專題15二次函數的實際應用（21題）

一、單選題

1.（2024?天津?中考真題）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度〃（單位：m）與小球的運動時間/（單

位：s）之間的關系式是/2=30r-5『（0（rW6）.有下列結論：

①小球從拋出到落地需要6s；

②小球運動中的高度可以是30m；

③小球運動2s時的高度小于運動5s時的高度.

其中，正確結論的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2024.黑龍江齊齊哈爾.中考真題）如圖，在等腰Rt^ABC中，ABAC=90°,AB=12,動點E,尸同時

從點A出發，分別沿射線AB和射線AC的方向勻速運動，且速度大小相同，當點E停止運動時，點/也隨

之停止運動，連接斯，以所為邊向下做正方形EFG”,設點E運動的路程為x（O<x<12）,正方形EFGH

和等腰RtAABC重合部分的面積為下列圖像能反映y與龍之間函數關系的是（）

3.（2024.山東煙臺.中考真題）如圖，水平放置的矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,菱形￡7七〃的頂

點E,G在同一水平線上，點G與AB的中點重合，EF=2^cm,/E=60。，現將菱形EFG”以lcm/s的

速度沿2C方向勻速運動，當點E運動到上時停止，在這個運動過程中，菱形EFGH與矩形ABC。重疊

部分的面積Mem?）與運動時間f（s）之間的函數關系圖象大致是（）

二、填空題

7

4.（2024?廣西?中考真題）如圖，壯壯同學投擲實心球，出手（點P處）的高度OP是二m,出手后實心球

沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是5m,高度是4m.若實心球落地點為則加=m.

5.（2024.甘肅.中考真題）如圖1為一汽車停車棚，其棚頂的橫截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是

棚頂的豎直高度》（單位：m）與距離停車棚支柱AO的水平距離x（單位：m）近似滿足函數關系

丫=-0.02/+0%+1.6的圖如點3（6,2.68）在圖象上.若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作

長CD=4m,高Z）E=L8m的矩形，則可判定貨車完全停到車棚內（填“能”或“不能”）.

圖1

6.（2024.四川自貢.中考真題）九（1）班勞動實踐基地內有一塊面積足夠大的平整空地.地上兩段圍墻

ABLCE）于點。（如圖），其中上的EO段圍墻空缺.同學們測得AE=6.6m,0E=1.4m,OB=6m,OC=5

m,OD=3m.班長買來可切斷的圍欄16m,準備利用已有圍墻，圍出一塊封閉的矩形菜地，則該菜地最大

面積是______

三、解答題

7.（2024?陜西?中考真題）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋.橋梁的纜索右與纜索4均呈拋物線型,

橋塔AO與橋塔BC均垂直于橋面，如圖所示，以。為原點，以直線ET為x軸，以橋塔AO所在直線為y

軸，建立平面直角坐標系.

已知：纜索與所在拋物線與纜索4所在拋物線關于y軸對稱，橋塔AO與橋塔之間的距離OC=100m,

AO=BC=nm,纜索乙的最低點尸到EF'的距離PD=2m（橋塔的粗細忽略不計）

（1）求纜索右所在拋物線的函數表達式;

⑵點E在纜索4上，EFLFF',MEF=2.6m,FO<OD,求歹O的長.

8.（2024.湖北.中考真題）學校要建一個矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成.已知墻長42m,

籬笆長80m.設垂直于墻的邊A8長為x米，平行于墻的邊為〉米，圍成的矩形面積為Sen?.

AD

B

（1）求y與與x的關系式.

（2）圍成的矩形花圃面積能否為750cm2,若能，求出X的值.

（3）圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時x的值.

9.（2024?河南?中考真題）從地面豎直向上發射的物體離地面的高度/?（m）滿足關系式〃=-5?+引，其中心）

是物體運動的時間，%（m/s）是物體被發射時的速度.社團活動時，科學小組在實驗樓前從地面豎直向上發

射小球.

（1）小球被發射后s時離地面的高度最大（用含％的式子表示）.

（2）若小球離地面的最大高度為20m,求小球被發射時的速度.

（3）按（2）中的速度發射小球，小球離地面的高度有兩次與實驗樓的高度相同.小明說：“這兩次間隔的時

間為3s.”已知實驗樓高15m,請判斷他的說法是否正確，并說明理由.

10.（2024?湖北武漢?中考真題）16世紀中葉，我國發明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖.火

箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發火箭第二級，火箭第二級沿直線運

行.某科技小組運用信息技術模擬火箭運行過程.如圖，以發射點為原點，地平線為了軸，垂直于地面的直

線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線y="2+x和直線y=+其中，當火箭運行的水

平距離為9km時，自動引發火箭的第二級.

