垂徑模型

類型一直徑垂直于弦

方法與技巧

利用垂徑定理，通過半徑、弦心距和弦圍成的直角三角形解題.

L如圖,AB是。0的直徑，點C為劭的中點,CF為。。的弦，且（CF14B,垂足為E,連接BD交CF于點

G,連接CD,AD,BF.

⑴求證:ABFG=△CDG;

(2)若AD=BE=2,求BF的長.

類型二直徑平分弦所對的弧

方法與技巧

利用弧、圓心角和弦關系定理及等腰三角形“三線合一”推導直徑垂直于弦，從而利用垂徑定理及其他

圓有關的性質解決問題.

2.如圖，四邊形ABCD內接于。O,AD是。。的直徑,AB=4,4。=6,BC=CD,連接AC,BD交于點E.

(1)求證:AE=4CE;

⑵連接0E,求0E的長.

B

CD

輔助圓問題(1)

類型一四點共圓模型

方法與技巧

在四邊形中，如果一組對角都是直角，那么這四邊形的四個頂點共圓，可利用直角三角形斜邊上中線

性質進行證明，依據到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上，再利用圓的有關性質解決相關問題.

1.如圖,在四邊形ABCD中,AABC=AADC=9(F,BD平分.乙4BC.

求證:AD=CD.「

2.如圖，等邊△ABC中,AB=6,,P為AB上一動點,PD1BC于D,PE14C于E,求DE長的最小值.

類型二定點+定長模型

方法與技巧

常見圖形中共頂點的多條線段相等，可考慮利用到定點的距離等于定長推導共圓，再利用圓有關性質

解決問題.

3.如圖，在四邊形ABCD中,.48=4。=4。=2,BC=求BD的長.

D

4.如圖,在四邊形ABCD中,.AB=AC=AD,ADAC=90。,BD=4vxBC=2..求四邊形ABCD的面積.

輔助圓問題(2)

類型三定角+定弦模型

方法與技巧

問題的關鍵在于找到運動過程中必存在的定線段，及這條線段關于某一動點的張角為定值，由張角的

位置變化，去尋找這三點所構成的定圓.常見張角為90。,，它所對的定線段為直徑，通常應用于求線段最值

或動點經過的路徑長.

1.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點M和N分別從B,C同時出發，以相同的速度沿BC,CD向終

點C,D運動，連接AM,BN,交于點P,連接PC,求PC長的最小值.

BMC

2.如圖，在RtA4BC中，乙4cB=90°,AB=5,cosB=gG>A與邊BC交于點C,過A作.DE||BC,,交。A

于點D,E,點F在.位上，連接EF,過A作AP平分“AC交EF于點P.

(1)直接寫出。A的半徑；

(2)求證:N4PE=45°;

(3)若點F沿比由點D運動到點C,求點P經過的路徑長.

線段最值問題⑴

類型一垂線段最短

方法與技巧

識別圖形，通常線段的一個端點為定點，另一個端點在直線上運動，根據垂線段最短，作出該線段最

短時的圖形，再求最小值，有時也利用轉化思想，將所求線段進行轉化，從而確定最小值.

1.如圖，在R3ABC中,.ZC=90°,AB=5,AC=3,,P為邊AB上一動點,PD_LBC于D,PE_LAC于E,求

DE長的最小值.

BDC

2.在平面直角坐標系xOy中，P為直線.y=乂-2上一動點，。0的半徑為1,PQ為。0的切線，Q

為切點，求線段PQ最小值.

3如圖,在等邊△ABC中,AB=4,AD1BC于D,E是AD上一動點，連接CE,將CE繞點C逆時針旋轉

(60。得到CF,連接DF,求DF長的最小值.

4.如圖，拋物線y=d一1與x軸交于A,B兩點，直線y-kx+k+1總經過一個定點M,且與拋物線

交于C,D.

(1)直接寫出點M的坐標；

(2)求點B到直線CD的最大距離.

