2024年中考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編之二次函數(shù)(解答題一)

—.解答題(共22小題)

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a/+Zw+c(aWO)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)A(4,0).經(jīng)過點(diǎn)A

的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)2(1,3),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線上方時(shí)，過點(diǎn)P作PELx軸于點(diǎn)E,與直

線AB交于點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

①相為何值時(shí)線段尸。的長度最大，并求出最大值；

②是否存在點(diǎn)尸，使得△3尸。與△AOC相似.若存在，請求出點(diǎn)尸坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.已知四個(gè)不同的點(diǎn)A(xi,yi),B(X2,y2),C(X3,*),D(X4＞泗)都在關(guān)于尤的函數(shù)丫=癥+加計(jì)。

(a,b,c是常數(shù)，*0)的圖象上.

(1)當(dāng)A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(7,-4),(3,4)時(shí)，求代數(shù)式2024a+10126+,的值；

(2)當(dāng)A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足/+2(yi+y2)”+4yu2=0時(shí)，請你判斷此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)

數(shù)，并說明理由；

(3)當(dāng)a＞0時(shí)，該函數(shù)圖象與x軸交于E,尸兩點(diǎn)，且A,B,C,。四點(diǎn)的坐標(biāo)滿足：2/+2(-+”)

a+yl+yl=0,2a2-2(*+y4)a+yj+y1=0.請問是否存在實(shí)數(shù)(相＞1),使得AB,CD,m,EF這

三條線段組成一個(gè)三角形，且該三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為1：2：3?若存在，求出機(jī)的值和此時(shí)

函數(shù)的最小值；若不存在，請說明理由(注：機(jī)表示一條長度等于￡尸的加倍的線段).

3

3.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，有一斜坡04,從點(diǎn)。處拋出一個(gè)小球，落到點(diǎn)A(3,-)處.小球

在空中所經(jīng)過的路線是拋物線y=-?+bx的一部分.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求拋物線最高點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)斜坡上點(diǎn)B處有一棵樹，點(diǎn)8是OA的三等分點(diǎn)，小球恰好越過樹的頂端C,求這棵樹的高度.

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知拋物線/：y=-W+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-3,-1),與y軸交于點(diǎn)2(0,

2).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在直線AB上方拋物線上有一動點(diǎn)C,連接OC交AB于點(diǎn)D,求累的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)作拋物線尸關(guān)于直線y=-1上一點(diǎn)的對稱圖象F,拋物線F與〃只有一個(gè)公共點(diǎn)E(點(diǎn)E在

y軸右側(cè))，G為直線A3上一點(diǎn)，”為拋物線皮對稱軸上一點(diǎn)，若以B,E,G,”為頂點(diǎn)的四邊形是

平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo).

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=/+2x+c(c是常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)(-2,-2).點(diǎn)A、

B是該拋物線上不重合的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為機(jī)、-加，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-5m,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A

的縱坐標(biāo)相同，連結(jié)A3、AC.

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求證：當(dāng)機(jī)取不為零的任意實(shí)數(shù)時(shí)，tan/CAB的值始終為2；

(3)作AC的垂直平分線交直線于點(diǎn)。，以為邊、AC為對角線作菱形AOCE,連結(jié)。E.

①當(dāng)DE與此拋物線的對稱軸重合時(shí)，求菱形ADCE的面積；

②當(dāng)此拋物線在菱形AOCE內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時(shí)，直接寫出m的取值范圍.

6.如圖，拋物線G；y=a/+玄尤一4的圖象經(jīng)過點(diǎn)。(1,-1),與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)3.

(1)求拋物線Ci的表達(dá)式；

(2)將拋物線C1向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線C2,求拋物線C2的表達(dá)式，并

判斷點(diǎn)。是否在拋物線C2上；

(3)在x軸上方的拋物線C2上，是否存在點(diǎn)P,使是等腰直角三角形.若存在，請求出點(diǎn)產(chǎn)

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

備用圖

7.如圖，是某公園的一種水上娛樂項(xiàng)目.數(shù)學(xué)興趣小組對該項(xiàng)目中的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了深入研究.下面是

該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1,人從點(diǎn)4處沿水滑道下滑至點(diǎn)8處騰空飛出后落入水池.以地面

所在的水平線為x軸，過騰空點(diǎn)8與x軸垂直的直線為y軸，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.他

們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過的路徑都近似看作是拋物線的一部分.根據(jù)測量和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信

息，設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問題，請你解決.

