

12.（2024?內蒙古赤峰?中考真題）如圖，“1BC中，ZACB^90°,AC^BC,經過8,C兩點，與斜

邊AB交于點E,連接CO并延長交于點交。。于點。，過點E作所〃CD,交AC于點尸.

⑴求證：E尸是。。的切線；

（2）若2M=4應，tan/BCD=g,求OM的長.

13.（2024?四川內江?中考真題）如圖，是。。的直徑，C是BO的中點，過點C作AO的垂線，垂足為

點E.

（1）求證：AACES^ABC；

⑵求證：CE是。。的切線；

⑶若AD=2C￡,OA=也，求陰影部分的面積.

14.（2024?江蘇鹽城?中考真題）如圖，點C在以A3為直徑的。。上，過點C作。。的切線/，過點A作AD，/,

垂足為。，連接AC、BC.

⑴求證：△ABCSAACD；

⑵若AC=5,CD=4,求。。的半徑.

15.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，AB是。。的直徑，點C在。。上，AD平分NB4c交。。于點￡）,

過點。的直線。ElAC,交AC的延長線于點E,交的延長線于點尸.

⑴求證：EF是。。的切線;

（2）連接E。并延長，分別交。。于兩點，交AD于點G,若。。的半徑為2,1尸=30。，求GATGN的

值.

16.（2024.山東煙臺.中考真題）如圖，是。。的直徑，AABC內接于。0,點/為AABC的內心，連接C/

并延長交。于點。，E是BC上任意■點，連接AD,BD,BE,CE.

⑴若NABC=25。，求NCEB的度數；

（2）找出圖中所有與D/相等的線段，并證明；

⑶若C/=2也，DI=個①,求AABC的周長.

17.（2024.甘肅?中考真題）如圖，A3是。。的直徑，BC=BD，點E在AD的延長線上，S.ZADC=ZAEB.

⑴求證：3E是。。的切線；

⑵當。。的半徑為2,BC=3時，求tan/AEB的值.

18.（2024.山東威海?中考真題）如圖，己知是。。的直徑，點C,。在。。上，且3C=CD.點E是線

段AB延長線上一點，連接EC并延長交射線AD于點RNFEG的平分線E”交射線AC于點H,/H=45°.

(2)若3E=2,CE=4,求AF的長.

19.(2024?陜西?中考真題)如圖，直線/與。。相切于點A,A3是。。的直徑，點C,。在/上，且位于點

A兩側，連接8C,BD,分別與。。交于點E,F,連接EF,AF.

⑵若。。的半徑r=6,AZ)=9,AC=12,求所的長.

20.(2024?湖北?中考真題)Rt^ABC中，NACB=90。，點。在AC上，以。C為半徑的圓交A8于點。,

交AC于點E.且BD=BC.

(2)連接交。。于點尸，若AZ>=g,AE=l,求弧C尸的長.

21.(2024?貴州?中考真題)如圖，為半圓。的直徑，點尸在半圓上，點尸在AB的延長線上，PC與半

圓相切于點C,與。產的延長線相交于點。，AC與。產相交于點E,DC=DE.

(1)寫出圖中一個與/DEC相等的角:

⑵求證：ODLAB-,

（3）若。4=2OE,DF=2,求P3的長.

22.（2024?青海?中考真題）如圖，直線經過點C,且Q4=O3,CA=CB.

（1）求證：直線AB是。O的切線；

⑵若圓的半徑為4,ZB=30°,求陰影部分的面積.

23.（2024?天津?中考真題）已知44QB中，/A8O=30。,AS為的弦，直線與。。相切于點C.

(1)如圖①，若AB//MN,直徑CE與AB相交于點D,求ZAOB和ZBCE的大小；

（2）如圖②，若OB〃MN,CGLAB,垂足為G,CG與。3相交于點尸,（M=3,求線段叱的長.

24.（2024?四川樂山?中考真題）如圖，。。是“LBC的外接圓，A3為直徑，過點C作。。的切線CD交班

延長線于點。，點E為C8上一點，且AC=CE.

⑴求證：DC//AE；

⑵若E尸垂直平分。B,DA=3,求陰影部分的面積.

25.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，A/RC中，42=40，。為AB中點，NBAC=/BCD,cosNADC=當

O。是AACD的外接圓.

⑴求BC的長；

(2)求。。的半徑.

