2024年上海市楊浦區(qū)中考數學二模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有

一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】

1.（4分）下列根式中，?的同類二次根式是（）

A.V6B.V30C.412D.^/18

【分析】將各式化為最簡二次根式后判斷被開方數是否相同即可.

【解答】解：遍與遙不是同類二次根式，則A不符合題意；

倔與我不是同類二次根式，則8不符合題意；

校工=2時，它與%不是同類二次根式，則C符合題意；

近§=3加，它與遂不是同類二次根式，則。不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查同類二次根式，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

2.（4分）已知a>6,下列不等式成立的是（）

A.-a>-bB.2-a<2-bC.2a<2bD.a-b<0

【分析】根據不等式的性質逐項判斷即可.

【解答】解：已知a>b,

兩邊同乘-1得--b,則A不符合題意；

兩邊同乘-1,再同時加2得2-a<2-"則8符合題意；

兩邊同乘2得2a>26,則C不符合題意；

兩邊同時減b得a-6>0,則。不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查不等式的性質，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

3.（4分）如果左<0,b<0,那么一次函數>=依+6的圖象不經過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根據一次函數圖象與系數的關系進行判斷即可.

【解答】解：當一次函數％<0,b<0,經過第二三四象限，不經過第一象限，

故選：A.

【點評】本題考查了一次函數的性質，熟練掌握一次函數的性質是解答本題的關鍵.

4.（4分）已知一組數據°,2,4,1,6的中位數是4,那么a可以是（）

A.0B.2C.3D.5

【分析】當總數個數是奇數的話，按從小到大的順序，取中間的那個數就是這組數據的

中位數.

而一組數a,2,4,1,6的中位數是4,所以前3個數是1,2,4,那么剩下的兩個就是

a,6,這樣就知道a與4的大小關系.

【解答】解：根據題意，得

a,2,4,1,6的中位數是4,所以前3個數是1,2,4,那么剩下的兩個就是a,6,

所以a可以是大于或大于4的任意一個數.

故選：D.

【點評】本題考查了中位數的意義.如果總數個數是奇數的話，按從小到大的順序，取中

間的那個數；如果總數個數是偶數個的話，按從小到大的順序，取中間那兩個數的平均

數.

5.（4分）下列命題中，真命題的是（）

A.四條邊相等的四邊形是正方形

B.四個內角相等的四邊形是正方形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是正方形

D.對角線互相垂直的矩形是正方形

【分析】根據矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可.

【解答】解：A、四條邊相等的四邊形是菱形，不一定是正方形，故本選項命題錯誤，不

符合題意；

8、四個內角相等的四邊形是矩形，不一定是正方形，故本選項命題錯誤，不符合題意；

C、對角線互相垂直的平行四邊形是是菱形，不一定是正方形，故本選項命題錯誤，不符

合題意；

。、對角線互相垂直的矩形是正方形，命題正確，符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查的是命題的真假判斷,正確的命題叫真命題,錯誤的命題叫做假命題.判

斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理.

6.（4分）如圖，在△ABC中，AB^AC,120°,將△ABC繞點C逆時針旋轉，點

4、B分別落在點D、E處，如果點A、。、E在同一直線上，那么下列結論錯誤的是（)

A.ZAZ）C=60°B.ZACZ）=60°C.ZBCD=ZECDD./BAD=/BCE

【分析】由旋轉的性質可得△ABCgZXOEC,則CD=CA,ZBAC=ZEDC=nO°,得

出NADC=60°,進而得出△AOC是等邊三角形，即可判斷選項A,B,。結論正確.

【解答】解：：將△ABC繞點C逆時針旋轉，點A、B分別落在點。、E處,

/.△ABC^ADEC,

：.CD=CA,ZBAC=ZEDC=12Q°,得

：.ZADC=60°,故A正確；

J.AADC是等邊三角形，

：.ZACD=6Q°,故8正確，

：.ZDAC=60°,ZBAE=60°,

VZBCE=ZAC￡>=60°,

；./BAD=/BCE,故。正確；

:NECD=NBCA,2C不一定平分NAC￡）,

/BCD不一定等于/ECZ）,

故選：C.

