第4章電路定理4.1疊加定理和齊性定理4.2替代定理4.3戴維寧定理和若頓定理4.4

最大功率傳輸定理4.5

對偶原理4.6特勒根定理和互易定理

前幾章介紹了幾種常用的電路元件，電路的基本定律和各種分析方法。本章介紹線性電阻電路的幾個網絡定理，以便進一步了解線性電阻電路的基本性質。利用這些定理可以簡化電路的分析和計算。4.l疊加定理和齊性定理由獨立電源和線性電阻元件(線性電阻、線性受控源等)組成的電路，稱為線性電阻電路。描述線性電阻電路各電壓電流關系的各種電路方程，是以電壓電流為變量的一組線性代數方程。作為電路輸入或激勵的獨立電源，uS和iS總是作為與電壓電流變量無關的量出現在這些方程的右邊。求解這些電路方程得到的各支路電流和電壓(稱為輸出或響應)是獨立電源uS和iS的線性函數。電路響應與激勵之間的這種線性關系稱為疊加性，它是線性電路的一種基本性質。

現以圖(a)所示雙輸入電路為例加以說明。

列出圖(a)電路的網孔方程+電流i1的疊加+電壓u2的疊加從上可見:電流i1和電壓u2均由兩項相加而成。第一項i

1

和u

2是該電路在獨立電流源開路(iS=0)時，由獨立電壓源單獨作用所產生的i1和u2。第二項i

1和u

2是該電路在獨立電壓源短路(uS=0)時，由獨立電流源單獨作用所產生的i1和u2。

以上敘述表明，由兩個獨立電源共同產生的響應，等于每個獨立電源單獨作用所產生響應之和。線性電路的這種疊加性稱為疊加定理。

疊加定理陳述為：由全部獨立電源在線性電阻電路中產生的任一電壓或電流，等于每一個獨立電源單獨作用所產生的相應電壓或電流的代數和。也就是說，只要電路存在惟一解，線性電阻電路中的任一結點電壓、支路電壓或支路電流均可表示為以下形式式中uSk(k=1,2,…,m)表示電路中獨立電壓源的電壓;

iSk(k=1,2,…,n)表示電路中獨立電流源的電流。

Hk(k=1,2,…,m)和Kk(k=1,2,…,n)是常量，它們取決于電路的參數和輸出變量的選擇，而與獨立電源無關。

在計算某一獨立電源單獨作用所產生的電壓或電流時，應將電路中其它獨立電壓源用短路(uS=0)代替，而其它獨立電流源用開路(iS=0)代替。式(4－1)中的每一項y(uSk)=HkuSk或y(iSk)=KkiSk是該獨立電源單獨作用，其余獨立電源全部置零時的響應。這表明y(uSk)與輸入uSk或y(iSk)與輸入iSk之間存在正比例關系，這是線性電路具有“齊次性”的一種體現。式(4－1)還表明在線性電阻電路中，由幾個獨立電源共同作用產生的響應，等于每個獨立電源單獨作用產生的響應之和，這是線性電路具有可“疊加性”的一種體現。利用疊加定理反映的線性電路的這種基本性質，可以簡化線性電路的分析和計算，在以后的學習中經常用到。

值得注意的是：線性電路中元件的功率并不等于每個獨立電源單獨產生功率之和。例如在雙輸入電路中某元件吸收的功率

需要說明的是疊加定理僅僅適用于存在惟一解的線性電路。例4－l電路如圖所示。

(l)已知I5=1A，求各支路電流和電壓源電壓US。解：用2b方程，由后向前推算1A3A4A4A8A80V(2)若已知US=120V，再求各支路電流。1A3A4A4A8A80V解：當US=120V時，它是原來電壓80V的1.5倍，根據線性