26.(2024.甘肅臨夏.中考真題)如圖，直線/與。。相切于點￡),48為。。的直徑，過點A作于點E,

延長交直線/于點C.

⑵如果BC=1,DC=3,求。。的半徑.

27.(2024?廣西?中考真題)如圖，已知。。是“LBC的外接圓，AB=AC.D,E分別是8C,AC的中

點，連接。E并延長至點E使DE=￡F,連接AF.

⑴求證：四邊形4犯尸是平行四邊形；

⑵求證：AF與。。相切；

3

(3)若tanZBAC=w，BC=U,求的半徑.

28.(2024.黑龍江齊齊哈爾?中考真題)如圖，AABC內接于。。，A3為。。的直徑，CD_LAB于點￡),將△CDB

沿3C所在的直線翻折，得到ACEB,點。的對應點為E,延長EC交54的延長線于點F.

⑴求證：C/是。。的切線；

(2)若sinNC58=變，AB=8,求圖中陰影部分的面積.

2

29.(2024.湖北武漢.中考真題)如圖，AASC為等腰三角形，。是底邊BC的中點，腰AC與半圓0相切于

點、D,底邊BC與半圓。交于尸兩點.

⑴求證：AB與半圓0相切；

(2)連接。4.若CD=4,CF=2,求sin/OAC的值.

30.(2024?北京?中考真題)如圖，A3是。O的直徑，點C,。在。O上，OD平分N49C.

⑴求證：OD//BC；

OF5

(2)延長DO交OO于點E,連接CE交08于點下，過點8作。。的切線交OE的延長線于點P.若干=二,

PE=1,求。。半徑的長.

31.(2024?湖南?中考真題)【問題背景】

己知點A是半徑為r的。。上的定點，連接,將線段繞點。按逆時針方向旋轉a(0。<a<90。)得到OE,

連接AE,過點A作。O的切線/,在直線/上取點C,使得/G4E為銳角.

【初步感知】

(1)如圖1,當&=60。時，ZC4E=_°；

【問題探究】

(2)以線段AC為對角線作矩形ABCD,使得邊AO過點E,連接CE,對角線AC,30相交于點E

①如圖2,當AC=2r時，求證：無論。在給定的范圍內如何變化，BC=CD+ED總成立:

二

圖2

CFAB

②如圖3,當AC=：4r,差=2：時，請補全圖形，并求tana及多的值.

3OE3BC

:

圖3

32.(2024?黑龍江綏化?中考真題)如圖1,。是正方形ABCD對角線上一點,以。為圓心，0C長為半徑的

O。與AD相切于點E,與AC相交于點尸.

AED4ED

圖1圖2

⑴求證：AB與。。相切.

⑵若正方形ABCD的邊長為忘+1,求。。的半徑.

（3）如圖2,在（2）的條件下，若點M是半徑0C上的一個動點，過點M作交CE于點N.當

CM:EM=1:4時，求CN的長.

33.（2024?北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1,對于。。的弦48和不在直線上

的點C,給出如下定義：若點C關于直線的對稱點C在OO上或其內部，且NACB=a,則稱點C是弦

⑴如圖，點4（0,1）,5（1,0）.

①在點G（2,0）,C2（l,2）,G。，。）中，點是弦A8的可及點”，其中a=。；

②若點。是弦AB的“90。可及點”，則點。的橫坐標的最大值為；

（2）己知P是直線y=上一點，且存在的弦MN,使得點尸是弦MN的“60。可及點”.記點P的橫

坐標為乙直接寫出f的取值范圍.

34.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，ZC=120°.點E在射線3c上運動（不與點8,

點C重合），AAEB關于AE的軸對稱圖形為△鉆尸.

⑴當/SAF=30。時，試判斷線段AF和線段AD的數量和位置關系，并說明理由；

⑵若AB=6+6百，。。為△AEF的外接圓，設。。的半徑為廠.

①求廠的取值范圍；

②連接FD,直線ED能否與。。相切？如果能，求8E的長度；如果不能，請說明理由.

35.（2024.云南?中考真題）如圖，AB是。。的直徑，點￡＞、F是。。上異于A、3的點.點C在。。外，C4=CD,

延長所與C4的延長線交于點M,點N在54的延長線上，NAMN=NABM,41仆3加=9.及W.點//在直

徑A3上，/AHD=90",點E是線段的中點.