【點評】本題考查旋轉的性質，熟練掌握旋轉的想知識解題關鍵.

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結果直接填入答題紙的相應位

置上】

7.（4分）計算：6a3+2/=3a.

【分析】根據整式除法的運算法則計算即可.

【解答】解：6a342/=3°.

故答案為：3a.

【點評】本題考查了整式的除法，熟練掌握整式除法的運算法則是關鍵.

8.（4分）在實數范圍內因式分解3=（X+E）（x-、質）_.

【分析】根據平方差公式分解因式即可.

【解答】解：<-3=付用吐用

故答案為“小四卜?

【點評】本題考查了實數范圍內分解因式，掌握/-廿=（a+b）（a-b）是解題的關鍵.

9.（4分）函數丫二^^的定義域是無>1.

Vx<

【分析】本題考查了函數式有意義的x的取值范圍.一般地從兩個角度考慮：分式的分

母不為0;偶次根式被開方數大于或等于0;當一個式子中同時出現這兩點時，應該是取

讓兩個條件都滿足的公共部分.

【解答】解：根據題意得到：%-1>0,

解得尤>1.

故答案為：x>l.

【點評】判斷一個式子是否有意義，應考慮分母上若有字母，字母的取值不能使分母為

零，二次根號下字母的取值應使被開方數為非負數.易錯易混點：學生易對二次根式的

非負性和分母不等于0混淆.

10.（4分）如果關于尤的方程/-6x+m=0有兩個實數根，那么m的取值范圍是.

【分析】由方程有兩個實數根結合根的判別式，即可得出八=36-4M20,解之即可得出

m的取值范圍.

【解答】解：:?關于x的方程7-6了+冽=0有兩個實數根，

/.A=（-6）2-4"7=36-4機20,

解得：mW9.

故答案為：m^9.

【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當△》（）時，方程有兩個實數根”是解題的關鍵.

11.（4分）布袋中有大小、質地完全相同的5個小球，每個小球上分別標有數字1,2,3,

4,5,如果從布袋中隨機抽一個小球，那么這個小球上的數字是合數的概率是1.

一5一

【分析】直接由概率公式求解即可.

【解答】解：?..布袋中有大小、質地完全相同的5個小球，每個小球上分別標有數字1,

2,3,4,5,其中4是合數，

???從布袋中隨機抽一個小球，這個小球上的數字是合數的概率是」,

5

故答案為：1.

5

【點評】本題考查了概率公式以及合數，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況

數之比.

12.（4分）若反比例函數ydzl的圖象在每一個象限中，y隨著x的增大而減小，則根的

取值范圍是力>1.

【分析】根據反比例函數的性質可得m-1>0,再解不等式即可.

【解答】解：??,圖象在每一個象限中y隨著工的增大而減小，

.\m-1>0,

解得：m>l,

故答案為：m>1.

【點評】此題主要考查了反比例函數的性質，關鍵是掌握對于反比例函數鼠#0）,

X

（1）k>0,反比例函數圖象在一、三象限；（2）k<0,反比例函數圖象在第二、四象限

內.

13.（4分）根據上海市統(tǒng)計局數據，上海市2021年的地區(qū)生產總值約是4.32萬億，2023年

的地區(qū)生產總值約是4.72萬億，設這兩年上海市地區(qū)生產總值的年平均增長率都為%,

根據題意可列方程4.32（1+x）2=4.72.

【分析】根據上海市2021年的地區(qū)生產總值約是4.32萬億，2023年的地區(qū)生產總值約

是4.72萬億，列方程即可.

【解答】解：根據題意得，4.32（1+無）2=4.72,

故答案為：4.32（1+x）2=4.72.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關鍵是讀懂題意，設

出未知數，找出合適的等量關系，列出方程.