圖1圖2

（1）若火箭第二級的引發點的高度為3.6km.

①直接寫出a,b的值；

②火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低L35km,求這兩個位置之間的距離.

（2）直接寫出a滿足什么條件時，火箭落地點與發射點的水平距離超過15km.

11.（2024.四川內江?中考真題）端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗.市場上豬肉粽的進價比豆沙粽的進

價每盒多20元，某商家用5000元購進的豬肉粽盒數與3000元購進的豆沙粽盒數相同.在銷售中，該商家

發現豬肉粽每盒售價52元時，可售出180盒；每盒售價提高1元時，少售出10盒.

（1）求這兩種粽子的進價；

⑵設豬肉粽每盒售價x元（52WXW70）,＞表示該商家銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求》關于尤的函數表

達式并求出〉的最大值.

12.（2024?貴州?中考真題）某超市購入一批進價為10元/盒的糖果進行銷售，經市場調查發現：銷售單價不

低于進價時，日銷售量y（盒）與銷售單價x（元）是一次函數關系，下表是y與尤的幾組對應值.

銷售單價力元1214161820

銷售量y/盒5652484440

⑴求y與x的函數表達式；

（2）糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？

（3）若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價值為，”元的禮品，贈送禮品后，為確保該種糖果日

銷售獲得的最大利潤為392元，求機的值.

13.（2024?廣東?中考真題）廣東省全力實施“百縣千鎮萬村高質量發展工程”，2023年農產品進出口總額居

全國首位，其中荔枝鮮果遠銷歐美.某果商以每噸2萬元的價格收購早熟荔枝，銷往國外.若按每噸5萬

元出售，平均每天可售出100噸.市場調查反映：如果每噸降價1萬元，每天銷售量相應增加50噸.該果

商如何定價才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值.（題中“元”為人民幣）

14.（2024?四川遂寧?中考真題）某酒店有A3兩種客房、其中A種24間，8種20間.若全部入住，一天營

業額為7200元；若43兩種客房均有10間入住，一天營業額為3200元.

（1）求A3兩種客房每間定價分別是多少元？

（2）酒店對A種客房調研發現：如果客房不調價，房間可全部住滿；如果每個房間定價每增加10元，就會有

一個房間空閑；當A種客房每間定價為多少元時，A種客房一天的營業額W最大，最大營業額為多少元？

15.（2024?四川南充?中考真題）2024年“五一”假期期間，闔中古城景區某特產店銷售A,8兩類特產.A類

特產進價50元/件，B類特產進價60元/件.已知購買1件A類特產和1件2類特產需132元，購買3件A

類特產和5件B類特產需540元.

（1）求A類特產和8類特產每件的售價各是多少元？

（2）4類特產供貨充足，按原價銷售每天可售出60件.市場調查反映，若每降價1元，每天可多售出10件

（每件售價不低于進價）.設每件A類特產降價%元，每天的銷售量為y件，求y與x的函數關系式，并寫

出自變量尤的取值范圍.

（3）在（2）的條件下，由于8類特產供貨緊張，每天只能購進100件且能按原價售完.設該店每天銷售這兩

類特產的總利潤為w元，求w與尤的函數關系式，并求出每件A類特產降價多少元時總利潤w最大，最大

利潤是多少元？（利潤=售價一進價）

16.（2024?江蘇鹽城.中考真題）請根據以下素材，完成探究任務.

制定加工方案

生產背背景?某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風”“雅”“正”三種樣式.

景1?因工藝需要,每位工人每天可加工且只能加工“風”服裝2件，或“雅”服裝1件,或“正”

服裝1件.

?要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數和“風”服裝相等.

每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為：

①“風”服裝：24元/件;

背景

②“正”服裝：48元/件;

2

③“雅”服裝：當每天加工10件時，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每

件獲利將減少2元.

現安排無名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風”服裝，列表如下：

服裝種類加工人數（人）每人每天加工量（件）平均每件獲利（元）

信息整理風y224

雅X1

正148

任務

探尋變量關系求X、y之間的數量關系.

1

探究任任務

建立數學模型設該工廠每天的總利潤為w元，求w關于尤的函數表達式.

務2

任務

擬定加工方案制定使每天總利潤最大的加工方案.

3

17.（2024.山東煙臺.中考真題）每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美

好生活”，康寧公司新研發了一批便攜式輪椅計劃在該月銷售，根據市場調查，每輛輪椅盈利200元時，每

天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛.公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛

輪椅的利潤不低于180元，設每輛輪椅降價尤元，每天的銷售利潤為y元.