⑴求ZAFB的度數；

(2)求證：直線CM與。。相切：

(3)看一看，想一想，證一證：

以下與線段CE、線段￡8、線段CB有關的三個結論：CE+EB<CB,CE+EB=CB,CE+EB>CB,你認為

哪個正確？請說明理由.

36.(2024?河北?中考真題)已知。。的半徑為3,肱MN=2后,AABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=3A/2.在

平面上，先將AABC和。O按圖1位置擺放(點8與點N重合，點A在。O上，點C在。。內)，隨后移動AASC,

使點8在弦MN上移動，點A始終在。。上隨之移動，謖BN=x.

(2)當。4〃MV時，如圖2,求點8到。1的距離，并求此時x的值；

⑶設點。到BC的距離為d.

①當點A在劣弧MV上，且過點A的切線與AC垂直時，求d的值;

②直接寫出1的最小值.

專題23圓的有關位置關系（36題）

一、單選題

1.（2024?福建?中考真題）如圖，已知點A,3在。。上，ZAOB=72°,直線肱V與。O相切，切點為C,且

【答案】A

【分析】本題考查了切線的性質，三角形內角和以及等腰三角形的性質，根據C為力的中點，三角形內角

和可求出NOC4=；x（180。—36。）=72。,再根據切線的性質即可求解.

【詳解】VZAOB=72°,C為AB的中點，

???ZAOC=36°

9：OA=OC

：.ZOCA=|x（180°-36。）=72°

??,直線MN與。。相切，

???NOCM=90。，

???ZACM=ZOCM-ZOCA=18°

故選：A.

2.（2024?上海?中考真題）在“1SC中，AC=3,3c=4,AB=5,點P在dBC內，分別以A、B、尸為圓

心畫，圓A半徑為1,圓B半徑為2,圓P半徑為3,圓A與圓尸內切，圓P與圓8的關系是（）

A.內含B.相交C.外切D.相離

【答案】B

【分析】本題考查圓的位置關系，涉及勾股定理，根據題意，作出圖形，數形結合，即可得到答案，熟記

圓的位置關系是解決問題的關鍵.

【詳解】解：,?,圓A半徑為1,圓P半徑為3,圓A與圓P內切，

.■.圓A含在圓P內，即PA=3-1=2,

，尸在以A為圓心、2為半徑的圓與4RC邊相交形成的弧上運動，如圖所示:

當到P'位置時,圓P與圓8圓心距離尸8最大，為爐，=近7,

???A/17<3+2=5,

，圓尸與圓5相交，

故選：B.

3.（2024?河南?中考真題）如圖，OO是邊長為4道的等邊三角形ABC的外接圓，點。是BC的中點，連接

BD,CD.以點D為圓心，3。的長為半徑在。。內畫弧，則陰影部分的面積為（）

A

D

A.—B.4nC.—D.1671

33

【答案】C

【分析】過。作DE_L3c于E,利用圓內接四邊形的性質，等邊三角形的性質求出/困心=120。，利用弧、

弦的關系證明比＞=CD,利用三線合一性質求出BE=工8C=2g,NBDE=-ZBDC=60。，在RtABDE中,

22

利用正弦定義求出80,最后利用扇形面積公式求解即可.

【詳解】解：過。作DELBC于E,

A

D

?/OO是邊長為4省的等邊三角形ABC的外接圓,

???BC=4/，ZA=60°,ZBDC+ZA=180°,

：.ZBDC=i20°,

:點。是BC的中點，

?*-BD=CD，

：.BD=CD,

：.BE=-BC=2y/3,ZBDE=-ZBDC=60°,

22

/.BD=———=2K=4,

sinZBDEsin60°

2

.C_120TT-4_167r

陰影=』-=亍，

故選：c.

【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，扇形面積公式，解直

角三角形等知識，靈活應用以上知識是解題的關鍵.

4.(2024?四川瀘州?中考真題)如圖，EA,是。O的切線，切點為A,D,點、B,C在上，若

/BAE+/BCD=236°,則NE=()

A.56°B.60°C.68°D.70°

【答案】C

【分析】本題考查了圓的內接四邊形的性質，切線長定理，等腰三角形的性質等知識點，正確作輔助線是

解題關鍵.

根據圓的內接四邊形的性質得N&LD+N3CD=180。，由/BAE+/BCD=236。得/皿＞=56°,由切線長定

理得E4=￡D,即可求得結果.

