專題24圓的有關計算與證明（29題）

一、單選題

1.（2024?安徽?中考真題）若扇形/O3的半徑為6,4408=120。，則益的長為（）

A.2%B.34C.4〃D.61

【答案】C

【分析】此題考查了弧長公式，根據弧長公式計算即可.

【詳解】解：由題意可得，Q的長為空子=4萬，

180

故選：C.

2.（2024?貴州?中考真題）如圖，在扇形紙扇中，若//。3=150。，。4=24,則Q的長為（）

A.30兀B.25TIC.207rD.IOTT

【答案】C

【分析】本題考查了弧長，根據弧長公式：/=怒求解即可.

180

【詳解】解：4405=150。，04=24,

???益的長為與滬=20兀，

1oU

故選：C.

3.（2024?云南?中考真題）某校九年級學生參加社會實踐，學習編織圓錐型工藝品.若這種圓錐的母線長

為40厘米，底面圓的半徑為30厘米，則該圓錐的側面積為（）

A.700兀平方厘米B.900兀平方厘米

C.1200兀平方厘米D.1600兀平方厘米

【答案】C

【分析】本題考查了圓錐的側面積，先求出圓錐底面圓的周長，再根據圓錐的側面積計算公式計算即可求

解，掌握圓錐側面積計算公式是解題的關鍵.

【詳解】解：圓錐的底面圓周長為27tx30=60兀厘米，

圓錐的側面積為工X60TIX40=1200兀平方厘米，

2

故選：c.

4.（2024?四川甘孜?中考真題）如圖，正六邊形/8CDEb內接于。O,04=1,則的長為（）

A.2B.V3C.1D.1

【答案】C

【分析】本題考查了正六邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，由正六邊形的性質得到乙4。3=60。，

得到“03為等邊三角形，進而得到。4=/3=1,判斷出“08為等邊三角形是解題的關鍵.

【詳解】解：,：4BCDEF是正六邊形,

360°

ZAOB=——=60°,

6

OA=OB,

：.”05為等邊三角形，

OA=AB=1,

故選：C.

5.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，圓錐的側面展開圖是一個圓心角為72。的扇形，若扇形的半徑/是5,

則該圓錐的體積是（）

【答案】D

【分析】本題考查了弧長公式，圓錐的體積公式，勾股定理，理解圓錐的底面周長與側面展開圖扇形的弧

長相等是解題關鍵，設圓錐的半徑為「，則圓錐的底面周長為2仃，根據弧長公式得出側面展開圖的弧長,

進而得出r=l,再利用勾股定理，求出圓錐的高，再代入體積公式求解即可.

【詳解】解：設圓錐的半徑為,，則圓錐的底面周長為2次,

???圓錐的側面展開圖是一個圓心角為72。的扇形，且扇形的半徑/是5,

???扇形的弧長為彳片=2萬,

180

???圓錐的底面周長與側面展開圖扇形的弧長相等,

2nr=2兀,

：.r=1j

圓錐的iWi為J5?-F=2卡，

???圓錐的體積為上g尺咨,

故選：D.

6.（2024?四川遂寧?中考真題）工人師傅在檢查排污管道時發現淤泥堆積.如圖所示，排污管道的橫截面

是直徑為2米的圓，為預估淤泥量，測得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬為1米，請計算出淤泥橫截面

的面積（）

1V311

1V3—兀-

AA.—7t---一兀-------C.A/3D.—71——

6462364

【答案】A

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理,等邊三角形的判定和性質，求不規則圖形的面積，過點。作

于。，由垂徑定理得==由勾股定理得0D="m,又根據圓的直徑為2米

222

可得。4=08=48,得到為等邊三角形，即得408=60。，再根據淤泥橫截面的面積

S扇物OB-S./OB即可求解，掌握垂徑定理及扇形面積計算公式是解題的關鍵.

【詳解】解：過點。作于。，則4D=2D=L/2=Lm,ZADO=90°,

22

:圓的直徑為2米,

OA=OB=1m,

2

在立力OD中，OD=」O才-Ab1==——m,

2

*.*OA=OB=AB,

???力05為等邊三角形,

ZAOB=60°,

.、、A心HFcC6071XI21V3|1V3|2

??淤泥橫截面的面積=5扇形408-S"05=-xlX---二玉兀——m,

J\J\J乙乙IUT"

故選：A.