（1）求y與x的函數關系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？

（2）全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？

18.（2024?江西?中考真題）如圖，一小球從斜坡。點以一定的方向彈出球的飛行路線可以用二次函數

｝刻畫，小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高

(l)(l)m=,n=

②小球的落點是A,求點A的坐標.

（2）小球飛行高度y（米）與飛行時間f（秒）滿足關系丁=-5/+四.

①小球飛行的最大高度為米;

②求v的值.

19.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，ABC中，AC=BC,/ACB=90。，A（-2,0）,C（6,0）,反比例函

數）=￡（%/0,尤＞0）的圖象與48交于點。（〃?,4）,與交于點E.

（2）點P為反比例函數了=勺％力0,尤＞0）圖象上一動點（點尸在。，E之間運動，不與。，E重合），過點尸

作〃的，交y軸于點過點P作PN〃無軸，交BC于點N,連接MN,求一尸MN面積的最大值，并

求出此時點P的坐標.

20.（2024?青海?中考真題）在如圖所示的平面直角坐標系中，有一斜坡。4,從點。處拋出一個小球，落到

點A，,1］處.小球在空中所經過的路線是拋物線y=-『+法的一部分.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求拋物線最高點的坐標；

(3)斜坡上點8處有一棵樹，點B是Q4的三等分點，小球恰好越過樹的頂端C,求這棵樹的高度.

21.(2024.天津.中考真題)將一個平行四邊形紙片Q4BC放置在平面直角坐標系中，點0(0,0),點4(3,0),

點民C在第一象限，且OC=2,/AOC=60.

(1)填空：如圖①，點C的坐標為,點8的坐標為；

⑵若尸為x軸的正半軸上一動點，過點尸作直線/，左軸，沿直線/折疊該紙片，折疊后點。的對應點O'落

在x軸的正半軸上，點C的對應點為C'.設=J

①如圖②，若直線/與邊CB相交于點Q,當折疊后四邊形尸O'C'Q與＜Q43C重疊部分為五邊形時，O'C'與

A3相交于點E.試用含有t的式子表示線段8E的長，并直接寫出f的取值范圍；

211

②設折疊后重疊部分的面積為S,當(與(寧時，求S的取值范圍(直接寫出結果即可).

專題15二次函數的實際應用（21題）

一、單選題

1.（2024?天津?中考真題）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度〃（單位：ni）與小球的運動時間f（單

位：s）之間的關系式是/2=307-5『（0（心6）.有下列結論：

①小球從拋出到落地需要6s；

②小球運動中的高度可以是30m；

③小球運動2s時的高度小于運動5s時的高度.

其中，正確結論的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】本題考查二次函數的圖像和性質，令?=（）解方程即可判斷①；配方成頂點式即可判斷②；把f=2

和r=5代入計算即可判斷③.

【詳解】解：令?=（）,貝!1301-5產=0,解得：4=。，?2=6,

小球從拋出到落地需要6s,故①正確；

?=30T?=-5（尤-3）2+45,

最大高度為45m,

小球運動中的高度可以是30m,故②正確；

當t=2時，?=30x2-5x22=40;當t=5時，?=30x5-5x52=25;

；?小球運動2s時的高度大于運動5s時的高度，故③錯誤；

故選C.

2.（2024?黑龍江齊齊哈爾.中考真題）如圖，在等腰Rt^ABC中，ZBAC^90°,AB=12,動點E,F同時

從點A出發，分別沿射線AB和射線AC的方向勻速運動，且速度大小相同，當點E停止運動時，點廠也隨

之停止運動，連接E尸，以麻為邊向下做正方形EFGH,設點E運動的路程為x（O<x<12）,正方形EFGH

和等腰Rt^ABC重合部分的面積為下列圖像能反映y與龍之間函數關系的是（）

【答案】A

【分析】本題考查動態問題與函數圖象，能夠明確y與x分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數圖象之間

的關系，以及對應點是解題的關鍵，根據題意并結合選項分析當龍與3c重合時，及當xW4時圖象的走勢，

和當x>4時圖象的走勢即可得到答案.

【詳解】解：當總與重合時，設AE=x,由題可得：

EF=EH=y/2x，BE=12-x,

在RtAEHB中，由勾股定理可得：BE2=BH2+EH2>

??JC-4f

?,?當0<xW4時，>=（心『=2/，

V2>0,

???圖象為開口向上的拋物線的一部分，

當用在5c下方時，設=由題可得:

??EF=yflx，BE=12—x9

ZAEF=/B=45。,ZA=ZEOB=90°,

J.NFAE^NEOB,

.AEEO

xEO

y/2x12-x

2-x

y=（缶）=（42）x=-x2+

???當4<犬<12時,■及x,

-l<0,

...圖象為開口向下的拋物線的一部分，

綜上所述：A正確，

故選：A.