7

(1)如圖1,點(diǎn)B與地面的距離為2米，水滑道最低點(diǎn)C與地面的距離為3米，點(diǎn)C到點(diǎn)2的水平距

離為3米，則水滑道所在拋物線的解析式為;

(2)如圖1,騰空點(diǎn)B與對面水池邊緣的水平距離0E=12米，人騰空后的落點(diǎn)。與水池邊緣的安全

距離DE不少于3米.若某人騰空后的路徑形成的拋物線BD恰好與拋物線ACB關(guān)于點(diǎn)B成中心對稱.

①請直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線BD的解析式；

②此人騰空飛出后的落點(diǎn)。是否在安全范圍內(nèi)？請說明理由(水面與地面之間的高度差忽略不計(jì))；

(3)為消除安全隱患，公園計(jì)劃對水滑道進(jìn)行加固.如圖2,水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水

滑道距地面4米的點(diǎn)M處豎直支撐的鋼架MN,另一條是點(diǎn)M與點(diǎn)B之間連接支撐的鋼架BM.現(xiàn)在

需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架,為了美觀,要求這條鋼架與平行,且與水滑道有唯一公共點(diǎn)，

一端固定在鋼架上，另一端固定在地面上.請你計(jì)算出這條鋼架的長度(結(jié)果保留根號).

8.如圖，二次函數(shù)y=#+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3),連接BC.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△2CP的面積最大時(shí)，BC邊上的高PN的值

9.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)尤+3的圖象與x軸交于A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖①，若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動點(diǎn)(不與點(diǎn)8,C重合)，過點(diǎn)尸作y軸的平行線交拋物線

于點(diǎn)。，當(dāng)線段PQ的長度最大時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖②，在(2)的條件下，過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)。，且NCQ￡)=2/OC0.在y軸上是

否存在點(diǎn)E,使得△BOE為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖①圖②備用圖

10.已知拋物線G：y=ax1-6ax-a3+2cz2+l(cz>0)過點(diǎn)A(xi,2)和點(diǎn)B(必2),直線/：y—rr^x+n

過點(diǎn)C(3,1),交線段AB于點(diǎn)。，記△CD4的周長為Ci,△CDB的周長為C2,且CI=C2+2.

(1)求拋物線G的對稱軸；

(2)求m的值；

(3)直線/繞點(diǎn)C以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)/秒后(0^/<45)得到直線,當(dāng)/'〃AB時(shí)，直

線/'交拋物線G于E,F兩點(diǎn).

①求/的值；

②設(shè)的面積為S,若對于任意的a>0,均有S'%成立，求k的最大值及此時(shí)拋物線G的解析式.

11.如圖，拋物線y=-/+6x+c與x軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其中8(1,0),C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在第二象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得AAPC的面積最大.若存在，請直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)

和aAPC的面積最大值；若不存在，請說明理由.

12.廣東省全力實(shí)施“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)量發(fā)展工程”，2023年農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)出口總額居全國首位，其中荔枝

鮮果遠(yuǎn)銷歐美.某果商以每噸2萬元的價(jià)格收購早熟荔枝，銷往國外，若按每噸5萬元出售，平均每天

可售出100噸.市場調(diào)查反映：如果每噸降價(jià)1萬元，每天銷售量相應(yīng)增加50噸.該果商如何定價(jià)才

能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值.（題中“元”為人民幣）

13.小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識，設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，其程序框圖如圖（1）所示，輸入尤的值

為-2時(shí)，輸出y的值為1；輸入尤的值為2時(shí)，輸出y的值為3；輸入尤的值為3時(shí)，輸出y的值為6.

（1）直接寫出k,a,b的值.

（2）小明在平面直角坐標(biāo)系中畫出了關(guān)于尤的函數(shù)圖象，如圖（2）.

I.當(dāng)y隨尤的增大而增大時(shí)，求尤的取值范圍.

II.若關(guān)于x的方程。/+法+3-f=0G為實(shí)數(shù)），在0<x<4時(shí)無解，求f的取值范圍.

