相似三角形的性質(zhì)及應用

知識梳理

相似三角形的性質(zhì)：

⑴相似三角形的對應角相等.

⑵相似三角形的對應邊成比例.

⑶相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比.

⑷相似三角形周長的比等于相似比.

(5)相似三角形面積的比等于相似比的平方.

典型例題

例1

若已知△ABC-ADEF,若兩個三角形的相似比為3：4,則周長比為_____面積比為—.

解析相似三角形的相似比等于周長比，而面積比為相似比的平方，因此相似比為3：4,面積比為9:16.

例2

在八ABC中,AB=3,AC=4,BC=6,D為AC上一點,DC=,40在AB上取一點E得到△ADE,若兩個三角形相似，求DE的長.

解析⑴如圖所示.過D作DE〃:BC交AB于點E,則有.

AD_DE

AC-CB

因為DC=-AC=-X4=

所以AD=AC-DC=4--

⑵作AADE=乙B,交AB于點E,則.△ADE△ABC,所以躇=

由(1)知=5

綜上所述，DE的長為4或？

例2圖(2)

如圖所示，已知AD為AABC的角平分線,DE〃AB交AC于E,如果能=|,那么第=().

A.-B.-C.-D.-

3355

解析要求黎的比值，且題目里面涉及線段的平行，所以應該會利用三角形的相似來解決問題.

因為DE〃AB

所以△CED^ACAB

所匚UI以'I就ABED

因為AD為/BAC的平分線

所以NBAD=NDAC

因為DE〃AB

所以/BAD=/ADE

所以NDAE=NEDA

所以AE=ED

所匚UI以\I就ABEDAE

EC

故選B.

例4

如圖所ZF,為估計某河的寬度，在河對岸選定1s目標點A,在近岸取點B,C,D,使得AB1BC,CD1BC,點E在BC上,并

且點A,E,D在同一條直線上.若測得，BE=20m,EC=10m,CD=20m,則河的寬度AB等于（

A.60mB.40mC.30mD.20m

解析本題考查的知識點為三角形相似的應用.

因為4BJ.BC,CD_LBC,

所以ABAEACDE,

所以署=BE例4圖

CE1

又因為BE=20m,EC=10m,CD=20m,

所以代入數(shù)據(jù)怒=罌,

貝!]AB=40m.

因此正確答案為B.

雙基訓練

1.如果兩個直角三角形的斜邊比為1：3,那么面積之比為（）.

A.l:lB.1:V3C,1:3D.1:9

2.在比例尺為1：20000的地圖上有一塊地面積為4cm2,則這塊地的實際面積為（）.

282

A.8xlO^mB.8x1080n2c16x10^cm2￡）,16x10cm

3.若△ABCs/\DEF,且周長比為4:9,則相似比為（）.

A.2:3B.3:2C.4:9D.9:4

4.如圖所示，邊長為4的等邊△ABC中，DE為中位線，則四邊形BCED的面積為（）.

A.2巾B.3V3C.4V3D.6娼

5.如圖所示,DF〃EG〃:BC,AD=DE=EB,且把ABC分成三個部分，則這三個部分面積S1：S2:S3=（）.

A.l:l:lB.l:2:3C.1:4:9D.l:3:5

6.如圖所示，某同學在晚上由路燈AC走向路燈BD,當他走到P點時，發(fā)現(xiàn)身后他的影子在頂部剛好接觸到路燈AC底部，當

他向前再步行20m,到達Q點時，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好觸到路燈BD的底部.已知此同學的身高為1.5m,兩個路燈的高度都為

9m,則兩個路燈之間的距離是().

A.24mB.25mC.28mD.30m

7.若△ABCADEF,且面積之比為16:25貝必ABC與4DEF的周長之比為____.

8.已知△4BC與ADEF相似,△ABC的周長為4,ADEF的周長為9貝必ABC與△DEF的面積之比為____.

9.如圖所示，在AABC中,D,E分別為AB,AC邊上兩點，且DE||BC,若AD-.DB=2:3,則4ADE與乙ABC的面積之比為.

第9題圖第10題圖

10.如圖所示直線AB,CD相交于O,AC\\BD,CO-.OD=4:3,若△0。8的面積是18cm則△AOC的面積為_.

11.已知兩個相似三角形的一對對應邊長分別為20cm,15cm,它們的周長相差40cm，則這兩個三角形的周長分別為—.

12如圖所示，一束光線從A(4,4)出發(fā)，經(jīng)過y軸上的點B,反射后經(jīng)過點C(3,0),則光線從A點到C點經(jīng)過的路長為—.

BEAF

13.如圖所示，平行四邊形ABCD中,E為BC邊上一點,AE交BD

ECEF

第13題圖第14題圖

14.如圖所示，在臺球賽中，一球在A點處，經(jīng)球臺邊擋板CD反射，擊中球B,已知AC1DC于點C,BD±DC于點D,當AC=

15cm,BD=20cm,CD=xcm,EC=ycm的時候，則恰好能擊中球B，則y與x的函數(shù)解析式為___.