14.（4分）如圖，在平行四邊形A3C。中，E是邊的中點，CE與對角線BO相交于點

F,設向量AB=a，向量BC=b，那么向量BF=_Zb上a—?（用含a、b的式子表示）

—3D3

【分析】根據平面向量的平行四邊形法則結合相似三角形對應邊成比例即可求解.

【解答】解：：量屈=1向量前=總

...—?—?

BD=BA+BC=_a+b，

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

J.DE//BC,

ADEFSBCF,

?DEDF

"BC"BF，

是邊A。的中點，AD^BC,

???D-E=:--D-F=--1,

BCBF2

:.BF=2LBD,

3

.—?2-*2—2f

ooo

故答案為：

33

【點評】本題考查了平面向量，相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，正確得出

8尸=工8。是解題的關鍵.

3

15.（4分）近年來越來越多的“社區(qū)食堂”出現在街頭巷尾，它們是城市服務不斷豐富的縮

影.已知某社區(qū)食堂推出了15元、18元、20元三種價格的套餐，每人限購一份.據統(tǒng)

計，3月16日該食堂銷售套餐共計160份，其中15元的占總份數的40%,18元的賣出

40份，其余均為20元，那么食堂這一天賣出一份套餐的平均價格是17.5元.

【分析】分別用單價乘以相應的百分比，計算即可得解.

【解答】解：其中18元的占總份數的40+160=25%,

其中20元的占總份數的1-40%-25%=60%,

15X40%+18X25%+20X60%=17.5（元），

即食堂這一天賣出一份套餐的平均價格是17.5元.

故答案為：17.5.

【點評】本題考查了百分數的應用，解題的關鍵是求出相應的百分比.

16.（4分）如圖，在RtZxABC中，ZC=90°,48的垂直平分線交邊8C于點。，如果8。

=4CD,那么tanB=H.

—5―

【分析】連接AD,根據垂直平分線的性質可知根據勾股定理求出AC的值,

即可求解tanB.

設CO=無，貝!]B￡)=4x,BC=5x,

'：AB的垂直平分線交邊BC于點D,

.,.AD=DB=4x,

-,-AC=7AD2-CD2=V(4x)2-x2=JiEx，

tanB=—=,

BC5

故答案為：運.

5

【點評】本題考查解直角三角形，正確記憶相關知識點是解題關鍵.

17.(4分)如圖，已知一張正方形紙片的邊長為6厘米，將這個正方形紙片剪去四個角后

成為一個正八邊形，那么這個正八邊形的邊長是_(6如-6)厘米.

【分析】根據正方形和正八邊形的性質以及勾股定理列方程求解即可》

【解答】解：如圖，設EF=:v厘米，則AE=AQ=反三=(3-—x)厘米,

22

由勾股定理得，

A^+AEp-^QE2,

即(3-1x)2+(3-Ax)2=x2,

22

解得尤=6&-6,或尤=-6&-6(舍去)，

即正八邊形的邊長為(672-6)厘米，

故答案為：(672-6).

D

N

M

C

【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正方形，正八邊形的性質以及勾股定理是正確解

答的關鍵.

18.(4分)已知矩形ABC。中，AB=5,以AD為半徑的圓A和以CD為半徑的圓C相交

于點。、E,如果點￡到直線BC的距離不超過3,設的長度為相，則根的取值范圍

是.

-2

【分析】如圖，當E在48的左側時，連接AC,AE,CE,過E作ER_LBC于R,作ES

于S,如圖，當E在的右側時，連接AC,AE,CE,過E作EH_L8c于”，交

AD于。，再分別求解機的值，從而得到答案.

