專題19等腰三角形與直角三角形（28題）

一、單選題

1.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，在中，ZA=90°,AB=AC=6,。為邊的中點，點E,F

分別在邊A3,AC上，AE=CF,則四邊形AED尸的面積為（）

A.18B.9A/2C.9D.672

2.(2024?青海?中考真題)如圖，在Rt^ABC中，。是AC的中點，ZSDC=60°,AC=6,則BC的長是

()

A.3B.6C.73D.373

3.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，將AABC繞點A順時針旋轉90。得到VADE,點8,C的對應點分別為

點，E,連接CE,點。恰好落在線段CE上，若CD=3,BC=1,則AD的長為（）

4.（2024.內蒙古包頭.中考真題）如圖，在扇形A08中，ZAOS=80°,半徑Q4=3,C是抽上一點，連接

OC,。是OC上一點，且OD=OC,連接BO.若3DL0C,則AC的長為（）

,兀e兀c兀c

A.-B.-C.-D.兀

632

5.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）小明同學手中有一張矩形紙片ABC。，AD=12cm,CD=10cm,他進

行了如下操作：

第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使AD與3C重合，得到折痕MN,將紙片展平.

第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△ADN沿AN折疊得到AD交折痕于點E,則線段EN

的長為（）

24248

6.（2024?福建?中考真題）小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案.如圖，其中AOLB與

△0DC都是等腰三角形，且它們關于直線/對稱，點E,尸分別是底邊AB,CD的中點，OE1OF.下列

推斷錯誤的是（）

A.OBLODB.NB0C=ZA0B

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

7.（2024?內蒙古赤峰?中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程/-10*+21=0的兩個根，則這個三角形的

周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

8.（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，在”WC中，ZC=90°,ZB=30°,以點A為圓心，適當長為半

徑畫弧分別交AB,AC于點”和點N,再分別以點M,N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點尸,

連接AP并延長交BC于點￡>.若AACD的面積為8,則△ARD的面積是（）

9.（2024?安徽?中考真題）如圖，在Rt^ABC中，AC=3C=2,點。在的延長線上，且CD=AB,貝U

的長是（）

A.V10-V2B.底-立C.272-2D.2?-卡

10.（2024?四川自貢?中考真題）如圖，等邊AABC鋼架的立柱CDLAB于點。，AB長12m.現將鋼架立柱

縮短成DE,ZB￡D=60°.則新鋼架減少用鋼（）

A.（24-12V3）mB.僅4-86）mC.（24-6石）mD.（24-46）m

11.（2024.天津?中考真題）如圖，“1SC中，NB=30。，將“BC繞點C順時針旋轉60。得到ADEC,點A,B

的對應點分別為D,E,延長血交。E于點下，下列結論一定正確的是（）

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

C.AB=EFD.BF±CE

二、填空題

12.（2024?浙江?中考真題）如圖，D,E分別是AABC邊AB,AC的中點，連接BE,DE.若

ZAED=ZBEC,DE=2,則BE的長為

13.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在平面直角坐標系宜刀中，已知A（3,0）,B（0,2）,過點8作>軸的

垂線/,P為直線/上一動點，連接尸O,PA,則PO+PA的最小值為.

14.（2024?天津?中考真題）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A,F,G均在格點上.

（2）點E在水平網格線上，過點A,E,尸作圓，經過圓與水平網格線的交點作切線，分別與AE,?的

延長線相交于點3,C,AABC中，點M在邊3C上，點N在邊上，點尸在邊AC上.請用不刻廖的直

尺，在如圖所示的網格中，畫出點N,P,使△MVP的周長最短，并簡要說明點N,P的位置

是如何找到的（不要求證明）.

15.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，等腰AABC中，AB=AC=2,ABAC=120°,將AABC沿其底邊中

線AD向下平移，使A的對應點A滿足44'=：AD,則平移前后兩三角形重疊部分的面積是.

16.（2024.黑龍江牡丹江.中考真題）矩形ABCD的面積是90,對角線AG如交于點。，點E是BC邊的

三等分點，連接OE,點P是DE的中點，OP=3,連接CP,則PC+PE的值為.