III.若在函數(shù)圖象上有點(diǎn)尸，Q（P與。不重合）.尸的橫坐標(biāo)為相，Q的橫坐標(biāo)為-"計(jì)1.小明對尸,

。之間（含尸，。兩點(diǎn)）的圖象進(jìn)行研究，當(dāng)圖象對應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨機(jī)的變化而變化,

直接寫出機(jī)的取值范圍.

圖⑴圖⑵

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-2/+bx+c與x軸相交于A（1,0）,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)2左

側(cè))，頂點(diǎn)為M(2,d),連接AM.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

一1

(2)如圖1,若C是y軸正半軸上一點(diǎn)，連接AC,CM.當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-)時(shí)，求證：ZACM

=/BAM；

(3)如圖2,連接將沿x軸折疊，折疊后點(diǎn)M落在第四象限的點(diǎn)處，過點(diǎn)8的直線

與線段AM'相交于點(diǎn)。，與y軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)E.當(dāng),=?時(shí)，3s“B。與2s△“，BD是否相等？請

說明理由.

圖1圖2

15.為了測量拋物線的開口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直放置，并分別以水平放置的

直尺和豎直放置的直尺為x,y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，該數(shù)學(xué)小組選擇不同位置測量數(shù)據(jù)如

下表所示，設(shè)8。的讀數(shù)為x,CD讀數(shù)為y,拋物線的頂點(diǎn)為C.

(1)

(I)列表：

?②③④⑤⑥

X023456

y012.2546.259

(II)描點(diǎn)：請將表格中的(尤，y)描在圖2中；

(III)連線：請用平滑的曲線在圖2將上述點(diǎn)連接，并求出y與x的關(guān)系式；

(2)如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a2+4的頂點(diǎn)為仁該數(shù)學(xué)興趣小組用水

平和豎直直尺測量其水平跨度為A8,豎直跨度為CD且=CD=n,為了求出該拋物線的開口

大小，該數(shù)學(xué)興趣小組有如下兩種方案，請選擇其中一種方案，并完善過程：

方案一：將二次函數(shù)y=a(尤-〃)2+4平移，使得頂點(diǎn)C與原點(diǎn)。重合，此時(shí)拋物線解析式為＞=/.

①此時(shí)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為；

②將點(diǎn)次坐標(biāo)代入y=a/中，解得a=；(用含加w的式子表示)

方案二：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k).

①此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

②將點(diǎn)8坐標(biāo)代入y=a(x-/i)?+左中解得a=；(用含力，w的式子表示)

(3)【應(yīng)用】如圖4,已知平面直角坐標(biāo)系xOy中有A,8兩點(diǎn)，AB=4,且A3〃x軸，二次函數(shù)Ci：

yi=2(x+/z)2+左和C2：yi=a(x+刀)都經(jīng)過A,B兩點(diǎn)，且Ci和C2的頂點(diǎn)P,。距線段AB的距

離之和為10,若A8〃x軸且AB=4,求a的值.

圖1圖2

圖3圖4

16.已知二次函數(shù)y=/+6尤+c(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-2,5),對稱軸為直線x=-點(diǎn)

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)B(1,7)向上平移2個(gè)單位長度，向左平移機(jī)(m>0)個(gè)單位長度后，恰好落在>=/+公+。

的圖象上，求相的值；

9

(3)當(dāng)-2-W"時(shí)，二次函數(shù)y=/+6x+c的最大值與最小值的差為工，求”的取值范圍.

17.16世紀(jì)中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖.火箭第一級運(yùn)行路徑形

如拋物線，當(dāng)火箭運(yùn)行一定水平距離時(shí)，自動引發(fā)火箭第二級，火箭第二級沿直線運(yùn)行.

某科技小組運(yùn)用信息技術(shù)模擬火箭運(yùn)行過程.如圖，以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，地平線為x軸，垂直于地面的直

線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別得到拋物線y=o?+x和直線y=-%+從其中，當(dāng)火箭運(yùn)行的水

平距離為9加1時(shí)，自動引發(fā)火箭的第二級.

(1)若火箭第二級的引發(fā)點(diǎn)的高度為3.6而7,

①直接寫出a,b的值；

②火箭在運(yùn)行過程中，有兩個(gè)位置的高度比火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)低L35而z,求這兩個(gè)位置之間的距離.

(2)直接寫出。滿足什么條件時(shí)，火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離超過15h〃.