【詳解】解：如圖，連接AO,

dfD

C

,/四邊形A3CO是。。的內接四邊形,

ZBAD+ZBCD=1SO°,

,：ZBAE+ZBCD=236°,

：.Z.BAE+/BCD-(ABAD+Z.BCD)=236°-180°,

即/8AE—/B4D=56。，

ZEAD=56°,

VE4,即是OO的切線，根據切線長定理得，

，EA=ED,

：.ZEAD^ZEDA^56°,

：.ZE=180°-ZEAD-NEDA=180°-56°-56°=68°.

故選：C.

二、填空題

5.（2024?浙江?中考真題）如圖，AS是。。的直徑，AC與。。相切，A為切點，連接3c.已知NACB=50°,

則NB的度數為

【答案】40。/40度

【分析】本題考查切線的性質，掌握圓的切線垂直于過切點的半徑是解題的關鍵.

【詳解】解：；AC與。。相切，

ZR4C=90°,

又,:ZACB=50°,

，N3=90。—/C=90。—50。=40°,

故答案為：40°.

6.（2024?內蒙古包頭?中考真題）如圖，四邊形ABC。是OO的內接四邊形，點。在四邊形ABC。內部，過

點C作。。的切線交A3的延長線于點尸，連接04,08.若NAO3=140。，ZBCP=35°,則-4DC的度數

為.

【答案】105。〃05度

【分析】本題考查了切線的性質，等腰三角形的性質，圓內接四邊形的性質等知識，連接OC,利用等邊對

等角得出NQ4B=NOBA=20。，ZOCB=ZOBC,利用切線的性質可求出NO3c=NOCB=55。，然后利用

圓內接四邊形的性質求解即可.

【詳解】解：連接。C,

?：OA=OB=OC,ZA05=140°,

NOAB=NOBA=1(180°-ZAOB)=20°,ZOCB=ZOBC,

：CP是切線，

NOCP=90°,即ZOCB+NBCP=90°,

ZBCP=35°,

ZOBC=ZOCB=55°,

：.ZABC=ZABO+ZOBC=75°,

1/四邊形MCD是。。的內接四邊形，

ZADC=180°-ZABC=105。，

故答案為：105。.

7.（2024?天津?中考真題）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A,F,G均在格點上.

(1)線段AG的長為；

(2)點E在水平網格線上，過點A,E,/作圓，經過圓與水平網格線的交點作切線，分別與AE,轉的

延長線相交于點3,C,AABC中，點M在邊3C上，點N在邊AB上，點尸在邊AC上.請用無刻序的直

尺，在如圖所示的網格中，畫出點Af,N,尸，使△MVP的周長最短，并簡要說明點A1,N,P的位置

是如何找到的(不要求證明).

【答案】垃圖見解析，說明見解析

【分析】此題考查了勾股定理、切線的性質等知識，根據題意正確作圖是解題的關鍵.

(1)利用勾股定理即可求解；

(2)作點/關于AB、AC的對稱點跖、心，連接“根、/心，分別與A3、AC相交于點E、P,AMVP

的周長等于的長，等腰三角形的腰長為A"，當A"的值最小時，加1加2的值最小，此時/是

切點，由此作圖即可.

【詳解】(1)由勾股定理可知，46=爐下=五，

故答案為：V2

(2)如圖，根據題意，切點為/；連接腔并延長，與網格線相交于點取圓與網格線的交點。和格

點、H,連接。H并延長，與網格線相交于點M?；連接得知2,分別與AB，AC相交于點N,P,則點

8.(2024?江蘇揚州?中考真題)如圖，已知兩條平行線4、4,點A是乙上的定點，AB，"于點"點C、。

分別是，1、4上的動點，且滿足AC=BD,連接CO交線段AB于點E,BHLCD于點、H,則當NS4H最大

時，sinZBAH的值為.

【分析】證明AACE四△班)E(ASA),得出==根據3〃_LCD,得出N3HE=90。，說明點反

在以BE為直徑的圓上運動，取線段AE的中點。，以點。為圓心，。3為半徑畫圓，則點”在。。上運動,

說明當A"與。O相切時最大，得出根據AO=AE+OE=3OE,利用

sinZBAH=^-=^-=^~,即可求出結果.