17.（2024?山東?中考真題）如圖，已知上M4N,以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別與40、AN相

交于點C；分別以C為圓心，以大于18C的長為半徑作弧，兩弧在NWN內部相交于點尸，作射

線AP.分別以A,3為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點D,E,作直線OE分別與48,

2

AP相交于點F，Q.若AB=4,NPQE=&75°,則下到4V的距離為.

18.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）已知矩形紙片ABCD,AB=5,BC=4,點尸在邊BC上，連接"，

將AABP沿AP所在的直線折疊，點8的對應點為夕，把紙片展平，連接班'，CB',當VBCB'為直角三角

形時，線段CP的長為.

19.（2024?四川內江?中考真題）如圖，在AABC中，ZABC=60°,BC=8,E是BC邊上一點,且BE=2,

點/是AABC的內心，3/的延長線交AC于點￡>,尸是上一動點，連接PE、PC,則PE+PC的最小值

為.

20.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，在中，AB=5,tanNC=2,則AC+好5C的最大值為

5

C

AB

三、解答題

21.（2024?陜西?中考真題）如圖，已知直線/和/外一點A,請用尺規作圖法，求作一個等腰直角,

使得頂點8和頂點C都在直線/上.（作出符合題意的一個等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不寫作法）

A

22.（2024.黑龍江牡丹江?中考真題）數學老師在課堂上給出了一個問題，讓同學們探究.在Rt^ABC中,

ZAC8=90°,ZBAC=30°，點D在直線BC上，將線段AD繞點A順時針旋轉60°得到線段AE,過點E作

EF//BC,交直線于點尺

（1）當點。在線段上時，如圖①，求證：BD+EF=AB;

分析問題：某同學在思考這道題時，想利用AD=AE構造全等三角形，便嘗試著在A3上截取=￡F,

連接。通過證明兩個三角形全等，最終證出結論:

推理證明：寫出圖①的證明過程:

探究問題:

（2）當點。在線段8C的延長線上時，如圖②：當點。在線段CB的延長線上時，如圖③，請判斷并直接

寫出線段EF,4B之間的數量關系;

拓展思考:

(3)在(1)(2)的條件下，若AC=6jLCD=2BD,貝i」EF=

23.（2024?江西?中考真題）追本溯源：

題（1）來自于課本中的習題，請你完成解答，提煉方法并完成題（2）.

AAED

圖2

8D平分/ABC,交AC于點。，過點。作3C的平行線，交于點E,請判

斷△瓦汨的形狀，并說明理由.

方法應用:

（2）如圖2,在YABCD中，BE平分/ABC,交邊A。于點E,過點A作小_LBE交0c的延長線于點尸,

交3C于點G.

①圖中一定是等腰三角形的有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

②已知AB=3,BC=5,求CV的長.

24.（2024?山東威海?中考真題）感悟

如圖1,在AABE中，點C,D在邊BE上,AB=AE,BC=DE.求證：ZBAC^ZEAD.

（1）如圖2,用直尺和圓規在直線2C上取點。，點E（點。在點E的左側），使得ZEAD=NBAC,且DE=3C

（不寫作法，保留作圖痕跡）;

圖2

（2）如圖3,用直尺和圓規在直線AC上取一點。，在直線BC上取一點E,使得NCDE=NR4C,且=M

（不寫作法，保留作圖痕跡）.

A

BC

25.(2024.黑龍江大興安嶺地?中考真題)已知AABC是等腰三角形，AB=AC,ZMAN=-ZBAC,/MAN

2

在NBAC的內部，點M、N在BC上，點M在點N的左側，探究線段NC、之間的數量關系.

M-CB

(1)如圖①，當/BAC=90。時，探究如下：

由ABAC=90°,AB^AC可知，將AACW繞點A順時針旋轉90°,得到^ABP，則。V="且ZPBM=90°,

連接PM,易證△AMP四△AAW,可得"P=M7V,在RtZXPBN中，BM2+BP2=MP2^則有

BM2+NC2^MN2.

(2)當Zfi4c=60。時，如圖②：當NBAC=120。時，如圖③，分別寫出線段9公NC、之間的數量關

系，并選擇圖②或圖③進行證明.