7.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，在等腰三角形A8C中，AB=AC=10,ZC=70°,以48為直徑作

半圓，與ZC,8C分別相交于點。，E,則旗的長度為（）

【答案】C

【分析】本題考查了求弧長.根據等腰三角形的性質和三角形的內角和定理求得//的度數,證明OEHAC,

再由0/=。。，再由等腰三角形的性質和平行線的性質求得NDOE的度數，利用弧長公式即可求解.

【詳解】解：連接OD,OE,

ZABC=NC=70°,

*.*OE=OB,

AOEB=/B=70°,

ZOEB=ZC=10°

：.OE//AC,

在一BC中，ZA+ZABC+ZC=180°,

=180。—/ABC-ZC=180°-70°-70°=40°,

又OA=OD=LAB=5,

2

u：OE\\AC

：.ZA=ZADO=40°=ZDOE,

..一.,,,,40Kx5IOTI

??OE的長度為E=可

故選：C.

8.（2024?山東威海?中考真題）如圖，在扇形中，405=90。，點。是NO的中點.過點C作

交彘于點E,過點E作￡DJ_O8,垂足為點。.在扇形內隨機選取一點P,則點尸落在陰影部分的概率

2

D.

CT3

【答案】B

【分析】本題考查的是求不規則圖形的面積，幾何概率，根據陰影部分面積等于扇形O3E的面積，即可求

解.

【詳解】解：ZAOB=90°,CELAO,EDLOB

四邊形OCAE是矩形,

S^OCE=SqDE

S陰影部分=S&ODE

點。是力。的中點

OC=-OE=DE

2

FD1

sinZEOD=—二—

OE2

NEOD=30。

$_30兀x/。?兀、/。2_90兀兀乂/。2

,陰影部分一?AODE+、BDE—'扇形。班—3扇形Z05==

360123604

71XAO2

點下落在陰影部分的概率是蓼畦==?

3

S扇畛OB兀"O

4

故選：B.

二、填空題

9.（2024?四川成者B?中考真題）如圖，在扇形ZO8中，CM=6,403=120。，則令的長為.

【分析】此題考查了弧長公式，把已知數據代入弧長公式計算即可.

【詳解】解：由題意得熊的長為

nnr120TIX6.

——47r,

180180

故答案為：4%

10.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）若圓錐的底面半徑是1cm,它的側面展開圖的圓心角是直角，則該

圓錐的高為cm.

【答案】岳

【分析】本題考查了圓錐的計算.設圓錐的母線長為R,根據圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧

長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2樸1=駕g,然后解方程即可得

180

母線長，然后利用勾股定理求得圓錐的高即可.

【詳解】解：設圓錐的母線長為R,

根據題意得2萬」=號黑，

180

解得：R=4.

即圓錐的母線長為4cm,

...圓錐的高=742-12cm,

故答案是：VL5.

11.（2024?吉林?中考真題）某新建學校因場地限制，要合理規劃體育場地，小明繪制的鉛球場地設計圖如

圖所示，該場地由O。和扇形OBC組成，08,OC分別與。。交于點Q4=lm,05=10m,ZAOD=40°,

則陰影部分的面積為n?（結果保留兀）.

【答案】1玩

【分析】本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關鍵.

利用陰影部分面積等于大扇形減去小扇形面積，結合扇形面積公式即可求解.

【詳解】解：由題意得：5陽昌,二40萬。0_―「）=]]%,

陰影360

故答案為：Ibr.

12.（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）為了促進城鄉協調發展，實現共同富裕，某鄉鎮計劃修建公路.如

圖、益與也是公路彎道的外、內邊線，它們有共同的圓心。，所對的圓心角都是72。，點/,C,。在同

一條直線上，公路彎道外側邊線比內側邊線多36米，則公路寬AC的長是一米.（無取3.14,計算結果

精確到0.1）

?t

_I■、

【答案】28.7

【分析】本題考查了弧長公式，解一元一次方程等知識，利用弧長公式并結合題意可得出

72：7-72：。?。=36,進而得出72：°jC=36,然后解方程并按要求取近似數即可.

180180180

.、45、5,口4?口口ZR7727r.04772兀OC

【詳斛】解：根據磔思，侍/=一訪—，lCD=一兩—）

:公路彎道外側邊線比內側邊線多36米，

,72兀0472itQC"

??=36,

180180

.72〃.（CM—。。）目口727r.zc“

???-------^:36,即-------=36

180180

9090

"3.14

故答案為：28.7.