AO3OE3

【詳解】解：???兩條平行線4、，2,點A是4上的定點，于點5,

?,?點8為定點，A5的長度為定值，

??,1{//12,

：.ZACE=ZBDE,ZCAE=ZDBE,

,:AC=BD,

：.AACE均BDE(ASA),

BE=AE=-AB

2f

9：BHLCD,

：.ZBHE=90°,

???點H在以助為直徑的圓上運動，

如圖，取線段班的中點0,以點0為圓心，0B為半徑畫圓，

則點H在。。上運動，

???當A”與。。相切時最大,

OH±AHf

;AE=OB=2OE,

AO=AE+OE=3OE,

,?OH=OE,

OE1

：.sinZBAH=—

AO3OE~3

故答案為：；.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的性質和判定，平行線的性質，切線的性質，解直角三

角形等知識點，解題的關鍵是確定點打的運動軌跡.

9.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，的圓心為“（4,0）,半徑為2,P是直線y=x+4上的一個動點,

過點尸作。M的切線，切點為Q,則PQ的最小值為

【答案】2幣

【分析】記直線y=x+4與尤，y軸分別交于點A,K,連接QM,PM,KM.由直線解析式可求得點A、K

的坐標，從而得△OAK,△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQZPMJQM。,由

QM=2,則當PM最小時，PQ最小，點尸與點K重合，此時PM最小值為KM,由勾股定理求得的

最小值，從而求得結果.

【詳解】解：記直線y=x+4與X,y軸分別交于點A,K,連接PM,KM,

當x=0,y=4,當y=。，即x+4=0,

解得：x=T,

即K(0,4),A(T,0)；

而M(4,0),

OA=OK=OM=4,

：.AOAK,△OKM均是等腰直角三角形,

ZAKO=ZMKO=45°,

ZAKM=90°,

,/0P與。M相切，

ZPQM=90°,

PQ=^PM--QM2,

'：QM=2,

當pQ最小時即PM最小，

...當RW_LAK時，取得最小值，

即點尸與點K重合，此時RW最小值為KM,

在RIAOKM中，由勾股定理得：KM=yjOM-+OK-=4A/2-

PQ=《32-4=2幣,

?'?PQ最小值為2近.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質，勾股定理，一次函數與坐標軸的交點問題，垂線段最短，正確添加

輔助線是解題的關鍵.

10.（2024?山東煙臺?中考真題）如圖，在YABC。中，ZC=120°,AB=8,3c=10.E為邊C。的中點,

產為邊AD上的一動點，將ADEF沿E尸翻折得AO'EF,連接AD',BE/,則△ABD面積的最小值為.

【答案】20A^-16/-16+20A/3

【分析】根據平行四邊形的性質得到CD=AB=8,AB//CD,ZABC=60°,由折疊性質得到ED=DE=4,

進而得到點。0在以￡為圓心,4為半徑的圓上運動，如圖，過E作EMLAB交48延長線于M,交圓E于DC,

此時。C到邊AB的距離最短，最小值為DM的長，即此時△ABD面積的最小，過C作CNLAB于N,根

據平行線間的距離處處相等得到EM=CN,故只需利用銳角三角函數求得CN=573即可求解.

【詳解】解：：在YABC。中，ZBCD=120°,AB=8,

CD=AS=8,AB//CD,則ZAfiC=180°—/BCD=60。，

為邊CD的中點，

/.DE=CE=-CD=4,

2

ADEF沿EF翻折得^D'EF>

Eiy=DE=4,

.,.點。，在以E為圓心，4為半徑的圓上運動，如圖，過E作日欣，AB交AB延長線于交圓E于。0,此

時Z）倒邊A3的距離最短，最小值為D2W的長，即面積的最小，

過C作CN_LAB于N,

?；AB//CD,

：.EM=CN,

在RtA^CTV中，BC=]O,ZCBN=60°,

/.CN=BC-sin60°=10x立=5百，

2

D'M=ME-ED'=5>/3-4,

AAWD面積的最小值為:x8x（5方-4）=20相-16,

故答案為：20?-16.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質、折疊性質、圓的有關性質以及直線與圓的位置關系、銳角三角函數

等知識，綜合性強的填空壓軸題，得到點小的運動路線是解答的關鍵.

三、解答題

11.（2024.廣東?中考真題）如圖，在AABC中，ZC=90°.

（1）實踐與操作：用尺規作圖法作NA的平分線AO交BC于點￡>；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

⑵應用與證明：在（1）的條件下，以點。為圓心，DC長為半徑作求證：A3與。。相切.