26.(2024?北京?中考真題)已知NM4N=a((F<a<45。)，點8,C分別在射線AN,AM1.,將線段2C繞

點8順時針旋轉180。-2。得到線段8￡>,過點￡>作AN的垂線交射線AM于點E.

BDNAB

圖1圖2

⑴如圖1,當點。在射線AN上時，求證：C是AE的中點；

(2)如圖2,當點。在/M4N內部時，悍DF〃AN,交射線AW于點尸，用等式表示線段E/與AC的數量

關系，并證明。

27.（2024?湖北武漢?中考真題）如圖是由小正方形組成的3x4網格，每個小正方形的頂點叫做格點.AABC

三個頂點都是格點.僅用無刻度的直尺在給定網格中完成四個畫圖任務，每個任務的畫線不得超過三條.

⑴在圖（1）中，畫射線AD交3C于點。，使AD平分AABC的面積；

⑵在（1）的基礎上，在射線AD上畫點E,使NECB=ZACB；

（3）在圖（2）中，先畫點F,使點A繞點/順時針旋轉90。到點C,再畫射線"交3c于點G；

⑷在（3）的基礎上，將線段繞點G旋轉180。，畫對應線段（點A與點M對應，點B與點N對應）.

28.（2024?吉林?中考真題）如圖，在AABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=3cm,AO是"IBC的角平分

線.動點P從點A出發，以gem/s的速度沿折線AD-向終點8運動.過點尸作尸。〃48,交AC于點

Q,以PQ為邊作等邊三角形尸QE,且點C,E在PQ同側，設點尸的運動時間為*s）?>0）,YPQE與必BC

重合部分圖形的面積為Men?）.

（1）當點尸在線段AO上運動時，判斷△AP。的形狀（不必證明），并直接寫出AQ的長（用含f的代數式表

示）.

⑵當點E與點C重合時，求f的值.

（3）求S關于r的函數解析式，并寫出自變量f的取值范圍.

專題19等腰三角形與直角三角形（28題）

一、單選題

1.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，在中，ZA=90°,AB=AC=6,。為邊的中點，點E,F

分別在邊A3,AC上，AE=CF,則四邊形AED尸的面積為（）

A.18B.9A/2C.9D.672

【答案】C

【分析】本題考查等腰直角三角形的性質以及三角形全等的性質與判定，掌握相關的線段與角度的轉化是

解題關鍵.連接AD,根據等腰直角三角形的性質以及AE=CF得出V4組出VCD廣，將四邊形萬的面

積轉化為三角形ADC的面積再進行求解.

【詳解】解：連接AD,如圖:

VABAC=90°,AB=AC=6,點。是3C中點，AE=CF

：.ZBAD=ZB=ZC=45°,AD=BD=DC

：.7ADE卻CDF,

,,S四邊形的加==^AADC=]

又

S△/AlFojcC=6x6x—2=18

,,S四邊形AEZM=2SLABC=9

故選：C

2.（2024.青海?中考真題）如圖，在中，。是AC的中點，ZBDC=60°,AC=6,則5c的長是

）

A.3B.6C.V3D.3A/3

【答案】A

【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等邊三角形的判定和性質.根據直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半結合等邊三角形的判定得到△即C等邊三角形，據此求解即可.

【詳解】解：,??在Rt^ABC中，ZABC=90°,。是AC的中點,

BD=-AC=CD,

2

ZBDC=60°,

ABDC等邊三角形,

/.BC=CD=-AC=-x6=3.

22

故選：A.

3.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，將AABC繞點A順時針旋轉90。得到VADE,點8,C的對應點分別為

點、D,E,連接CE,點。恰好落在線段CE上，若CD=3,BC=1,則4）的長為（）

B.而C.2D.20

【答案】A

【分析】此題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，由旋轉得AC=AE,ZCAE=90°,

DE=BC=1,推出"CE是等腰直角三角形，CE=4,過點A作AHLCE于點”，得到EE>=1,利用勾股

定理求出AD的長.

【詳解】解：由旋轉得△ABC/ZC4E=90°,

AC=AE,NC4E=90°,DE=BC=1,

..."小是等腰直角三角形,CE=CD+DE=3+1=4,

過點A作于點H,

E

D

BA

???AH=-CE=CH=HE=2,

2

HD=HE-DE=2-1=1,

?，?AD7AH?血=五+,=5

故選：A.