電路齊次性可以斷言，該電路中各電壓和電流均增加

到1.5倍，即120V12A6A6A4.5A1.5A例4－2電路如圖(a)所示。若已知：試用疊加定理計算電壓u

。解：畫出uS1和uS2單獨作用的電路，如圖(b)和(c)所示，

分別求出根據疊加定理代入uS1和uS2數據，分別得到例4－3電路如圖(a)所示。已知r=2

，試用疊加定理求電

流i和電壓u。

解：畫出12V獨立電壓源和6A獨立電流源單獨作用的電路

如圖(b)和(c)所示。(注意在每個電路內均保留受控源，

但控制量分別改為分電路中的相應量)。由圖(b)電路，

列出KVL方程

求得由圖(c)電路，列出KVL方程

求得

最后得到

例4－4用疊加定理求圖(a)電路中電壓u。解：畫出獨立電壓源uS和獨立電流源iS單獨作用的電路，

如圖(b)和(c)所示。由此分別求得u’和u”,然后根據疊

加定理將u’和u”相加得到電壓u

●使用疊加定理時，應注意下列幾點：

1）疊加定理只適用于線性電路，不能用于非線性電路。

4）疊加時要注意電流和電壓的參考方向，求和時要注意各電流和電壓的正負。（各響應分量的參考方向與其總響應的參考方向相同時取正“+”，相反時取負“—”）

3）疊加定理只能用來計算線性電路的電流和電壓，不能用來計算電路的功率。

2）各獨立源單獨作用時，電路的聯接，電路中所有的電阻、受控源及其控制量（電流或電壓）的方向或極性都不允許更動。（受控源不能單獨作用，也不能象獨立源那樣用“短路”、“開路”替代。）

●

疊加定理的推論——齊性定理

齊性定理：線性電路中，當所有激勵（電壓源和電流源）都增大或縮小K倍（K為實數），響應（電流和電壓）也將同樣增大或縮小K倍。

應用齊性定理時，注意：①激勵是指獨立源；②必須全部激勵同時增大或縮小K倍，否則將導致錯誤的結果。

特例：當電路中只有一個激勵時，響應將與激勵成正比。

思考題：電路如圖所示，已知當US=5V時，I=1A；問當US=10V時，I=2A，對嗎？只含電阻和獨立源網絡+–USIiR1R1R1R2RL+–usR2R2例采用倒推法：設i'=1A則求電流iRL=2

R1=1

R2=1

us=51V，+–2V2A+–3V+–8V+–21V+–us'=34V3A8A21A5A13Ai'=1A解

替代定理：如果網絡N由一個電阻單口網絡NR和一個任意單口網絡NL連接而成圖(a)，則:1．如果端口電壓u有唯一解，則可用電壓為u的電壓源來替代單口網絡NL，只要替代后的網絡[圖(b)]仍有惟一解，則不會影響單口網絡NR

內的電壓和電流。4.2替代定理

2．如果端口電流i有唯一解，則可用電流為i的電流源來替代單口網絡NL，只要替代后的網絡[圖(c)]仍有唯一解，則不會影響單口網絡NR

內的電壓和電流。替代定理的價值在于：一旦網絡中某支路電壓或電流成為已知量時，則可用一個獨立源來替代該支路或單口網絡NL，從而簡化電路的分析與計算。替代定理對單口網絡NL并無特殊要求，它可以是非線性電阻單口網絡和非電阻性的單口網絡。例求圖示電路的支路電壓和電流解替代替代以后有：替代后各支路電壓和電流完全不變。＋－i310

5

5

110V10

i2i1＋－u注意＋－i310

5

5

110Vi2i1＋－

替代前后KCL,KVL關系相同，其余支路的u、i關系不變。用uk替代后，其余支路電壓不變(KVL)，其余支路電流也不變，故第k條支路ik也不變(KCL)。用ik替代后，其余支路電流不變(KCL)，其余支路電壓不變，故第k條支路uk也不變(KVL)。原因替代定理既適用于線性電路，也適用于非線性電路。注意替代后其余支路及參數不能改變。替代后電路必須有唯一解。無電壓源回路；無電流源結點(含廣義結點)。1.5A2.5A1A注意10V5V2

5

＋－－＋10V5V2

＋－－＋2.5A5V+－？？3.替代定理的應用求電流I1解用替代：6

5

7V3

6

I1–+1

＋－2

+－6V3V4A4

2

4

4A＋－7VI1例1例2已知:uab=0,求電阻R解用替代：用結點法：R8

3V4

b＋－2

+－a20V3

IR8

4

b2

+－a20V1AcI1IR例3圖(a)電路中g=2S。試求電流I。解：先用分壓公式求受控源控制變量U

用電流為gU=12A的電流源替代受控電流源，得到圖(b)電路，該電路不含受控電源，可以用疊加定理求得電流為4.3戴維寧定理和諾頓定理目的與要求1理解戴維南定理和諾頓定理2會用戴維南定理和諾頓定理分析電路重點與難點重點：戴維寧定理和諾頓定理的內容