13.（2024?江蘇鹽城?中考真題）已知圓錐的底面圓半徑為4,母線長為5,則圓錐的側面積是.

【答案】20萬

【分析】結合題意，根據圓錐側面積和底面圓半徑、母線的關系式計算，即可得到答案.

【詳解】解：：圓錐的底面圓半徑為4,母線長為5

??.圓錐的側面積S=^x4x5=20T

故答案為：20%.

【點睛】本題考查了圓錐的知識，解題的關鍵是熟練掌握圓錐的性質，從而完成求解.

14.（2024?江蘇揚州?中考真題）若用半徑為10cm的半圓形紙片圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐底面圓

的半徑為cm.

【答案】5

【分析】本題考查了圓錐的計算.用到的知識點為：圓錐的側面展開圖弧長等于底面周長.

根據題意得圓錐的母線長為10cm,以及圓錐的側面展開圖的弧長，也就是圓錐的底面周長，除以2%即為

圓錐的底面半徑.

【詳解】解：圓錐的側面展開圖的弧長為2萬xl0+2=10萬（cm）,

圓錐的底面半徑為10%+2%=5（cm）,

故答案為：5.

15.（2024?四川自貢?中考真題）龔扇是自貢“小三絕”之一.為弘揚民族傳統文化，某校手工興趣小組將一

個廢棄的大紙杯側面剪開直接當作扇面，制作了一個龔扇模型（如圖）.扇形外側兩竹條NA/C夾角為

120°.48長30cm,扇面的邊長為18cm,則扇面面積為cm?（結果保留萬）.

【答案】252萬

【分析】根據扇形公式進行計算即可.本題考查了扇面面積計算，掌握扇面面積等于兩個扇形面積相減是

解題的關鍵.

【詳解】解：扇面面積=扇形8/C的面積-扇形ZX4E的面積

120x^-x302120x^x（30-18）2

—360360

=300萬-48%

二252萬（加2）,

故答案為：2527r.

16.（2024?甘肅?中考真題）甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術，是第一批國家級非物質文化

遺產.如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設計圖如圖2,其中扇形和扇形O4D有相同

的圓心。，且圓心角/。=100。，若CM=120cm,OB=60cm,則陰影部分的面積是cn?.（結果

用乃表不）

敬?老人，孝順父母

是個人素養、文明高電、社

會公”“體為超

【答案】3000%

【分析】根據扇形面積公式計算即可.本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關鍵.

【詳解】：圓心角/。=100°,0^=120cm,OB=60cm,

,陰影部分的面積是.Ox%xlZO?-100X%X6（）2

360360

=3000%cm2

故答案為：3000zr.

17.（2024?黑龍江綏化?中考真題）用一個圓心角為126。，半徑為10cm的扇形作一個圓錐的側面，這個圓

錐的底面圓的半徑為cm.

【答案】47

【分析】本題考查了弧長公式，根據圓錐的底面圓的周長等于側面的弧長，代入數據計算，即可求解.

【詳解】解：設這個圓錐的底面圓的半徑為尺cm,由題意得，黑X10XTT=2必

180

解得：R=；7

7

故答案為：—.

2

18.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，在矩形488中，BC=&B,。為3C中點，OE=4B=4,則扇

形尸的面積為

【分析】本題考查了扇形的面積公式，解直角三角形.利用解直角三角形求得/8。￡=45。，ZCOF=45°,

得到NEO尸=90。,再利用扇形的面積公式即可求解.

【詳解】解：：8。=及/3,AB=4,

BC=4亞，

?.?。為8C中點,

：.OB=OC=-BC=2s[2,

2

OE=4,

在RMOBE中，cosZBOE="2叵血

OE42

：.ZBOE=45°,

同理/COP=45°,

ZEOF=180°-45°-45°=90°,

、2

???扇形￡O尸的面積為90也7r?;4L=4〃，

360

故答案為：4萬.

19.（2024?吉林長春?中考真題）一塊含30。角的直角三角板按如圖所示的方式擺放，邊與直線/重

合，AB=12cm.現將該三角板繞點B順時針旋轉，使點C的對應點C'落在直線/上，則點/經過的路徑

長至少為cm.（結果保留萬）

【分析】本題主要考查了旋轉的性質、弧長公式等知識點，掌握弧長公式成為解題的關鍵.