4.（2024.內蒙古包頭.中考真題）如圖，在扇形中，NAO3=80。，半徑。4=3,C是A8上一點，連接

OC,D是OC上一點，S.OD=DC,連接20.若3OJ_OC,則AC的長為（）

7D.兀

【答案】B

【分析】本題考查了弧長公式，等邊三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質；連接3C,根據OD=DC,

BD1OC,易證△03C是等腰三角形，再根據O3=OC,推出△08C是等邊三角形，得到N30c=60。,

即可求出/AOC=20。，再根據弧長公式計算即可.

【詳解】解：連接BC,

OD=DC,BD1OC,

OB=BC,

△O3C是等腰三角形,

OB=OC,

OB=OC=BC,

△OBC是等邊三角形,

ZBOC=60°,

..ZAOB=80°,

，ZAOC=ZAOB-ZBOC=20°,

Q4=3,

20x37171

AC=--------=—

1803

故選：B.

5.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）小明同學手中有一張矩形紙片ABC。，AD=12cm,CD=10cm,他進

行了如下操作:

第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使AD與3C重合，得到折痕MN,將紙片展平.

第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△AZJN沿AN折疊得到AD交折痕于點E,則線段EN

的長為（）

圖①

16955

A.8cmB.——cmC.——cmD.——cm

24248

【答案】B

【分析】本題考查了矩形與折疊問題,熟練掌握矩形的性質，折疊的性質，勾股定理是解題的關鍵.

根據矩形的性質和折疊的性質推出N/WM=ND/N,進而得出￡A=4V,設石4=4V=xcm,則

EM=(12-x)cm,根據勾股定理可得：AM2+ME2=AE2,列出方程求解即可.

【詳解】解：：四邊形ABC。是矩形，

AB=CD=10cm,

由折疊可得：AM=-AB=5cm,AD=ADr=12cmMN1AB,ZDAN=ZDrAN,

29

???四邊形AMV。是矩形，

.\MN\\AD,MN=AD=12cm,

：.ZDAN=ZANM,

：.ZANM=AD'AN,

:?EA=EN,

^EA=EN=xcm,則￡M=(12-x)cm,

在RtZXAME中，根據勾股定理可得：AM2+ME2=AE2>

即52+（12-X）2=X2,

解得：x=警，

24

口口

即EfNr=-1-6-9-cm,

24

故選：B.

6.（2024?福建?中考真題）小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案.如圖，其中AOLB與

△0DC都是等腰三角形，且它們關于直線/對稱，點E,尸分別是底邊AB,8的中點，OEVOF.下列

推斷錯誤的是（）

A.OBYODB.NB0C=ZA0B

C.OE=OFD.ZB<9C+ZAOD=180°

【答案】B

【分析】本題考查了對稱的性質，等腰三角形的性質等；

A.由對稱的性質得NAO3=〃OC,由等腰三角形的性質得/BOE=g/AOB,ZDOF=^-ZDOC,即可

判斷；

B./3OC不一定等于NAO3,即可判斷；

C.由對稱的性質得QNB9QDC、由全等三角形的性質即可判斷；

D.過。作GWJ_O",可得ZGOD=ZBOH,由對稱性質得=同理可證=,

即可判斷；

掌握軸對稱的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：A.vOELOF,

:.ZBOE+ZBOF=90°,

由對稱得ZAOB=ZDOC,

???點E,尸分別是底邊AB,。的中點，與AODC都是等腰三角形，

ZBOE=-ZAOB,ZDOF=-ZDOC,

22

:.NBOF+NDOF=9Q°,

:.OB±OD,結論正確，故不符合題意；

B./3OC不一定等于/AC?,結論錯誤，故符合題意;

C.由對稱得△。鉆絲AOJDC,

；點、E,尸分別是底邊AB,CD的中點，

:.OE=OF,結論正確，故不符合題意；

H

過。作

NGOD+NDOH=90°,

?.?/BOH+/DOH=90°,

Z.GOD=NBOH,由對稱得ZBOH=NCOH,

:.NGOD=NCOH,

同理可證ZAOM=NBOH,

ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+ZDOG=180°,結論正確，故不符合題意；

故選：B.