18.綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=%-2與無軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,過A,C兩點(diǎn)的拋

物線y=o?+6x+c(aWO)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)8(-1,0),點(diǎn)尸是拋物線位于第四象限圖象上的

動點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線AC于點(diǎn)E,點(diǎn)、F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)。是無軸上的任意一點(diǎn)，若△ACD是以AC為腰的等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)跖=AC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(4)在(3)的條件下，若點(diǎn)N是y軸上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為連

接NA,MP,則乂4+MP的最小值為.

備用圖

19.綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-7+bx+c與直線相交于A,8兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A(3,4),B

(0,1).

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；

(2)過點(diǎn)8作8c〃》軸交拋物線于點(diǎn)C.連接AC,在拋物線上是否存在點(diǎn)尸使tan/BCP=與an/AC8.若

存在，請求出滿足條件的所有點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(提示：依題意補(bǔ)全圖形，并解答)

(3)將該拋物線向左平移2個(gè)單位長度得到y(tǒng)i=m/+6ix+ci(aiWO),平移后的拋物線與原拋物線相

交于點(diǎn)。，點(diǎn)E為原拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，尸是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)3,D,E,尸為頂

點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(1)直接寫出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)；

(2)如圖(1),連接AC,BC,過第三象限的拋物線上的點(diǎn)尸作直線尸Q〃AC,交y軸于點(diǎn)。.若BC

平分線段尸Q，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖(2),點(diǎn)。與原點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)C對稱，過原點(diǎn)的直線環(huán)交拋物線于E,尸兩點(diǎn)(點(diǎn)E在x軸

下方)，線段。￡交拋物線于另一點(diǎn)G,連接PG.若/EGF=9Q°,求直線OE的解析式.

(2)

21.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+bx+3與無軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求6的值;

(2)如圖，M是第一象限拋物線上的點(diǎn)，ZMAB^ZACO,求點(diǎn)M的橫坐標(biāo);

(3)將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為LL與y軸交于點(diǎn)N,沒L的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為n,

NC的長為d.

①求d關(guān)于”的函數(shù)解析式;

②工與x軸圍成的區(qū)域記為U,。與△ABC內(nèi)部重合的區(qū)域(不含邊界)記為W,當(dāng)［隨〃的增大而增

大，且W內(nèi)恰好有兩個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，直接寫出w的取值范圍.

備用圖

22.課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)y=/+2or+q-3的最值問題展開探究.

【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法.

(1)老師給出a=-4,求二次函數(shù)yuf+Zor+a-3的最小值.

①請你寫出對應(yīng)的函數(shù)解析式；

②求當(dāng)尤取何值時(shí)，函數(shù)y有最小值，并寫出此時(shí)的y值；

【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對應(yīng)的函數(shù)在x取何值時(shí)，y的最小值.記錄結(jié)果,

并整理成如表：

a,,,-4-2024???

x,,?*20-2一4,??

y的最小值,,?*-9-3-5-15…

注：*為②的計(jì)算結(jié)果.

【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請同學(xué)們結(jié)合學(xué)過的函數(shù)知識，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)."

甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取尤=-a,就能得到y(tǒng)的最小值

乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨“值的變化而變化，當(dāng)。由小變大時(shí)，y的最小值先增大后減小，所以

我猜想y的最小值中存在最大值”

(2)請結(jié)合函數(shù)解析式y(tǒng)=f+2ax+a-3,解釋甲同學(xué)的說法是否合理？

(3)你認(rèn)為乙同學(xué)的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由.

2024年中考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編之二次函數(shù)(解答題一)

參考答案與試題解析

一.解答題(共22小題)

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)QW0)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)A(4,0).經(jīng)過點(diǎn)A

的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)8(1,3),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在直線A3上方時(shí)，過點(diǎn)P作PEL無軸于點(diǎn)E,與直

線AB交于點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為伍.

①加為何值時(shí)線段的長度最大，并求出最大值；

②是否存在點(diǎn)P,使得與△AOC相似.若存在，請求出點(diǎn)尸坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【專題】代數(shù)幾何綜合題；運(yùn)算能力.

【答案】⑴y=3+4無，(0,4)；⑵①當(dāng)機(jī)=?時(shí)，是最大值.②存在點(diǎn)P使△BPO與

相似，此時(shí)P的坐標(biāo)為(3,3)或(2,4),理由見解析.