【答案】（1）見解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查了尺規作角平分線，角平分線的性質定理，切線的判定等知識.熟練上述知識是解題的

關鍵.

(1)利用尺規作角平分線的方法解答即可；

(2)如圖2,作。于E,由角平分線的性質定理可得=由DE是半徑，DEJ.AB,可證AB

與0。相切.

【詳解】(1)解：如圖1,AT＞即為所作；

(2)證明：如圖2,作于E,

：AD是NC4D的平分線，DCA.AC,DEJ.AB,

：.DE=DC,

：DE是半徑，DEJ.AB,

AB與0。相切.

12.(2024?內蒙古赤峰?中考真題)如圖，々IBC中，/ACB=90。，AC^BC,經過B,C兩點，與斜

邊A5交于點E,連接CO并延長交于點交。。于點過點E作所〃CD,交AC于點?

⑴求證：EF是。。的切線；

⑵若BM=40，tanNBCD=1,求的長.

【答案】(1)見解析

Q)OM=小

【分析】⑴連接0E,延長E0,交OO于點尸，連接即,BD,根據直徑所對的圓周角是直角求出ZDBE=45°,

得ZDPE=45。,NDOE=90°,由EF〃CD可得NFED==90。，從而可證明E尸是。。的切線；

/C、上小八c1DB1DB1、/?口BMDMDB\「

(2)由tan/BC￡)=；得,=彳，即Hn^^二彳，證明△■DBA/SAACM,1#--=——=——=-,由8M=4A歷

得AM=8忘，故可得AB=120,由勾股定理求出AC=3C=12,得。3=6,由勾股定理求出CD=6君，

CO=DO=345,根據竺求出。河=2石，進一步求出OM=OZ)-DM=3百一2百=若

【詳解】(1)證明：連接OE,延長EO,交。。于點兒連接如圖，

AB=BC,ZACB=90°,

???AABC是等腰直角三角形，

ZABC=45°,

???CD是。。的直徑，

.??ZCBD=90°,

...ZDBE=ZCBD-ZABC=90°-45°=45°,

ZEPD=ZDBE=45°,

：./DOE=2ZDPE=2x45°=90°,

?.?EF//CD,

：.ZFEO=ZDOE=90°,即OE_LEF,

TOE是。。的半徑，

???EF是的切線；

(2)解：?；NDBC=90°,tanZBCD=-

2f

.DB_1

??=一,

BC2

BC=AC,

.DB_1

??=—，

AC2

NDMB=/CMA,ZA=ZDBM,

:.ADBMs*CM,

.BMDMDB_1

"~AM~~CM~~AC~2'

,:BM=4母,

---AM=2BM=80，

AB=AM+BM=8四+4應=12枝,

在等腰直角三角形ABC中，AC2+BC-=AB\

：.AC-+AC2=AB2=(12A/2)2,

解得，AC=12,

：.AC=3C=12,

DB=-BC=6,

2

在史△加C中，CD=>JBC2+DB2=A/122+62=6^,

CO=DO=3y[5,

又也」，

乂CM2

CM=2DM,

：.2DM+DM=CD=6A/5,

DM=2亞

OM=OD-DM=3/-2下=由

【點睛】本題主要考查平行線的性質，等腰直角三角形的判定與性質，切線的判定，圓周角定理，勾股定

理以及相似三角形的判定與性質，正確作出輔助線構造圓周角是解答本題的關鍵.

13.（2024?四川內江?中考真題）如圖，A5是。。的直徑，C是BO的中點，過點C作AO的垂線，垂足為

點、E.

⑴求證：AACES^ABC；

⑵求證：CE是。。的切線；

(3)若AD=2CE,OA=近,求陰影部分的面積.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)g兀T

【分析】+(1)分別證明N4cB=ZAEC,NBAC=NEAC,從而可得結論；

(2)連接0C,證明/E4C=/ACO,可得OC〃AE,再進一步可得結論；

(3)連接D3、0。，證明四邊形DECF是矩形,可得DF=EC,再證明4)=,可得ZDAB=ZDBA=45°,

可得/DQ4=2NDBA=90°,利用S陰影部分=SmAOD—SAAOD可得答案.