【解答】解：如圖，當E在48的左側時，連接AC,AE,CE,過E作ER_L8C于R,作

ESLAB于S,

:已知矩形ABC。，AB=5,AD=m,

四邊形ERBS為矩形，AD=CB=m,AB=CD=5,

:ES=BR,ER=BS=3,

：.AS=5-3=2,

VA,C為圓心，

：.AC是DE的垂直平分線，

AD=AE=m,CD=CE=5,

,:ER=3,

,'-C7?=V52-32=4,

；?ES=BR=4-m,

在Rt^AES中，《?=（4-機）2+22,

解得：力=S,

2

如圖，當E在AB的右側時，連接AC,AE,CE,過E作EH_LBC于H,交于Q,

:已知矩形ABC。，AB=5,AD=m,

：.AD=CB=m,AB=CD=5,四邊形CDQH為矩形，

；.QH=Cr）=5,

同理可得：

AD=AE=m,CD=CE=5,

■:EH=3,

?**QD=CH=JCE2-EH2=4,

.\AQ=m-4,

：EQ=5+3=8

在RtZ\4EQ中,在=(m-4)2+82,

1，E

.,.m=10,

綜上所述：點E到直線BC的距離不超過3,則SWmWlO；

2

故答案為：

2

【點評】本題主要考查了矩形的判定與性質，勾股定理的應用，兩圓的位置關系，線段的

垂直平分線的性質等，確定臨界點是解答本題的關鍵.

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

_L=

19.（10分）計算：（正-1）」+（3）

【分析】根據實數的運算和指數幕運算法則計算即可.

【解答】解:原式=1+1-3V3+V3-1

當十2a

1-3五

~2~

【點評】本題考查的是實數的運算和指數幕，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵.

x+2y=12

（分）解方程組：

20.10J99

xz_4xy+4y-4=0

【分析】先化簡組中的第二個方程，得兩個二元一次方程與組中的第一個方程得新方程

組，求解即可.

【解答】解：，,

x2-4xy+4y'-4=0②

由②，得（x-2y）2=4,

-2y=±2.

當x+2y=12,x-2y=2時，

x=7,y=2.5；

當x+2y=12,x-2y=-2時，

x=5,y=3.5.

...原方程組的解為1x=7或［'=5.

|y=2.5|y=3.5

【點評】本題考查了二元二次方程組，把組中的二元二次方程化為一元一次方程，掌握

二元一次方程組的解法是解決本題的關鍵.

21.（10分）如圖，已知在△ABC中，A2=AC=9,c°sB=返，點G是△ABC的重心，延

3

長AG交邊3c于點。，以G為圓心，G4為半徑的圓分別交邊AB、AC于點￡、F.

（1）求AG的長；

（2）求8E的長.

【分析】（1）由重心的性質得到D是BC中點，AG=1AD,由銳角的余弦求出BD=3

3

庭,由勾股定理求出A〃={AB2_BD2=6,得到AG=g><6=4；

（2）連接EG,過G作G//LAE于X,由等腰三角形的性質得到由銳角的余

弦求出AH的長，即可得到AE的長，即可得到BE的長.

【解答】解：（1）是AABC的重心，

???。是3。中點，AG=2AD,

3

*：AB=AC,

：.ADLBC,

：8$2=理=近＞,AB=9,

AB3

:.BD=3辰,

22

；?AO=VAB-BD=6，

；.AG=Zx6=4；

3

(2)連接EG,過G作G8_LAE于X,

:GA=GE,

：.AE=2AH,

:NAHG=NADB=90°,NGAH=/BAD,

：.NAGH=/B,

cosZAGH—cosB—^-^-,

_3

?GH=V5

"AG~

：AG=4,

：.GH=ML,

3

AH=22

VAG-GH=4，

；.AE=2AH=li,

3

:.BE=9-

33

【點評】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質，三角形的重心，關鍵是由重心的性

質得到AG=2AD,由銳角的余弦求出G8的長.

3

22.（10分）寒假期間，小華一家駕車去某地旅游，早上6：00點出發(fā)，以80千米/小時的

速度勻速行駛一段時間后，途經一個服務區(qū)休息了1小時，再次出發(fā)時提高了車速.如

圖，這是她們離目的地的路程y（千米）與所用時間x（小時）的函數圖象.