6如圖所示，以等腰RtAAOB的斜邊AB為直角邊向外作第二個等腰Rt△再以等腰RtAABA】的斜邊A】B為直角邊向

外作第三個等腰RtArBrB2…….如此作下去，若OA=OB=2,則第21個等腰直角三角形的面積為一.

16.如圖所示，光源P在橫桿AB上方，AB在燈下的影長為CD,AB\\CDtAB=2cm,CD=6cm,點P到CD的距離為2.7m,則AB

與CD之間的距離為____.

第16題圖第17題圖

17.如圖所示直角梯形ABCD中,.乙BAD=90。,ACJ_BD,已知黑=；,則黑=.

ADZDD

18.如圖所示，在。O中,AB是直徑,CD是一條弦，且CP_LAB于P,連接BC,AD,求證:PC2=PA-PB.

19.如圖所示，A,B兩個教室為在樓道同側(cè)的兩個教室，A,B兩個教室到樓道的距離分別為AC=Wm.BD=30m,,且CD=30

m,現(xiàn)要在樓道CD上安裝上網(wǎng)端口，從A,B兩個教室拉網(wǎng)線，求網(wǎng)線的最短距離.

B

20.如圖所示，在△48c中,4D18c于D,且E,H分別在邊AB與AC上,F,G在邊BC上，且與B,C兩點不重合,EFGH構(gòu)成矩形,EH

:EF=1:2,若BC=6cm,AD=2cm,求矩形EFGH的面積.

第20題圖

能力提升

21如圖所示，在正三角形ABC中,D,E,F分別為BC,AC,AB上的點,DE_LAC,EF_LAB,FD，BC^!UDEF面積與△ABC的面積之比

為（）.

A.l:3B,2:3

C.V3:2D.V3:3

第21題圖

22.如圖所示，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使B與CD中點重合為B；A用與AD相交于E,G兩點若AB=2,BC=3,]!!!]△FCB'-^AB'

DG的面積之比為（）.

A.9:4B.3:2

C.4:3D.16:9

23.在△ABC中.AB=3,AC=4,BC=6,點D,E分別為AC,AB上一點,DC=|4。,若4ADEs/XABC,則BE=_.

24如圖所示，把乙ABC沿BC方向平移到△ABC的位置，恰好重疊部分（陰影部分）的面積為4ABC的去若BC=2J0AABC移動

的距離為—,一

25.如圖所示，平行四邊形ABCD中,DE=ioC.AE.BC的延長線交于點F,若平行四邊形ABCD的面積為6貝必CEF的面積為一

第26題圖

26.如圖所示,在梯形ABCD中,AD〃BC,對角線AC與BD交于O,若.S*。與S^B之比為1:9,則SAA0D與SACOB之比為_.

27如圖所示，在△ABC中,/C=9（r,BC=16cm,5AC-3AB=0^P從點B出發(fā)，沿BC方向以4cm/s勻速運動,Q從C點出發(fā)，沿CA方

向以2cm/s勻速運動，若P,Q同時從B,C出發(fā)，經(jīng)過多長時間^CDE與^ABC相似？

拓展資源

28.如圖所示，已知平行四邊形ABCD中,AB=4,AD=2,E是AB邊上一動點（動點E與點A不重合，可與點B重合），設AE=x,DE的

延長線與CB的延長線交于F,設CF=y，則下列圖像能正確反映y與x的函數(shù)關系的是（）.

第28題圖

29.如圖所示，△ABC是一塊銳角三角形鐵皮余料，要在△4BC中截一個矩形鐵皮DEFG使D,E兩點分別在AB,AC上,G,F在邊

BC±,BC=24cm,AN=1Ocm.

⑴設DE=x，矩形DEFG的面積為S,求S關于x的函數(shù)解析式,并指出x的取值范圍.

⑵當x為何值時，矩形DEFG的面積最大？

第29題圖

30.如圖所示,△ABC和^DEF是兩個全等的等腰直角三角形,NBAC=NEDF=9(T,ADEF的頂點E與4ABC的斜邊的中點重合，將

△DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點P,線段EF與射線CA相交于點Q.

(1)如圖⑴所示.當點Q在線段AC上,且AP=AQ時,求證:△BPE^ACQE.

(2)如圖⑵所示，當點Q在線段CA的延長線時.求證:△BPEsACQE;并求當BP=,CQ=，時，P,Q兩點間的距離(用含a的代數(shù)

式表小).a

第30題圖

1-6DDCBDD

7.4:58.16:819.4:2510.32cm211.160cm和120cm

12.V6513.-14.y=-x15.22116.1.8m

3J7

17.V218.略)19.50m20,^|cm2

21-22AD

23.2或得24.2百25.426.1:81