【分析】(1)先求直線解析式，再求出點(diǎn)C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出解析式；

(2)將P、D坐標(biāo)用m表示出來，用P的縱坐標(biāo)減去D的縱坐標(biāo)即可得出PD的關(guān)系式，從而求最值；

(3)由NAOC=90°得到△AOC是直角三角形，要使△8尸。與△AOC相似，則△8尸。也是直角三角

形，分類討論，畫出草圖.利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：(1):拋二次函數(shù)經(jīng)過。(0,0),A(4,0),B(1,3),

0=c

工將三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得0=16a+4b+c,

3=a+b+c

解得：a=-1,b=4,c=0,

.?.二次函數(shù)的解析式為：y=-/+4x；

:直線經(jīng)過A、8兩點(diǎn)，設(shè)直線AB解析式為：y=kx+n,

...將A、8兩點(diǎn)代入得色二

解得：k=-1,"=4,

???直線A3解析式為：y=-%+4,

??,點(diǎn)。是直線與y軸交點(diǎn)，

二.令％=0,則y=4,

：.C(0,4).

(2)①,?,點(diǎn)尸在直線A5上方，

由題知P(m,-m2+4m),D(m,-m+4),

59

-X

22I+-

.\PD=yp-yD—~m+4m+m-4=-m+5m-4=-2X4

V-l<0

當(dāng)m=|時(shí)，PD=W是最大值.

斗

②存在，理由如下：

*.*/PDB=ZADE,ZADE=ZACO,

:?/BDP=/ACO,

VAAOC是直角三角形，

???要使△5PO與△AOC相似，只有保證△BP。是直角三角形就可以.

當(dāng)SAOC時(shí)，

(I)△3PD2\

VZAOC=90°,

：.ZBPD=90°,

此時(shí)3尸〃x軸，B、尸關(guān)于對稱軸對稱，

：.P(3,3)；

(II)當(dāng)時(shí)，

：.ZPBD=ZAOC=90°,

：.AB±PB,

VkAC=-L

?*kBP~~19

???直線BP的解析式為：y=x+2,

聯(lián)立方程組得〃=—I/M,

解得:

綜上，存在點(diǎn)尸使△BPO與△AOC相似，此時(shí)尸的坐標(biāo)為(3,3)或(2,4).

【點(diǎn)評】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定和性

質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

2.已知四個(gè)不同的點(diǎn)A(xi,yi),B(%2,*),C(%3,*),D(x4,y4)都在關(guān)于x的函數(shù)y=ax2+6x+c

(a,b,c是常數(shù)，aWO)的圖象上.

(1)當(dāng)A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,-4),(3,4)時(shí)，求代數(shù)式2024a+10126+&的值；

(2)當(dāng)A,5兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足〃2+2(yi+”)"+4yiy2=0時(shí)，請你判斷此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)

數(shù)，并說明理由；

(3)當(dāng)〃>0時(shí)，該函數(shù)圖象與％軸交于E,b兩點(diǎn)，且A,B,C,。四點(diǎn)的坐標(biāo)滿足：2/+2(口+?)

〃+比+另=0,2a2-2(*+/)〃+抬+資=0.請問是否存在實(shí)數(shù)(相>1),使得AB,CD,m?EF這

三條線段組成一個(gè)三角形，且該三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為1：2：3?若存在，求出優(yōu)的值和此時(shí)

函數(shù)的最小值；若不存在，請說明理由（注：加?跖表示一條長度等于跖的加倍的線段）.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

【專題】代數(shù)綜合題；運(yùn)算能力.

3

【答案】（1）2024-；（2）此函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)，理由見解析；（3）存在兩個(gè)根的值符合

題意；當(dāng)m=苧時(shí)，此時(shí)該函數(shù)的最小值為-苧，當(dāng)m=應(yīng)時(shí)，此時(shí)該函數(shù)的最小值為-2°.

【分析】（1）將A、2代入得到關(guān)于。、。的關(guān)系式，再整體代入求解即可；

（2）令。2+2（yi+y2）a+4yly2=0求解，再根據(jù)。的正負(fù)分類討論即可；

（3）由內(nèi)角之比可得出這是一個(gè)30°、60°的直角三角形，再將線段表示出來，利用特殊角的邊角關(guān)

系建立方程即可.

【解答】解：（1）將A（-l,-4）,B（3,4）代入y=ax2+bx+c得f-"+c=_4,0；

[9a+3b+c=4.②

②-①得8a+46=8,即2a+6=2.