難點：

等效電阻的計算4.3戴維寧定理和諾頓定理

工程實際中，常常碰到只需研究某一支路的電壓、電流或功率的問題。對所研究的支路來說，電路的其余部分就成為一個有源二端網絡，可等效變換為較簡單的含源支路(電壓源與電阻串聯或電流源與電阻并聯支路),使分析和計算簡化。戴維寧定理和諾頓定理正是給出了等效含源支路及其計算方法。1.戴維寧定理：含獨立電源的線性電阻單口網絡N，就端口特性而言，可以等效為一個電壓源和電阻串聯的單口網絡[圖(a)]。電壓源的電壓等于單口網絡在負載開路時的電壓uoc；電阻Ro是單口網絡內全部獨立電源為零值時所得單口網絡N0的等效電阻[圖(b)]。4.3.1戴維寧定理

uoc

稱為開路電壓。Ro稱為戴維寧等效電阻。在電子電路中，當單口網絡視為電源時，常稱此電阻為輸出電阻，常用Ro表示；當單口網絡視為負載時，則稱之為輸入電阻，并常用Ri表示。電壓源uoc和電阻Ro的串聯單口網絡，稱為戴維寧等效電路。

在單口網絡端口上外加電流源i,根據疊加定理，端口電壓可以分為兩部分組成。一部分由電流源單獨作用(單口內全部獨立電源置零)產生的電壓u’=Roi[圖(b)]，另一部分是外加電流源置零(i=0)，即單口網絡開路時，由單口網絡內部全部獨立電源共同作用產生的電壓u”=uoc[圖(c)]。由此得到

當單口網絡的端口電壓和電流采用關聯參考方向時，其端口電壓-電流關系方程可表為

戴維寧定理可以在單口外加電流源i，用疊加定理計算端口電壓表達式的方法證明如下。此式與式(4－3)完全相同，這就證明了含源線性電阻單口網絡，在端口外加電流源存在唯一解的條件下，可以等效為一個電壓源uoc和電阻Ro串聯的單口網絡。只要分別計算出單口網絡N的開路電壓uoc和單口網絡內全部獨立電源置零(獨立電壓源用短路代替及獨立電流源用開路代替)時單口網絡N0的等效電阻Ro，就可得到單口網絡的戴維寧等效電路。2.定理的應用（1）開路電壓Uoc

的計算

等效電阻為將一端口網絡內部獨立電源全部置零(電壓源短路，電流源開路)后，所得無源一端口網絡的輸入電阻。常用下列方法計算：（2）等效電阻的計算

戴維寧等效電路中電壓源電壓等于將外電路斷開時的開路電壓Uoc，電壓源方向與所求開路電壓方向有關。計算Uoc的方法視電路形式選擇前面學過的任意方法，使易于計算。23方法更有一般性。當網絡內部不含有受控源時可采用電阻串并聯和△－Y互換的方法計算等效電阻；開路電壓，短路電流法。外加電源法（加電壓求電流或加電流求電壓）；uabi+–NReqiabReqUoc+-u+-abui+–NReq外電路可以是任意的線性或非線性電路，外電路發生改變時，含源一端口網絡的等效電路不變(伏-安特性等效)。當一端口內部含有受控源時，控制電路與受控源必須包含在被化簡的同一部分電路中。注意例求圖(a)所示單口網絡的戴維寧等效電路。解：在單口網絡的端口上標明開路電壓uoc的參考方向，

注意到i=0，可求得將單口網絡內1V電壓源用短路代替，2A電流源用開路代替，得到圖(b)電路，由此求得根據uoc的參考方向，即可畫出戴維寧等效電路，如圖(c)所示。例

求圖(a)所示單口網絡的戴維寧等效電路。解:標出單口網絡開路電壓uoc的參考方向，用疊加定理求

得uoc為將單口網絡內的2A電流源和電流源分別用開路代替，10V電壓源用短路代替，得到圖(b)電路，由此求得戴維寧等效電阻為根據所設uoc的參考方向，得到圖(c)所示戴維寧等效電路。其uoc和Ro值如上兩式所示。例求圖(a)單口網絡的戴維寧等效電路。

解：uoc的參考方向如圖(b)所示。由于i=0，使得受控電流

源的電流3i=0，相當于開路，用分壓公式可求得uoc為為求Ro，將18V獨立電壓源用短路代替，保留受控源，在a、b端口外加電流源i，得到圖(c)電路。通過計算端口電壓u的表達式可求得電阻Ro

例求(a)所示電橋電路中電阻RL的電流i

。解：斷開負載電阻RL，得到圖(b)電路，用分壓公式求得將獨立電壓源用短路代替，得到圖(c)電路，由此求得

用戴維寧等效電路代替單口網絡，得到圖(d)電路，由此求得

從用戴維寧定理方法求解得到的圖(d)電路和式(4－6)中，還可以得出一些用其它網絡分析方法難以得出的有用結論。例如要分析電橋電路的幾個電阻參數在滿足什么條件下，可使電阻RL中電流i為零的問題，只需令式(4－6)分子為零，即