【詳解】(1)證明：是。。的直徑

ZACB=90°,

又：CE1AD,

.,.ZAEC=90°,

ZACB=ZAEC,

C是BO的中點，

BC=DC，

：.ZBAC^ZEAC,

AACE^AABC；

(2)證明：連接OC

???ZCAO=ZACO,

9

：ZBAC=ZEACf

：.ZEAC=ZACO,

：.OC//AE,

VCE1AD,

???CE^OC,

*/OC是。。的半徑,

???CE是。。的切線；

*/AB是的直徑，

：.ZADB=90°f

ZAEC=ZECO=90°,

???四邊形才是矩形，

:.DF=EC,

TOC是半徑，C是80的中點，

:?DF=FB,OC.LDB,

即05=20尸=2石。，

AD=2CE,

:.AD=DB,

：.ZDAB=ZDBA=^5°,

：.NDOA=2ZDBA=90°,

S陰影部分=S扇形A。。-S」x0x0=L-l

AAOD22

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的判定及扇形的面積公式，熟練地掌握相似三角形的判定和切

線的判定是解決本題的關鍵。

14.（2024?江蘇鹽城中考真題）如圖，點C在以為直徑的0。上，過點C作。。的切線/，過點A作AD，/,

垂足為。，連接AC、BC.

DC1

⑴求證：AABC^AACD；

⑵若AC=5,CD=4,求。。的半徑.

【答案】（1）見解析

【分析】題目主要考查切線的性質，相似三角形的判定和性質及勾股定理解三角形，作出輔助線，綜合運

用這些知識點是解題關鍵.

（1）連接。C,根據題意得/OCr>=NOC4+NACD=90。，ZACB=ZACO+ZOCB=90°,利用等量代

換確定ZACD=/ABC,再由相似三角形的判定即可證明；

（2）先由勾股定理確定AD=3,然后利用相似三角形的性質求解即可.

【詳解】（1）證明：連接OC,如圖所示：

DC

^.^C。是0。的切線，點C在以AB為直徑的O。上,

NOCD=ZOCA+ZACD=90°,ZACB=ZACO+NOCB=90°,

NACD=NOCB,

,：OC^OB,

；?NOBC=NOCB,

：?NACD=NABC,

VAP±Z,

：.ZADC=90°,

：.ZADC=ZACB,

：.AABC^ACD；

(2)VAC=5,CD=4,

???AP=j52—42=3,

由(1)得八45。62\48,

.ABACAB5

>?---=----即Rn----=-

ACAD53

???O。的半徑為2彳5+2=2§5.

36

15.(2024?四川涼山?中考真題)如圖，是。。的直徑，點C在。O上，AD平分N84C交。。于點￡),

過點D的直線OE1AC,交AC的延長線于點E,交A5的延長線于點尸.

(1)求證：E尸是＜3。的切線;

(2)連接E。并延長，分別交。。于兩點，交AD于點G,若。。的半徑為2,1尸=30。，求GATGN的

值.

【答案】(1)見詳解

72

(2)—

25

【分析】(1)連接OD,根據等腰三角形的性質及角平分線得到OD//AC,根據平行線的性質得NO射=90。,

即可證明；

(2)連接MRAN,先解RtaODP,求得。尸=4,DF=26，貝。AF=6,AE=3,可證明AO=O尸=26,

由△DGOs^AGE,W=~7~z=~fDG=—AD,AG=—AD,證明△A/GZ)s2\4GN,即可得到

AGAE3552

72

GMGN=GDGA=——.

25

【詳解】(1)解：連接OO,

E

N

'：OA=OD,

：.N2=N3,

???AO平分/B4C,

???N1=N2,

Z1=Z3,

:.OD//AC,

：.NODF=ZAED

,:DE1AC,

：.ZAED=90°,

：.ZODF=90°,

即OD_L",

??,OO是00的半徑

???EF是。。的切線；

(2)解：連接MD,AN,

E

N

ZF=30°,

???在RtZkOD尸中，OF=2OD=4f

由勾股定理得：DF=yJOF2-OD2=2>/3

???AF=2+4=6,

???在RtaAE/中，ZF=30°,

???AE=-AF=3,

2

VZF=30°,OD1EF

I.NDO尸=60。=/2+/3,而/2=/3,

???Z2=30°,

AZ2=ZF,

JAD=DF=2。

■:OD//AE,

^DGO^AGE.

.DG_OP_2

**AG-AE-3'

23

???DG=-AD,AG=-ADf

;AM=AM9

：.ZANG=ZMDG,

丁ZMGD=ZAGNf

：.AMGDSAAGN,

,MGGD

^~AG~GN9

。々zzA2m

：.GMGN=GDGA=-AD-AD=—AD2=—X（2S/3\=—.