3.（2024.山東煙臺.中考真題）如圖，水平放置的矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,菱形跳t汨的頂

點、E,G在同一水平線上，點G與AB的中點重合，EF=26cm,ZE=60°,現將菱形EFGH以lcm/s的

速度沿BC方向勻速運動，當點E運動到8上時停止，在這個運動過程中，菱形EFGH與矩形ABCD重疊

部分的面積Men?）與運動時間《s）之間的函數關系圖象大致是（）

【答案】D

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，菱形的性質，動點問題的函數圖象，二次函數的圖象的性質，

先求得菱形的面積為6g,進而分三種情形討論，重合部分為三角形，重合部分為五邊形，重合部分為菱

形，分別求得面積與運動時間的函數關系式，結合選項，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，設EG,打交于點。，

B

■:菱形EFGH,NE=60。，

HG=GF

又?.?/E=60。，

HFG是等邊三角形,

VEF=2>/3cm,ZHEF=60°,

：.NOEF=30°

；?EG=2EO=2xEFcos30°=-J^EF=6

S菱彩EFGH=；EG.FH=；x6x26=6.

當時，重合部分為MNG,

如圖所示,

依題意，..MNG為等邊三角形，

運動時間為乙則NG=」一=2叵，

cos3003

/.5=-xATGx^Gxsin60°=—f—r>l=—r2

24（3^3

??S=S菱形EFGH_SEKJ

=6_*（6T）2=_**+4百一J2退+6

"：EG=6<BC

.?.當6<xW8時，S=6A/3

當8<XV11時，同理可得，S=6（/一8）2

綜上所述，當0VXV3時，函數圖象為開口向上的一段拋物線，當3<xW6時，函數圖象為開口向下的一段

拋物線，當6<xV8時，函數圖象為一條線段，當8<xVll時，函數圖象為開口向下的一段拋物線，當

11<XW14時，函數圖象為開口向上的一段拋物線;

故選：D.

二、填空題

7

4.（2024?廣西?中考真題）如圖，壯壯同學投擲實心球，出手（點P處）的高度。尸是：m,出手后實心球

沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是5m,高度是4m.若實心球落地點為M,則m.

【分析】本題考查的是二次函數的實際應用，設拋物線為y=a（x-5y+4,把點代入即可求出解

析式；當丫=0時，求得尤的值，即為實心球被推出的水平距離OM.

【詳解】解：以點。為坐標原點，射線方向為無軸正半軸，射線OP方向為y軸正半軸，建立平面直角

坐標系，

:出手后實心球沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是5m,高度是4m.

設拋物線解析式為：y=a（x-5）2+4,

把點（o,j代入得：25a+4=：,

9

解得:"一前

9

拋物線解析式為：了=-念（》-5）9一+4；

o7

當y=0時，----（x-5V+4=0,

100''

535

解得，X1=-j（舍去），x2=y,

35

即此次實心球被推出的水平距離為半m.

35

故答案為：y

5.（2024.甘肅.中考真題）如圖1為一汽車停車棚，其棚頂的橫截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是

棚頂的豎直高度y（單位：m）與距離停車棚支柱49的水平距離x（單位：m）近似滿足函數關系

>=-0。2/+0.3》+1.6的圖象，點3（6,2.68）在圖象上.若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作

長CD=4m,高DE=1.8m的矩形，則可判定貨車完全停到車棚內（填“能”或“不能”）.

圖1圖2

【答案】能

【分析】本題主要考查了二次函數的實際應用，根據題意求出當x=2時，y的值，若此時y的值大于L8,

則貨車能完全停到車棚內，反之，不能，據此求解即可.

【詳解】解：???8=4m,5(6,2.68),

6-4=2,

在y=-0.02Y+0.3x+1.6中，當x=2時，y=-0.02x22+0.3x2+1.6=2.12,

,/2.12>1.8,

可判定貨車能完全停到車棚內，

故答案為：能.