333

2024a+1012b+尹1012（2。+力）+拼=202號.

（2）此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為兩個(gè).

方法1：由次+2（yi+y2）〃+4yiy2=0,

得（a+2yi）（。+2y2）=0,

.aa

??yi=~2f丫2=一矛

①當(dāng)。＞0時(shí)，-號V0，此拋物線開口向上，而A,8兩點(diǎn)之中至少有一個(gè)點(diǎn)在x軸的下方，

此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；

②當(dāng)。＜0時(shí)，一卷＞0，此拋物線開口向下，而A，8兩點(diǎn)之中至少有一個(gè)點(diǎn)在x軸的上方，

此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸也有兩個(gè)公共點(diǎn).

綜上所述，此函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn).

方法2：由/+2（尹+竺）a+4yly2=0,

得（〃+2yi）（。+2y2）=0,

,CLCL

??yi=~2fy2=~2f

拋物線上存在縱坐標(biāo)為—郛點(diǎn)，即一元二次方程a/+版+c=—多有解.

該方程根的判別式/=b2-4a(c+1)>0,即b1-4ac^2cr.

所以反-4ac>0.

原函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn).

方法3：由『+2(yi+y2)。+4yly2=0,

可得為=一飄為=一★

①當(dāng)y1=—3時(shí)，Waxl+bx1+c=-即a%]+加力+號=-c,

2222

'.A=b-4ac=b+4a(axf+bxr+今=2a+(2a%i+6)>0.

此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn).

②當(dāng)先=-時(shí)，同理可得△>()，此時(shí)該函數(shù)圖象與無軸也有兩個(gè)公共點(diǎn).

綜上所述，該函數(shù)圖象與X軸必有兩個(gè)公共點(diǎn).

(3)因?yàn)椤?gt;0,所以該函數(shù)圖象開口向上.

2a2+2(yt+y2)a+資+羽=0,

(a+yj2+(a+火)2=o,

.'.yi—y2—~a.

1-*2a2-2(乃+y4)a+川+資=0,

22

(a-y3)+(a-y4)=0,

??y3=泗=a,

直線A3,a)均與無軸平行.

由(2)可知該函數(shù)圖象與X軸必有兩個(gè)公共點(diǎn),

設(shè)E(尤5,0),F(尤6,0).

由圖象可知-a>,。；°,gp/,2-4ac>4a2,

a^+bx+c=-a的兩根為xi>xi,

b—4a(c+a)

/?AB=\xr—x2\=

可得CD=|%3-x4\=\.，

同理ax1-^bx+c=a的兩根為、X4,

—r/日ll..Jb2—4ac

同理Q%2+/?X+C=0的兩根為X5、X6,

nJ得zn-EF=m?\x5—x6\=m---向——,

由于相>1,結(jié)合圖象與計(jì)算可得AB<CD.

若存在實(shí)數(shù)機(jī)(機(jī)>1)，使得AB，CD,機(jī)這三條線段組成一個(gè)三角形，且該三角形的三個(gè)內(nèi)角的

大小之比為1：2：3,則此三角形必定為兩銳角分別為30。、60。的直角三角形，

線段不可能是該直角三角形的斜邊.

①當(dāng)以線段CD為斜邊，且兩銳角分別為30°,60。時(shí)，

；m-EF>AB,

...必須同時(shí)滿足：AB2+2=CD2,m-EF=43AB.

將上述各式代入化簡可得爪2=粵L〈譬=2,且血2=3(后丁-4吟,

D—4ac4a4ac

聯(lián)立解之得爐一4ac=m2=-=f<2,

3b’-4cle5

解得小=等>1,符合要求.

220a2

?'?m=胃!此時(shí)該函數(shù)的最小值為4"b=----J.

b4a4a3

2

②當(dāng)以線段加?■為斜邊時(shí)，必有4爐+82=(m?EF),

同理代入化簡可得2(廿-4〃c)=m2(b2-4ac),

解得租=V2,

???以線段四EF為斜邊，且有一個(gè)內(nèi)角為60°,而CZ)>A5,

CD=AB9tan60°,即/爐—4a(c—a)=V3-Jb2—4a(c+a),

化簡得b2-4〃C=8〃2>4〃2符合要求.