由旋轉的性質可得413。=44'8。=60。,即/4胡=120°,再根據點/經過的路徑長至少為以B為圓心,

以為半徑的圓弧的長即可解答.

【詳解】解：???將該三角板繞點B順時針旋轉，使點。的對應點。落在直線/上，

ZABC=ZA'BC=60°,BPZA'BA=120°,

.kr、1120°???1020萬

..點A經過的路徑長至少為———=——.

20.（2024?江蘇蘇州?中考真題）鐵藝花窗是園林設計中常見的裝飾元素.如圖是一個花瓣造型的花窗示意

圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應的弦構成一個正六邊形，中心為點。，益所在圓的圓心C恰好

是的內心，若AB=2g,則花窗的周長（圖中實線部分的長度）=.（結果保留兀）

【分析】題目主要考查正多邊形與圓，解三角形，求弧長，過點C作根據正多邊形的性質得出

“08為等邊三角形，再由內心的性質確定/C4O=/C4E=/CSE=30。，得出//CB=120。，利用余弦

AP

得出展=2,再求弧長即可求解，熟練掌握這些基礎知識點是解題關鍵.

cos30°

,??六條弧所對應的弦構成一個正六邊形,

/AOB=60°,OA=OB,

???小。8為等邊三角形,

圓心C恰好是AABO的內心,

JZCAO=ZCAE=ZCBE=30°,

???ZACB=120°9

■/AB=243,

AE=BE=。,

AC=AE=2

cos30°

120X2XK4

???初的長為:-------------------——71

1803

4

，花窗的周長為：一兀義6=8兀，

3

故答案為：87t.

21.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，對折邊長為2的正方形紙片/BCD,為折痕，以點。為圓心,

為半徑作弧，分別交ND,BC于E,尸兩點，則而的長度為（結果保留無）.

【分析】本題主要考查了弧長的計算、正方形的性質及翻折變換（折疊問題），解直角三角形，熟知正方

形的性質、圖形翻折的性質及弧長的計算公式是解題的關鍵.

由對折可知，NEOM=NFOM,過點￡作■的垂線，進而可求出NE0M的度數，則可得出尸的度

數，最后根據弧長公式即可解決問題.

【詳解】解：：折疊，且四邊形/BCD是正方形

四邊形A0MD是矩形,ZEOM=ZFOM,

則（W=/O=2,DM=-CD=1.

2

過點E作于P,

貝ljEP=DW=1,

2

\'OE=OM=AD=2,CD=AD=2,

:.EP=-OE.

2

EP1

在Rt^EOP中，sinZEOP=——=—,

OE2

NEOP=30°,

則NEOF=30°x2=60°,

60?22萬

醞的長度為:

180T

故答案為：Y-

22.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）若圓錐的底面半徑為3,側面積為36兀，則這個圓錐側面展開圖

的圓心角是°.

【答案】90

【分析】此題主要考查了圓錐的側面積公式以及與展開圖扇形面積關系，求出圓錐的母線長是解決問題的

關鍵.根據圓錐的側面積公式S=兀〃求出圓錐的母線長，再結合扇形面積公式即可求出圓心角的度數.

【詳解】根據圓錐側面積公式：S=nrl,可得兀X3X/=36TI

解得：/=12,

解得〃=90,

.?.側面展開圖的圓心角是90。.

故答案為：90.

23.（2024?吉林長春?中考真題）如圖，43是半圓的直徑，/C是一條弦，。是就的中點，DE/AB于

點E,交/C于點尸，交/C于點G,連結/O.給出下面四個結論:

?ZABD=ZDAC；

②AF=FG；

③當DG=2,G8=3時，FG=--,

2

④當麗=2疝5，48=6時，AQPG的面積是

上述結論中，正確結論的序號有.

【分析】如圖：連接。C,由圓周角定理可判定①；先說明=N4DE=ND4C可得DF=FG、

AF=FD,即/尸=WG可判定②；先證明△>Z>GSA2D4可得生=子，即產”,代入數據可得

BDADDG+BGAD

AD=M,然后運用勾股定理可得4G=>/值，再結合/尸=依即可判定③；如圖：假設半圓的圓心為0,

連接易得乙4。。=/。。。=60。，從而證明△/。。，△。刀。是等邊三角形，即。是菱形，

然后得到〃/C=NQ4C=30。，再解直角三角形可得。G=2VL根據三角形面積公式可得,3G=6行，

最后根據三角形的中線將三角形平分即可判定④.