由此求得

這就是常用的電橋平衡(i=0)的公式。根據此式可從已知三個電阻值的條件下求得第四個未知電阻之值。4.3.2諾頓定理一、諾頓定理

諾頓定理：含獨立源的線性電阻單口網絡N，就端口特性而言，可以等效為一個電流源和電阻的并聯[圖(a)]。電流源的電流等于單口網絡從外部短路時的端口電流isc；電阻Ro是單口網絡內全部獨立源為零值時所得網絡No的等效電阻[圖(b)]。

isc稱為短路電流。Ro稱為諾頓電阻，也稱為輸入電阻或輸出電阻。電流源isc和電阻Ro的并聯單口，稱為單口網絡的諾頓等效電路。

在端口電壓電流采用關聯參考方向時，單口的VCR方程可表示為

諾頓定理的證明與戴維寧定理的證明類似。在單口網絡端口上外加電壓源u[圖(a)]，分別求出外加電壓源單獨產生的電流[圖(b)]和單口網絡內全部獨立源產生的電流i″=-isc[圖(c)]，然后相加得到端口電壓－電流關系式

上式與式(4－9)完全相同。這就證明了含源線性電阻單口網絡，在外加電壓源存在唯一解的條件下，可以等效為一個電流源isc和電阻Ro的并聯。例4求圖(a)單口網絡的諾頓等效電路。

解：為求isc，將單口網絡從外部短路，并標明短路電流isc

的參考方向，如圖(a)所示。由KCL和VCR求得

為求Ro，將單口內電壓源用短路代替，電流源用開路代替，得到圖(b)電路，由此求得

根據所設isc的參考方向，畫出諾頓等效電路[圖(c)]。例

求圖(a)所示單口的戴維寧-諾頓等效電路。解：為求isc,將單口網絡短路，并設isc的參考方向如圖(a)所

示。用歐姆定律先求出受控源的控制變量i1

得到

為求Ro，將10V電壓源用短路代替，在端口上外加電壓源u，如圖(b)所示。由于i1=0，故

求得或

由以上計算可知，該單口等效為一個4A電流源[圖(c)]。該單口求不出確定的uoc，它不存在戴維寧等效電路。若一端口網絡的等效電阻Req=0，該一端口網絡只有戴維寧等效電路，無諾頓等效電路。注意若一端口網絡的等效電阻Req=

，該一端口網絡只有諾頓等效電路，無戴維寧等效電路。abAReq=0＋－UocabAReq=

Isc教學方法講授法思考題1.一個無源二端網絡的戴維南等效電路是什么？如何求有源二端網絡的戴維南等效電路？

4.4最大功率傳輸定理4.4最大功率傳輸定理

本節介紹戴維寧定理的一個重要應用。在測量、電子和信息工程的電子設備設計中，常常遇到電阻負載如何從電路獲得最大功率的問題。這類問題可以抽象為圖(a)所示的電路模型來分析

網絡N表示供給電阻負載能量的含源線性電阻單口網絡，它可用戴維寧等效電路來代替，如圖(b)所示。電阻RL表示獲得能量的負載。此處要討論的問題是電阻RL為何值時，可以從單口網絡獲得最大功率。

寫出負載RL吸收功率的表達式

欲求p的最大值，應滿足dp/dRL=0，即

由此式求得p為極大值或極小值的條件是

由于

由此可知，當Ro>0,且RL=Ro時，負載電阻RL從單口網絡獲得最大功率。

最大功率傳輸定理：含源線性電阻單口網絡(Ro>0)向可變電阻負載RL傳輸最大功率的條件是：負載電阻RL與單口網絡的輸出電阻Ro相等。滿足RL=Ro條件時，稱為最大功率匹配，此時負載電阻RL獲得的最大功率為

滿足最大功率匹配條件(RL=Ro>0)時，Ro吸收功率與RL吸收功率相等，對電壓源uoc

而言，功率傳輸效率為

=50%。對單口網絡N中的獨立源而言，效率可能更低。電力系統要求盡可能提高效率，以便更充分的利用能源，不能采用功率匹配條件。但是在測量、電子與信息工程中，常常著眼于從微弱信號中獲得最大功率，而不看重效率的高低。例