6.（2024?四川自貢.中考真題）九（1）班勞動實踐基地內有一塊面積足夠大的平整空地.地上兩段圍墻

ABLCD于點。（如圖），其中A3上的EO段圍墻空缺.同學們測得AE=6.6m,OE=1.4m,OB=6m,OC=5

m,OD=3m.班長買來可切斷的圍欄16m,準備利用已有圍墻，圍出一塊封閉的矩形菜地，則該菜地最大

面積是cm2.

c

【答案】46.4

【分析】本題考查了二次函數的應用.要利用圍墻和圍欄圍成一個面積最大的封閉的矩形菜地，那就必須

盡量使用原來的圍墻，觀察圖形，利用A0和0C才能使該矩形菜地面積最大，分情況，利用矩形的面積公

式列出二次函數，利用二次函數的性質求解即可.

【詳解】解：要使該矩形菜地面積最大，則要利用A0和0C構成矩形，

設矩形在射線上的一段長為由，矩形菜地面積為S,

當xV8時，如圖，

16-1.4+519.6-X

則在射線0c上的長為

2~2~

則5=尤^^=-；/+9.8X=-；(無一9.8)2+48.02,

.,.當x<9.8時，S隨x的增大而增大,

...當x=8時，S的最大值為46.4；

當x>8時，如圖,

則矩形菜園的總長為(16+6.6+5)=27.6m,

則在射線0c上的長77A為—?”r

則S=*?(13.8—X)=—尤2+13.8x=無一6.9)2+47.61,

-l<0,

...當x<6.9時，s隨X的增大而減少,

...當x>8時，S的值均小于46.4；

綜上，矩形菜地的最大面積是46.4cn?;

故答案為：46.4.

三、解答題

7.（2024?陜西?中考真題）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋.橋梁的纜索右與纜索4均呈拋物線型,

橋塔AO與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以。為原點，以直線F廣為x軸，以橋塔AO所在直線為y

軸，建立平面直角坐標系.

己知：纜索乙所在拋物線與纜索右所在拋物線關于y軸對稱，橋塔與橋塔之間的距離OC=l（X）m,

AO=3C=17m,纜索乙的最低點尸到FT的距離尸。=2m（橋塔的粗細忽略不計）

（1）求纜索i,所在拋物線的函數表達式；

⑵點E在纜索4上，EF±FF',且EF=2.6m,FO<OD,求FO的長.

37

【答案】⑴丁=旃（尤-50）+2；

（2）尸0的長為40m.

【分析】本題考查了二次函數的應用，待定系數法求二次函數解析式，根據題意求得函數解析式是解題的

關鍵.

（1）根據題意設纜索右所在拋物線的函數表達式為y=a（x-50），2,把（0,17）代入求解即可；

（2）根據軸對稱的性質得到纜索4所在拋物線的函數表達式為、=養（》+50）~+2,把

y=2.6代入求得玉=-40,n=-60,據此求解即可.

【詳解】（1）解:由題意得頂點尸的坐標為（50,2）,點兇的坐標為（0,17）,

設纜索Lt所在拋物線的函數表達式為y=。（*-50）2+2,

把(0,17)代入得17=“(0—50)2+2,

3

解得f

纜索i.所在拋物線的函數表達式為y=焉(尤-50)2+2；

(2)解：???纜索右所在拋物線與纜索4所在拋物線關于y軸對稱,

纜索L2所在拋物線的函數表達式為y=志(龍+50『+2,

EF=2.6,

3,

.?.把y=2.6代入得，2.6=而(尤+50丫+2,

解得再=—40,x2=-60,

FO=40m或FO=60m，

:FO<OD,

歹。的長為40m.

8.(2024.湖北.中考真題)學校要建一個矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成.已知墻長42m,

籬笆長80m.設垂直于墻的邊48長為x米，平行于墻的邊BC為y米，圍成的矩形面積為Sen?.

A

B

⑴求》與x，s與尤的關系式.

⑵圍成的矩形花圃面積能否為750cm2,若能，求出x的值.

(3)圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時x的值.

2

【答案】⑴y=80-2x(19Wx<40)；5=-2X+80X

(2)能,x-25

(3/的最大值為800,此時x=20

【分析】本題主要考查一元二次方程的應用和二次函數的實際應用：

(1)根據AB+3C+CD=80可求出y與x之間的關系，根據墻的長度可確定尤的范圍；根據面積公式可確

立二次函數關系式；

(2)令s=750,得一元二次方程，判斷此方程有解，再解方程即可；

(3)根據自變量的取值范圍和二次函數的性質確定函數的最大值即可.

【詳解】(1)解：：籬笆長80m,

，AB+BC+CD=80,

*.*AB=CD=x,BC=y,

x+y+x=80,

y=80-2x

???墻長42m,

/.0<80-2x<42,

解得，19<x<40,

y=80-2x(1940)；

又矩形面積s=AB

=yx

=(80-2x)x

=—2x2+80x；

(2)解：令s=750,貝!J—2d+80兄=750,

整理得：X2-40X+375=0,

止匕時，A=Z?2-4ac=(-40)2-4x375=1600-1500=100>0,

所以，一元二次方程x2-40x+375=0有兩個不相等的實數根,

；?圍成的矩形花圃面積能為750cm?