根據圖象提供的信息回答下列問題：

（1）圖中的a=3,b=320；

（2）求提速后y關于x的函數解析式（不用寫出定義域）；

（3）她們能否在中午12：30之前到達目的地？請說明理由.

【分析】（1）根據圖象求出a的值，根據“離目的地的路程=家與目的地之間的距離-

行駛的路程”可計算b的數值；

（2）利用待定系數法求解即可；

（3）當y=0時求出對應尤的值，計算出到達目的地的時間，從而作出判斷即可.

【解答】解：（1）“=2+1=3,6=480-80X2=320,

故答案為:3,320.

（2）設提速后y關于x的函數解析式為（鼠6為常數，且左#0）.

將坐標（3,320）和（5,120）代入y=fcc+b,

得［3k+b=320,

%k+b=120'

解得1700,

lb=620

二提速后y關于x的函數解析式為y=-100.r+620.

（3）能.理由如下:

當她們到達目的地時，y=0,

得-100x+620=0,

解得x=6.2,

6.2小時=6時12分，

她們于12：12分到達目的地.

【點評】本題考查一次函數的應用，掌握待定系數法求函數的解析式是本題的關鍵.

23.（12分）已知：如圖，在梯形中，AD//BC,AB=CD,BD=BC,NOBC的平分

線交AO延長線于點E,交CD于點F.

(1)求證：四邊形8CED是菱形；

(2)聯(lián)結AC交于點G,如果AC1.CE,求證：AB2=AG-AC.

【分析】(1)根據角平分線定義可得即=/。8尸，根據平行線的性質可得

DEF,等量代換可得于是BD=DE,又因為BC〃。區(qū)所以四邊形8CED

是平行四邊形，再根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；(2)如圖，設

BD與AC交于點H,根據等腰梯形的性質可得NABC=4DC2,根據BD=BC,可得/

BCD=ZBDC,根據菱形的性質和垂直的定義可得/Z)FG=90°,ZDHG=90°,根據

四邊形的內角和為360°,可得/BDC+/HGF=180°,又因為NBGA+/”GF=180°,

可得/2GA=N2r>C,于是NA3C=/3G4,再根據NA4C=/G42即可得到△ABCs4

AGB,利用相似三角形對應邊的比相等即可得證.

【解答】證明：(1);臺/平分/0臺0

：.ZDBF=ZCBF,

'：AD//BC,

:.NCBF=NDEF,

：./DBF=ZDEF,

：.BD=DE,

'：BC//DE,

，四邊形BCED是平行四邊形，

?：BD=BC,

???平行四邊形BCED是菱形;

(2)如圖，連接AC,交BD于點H,交BE于點G,

AD

BC

在梯形ABC。中，AD//BC,AB=CD.

：.NABC=NDCB,

■:BD=BC,

：.ZBCD=ZBDC,

：.ZABC=ZBDC,

???四邊形5CED是菱形，

J.BELCD,BD//CE,

：.ZDFG=90°,

9：AC±CE,

：.AC±BD,

：.ZDHG=90°,

?；/BDC+/HGF+/DHG+NDFG=360°,

.'.ZBDC+ZHGF=180°,

：.ZBGA+ZHGF=1SO°,

：.ZBGA=ZBDC,

：.ZABC=ZBGA,

9：ZBAC=ZGAB,

：.AABC^AAGB,

???—AB~—AC,

AGAB

：.AB2=AG'AC.

【點評】本題考查了等腰梯形性質、等腰三角形的判定和性質、菱形的判定和性質定理、

相似三角形的判定和性質等知識，熟練掌握相關知識是解答本題的關鍵.

24.（12分）定義：我們把平面內經過已知直線外一點并且與這條直線相切的圓叫做這個點

與已知直線的點切圓.如圖1,已知直線/外有一點”，圓。經過點H且與直線/相切,

則稱圓。是點》與直線/的點切圓.