【詳解】解：如圖：連接。

???。是左的中點,

AD=DC，

；?NABD=/DAC,即①正確；

,/AB是直徑，

???AADB=90°,

：.ZDAC+ZAGD=90°,

,：DE1AB

：.DBDE+DABD=90°,

9：/ABD=ZDAC,

???ZBDE=ZAGD,

DF=FG,

u：f)BDE+f)ABD=90°,ZBDE+ZADE=90°,

：.ZADE=NABD,

NABD=ZDAC,

???ZADE=ZDAC,

：.AF=FD,

???力尸二/6,即②正確；

在LADG和ABDA,

jZADG=ZBDA=9(T

[ZDAG=ADBA'

AADGS^BDA,

,ADGDHnADGD

BDADDG+BGAD

AG=y]AD2+DG2=V14，

:AF=FG,

：.FG=-AG^—,即③正確；

22

如圖：假設半圓的圓心為O,連接OD,CO,CD,

:麗=2筋，48=6，。是就的中點，

：.AD=DC=-AB,

：.ZAOD=ZDOC=60°,

'：OA=OD=OC,

，。是等邊三角形，

：.OA=AD=CD=OC=OD=6,即4DG9是菱形,

ZDAC=NOAC=-ZDAO=30°,

,/ZADB=9Q°,

：.tanZDAC=tan300=—,即@=空，解得：DG=26

36

=-ADDG=-x6x2yf3=643,

AF=FG

,?S^DFG=2S^ADG=3g,即④錯誤.

故答案為：①②③.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定與性質、勾股定理、菱形的判定

與性質、等腰三角形的判定與性質等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵.

三、解答題

24.（2024?廣東?中考真題）綜合與實踐

【主題】濾紙與漏斗

【素材】如圖1所示：

①一張直徑為10cm的圓形濾紙；

②一只漏斗口直徑與母線均為7cm的圓錐形過濾漏斗.

H7cm-H

圖1

【實踐操作】

步驟1：取一張濾紙；

步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；

步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；

步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中.

圖2

【實踐探索】

（1）濾紙是否能緊貼此漏斗內壁（忽略漏斗管口處）？用你所學的數學知識說明.

（2）當濾紙緊貼漏斗內壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積.（結果保留兀）

【答案】(1)能，見解析

力125G

(2)-——?rcm3j

24

【分析】本題考查了圓錐，解題的關鍵是：

(1)利用圓錐的底面周長=側面展開扇形的弧長求出圓錐展開圖的扇形圓心角，即可判斷；

(2)利用圓錐的底面周長=側面展開扇形的弧長，求出濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑，利用勾股定理求

出圓錐的高，然后利用圓錐體積公式求解即可.

【詳解】(1)解:能，

理由：設圓錐展開圖的扇形圓心角為〃。，

根據題意，得需=7萬，

180

解得〃=180°,

將圓形濾紙對折，將其中一層撐開，圍成圓錐形，此時濾紙能緊貼此漏斗內壁；

(2)解：設濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑為*m,高為4cm,

根據題意，得2仃=1?魯5,

180

解得廠=:,

2

圓錐的體積為』亞2〃=.

33⑴224

25.(2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度,

在平面直角坐標系中，”8C的三個頂點坐標分別為/(-覃)，5(-2,3),C(-5,2).

(1)畫出關于y軸對稱的△44G,并寫出點用的坐標;

(2)畫出繞點/逆時針旋轉90。后得到的與C2,并寫出點鳥的坐標；

(3)在(2)的條件下，求點2旋轉到點鳥的過程中所經過的路徑長(結果保留兀)

【答案】(1)作圖見解析，4(2,3)

(2)作圖見解析，52(-3,0)

(3)生

【分析】本題考查了利用旋轉變換作圖，軸對稱和扇形面積公式等知識，熟練掌握網格結構準確找出對應

點的位置是解題的關鍵.

(1)根據題意畫出即可；關于〉軸對稱點的坐標橫坐標互為相反數，縱坐標不變；

(2)根據網格結構找出點3、C以點A為旋轉中心逆時針旋轉90。后的對應點，然后順次連接即可；

(3)先求出N5=石,再由旋轉角等于90。，利用弧長公式即可求出.