.-(-40)±A/100

..x=-------------------，

??X]=25,X?—15,

V19<%<40,

x=25；

(3)解：5=-2*2+80尤=-2(*-20)2+800

V-2<0,

有最大值，

X19<x<40,

...當x=20時，s取得最大值，此時$=800,

即當x=20時，5的最大值為800

9.(2024?河南?中考真題)從地面豎直向上發射的物體離地面的高度〃(m)滿足關系式h=-5〃+即，其中心)

是物體運動的時間，%(m/s)是物體被發射時的速度.社團活動時，科學小組在實驗樓前從地面豎直向上發

射小球.

(1)小球被發射后s時離地面的高度最大(用含%的式子表示).

(2)若小球離地面的最大高度為20m,求小球被發射時的速度.

(3)按(2)中的速度發射小球，小球離地面的高度有兩次與實驗樓的高度相同.小明說：“這兩次間隔的時

間為3s.”已知實驗樓高15m,請判斷他的說法是否正確，并說明理由.

【答案］⑴巳

(2)20(m/s)

(3)小明的說法不正確，理由見解析

【分析】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是：

(1)把函數解析式化成頂點式，然后利用二次函數的性質求解即可；

⑵把好木，九=20代入〃=一5r+3求解即可；

(3)由(2),得無=-5/+20人把力=15代入，求出f的值，即可作出判斷.

2

【詳解】(1)解：h--St+vot

...當r=,時，〃最大，

故答案為：啟；

(2)解：根據題意，得

當f=時，〃=20,

.,.-5x［九1+%x型=20,

UoJio

/.vo=2O(m/s)(負值舍去);

(3)解：小明的說法不正確.

理由如下：

由(2),得/?=-5/+20l,

當6=15時，15=-5f2+20r,

解方程，得4=1,才2=3,

，兩次間隔的時間為3-1=2s,

小明的說法不正確.

10.(2024?湖北武漢?中考真題)16世紀中葉，我國發明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖.火

箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發火箭第二級，火箭第二級沿直線運

行.某科技小組運用信息技術模擬火箭運行過程.如圖，以發射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的直

線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線y=a/+x和直線y=x+b.其中，當火箭運行的水

平距離為9km時，自動引發火箭的第二級.

圖1

(1)若火箭第二級的引發點的高度為3.6km.

①直接寫出a,b的值；

②火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低L35km,求這兩個位置之間的距離.

(2)直接寫出a滿足什么條件時，火箭落地點與發射點的水平距離超過15km.

【答案】⑴①。=-\，6=8.1；@8.4km

2

(2)-----va<0

27

【分析】本題考查了二次函數和一次函數的綜合應用，涉及待定系數法求解析式，二次函數的圖象和性質，

一次函數的圖象與性質等知識點，熟練掌握二次函數和一次函數的圖象與性質是解題的關鍵.

(1)①將(9,3.6)代入即可求解；②將一如+X變為y=即可確定頂點坐標，得出

y=2.4km,進而求得當y=2.4km時，對應的x的值，然后進行比較再計算即可；

2

(2)若火箭落地點與發射點的水平距離為15km,求得〃=-二，即可求解.

【詳解】（1）解：①???火箭第二級的引發點的高度為3.6km

拋物線y=Q/+%和直線丁=一;1+b均經過點（9,3.6）

?\3.6=81。+9,3.6=——x9+Z?

2

解得〃=一百，Z?=8.1.

②由①知，y———x+8.1,y=一記J+x

??大值y-—-km

4

當丁="-1.35=2.4km時,

4

貝!J---X2+X=2A

15

解得犬1=12,x2=3

又x=9時，y=3.6>2.4

?，.當y=2.4km時,

則一/+8.1=2.4

解得彳=11.4

11.4-3=8.4（km）

這兩個位置之間的距離8.4km.

（2）解：當水平距離超過15km時，

火箭第二級的引發點為（9,8卜+9）,

將（9,814+9）,（15,0）代入、=-白+6,得

81a+9=--x9+b,0=--xl5+b

22

2

解得6=7.5,a=—T-

II.（2024?四川內江?中考真題）端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗.市場上豬肉粽的進價比豆沙粽的進

價每盒多20元，某商家用5000元購進的豬肉粽盒數與3000元購進的豆沙粽盒數相同.在銷售中，該商家

發現豬肉粽每盒售價52元時，可售出180盒；每盒售價提高1元時，少售出10盒.