552525\’25

【點睛】本題考查了圓的切線的判定，相似三角形的判定與性質，勾股定理，30。的直角三角形的性質，等

腰三角形的性質，正確添加輔助線是解題的關鍵.

16.（2024?山東煙臺?中考真題）如圖，43是。。的直徑，AABC內接于。。，點/為AABC的內心，連接C/

并延長交。于點。，E是BC上任意一點，連接AD，BD,BE,CE.

D

⑴若NABC=25。，求NCEB的度數；

(2)找出圖中所有與D/相等的線段，并證明；

⑶若C/=2應，DI=個①,求AABC的周長.

【答案】(1)115。

Q)DI=AD=BD,證明見解析

(3)30

【分析】(1)利用圓周角定理得到NACB=90。，再根據三角形的內角和定理求NC4B=65。，然后利用圓內

接四邊形的對角互補求解即可；

(2)連接加，由三角形的內心性質得到內心，/CAI=NBAI,ZACI=NBCI,然后利用圓周角定理得到

ZDAB=ZDCB=ZACI,AD=BD,利用三角形的外角性質證得=然后利用等角對等邊可得

結論；

(3)過/分別作IF1AC,IP±BC,垂足分別為。、F、P,根據內切圓的性質和和切線長定

理得到AQ=A尸，CF=CP,BQ=BP,利用解直角三角形求得C尸=2=CP,45=13,進而可求解.

【詳解】(1)解：???AB是。。的直徑，

AZADB=ZACB=90°,又ZABC=25。,

：.NC4B=90°—25°=65°,

:四邊形ABEC是。。內接四邊形，

ZCEB+ZCAB=180°,

ZCEB=180°-ZCAB=115°；

(2)解：DI=AD=BD,

證明：連接AL

D

???點/為的內心，

/.ACAI=ABAI,ZACI=ZBCI=-ZACB=45°,

2

?**AD=BD，

ZDAB=ZDCB=ZACI,AD=BD,

ZDAI=ZDAB+ZBAI,ZDIA=ZACI+ZCAI,

ZDAI=ZDIA,

:.DI=AD=BD；

(3)解：過/分別作/Q_LA8,IFVAC,IPLBC,垂足分別為Q、F、P,

:點/為AABC的內心，即為AASC的內切圓的圓心.

；.。、F、尸分別為該內切圓與44BC三邊的切點，

AAQ=AF,CF=CP,BQ=BP,

,:CI=2下,ZIFC=90°,ZACI=45°,

/.CF=C7cos45°=2=CP,

VDI=AD=BD,DI=—13C,ZADB=9Q0,

2

：.AB=y/AD2+BD2=x—V2=13,

2

???AABC的周長為AB+AC+3C

=AB+AF+CF+CP+BP

=AB+AQ+BQ+2CF

=2AB+2CF

=2x13+2x2

=30.

【點睛】本題考查圓周角定理、圓內接四邊形的性質、三角形的內角和定理、三角形的內心性質、三角形

的外角性質、等腰三角形的判定、切線長定理以及解直角三角形，熟練掌握相關知識的聯系與運用是解答

的關鍵.

17.(2024?甘肅中考真題)如圖，48是。。的直徑，BC=3D，點E在AD的延長線上，S.ZADC=ZAEB.

⑴求證：BE是。。的切線;

⑵當。。的半徑為2,BC=3時，求tan/AEB的值.

【答案】(1)見解析

(2)tanNAEB=

3

【分析】(1)連接50,0C,OD,證明Q5垂直平分。。，得出NA/Z>=90。，證明8〃防，得出

ZABE=ZAFD=90°,說明即可證明結論；

(2)根據是。。的直徑，得出NACB=90。，根據勾股定理求出==二?=/，根

據三角函數定義求出tan/ABC=任=正，證明NA￡B=NABC,得出tan/AEB=tan/A3C=立即可.

BC33

【詳解】(1)證明：連接30,OC,OD,如圖所示：

;BC=BD，

：.BC=BD,

OC=OD,

???點0、3在8的垂直平分線上,

0B垂直平分CD,

工ZAFD=90°,

ZADC=ZAEB,

：.CD//BE,

???ZABE=ZAFD=90°,

:.AB±BE,