閱讀以上材料，解決問題；

已知直線。4外有一點P,PA10A,。4=4,AP=2,圓M是點尸與直線0A的點切圓.

（1）如果圓心M在線段。尸上，那么圓M的半徑長是5土通（直接寫出答案）.

—2—

（2）如圖2,以O為坐標原點、OA為x軸的正半軸建立平面直角坐標系xOy,點尸在

第一象限，設圓心M的坐標是（x,y）.

①求y關于x的函數解析式；

②點B是①中所求函數圖象上的一點，聯(lián)結BP并延長交此函數圖象于另一點C.如果

CP-.BP=1：4,求點8的坐標.

【分析】（1）作MBLx軸于點B,則可證得△OBMS^OAP,從而史坦L,

_OPPA

從而上,從而求得廠；

2V5r

（2）①根據圓心M到尸的距離等于點P到無軸的距離得出（x-4）2+。-2）2=9，

化簡得出結果；

②設點8（如n）,C（a,b）,從而得出w=［（m-4）2+l①，接外，作BZUx軸，作

CE_LB4,交8。于。，可證得從而理即生曳金土」，

CDBDCB5m-an-b5

從而得出。=型工，10-n,代入解析式得出l°-n=L（20-m_）2+i②，由①②

44444

得出加，W,進而得出結果.

【解答】解：如圖1,

圖1

作MBLc軸于點B,

則MB=MP=r,

:用，x軸，

J.MB//PA,

?OMBM

"OP"PA，

-2V5-r2

???5r-述----，

2_

故答案為：生恒；

2

(2)①由題意得，

圓心M到P的距離等于點P到x軸的距離,

(X-4)2+(y-2)2=y2,

??y=](x-4)2+l;

②如圖2,

設點5(m,幾),C(〃，b),

?"=!(m-4)2+1/2)，

連接出，作8￡>_Lx軸，作CE_Lfi4,交BD于D,

C.PA//BD,

:.△CEPsMDB,

-CE_PECP_1

"CD"BD"CB"5"

?-?4-----a=---2--~-b-=—1,

m-an-b5

--

?n-20mL_10n

44

10n20m

-=1（-_4）2+1②，

444

由①②得，

iU|=8m?=0

<><，

ri|=5ri2=5

：.B（8,5）或（0,5）.

【點評】本題考查了圓的切線的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，解一元二次

方程等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，構造相似三角形.

25.（14分）已知以為直徑的半圓。上有一點C,CDLOA,垂足為點。，點E是半徑

0c上一點（不與點。、C重合），作EFLOC交弧BC于點F,聯(lián)結。凡

（1）如圖1,當小的延長線經過點A時，求型的值；

AF

（2）如圖2,作FGLAB,垂足為點G,聯(lián)結EG.

①試判斷EG與CD的大小關系，并證明你的結論；

【分析】（1）利用垂徑定理，直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質解答即可；

（2）①延長FE交。。于點延長FG交。。于點N,延長CD交于點從連接

MN,OH,ON,OM,利用垂徑定理，三角形的中位線定理得到EG=aMM利用垂徑定

2

理得到CD=DH=LCH,再利用四邊形的內角和定理和鄰補角的性質得到NAOC=/

2

EFG,再利用相等的圓心角所對的弧相等的性質，等弧對等弦的性質得到CH=MN,則

結論可得；

②利用分類討論的方法分三種情況解答：I,當EF=EG時，利用全等三角形的判定與

性質和勾股定理解答即可；II.當尸G=歷時，過點￡作于點"利用直角三

角形的邊角關系定理和勾股定理解答即可；III.當BG=EG時，則EG=4Z,連接FC,

利用矩形的判定與性質和勾股定理解答即可.

【解答】解:(1)當FE的延長線經過點A時，

'JEFLOC,

:.AE=FE=1AF,ZA+ZAOE=90°.

2

'：CD.LOA,

：.ZC+