⑴求這兩種粽子的進價；

⑵設豬肉粽每盒售價X元(5270),y表示該商家銷售豬肉粽的利潤(單位：元)，求y關于龍的函數表

達式并求出y的最大值.

【答案】(1)豬肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元

(2)y=-10x2+1200^-35000j；=-10(%-60)2+1000,當x=60時，,取得最大值為1000元

【分析】本題考查列分式方程解應用題和二次函數求最值，解決本題的關鍵是正確尋找本題的等量關系及

二次函數配方求最值問題.

(1)設豆沙粽每盒的進價為“元，則豬肉粽每盒的進價為(〃+20)元.根據“用5000元購進的豬肉粽盒數與

3000元購進的豆沙粽盒數相同”即可列出方程，求解并檢驗即可；

(2)根據題意可列出y關于尤的函數解析式，再根據二次函數的性質即可解答.

【詳解】(1)解：設豆沙粽每盒的進價為“元，則豬肉粽每盒的進價為(〃+20)元

解得：〃=30

經檢驗：幾=30是原方程的解且符合題意

〃+20=50

答：豬肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元.

(2)解:設豬肉粽每盒售價尤元(52WxV70),y表示該商家銷售豬肉粽的利潤(單位：元)，貝。

>=(*-50)[180-10(元-52)]=-10/+1200%-35000=-10(》-60)2+1000

V52<x<70,-10<0,

...當x=60時，丁取得最大值為1000元.

12.(2024.貴州?中考真題)某超市購入一批進價為10元/盒的糖果進行銷售，經市場調查發現：銷售單價不

低于進價時，日銷售量y(盒)與銷售單價x(元)是一次函數關系，下表是y與尤的幾組對應值.

銷售單價力元1214161820

銷售量y/盒5652484440

(1)求y與x的函數表達式；

(2)糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？

(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價值為加元的禮品，贈送禮品后，為確保該種糖果日

銷售獲得的最大利潤為392元，求m的值.

【答案】(l)y=-2x+80

(2)糖果銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元

(3)2

【分析】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是:

(1)利用待定系數法求解即可;

(2)設日銷售利潤為w元，根據利潤=單件利潤x銷售量求出w關于x的函數表達式，然后利用二次函數的

性質求解即可;

(3)設日銷售利潤為w元，根據利潤=單件利潤x銷售量-mx銷售量求出卬關于x的函數表達式，然后利用

二次函數的性質求解即可.

【詳解】(1)解：設y與x的函數表達式為

12左+6=56

把x=12,y=56；%=20,y=40代入，得

20左+6=40’

解得[k二=8-20，

?R與x的函數表達式為y=-2尤+80；

(2)解：設日銷售利潤為w元，

根據題意，得w=(x-10)-y

=(x-10)(-2x+80)

=—2x2+100.x—800

=-2(X-25)2+450,

.?.當x=25時，w有最大值為450,

糖果銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元;

(3)解:設日銷售利潤為w元，

根據題意，得w=(x—10-m)

=(x-10-wi)(-2x+80)

=—2%2+(100+2m)x-800-80/71,

100+2m50+m(S0-i-mY(+

.?.當x=_2義(_2)=^~時'w有最大值為-2［美一)+(100+2m)Ij-800-80/?z

???糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，

...+(100+2m一800-80機=392,

化簡得m2-60m+116=0

解得叫=2,m2=58

b

當機=58時，%=——=54,

2a

則每盒的利潤為：54-10-58<0,舍去，

???加的值為2.

13.（2024?廣東?中考真題）廣東省全力實施“百縣千鎮萬村高質量發展工程”，2023年農產品進出口總額居

全國首位，其中荔枝鮮果遠銷歐美.某果商以每噸2萬元的價格收購早熟荔枝，銷往國外.若按每噸5萬

元出售，平均每天可售出100噸.市場調查反映：如果每噸降價1萬元，每天銷售量相應增加50噸.該果

商如何定價才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值.（題中“元”為人民幣）

【答案】當定價為4.5萬元每噸時，利潤最大，最大值為312.5萬元

【分析】本題主要考查了二次函數的實際應用，設每噸降價x萬元，每天的利潤為w萬元，根據利潤=每噸

的利潤x銷售量列出卬關于x的二次函數關系式，利用二次函數的性質求解即可.