7.（2024?內蒙古赤峰?中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程X2_I（）X+21=0的兩個根，則這個三角形的

周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關系及周長，由方程可得%=3,

%=7,根據三角形的三邊關系可得等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,進而即可求出三角形的周長，掌

握等腰三角形的定義及三角形的三邊關系是解題的關鍵.

【詳解】解：由方程X?-10x+21=0得，々=3,x2=7,

V3+3<7,

...等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,

這個三角形的周長為3+7+7=17,

故選：C.

8.（2024-內蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，在445c中，ZC=90°,=30°,以點A為圓心，適當長為半

徑畫弧分別交AB,AC于點M和點N,再分別以點M,N為圓心，大于;的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,

連接AP并延長交2C于點。.若AACD的面積為8,則的面積是（）

【答案】B

【分析】本題考查了尺規作圖，含30。的直角三角形的性質，等腰三角形的判定等知識，由作圖知AD平

分NBAD,則可求NC4D=/ZMB=30。，利用含30。的直角三角形的性質得出CD,利用等角對等

2

邊得出=進而得出=然后利用面積公式即可求解.

2

【詳解】解;VZC=90°,ZB=30°,

ZCAB=60°,

由作圖知：AD平分—BAD,

，ZCAD=ZDAB=3Q°,

：.CD=-AD,ZB=ZBAD,

2

:.AD=BD,

：.CD=-BD,

2

Q—CD,AC[

...S.D=2=CD=1

BD2

S、ABD-BDAC

2

又AACD的面積為8,

，△ABD的面積是2x8=16,

故選B.

9.（2024?安徽?中考真題）如圖，在RtA4BC中，AC=3C=2,點。在AB的延長線上，S.CD=AB,則BO

ABD

A.710-72B.瓜-立c.2V2-2D.26■-底

【答案】B

【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，對頂角的性質，勾股定理，過點。作DELCB的延長

線于點E,則/3即=90。，由/ACB=90。，AC=BC=2,可得A3=2忘，NA=/ABC=45。，進而得到

CD=142,ZDBE=45°,即得△BDE為等腰直角三角形，得到DE=3E,設DE=BE=x,由勾股定理得

（2+尤）2+/=（2應/，求出X即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：過點。作DE，CB的延長線于點E,則/肛>=90。，

VZACB=90°,AC=BC=2,

???48=亞點=2夜，ZA=ZABC=45。，

CD=2^2,ZDBE=45°,

；?△3QE為等腰直角三角形，

/.DE=BE,

設DE=BE=x,貝l]CE=2+x,

在RtACDE中，CE2+DE2=CD2,

/.（2+尤『+/=（2可，

解得占=0-1，x2=-\/3-1（舍去），

DE=BE=y[3-\,

BD=J（A/3-1）2+（V3-1）2=娓-垃，

故選：B.

10.（2024?四川自貢?中考真題）如圖，等邊“LBC鋼架的立柱8，至于點。，A3長12m.現將鋼架立柱

縮短成￡>E,ZBEE>=60°.則新鋼架減少用鋼（）

A.（24-126）mB.僅4-86）mC.（24-6V3）mD.（24-4班）m

【答案】D

【分析】本題考查了等邊三角形的性質，解直角三角形的應用.利用三角函數的定義分別求得=26,

BE=4^=AE,CD=6y5,禾U用新鋼架減少用鋼=AC+3C+CD-AE—BE—OE,代入數據計算即可求

解.

【詳解】解：：等邊AABC,CD_LAB于點，48長12m,

AD=BD=—AB=6m,

2

?；NBED=60°,

：.tan60°=—=^,

DE

DE=24，

BE=^DE2+BD2=4A/3=AE，

ZCBD=60°,

CD=BDtanZCBD=#>BD=6/m,BC=AC=AB=12m,

.?.新鋼架減少用鋼=AC+3C+CD-AE-BE■-DE

=24+6月-8百-26=（24-4@m,

故選：D.