【詳解】(1)解：如圖，△42?為所求；點4的坐標為(2,3),

(2)如圖，A/32c2為所求;與(-3,0),

(3)AB=Vl2+22=，

點B旋轉到點B2的過程中所經過的路徑長9°x石"=正兀.

1802

26.(2024?山東?中考真題)如圖，在四邊形/BCD中，AD//BC,ND4B=60°,4B=BC=24D=2.以

點A為圓心，以為半徑作旗交48于點E,以點5為圓心，以BE為半徑作)所交8C于點尸，連接ED

交樂于另一點G，連接CG.

D

EB

(1)求證：CG為防所在圓的切線;

(2)求圖中陰影部分面積.(結果保留萬)

【答案】(1)見解析

3A/3n

I，1----------

43

【分析】本題考查平行四邊形的性質和判定，圓的性質，扇形面積，等邊三角形的性質等知識點，證明四

邊形初0是平行四邊形是解題關鍵.

(1)根據圓的性質，證明3尸=8￡=4D=/E=CF,即可證明四邊形四陽是平行四邊形，再證明ABFG

是等邊三角形，再根據圓的切線判定定理即可證得結果.

(2)先求出平行四邊形的高根據扇形面積公式三角形面積公式，平行四邊形面積公式求解即可.

【詳解】(1)解：連接BG如圖，

根據題意可知：AD=AE,BE=BF

XVAB=BC,

：.CF=AE=AD,

'：BC=2AD,

：.BF=BE=AD=AE=CF,

,/AD//BC,

11?四邊形■口是平行四邊形，

ZBFD=ZDAB=60°,

BG=BF,

AAFG是等邊三角形，

GF=BF,

：.GF=BF=FC,

???G在以5C為直徑的圓上，

ZBGC=90°f

???CG為涕所在圓的切線.

(2)過。作。于點

由圖可得：S陰影二S口ABFD~S扇力即-S扇MG—，

在RtZU/TO中，AD=\,NDAB=6。。,

hC

JDH=皿sin/DAB=1x—=—,

22

h

**?SaAorU=AB-DH=2x—2=y/3,

由題可知：扇形NOE和扇形8GE全等，

60萬（4。）260x乃xl27t

q=q=""產

D扇這）一）扇3GE-360360—3606

等邊三角形8FG的面積為：LGF.DH，X1XG=吏,

2224

27.(2024?福建?中考真題)如圖，在“3c中，ZBAC=90°,AB=AC,以N8為直徑的。。交BC于點D,

AEVOC,垂足為E,3E的延長線交詬于點尸.

⑵求證：AAEBsABEC；

(3)求證：4D與EF互相平分.

【答案】(1)3

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)先證得40=240,再在RG/。。中，tanZAOC=——=2.在RtZ\/O￡中，tanZAOC=——，

AOOE

可得k=2,再證得結果；

OE

(2)過點3作8刊〃4E1,交石。延長線于點先證明△4OE會可得AE=BM,OE=OM,再

證得NB4E=NCBE,再由相似三角形的判定可得結論；

4FAB7AOAO

(3)如圖，連接。瓦。尸，由(2)AAEBsABEC,可得——=——=——=——，/EA0=/EBD,從而

BEBC2BDBD

得出"OEs^BDE,得出/5￡。=/4￡79=90。，得出NAFB=NDEF,再由平行線判定得出4/〃,

AE//FD,從而得出四邊形4成加是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質可得結果.

【詳解】(1)?「AB=AC,且48是O。的直徑，

:.AC=2AO.

?：ABAC=90°,

Ar

在Rt/kZOC中，tan//OC=-----=2.

AO

?.，AELOC,

4E

??在RtZ\/OE中，tan//。。=--.

OE

*=2,

OE

.OE_1

(2)過點5作■〃/E,交上。延長線于點M.

/.ZBAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=90°.

AO=BO,

:.AAOE咨4BOM,

AE=BM,OE=OM.

OE1

.~AE~2"

:.BM=2OE=EM,

ZMEB=ZMBE=45°,

AAEB=AAEO+ZMEB=135°,NBEC=180°-ZMEB=135°，

ZAEB=/BEC.

?「AB=AC,ZBAC=90°f

:.ZABC=45°,

ZABM=ZCBE,

ZBAE=ZCBE,

:./\AEB^ABEC.

AADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

vAB=AC,ABAC=90°,

BC=2BD/DAB=45。.

由（2）知，AAEBs4BEC,

----=---------,NE4O=/EBD

BEBC2BDBD

LAOEs4BDE,

:"BED=/AEO=90。.

:.ZDEF=90°.

ZAFB=ZDEF,

AF//DE.

由（2）知，/4EB=135。,

AAEF=180°-ZAEB=45°.

---/DFB=NDAB=45°,

ZDFB=AAEF，

AE//FD,

四邊形/瓦汨是平行四邊形，

.:4D與EF互相平分.

【點睛】本小題考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質、銳角三角函數、全等三角形的判定與性質、

相似三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、圓的基本性質等基礎知識,

考查推理能力、幾何直觀、運算能力、創新意識等，熟練掌握相關圖形的性質定理是關鍵.

28.（2024?陜西?中考真題）問題提出

（1）如圖1,在人48c中，48=15,ZC=30°,作入48c的外接圓則Q的長為；（結果

保留兀）

問題解決

圖I

（2）如圖2所示，道路N8的一側是濕地.某生態研究所在濕地上建有觀測點。，E,C,線段NDNC和

3c為觀測步道，其中點/和點2為觀測步道出入口，已知點E在/C上，且/E=EC,ZU4B=60。,

ZABC=120°,AB=1200m,AD=BC=900m,現要在濕地上修建一個新觀測點產，使NDPC=60。.再

在線段4B上選一個新的步道出入口點尸，并修通三條新步道PRPD,PC,使新步道尸尸經過觀測點E,

并將五邊形/BCPD的面積平分.

請問：是否存在滿足要求的點尸和點尸?若存在，求此時抒'的長；若不存在，請說明理由.（點4,B,C,

P,。在同一平面內，道路與觀測步道的寬、觀測點及出入口的大小均忽略不計，結果保留根號）

【答案】（1）25小（2）存在滿足要求的點尸和點尸，此時尸尸的長為（300石+1200，n.

【分析】(1)連接。4OB,證明A048等邊三角形，再利用弧長公式計算即可求解；

(2)點尸在以。為圓心，圓心角為120。的圓上，如圖，由題意知直線尸尸必經過C。的中點得到四邊

形是平行四邊形，求得W=4D=900m,作CNL尸尸于點N,解直角三角形求得CN和九W的長,

再證明△尸MCS^DPC,利用相似三角形的性質求得PC?=720000,據此求解即可.

【詳解】解：(1)連接04OB,

VZC=30°,

ZAOB=60°,

:OA=OB,

等邊三角形,

,/AB=\5,

：.04=OB=15,

300萬/5

ACB的長為=25%；

180

故答案為：25%；

(2)存在滿足要求的點P和點尸，此時所的長為(300宕+1200)m.理由如下,

解：,/ZDAB=60°,ZABC=120°,

：.ZDAB+ZABC=180°,

：.AD//BC,

:AD=BC^900m,

四邊形ABCD是平行四邊形，

,/要在濕地上修建一個新觀測點產，使ZDPC=60°,

...點P在以。為圓心，CD為弦,圓心角為120。的圓上，如圖,

AE=EC,

經過點E的直線都平分四邊形/BC。的面積，

..?新步道勿經過觀測點E,并將五邊形ABCPD的面積平分,

，直線PF必經過C。的中點M,

...腔是AC/D的中位線，

ME//AD,

'：MF//AD,DM//AF,

...四邊形AFMD是平行四邊形，

FM=AD=900m,

作CNLPF于點、N,

:四邊形4FW是平行四邊形，ZDAB=60°,

NPMC=4DMF=NDAB=60°,

CM=^CD=^AB=600（m）,

MN=CM-cos60°=300（m）,CN^CM-sin60。=300拒（m）,

'：ZPMC=ZDPC=60°,

/\PMCS/\DPC,

,PCCMnnPC600

CDPC1200PC

Jpc2=720000,

在RtAPGV中，PN^yJPC2+CN2=7720000-270000=30》(m),

PF=300證+300+900=(30075+1200)m.

答：存在滿足要求的點P和點凡此時尸尸的長為卜00店+1200)m.

【點睛】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判

定和性質，正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵.

29.(2024?江蘇連云港?中考真題)【問題情境】

(1)如圖1,圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內接