【詳解】解：設每噸降價x萬元，每天的利潤為w萬元，

由題意得，w=（5-x-2）（100+50x）

=-50x2+50x+300

V-50<0,

.?.當尤=1■時，w有最大值，最大值為312.5,

5-x=4.5,

答：當定價為4.5萬元每噸時，利潤最大，最大值為312.5萬元.

14.（2024?四川遂寧?中考真題）某酒店有A3兩種客房、其中A種24間，5種20間.若全部入住，一天營

業額為7200元；若43兩種客房均有10間入住，一天營業額為3200元.

（1）求A3兩種客房每間定價分別是多少元？

（2）酒店對A種客房調研發現：如果客房不調價，房間可全部住滿；如果每個房間定價每增加10元，就會有

一個房間空閑；當A種客房每間定價為多少元時，A種客房一天的營業額W最大，最大營業額為多少元?

【答案】（1）A種客房每間定價為200元，8種客房每間定價為為120元；

⑵當A種客房每間定價為220元時，A種客房一天的營業額W最大，最大營業額為4840元.

【分析】（1）設A種客房每間定價為龍元，8種客房每間定價為為＞元，根據題意，列出方程組即可求解;

（2）設A種客房每間定價為。元，根據題意，列出W與。的二次函數解析式，根據二次函數的性質即可求

解；

本題考查了二元一次方程組的應用，二次函數的應用，根據題意，正確列出二元一次方程組和二次函數解

析式是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：設A種客房每間定價為x元，B種客房每間定價為為y元，

24%+20y=7200

由題意可得,

10.r+10y=3200

x=200

解得

y=120'

答：A種客房每間定價為200元，8種客房每間定價為為120元;

（2）解：設A種客房每間定價為。元,

11

.?ci—2009

則卯=[24———a=——4+44〃=——(a-220)+4840,

1010V7

<0,

10

...當a=220時，W取最大值，%大值=4840元,

答：當A種客房每間定價為220元時，A種客房一天的營業額W最大，最大營業額為4840元.

15.（2024?四川南充?中考真題）2024年“五一”假期期間，闔中古城景區某特產店銷售A,3兩類特產.A類

特產進價50元/件，8類特產進價60元/件.已知購買1件A類特產和1件B類特產需132元，購買3件A

類特產和5件B類特產需540元.

（1）求A類特產和B類特產每件的售價各是多少元？

（2）4類特產供貨充足，按原價銷售每天可售出60件.市場調查反映，若每降價1元，每天可多售出10件

（每件售價不低于進價）.設每件A類特產降價x元，每天的銷售量為y件，求y與尤的函數關系式，并寫

出自變量尤的取值范圍.

（3）在（2）的條件下，由于2類特產供貨緊張，每天只能購進100件且能按原價售完.設該店每天銷售這兩

類特產的總利潤為w元，求w與尤的函數關系式，并求出每件A類特產降價多少元時總利潤w最大，最大

利潤是多少元？（利潤=售價一進價）

【答案】(1)4類特產的售價為60元/件，8類特產的售價為72元/件

(2)y=10x+60(0<x<10)

(3)4類特產每件售價降價2元時，每天銷售利潤最犬，最大利潤為1840元

【分析】本題主要考查一元一次方程的應用、函數關系式和二次函數的性質，

⑴根據題意設每件A類特產的售價為尤元，則每件2類特產的售價為(132-x)元，進一步得到關于x的一

元一次方程求解即可；

(2)根據降價1元，每天可多售出10件列出函數關系式，結合進價與售價，且每件售價不低于進價得到x

得取值范圍；

(3)結合(2)中A類特產降價x元與每天的銷售量y件，得到A類特產的利潤，同時求得8類特產的利潤，

整理得到關于龍的二次函數，利用二次函數的性質求解即可.

【詳解】(1)解：設每件A類特產的售價為x元，則每件B類特產的售價為(132-x)元.

根據題意得3x+5(132-x)=540.

解得x=60.

則每件B類特產的售價132-60=72(元).

答：A類特產的售價為60元/件，B類特產的售價為72元/件.

(2)由題意得y=10x+60

：A類特產進價50元/件，售價為60元/件，且每件售價不低于進價

0<x<10.

答：y=10.r+60(0<x<10).

(3)w=(60-50-x)(10x+60)+100x(72-60)

=-1Ox2+40x+1800=-10(%-2)2+1840.

Q-10<0,

.?.當尤=2時，w有最大值1840.

答：A類特產每件售價降價2元時，每天銷售利潤最大，最大利潤為1840元.

16.(2024?江蘇鹽城?中考真題)請根據以下素材，完成探究任務.

制定加工方案

生產背背景?某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風”“雅”“正”三種樣式.

景1?因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風”服裝2件，或“雅”服裝1