4ac—Z?2—8Q2

Am=V2,此時(shí)該函數(shù)的最小值為-------=-----=-2a.

4a4a

綜上所述，存在兩個(gè)機(jī)的值符合題意；當(dāng)加=繆時(shí)，此時(shí)該函數(shù)的最小值為-等，當(dāng)巾=魚時(shí)，此

時(shí)該函數(shù)的最小值為-2a.

【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)問題、

直角三角形存在性問題等，熟練掌握相關(guān)知識和分類討論是解題關(guān)鍵.

,一一，3

3.在如圖所不的平面直角坐標(biāo)系中，有一斜坡。A,從點(diǎn)。處拋出一個(gè)小球，落到點(diǎn)A(3,-)處.小球

在空中所經(jīng)過的路線是拋物線y=-?+bx的一部分.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求拋物線最高點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)斜坡上點(diǎn)B處有一棵樹，點(diǎn)8是OA的三等分點(diǎn)，小球恰好越過樹的頂端C,求這棵樹的高度.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識.

【答案】(1)y——x2+^%；(2)答)；(3)2.

【分析】(1)依據(jù)題意，由點(diǎn)4(3,1)是拋物線＞=-/+"上的一點(diǎn)，從而可得一32+3b=會求

出匕后即可得解；(2)依據(jù)題意，由拋物線為y=—/+：%=—(%—32+需，進(jìn)而可以得解；

(3)依據(jù)題意，過點(diǎn)A、8分別作％軸的垂線，垂足分別是點(diǎn)E、D,又/BOD=/AOE,/BDO=/

ODBDOBOB1a

AEO,進(jìn)而故二7二:=又點(diǎn)B是。4的三等分點(diǎn)，則二二二，貝！)/(3,f),

OEAEOAOA3?

QBDOB1i一

從而AE=5，OE=3,故~^=—=最后求出。。=5x3=1,可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1,再將x=l

2AEOA33

代入y=_12+gx中,可得y=-l2+4xl=|,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(L|),故CD=5,從而CB=CD-

乙乙乙乙乙

BD=|-1=2,即可得解.

【解答】解：⑴由題意，：點(diǎn)力(3,|)是拋物線產(chǎn)-g+bx上的一點(diǎn)，

.\-32+36=|.

—9+3b=才

b=%.

拋物線的解析式為y=-x2+^x.

(2)由題意，?拋物線為y=-/=-。一；)？+喘，

???拋物線最高點(diǎn)的坐標(biāo)為弓，材

(3)由題意，過點(diǎn)A、8分別作x軸的垂線，垂足分別是點(diǎn)E、D,

又/BOD=/AOE,ZBDO^ZAEO,

:.MOBDsXOAE.

.ODBDOB

OE~AE~OA

又???點(diǎn)8是。4的三等分點(diǎn),

.OB_1

3

=|,0E=3.

BDOB1

——■—

,AE~OA~3,

：.BD=^AE.

：.BD=iX

：.BD=

ODOB1

?-...-—

…OE—OA~3-

：.0D=10E.

：.0D=：x3=1

???點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為1.

-7

將冗=］代入y=-x2中,

：.y=-I2+：x1=方

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（L|）.

：.CD=|.

：.CB=CD-BD=^-^=2.

答：這棵樹的高度是2.

【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線足y=-/+6x+c經(jīng)過點(diǎn)A(-3,-1),與y軸交于點(diǎn)8(0,

2).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

CD

(2)在直線AB上方拋物線上有一動點(diǎn)C,連接OC交AB于點(diǎn)D,求而的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)作拋物線尸關(guān)于直線y=-1上一點(diǎn)的對稱圖象/，拋物線尸與戶只有一個(gè)公共點(diǎn)E(點(diǎn)E在

y軸右側(cè))，G為直線AB上一點(diǎn)，X為拋物線尸'對稱軸上一點(diǎn)，若以2,E,G,X為頂點(diǎn)的四邊形是

平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo).

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】⑴尸-?-2x+2；

CD9o

(2)—的最大值為三，此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-〒一)；

0D824

(3)G點(diǎn)坐標(biāo)(-2,0)或(4,6)或(2,4).