H.（2024.天津.中考真題）如圖，AABC中，ZB=30,將URC繞點C順時針旋轉60。得到△JDEC,點A，8

的對應點分別為D,E,延長血交DE于點尸，下列結論一定正確的是（）

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

C.AB=EFD.BFLCE

【答案】D

【分析】本題考查了旋轉性質以及兩個銳角互余的三角形是直角三角形，平行線的判定，正確掌握相關性

質內容是解題的關鍵.先根據旋轉性質得NBCE=NACD=60。，結合48=30。，即可得證族_LCE,再根

據同旁內角互補證明兩直線平行，來分析AC〃小不一定成立；根據圖形性質以及角的運算或線段的運算

得出A和C選項是錯誤的.

【詳解】解：記母■與CE相交于一點打，如圖所示：

?/AABC中,將AABC繞點C順時針旋轉60。得到ADEC,

：.ZBCE=ZACD=60°

:ZB=30°

...在中，ZBHC=180°-ZBCE-ZB=90°

BF±CE

故D選項是正確的，符合題意；

設NAC"=x。

ZACB=60°-x°,

:ZB=30°

/.ZEDC=ABAC=180°-30°-（60。-x。）=90°+x°

NEDC+ZACD=90°+x°+60°=150°+x°

x。不一定等于30。

.../EDC+/ACD不一定等于180。

AC〃上不一定成立，

故B選項不正確，不符合題意；

VZACB60°-x°,ZACD^60°,廿不一定等于0。

NACB=/4CD不一定成立，

故A選項不正確，不符合題意；

:將AABC繞點、C順時針旋轉60°得到ADEC,

，AB=ED=EF+FD

:.BA>EF

故C選項不正確，不符合題意;

故選：D

二、填空題

12.（2024.浙江?中考真題）如圖，D,￡分別是“RC邊AB,AC的中點，連接BE,DE.若

ZAED=NBEC,DE=2,則班的長為

【答案】4

【分析】本題主要考查三角形中位線定理和等腰三角形的判定，由三角形中位線定理得

DE〃BC,3c=2OE=4,得出/C=ZAED=NBEC,得出BE=8C=4

【詳解】解：：。，E分別是AABC邊AB,AC的中點，

，DE是AABC的中位線，

DE〃BC,BC=2DE=4,

：.ZAED=ZC,

?：NAED=NBEC,

：.NC=/BEC,

：.BE=BC=4,

故答案為：4

13.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在平面直角坐標系xQy中，已知A（3,0）,B（0,2）,過點8作>軸的

垂線/,P為直線/上一動點，連接尸O,PA,則PO+PA的最小值為

【答案】5

【分析】本題考查軸對稱一最短問題以及勾股定理和軸對稱圖形的性質.先取點A關于直線/的對稱點H,

連A0交直線/于點C,連AC,得到AC=AC,A'Arl,再由軸對稱圖形的性質和兩點之間線段最短，

得到當。,尸,A三點共線時，P0+R4的最小值為A0,再利用勾股定理求A0即可.

【詳解】解：取點A關于直線/的對稱點4,連A0交直線/于點C,連AC,

則可知AC=4C,A'A±l,

：.PO+PA^PO+PA>AO,

即當O,P,A'三點共線時，PO+PA的最小值為AO,

:直線/垂直于y軸，

AA_Lx軸，

：A(3,0),5(0,2),

AO=3,AA'=4,

...在RtAA'AO中，

AO=7(9A2+A4,2=J32+42=5，

故答案為：5

14.(2024?天津?中考真題)如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A,F,G均在格點上.

(1)線段AG的長為；

(2)點E在水平網格線上，過點A,E,尸作圓，經過圓與水平網格線的交點作切線，分別與AE,"的

延長線相交于點B,C,AABC中，點/在邊BC上，點N在邊AB上，點尸在邊AC上.請用不刻度的直

尺，在如圖所示的網格中，畫出點M,N,P,使△MVP的周長最短，并簡要說明點N,P的位置

是如何找到的(不要求證明).

【答案】0圖見解析，說明見解析

【分析】此題考查了勾股定理、切線的性質等知識，根據題意正確作圖是解題的關鍵.

(1)利用勾股定理即可求解；

(2)作點M關于A3、AC的對稱點連接跖孫、,分別與AB、AC相交于點E、P,AWP

的周長等于Mi"?的長，等腰三角形的腰長為川江，當AM的值最小時，的值最小，此時M是

切點，由此作圖即可.