線段最值問題⑵

類型二兩點之間，線段最短

方法與技巧

⑴遇“將軍飲馬問題”時，若兩定點在動點所在直線的同側，過其中一定點作動點所在直線的對稱點，

連接對稱點與另一定點，此時線段和最短；若一定點在兩相交直線的內部，分別過這一定點作兩條直線的

對稱點，連接對稱點，此時線段和最短；

(2)遇“定弦定角問題”時，即動點經過的路徑是圓時，連接定點與該圓圓心，與圓交于兩點，離定點近

的即為所求線段的最小值；離定點遠的即為所求線段的最大值；

(3)遇“費馬點問題”時，即三角形內部一點到三個頂點的距離和最短時，繞三角形的某一頂點作旋轉轉

化；

(4)遇“造橋選址問題”時，平移構造平行四邊形是關鍵.

1.如圖在等邊AABC中,AD_LBC,垂足為D,點N是AB的中點點M為AD上一動點，若AB=2,則

BM+MN的最小值是____.

2.如圖.NAOB=6(T,NAOB內的定點P滿足0P=2,若點M、N分別是射線OA,OB上異于點O的動點，

則APMN周長的最小值是____.

3.如圖.點P是正方形ABCD的對角線BD上的一個動點(不與B,D重合)，連接AP,過點B作直線AP

的垂線，垂足為H,連接DH,若正方形的邊長為4,則線段DH長度的最小值是—.

4.如圖,在AABC中,NABC=3(T,AB=4,BC=5,P是AABC內部的任意一點，連接PA,PB,PC廁PA+PB+PC

的最小值為.

5在平面直角坐標系中，已知點A(-2,0),B(0,4),E(O,1),將△AE。沿x軸向右平移得到△4EO,連接

A'B,BE'.當A'B+取得最小值時，求點O的坐標.

線段最值問題(3)

類型三兩點之間，線段最短+垂線段最短

方法與技巧

此類型問題中，通常涉及“一定點和兩動點”.方法是過定點作其中一動點所在直線的對稱點，連接對稱

點與另一動點，當垂直于定點所在的已知直線時，此時所求的線段和最短.

1.如圖在Rt△ABC中,NC=90。,力C=4,BC=3,點M,N分別是AB,AC上的動點，求(CM+MN的最

小值.

AN

AC

備用圖

2.如圖在△4BC中,N4BC=45°,BC=4,,BD平分4ABe交AC于D,點M,N分別是BD,BC上的動點,

求(CM+MN的最小值.

A

BC

備用圖

線段最值問題⑷

類型四“胡不歸”問題模型

方法與技巧

在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關鍵是構造與kPB相等的線段，將，PA+kPB”型轉化為

“PA+PC”型，通常考慮構造直角三角形，用銳角三角函數進行轉化，即kPB=PC.

1.如圖在矩形ABCD中,E是AB上一定點，乙4BD=30°,,M為對角線BD上一動點（不與B,D重合），若

BD=1O,求EM+「DM的最小值.

DC

2.如圖，菱形ABCD的邊長為5,對角線BD的長為4限M為BD上一動點，求AM+的最小值.

備用圖

線段最值問題⑸

類型五建立函數模型求線段最值

方法與技巧

由題意找尋所求線段與某條線段的函數關系，從而建立函數關系式，在自變量取值范圍內利用函數性

質求線段最值.

1.如圖.在平面直角坐標系中,已知點A(-2,0),B(0,4),E(O,1),將△4E。沿x軸向右平移得到.△401,連

接A'B,BE1若AA'=m(0<m<2),求A'B2+BE'?的最小值.

2.如圖，正方形ABCD中,4B=12,AE點P在BC上運動(不與BC重合)，過點P作.PQ1EP?

4

交CD于點Q,求CQ長的最大值.

3.如圖，在直角三角形ABC中，NC=90°,D是AC邊上一點，以BD為邊，在BD上方作等腰直角三

角形BDE，使得.ABDE=90。,,連接AE.若.BC=4,2C=5,求AE長的最小值.

A

BC

4.如圖，拋物線y=Y+2x-3與x軸相交于A,B兩點，與y軸交于點C,點Q是線段AC上的動

點，作（QD1x軸交拋物線于點D,求QD長的最大值.

三點共線

類型一平角定義證三點共線

方法與技巧

要證明點A,B,C共線，通常連接AB,BC,去證明.乙48c=180°.

1.如圖在||ogra欣1BCD中,AC與BD相交于點O,點E,F分別在邊AB,CD上，若BE=DF,,求證：E,

O,F三點在同一條直線上.

類型二平行公理證三點共線

方法與技巧

要證明點A,B,C共線，連接AB,BC,去證明.AB\\m,BC\\m.