【分析】(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

CDCMCM

(2)過點(diǎn)。作x軸的垂線交A3于點(diǎn)〃，則CM〃丁軸，可知△CDMS\OQB,由此得到一=—=—,

ZOD0B2

OQQ(J[)

設(shè)CG,-P-2t+2),則MG,汁2),所以CM=-G+之)當(dāng)仁一知寸，皿有最大值，此時(shí)——的

2420D

9c?11

最大值為三，此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-%—);

824

(3)由中心對稱可知，拋物線廠與〃的公共點(diǎn)E為直線y=-1與拋物線廠的右交點(diǎn)，求出后(1,

-1),拋物線尸的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-5),設(shè)G(M,m+2),當(dāng)8E為平行四邊形的對角線時(shí)，G(-2,

0)；當(dāng)3G為平行四邊形對角線時(shí)，G(4,6)；當(dāng)5〃為平行四邊形的對角線時(shí)，G(2,4).

=

【解答】解：(1)將A(-3,-1),B(0,2)代入y~J?+bx+cf

得：｛-9,3b+c=-1,

9=2

解得：

1c=2

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為＞=-2x+2；

(2)如圖1,過點(diǎn)C作x軸的垂線交于點(diǎn)貝i]CM〃y軸,

:.叢CDMsXODB,

.CDCMCM

"OD~OB~2

設(shè)AB的解析式為y=mx+n,

把A(-3,-1),2(0,2)代入解析式得「3叱?建=-1,

=2

解得：｛m=L

l/n=2

?,?直線AB的解析式為y=x+2,

設(shè)C（/,-金-2什2）,則什2）,

329

===-+-

CM-於-2/+2-t-2-F-3t-24

:-3<Z<0,

QrnQ

???當(dāng)U-怖時(shí)，CM有最大值，此時(shí)上的最大值為f

20D8

Q11

此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(一4一)；

z4

(3)由中心對稱可知，拋物線廠與歹'的公共點(diǎn)E為直線y=-1與拋物線產(chǎn)的右交點(diǎn),

當(dāng)/-Zx+Zul時(shí)，解得x=-3(舍)或尤=1,

：.E(1,-1),

:拋物線F：y=-x2-2x+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,3),

...拋物線產(chǎn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-5),

設(shè)G(?7,〃?+2),

當(dāng)8E為平行四邊形的對角線時(shí)，無+3=1,解得x=-2,

：.G(-2,0)；

當(dāng)3G為平行四邊形對角線時(shí)，x=3+l=4,

：.G(4,6)；

當(dāng)8”為平行四邊形的對角線時(shí)，x+l=3時(shí)，解得x=2,

：.G(2,4)；

綜上所述：G點(diǎn)坐標(biāo)(-2,0)或(4,6)或(2,4).

%

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形相

似的判定及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=f+2x+c（c是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（-2,-2）.點(diǎn)4

B是該拋物線上不重合的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為機(jī)、-優(yōu)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-5加，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A

的縱坐標(biāo)相同，連結(jié)AB、AC.

（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

（2）求證：當(dāng)機(jī)取不為零的任意實(shí)數(shù)時(shí)，tan/CAB的值始終為2；

（3）作AC的垂直平分線交直線于點(diǎn)。，以為邊、AC為對角線作菱形AOCE,連結(jié)DE.

①當(dāng)與此拋物線的對稱軸重合時(shí)，求菱形AOCE的面積;

②當(dāng)此拋物線在菱形ADCE內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時(shí)，直接寫出m的取值范圍.

I--------1r1----------r

II??

I_____ILL

I-------1I--------1I--------1nI-------1

I____II____II____I

「一1F-F-11F~

I_____*L一」I_____IL-J

->

0X

I_____II_____II_____IJI_____I

(_L

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

【專題】壓軸題；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】（1）y=7+2x-2；（2）證明過程見解析；（3）①9,②-3或-lWm<0或0<mW4—Vl?.

【分析】（1）將點(diǎn)（-2,-2）代入即可求解;

（2）分類討論，作①于點(diǎn)X,再利用坐標(biāo)表示線段的長度，從而表示出tan/CAB的值，進(jìn)而

求證即可;

(3)①由題可求出機(jī)=會從而得到各點(diǎn)坐標(biāo)，再求AC和。E,然后求出面積;

②借助函數(shù)圖象分析，代入特殊點(diǎn)即可求解，關(guān)鍵要分類討論.

【解答】(1)解：將點(diǎn)(-2,-2)代入拋物線解析式得：4-4+c=