【詳解】(1)由勾股定理可知，AG="7F=0，

故答案為：A/2

(2)如圖，根據題意，切點為M；連接腔并延長，與網格線相交于點Mi；取圓與網格線的交點。和格

點、H,連接。口并延長，與網格線相交于點加2；連接M|M2,分別與AB,AC相交于點N,P,則點

15.(2024?甘肅臨夏?中考真題)如圖，等腰AABC中，AB=AC^2,ZBAC=120°,將AABC沿其底邊中

線AO向下平移，使A的對應點4滿足則平移前后兩三角形重疊部分的面積是.

【分析】本題考查平移的性質，相似三角形的判定和性質，三線合一,根據平移的性質，推出AA'EFSAAB'C',

根據對應邊上的中線比等于相似比，求出E尸的長，三線合一求出AO的長，利用面積公式進行求解即可.

【詳解】解：??,等腰AASC中，AS=AC=2,NR4c=120。，

ZABC=30°,

,/AO為中線,

/.ADIBC,BD=CD,

?'*AD=—AB=1,BD=y/iAD=A/3,

/.BC=2^3,

,/將AABC沿其底邊中線AD向下平移，

B'C//BC,B'C=BC=2>/3,AG=AD=1,

AAEF^AB'C,

.EFA'D

B'C~A/G)

AA'=-AD,

3

972

DA1=-AD=-AG=-,

333

.EFA'D2

,*B'C~^G~3)

故答案為：手.

16.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）矩形ABCD的面積是90,對角線AC,BD交于點O,點E是2C邊的

三等分點，連接DE,點尸是DE的中點，OP=3,連接CP,則PC+PE的值為.

【答案】13或比而

【分析】本題考查了矩形的性質，三角形中位線定理，勾股定理.當CB>比時，利用三角形中位線定理

求得CE=12,再求得矩形的邊長，利用勾股定理求得DE的長，再根據斜邊中線的性質即可求解；當CE<BE

時，同理求解即可.

【詳解】解：當時，如圖，

BEC

:矩形ABC。，

.??點。是BD的中點，

:點P是OE的中點，

ABE=2OP=6,CP=PE=PD,

:點E是3C邊的三等分點，

ACE=2BE=\2,BC=3BE=18,

:矩形A8c。的面積是90,

BCxCD=90,

：.CD=5,

-'-DE=A/52+122=13>

：.PC+PE=DE=13；

當時，如圖，

:矩形ABC。，

.,.點。是的中點，

:點P是OE的中點，

：.BE=2OP=6,CP=PE=PD,

:點E是BC邊的三等分點，

/.CE=-BE=3,3c=3+6=9,

2

:矩形A8CO的面積是90,

BCxCD=90,

：.CD=iO,

，PC+PE=DE=y/l09;

故答案為：13或而？.

17.（2024?山東?中考真題）如圖，已知NM4N,以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別與AM、AN相

交于點3,C；分別以8,C為圓心，以大于［BC的長為半徑作弧，兩弧在NM4N內部相交于點P,作射

線AP.分別以A,3為圓心，以大于［AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點￡）,E,作直線OE分別與48,

2

AP相交于點尸，Q.若AB=4,/PQE=675°,則尸到4V的距離為.

【答案】行

【分析】如圖，過尸作尸于H,證明/A4P=NG4P,DEJ.AB,AF=BF=^AB=2,再證明

ZE4H=45。，再結合勾股定理可得答案.

【詳解】解：如圖，過尸作FW_LAC于

由作圖可得：ZBAP=ZCAP,DE,LAB,AF=BF=-AB=2,

2

ZPQE=61.5°,

：.ZAQF=67.5°,

，ZBAP=ZCAP=90°-67.5°=22.5°,

ZFAH=45°,

：.AH=FH=—AF=y/2,

2

P至ij4V的星巨離為0；

故答案為：V2

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：基本作圖，三角形的內角和定理的應用，勾股定理的應用，等腰三角

形的判定，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質，逐步操作.

18.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）已知矩形紙片A3CD,AB=5,3C=4,點尸在邊上，連接AP,

將AAB尸沿AP所在的直線折疊，點2的對應點為2,，把紙片展平，連接班'，CB',當V3CB'為直角三角

形時，線段CP的長為.

【答案】彳或2

【分析】本題主要考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，分兩種情況進

行討論：當/8CB'=90。時，當/3B'C=90。，分別畫出圖形，求出結果即可.

【詳解】解：：四邊形A3CD為矩形，

:./BCD=NADC=/ABC=NBAD=9Q。,AB=CD=5,AD=BC=4,

當/BCB'=90。時，如圖所示：

NBCD=90。,

，點9在CD上，

根據折疊可知：AB'=AB=5,BP=B'P,

設CP=x,則8P=8'P=4-x,

DB'=ylAB'2-AD2=舊—4?=3，

CB'=DC—DB'=5—3=2,

在Ri^CB'P中，根據勾股定理得：B'P-=B'C2+CP2，

BP（4-X）2=22+X2,

解得：彳=；3,

3

即

當/BBC=90。,如圖所示：

D\

AB

根據折疊可知：BP=B,P,

NPBB'=/PPB,

,/ZPBBr+/BCB'=90°,ZPBrB+ZPBV=90°,

???NBCB'=/CB'P,

：.PC=PB',

：.PC=PB,

?:BC=BP+PC=4,

：.CP=2；

3

綜上分析可知：CP=彳或2.

2

3

故答案為：1或2,

19.（2024?四川內江?中考真題）如圖，在AABC中，ZABC=6O°,BC=8,E是BC邊上一點，且3E=2,

點/是AABC的內心，即的延長線交AC于點O,P是80上一動點，連接PE、PC,則尸E+尸C的最小值

為.

【答案】2萬

【分析】在A3取點R使班'=跖=2,連接P尸，CF,過點,F作FHLBC于H,利用三角形內心的定義

可得出NABO=NCB。，利用SAS證明@7名印￡P,得出正尸=尸E,則PE+PC=PF+PCNCF,當C、P、

F三點共線時，PE+PC最小，最小值為CF,利用含30。的直角三角形的性質求出3”,利用勾股定理求出

FH,C/即可.

【詳解】解：在AB取點憶使BF=BE=2,連接尸尸，CF,過點尸作，3c于"，

BHEC

:/是44BC的內心，

以平分/ASC,

，ZABD=NCBD,

又BP=BP,

：.ABFP^ABEP（SAS）,

:.PF=PE,

：.PE+PC=PF+PC>CF,

當C、P、尸三點共線時，PE+PC最小,最小值為b,

■:FHIBC,ZABC=60。，

ZBFH=30°,

BH=LBF=I,

2

FH=\lBF2-BH2=-CH=BC-BH=J,

CF=-JCH2+FH2=2713，

PE+PC的最小值為2.

故答案為：25.

【點睛】本題考查了三角形的內心，全等三角形的判定與性質，含30。的直角三角形的性質，勾股定理等知

識，明確題意，添加合適輔助線，構造全等三角形和含30。的直角三角形是解題的關鍵.

20.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，在AABC中，AB=5,tan/C=2,則AC+且BC的最大值為

5

【答案】5A/2

【分析】過點8作垂足為。，如圖所示，利用三角函數定義得到AC+且BC=AC+Z）C,延長

5

DC到E,使EC=CD=x，連接BE,如圖所示，從而確定AC+@8C=AC+OC=AC+CE=AE,NE=45°,

5

再由輔助圓-定弦定角模型得到點E在。。上運動，AE是。。的弦，求AC+好BC的最大值就是求弦AE的

5

最大值，即AE是直徑時，取到最大值，由圓周角定理及勾股定理求解即可得到答案.

【詳解】解：過點8作3DLAC,垂足為￡>,如圖所示：

C

tan/C=2,

，在RJBCD中，設DC=x,則8D=2x,由勾股定理可得BC=底:,

AC+—BC=AC+DC,

5

延長OC到E,使EC=CD=x,連接BE,如圖所示:

AC+—BC^AC+DC=AC+CE=AE,

5

BD±DE,DE=2x=BD,

.?ABDE是等腰直角三角形，則NE=45。，

在AABE中，AB=5,NE=45。，由輔助圓-定弦定角模型，作445萬的外接圓，如圖所示:

，由圓周角定理可知，點E在O。上運動，AE是。O的弦，求AC+吏的