電路如圖(a)所示。

試求：(l)RL為何值時獲得最大功率；

(2)RL獲得的最大功率；

(3)10V電壓源的功率傳輸效率。解：(l)斷開負載RL，求得單口網絡N1的戴維寧等效電路參

數為

如圖(b)所示，由此可知當RL=Ro=1

時可獲得最大功率。

(2)由公式求得RL獲得的最大功率

(3)先計算10V電壓源發出的功率。當RL=1

時

10V電壓源發出37.5W功率，電阻RL吸收功率6.25W，其功率傳輸效率為例求圖(a)所示單口網絡向外傳輸的最大功率。解：為求uoc，按圖(b)所示網孔電流的參考方向，列出網

孔方程：

整理得到

解得：

為求isc,按圖(c)所示網孔電流參考方向，列出網孔方程

整理得到解得isc=3A

得到單口網絡的戴維寧等效電路，如圖(d)所示。由公式求得最大功率。

為求Ro，求得最大功率傳輸定理用于一端口電路給定,負載電阻可調的情況;一端口等效電阻消耗的功率一般并不等于端口內部消耗的功率,因此當負載獲取最大功率時,電路的傳輸效率并不一定是50%;計算最大功率問題結合應用戴維寧定理或諾頓定理最方便.注意4.5對偶原理4.5對偶原理在對偶電路中，某些元素之間的關系(或方程)可以通過對偶元素的互換而相互轉換。對偶原理是電路分析中出現的大量相似性的歸納和總結。1.對偶原理根據對偶原理，如果在某電路中導出某一關系式和結論，就等于解決了和它對偶的另一個電路中的關系式和結論。2.對偶原理的應用+_R1Rn+_u

ki+_u1+_unuRkinR1R2RkRni+ui1i2ik_例1串聯電路和并聯電路的對偶將串聯電路中的電壓u與并聯電路中的電流i互換，電阻R與電導G互換，串聯電路中的公式就成為并聯電路中的公式。反之亦然。這些互換元素稱為對偶元素。電壓與電流；電阻R與電導G都是對偶元素。而串聯與并聯電路則稱為對偶電路。結論＋－im1R1us1＋－us2R3R2im2網孔電流方程結點電壓方程例2網孔電流與結點電壓的對偶un1G1is1is2G3G2un2

把R和G，us和is，網孔電流和結點電壓等對應元素互換，則上面兩個方程彼此轉換。所以“網孔電流”和“結點電壓“是對偶元素，這兩個平面電路稱為對偶電路。結論定理的綜合應用例1圖示線性電路，當A支路中的電阻R＝0時，測得B支路電壓U=U1,當R＝時，U＝U2,已知ab端口的等效電阻為RA，求R為任意值時的電壓UU–+RRAabAB線性有源網絡應用替代定理：應用疊加定理：U–+RRAabAB線性有源網絡應用戴維寧定理：解RabI+–UocRA解得：4.6特勒根定理和互易定理

4.6特勒根定理和互易定理

4.6.1定理Ⅰ：具有b條支路，n個節點的任意集中參數網絡，在任何瞬間各支路電壓與電流乘積的代數和為零。設網絡的支路電壓為Uk，支路電流為Ik(k=1,2,…b),具有

關聯參考方向，則有任何一個電路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。表明功率守恒4651234231應用KCL:123支路電壓用結點電壓表示定理證明：定理Ⅱ：具有n個節點，b條支路的同樣向圖的兩個集中參數網絡N和。支路電壓分別為表示為Uk和，支路電流分別為表示為和,，則有

擬功率定理定理證明：對電路2應用KCL:123例1

R1=R2=2,Us=8V時,I1=2A,U2=2V

R1=1.4

,R2=0.8,Us=9V時,I1=3A,求此時的U2解把兩種情況看成是結構相同，參數不同的兩個電路，利用特勒根定理2由(1)得：U1=4V,

I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A–+U1+–UsR1I1I2–+U2R2無源電阻網絡

–+4V+–1A–+2V無源電阻網絡

2A–+4.8V+––+無源電阻網絡

3A例2解已知：

U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A–+U1–+U2I2I1P2

–+–+P應用特勒根定理：電路中的支路電壓必須滿足KVL;電路中的支路電流必須滿足KCL;電路中的支路電壓和支路電流必須滿足關聯參考方向；（否則公式中加負號）定理的正確性與元件的特征全然無關。注意4.6.2互易定理

對一個僅含電阻的二端口電路NR，其中一個端口加激勵源，一個端口作響應端口，在只有一個激勵源的情況下，當激勵與響應互換位置時，同一激勵所產生的響應相同。圖互易定理一互易定理一：對互易雙口網絡Nr，當在端口ab施加一電壓源激勵us時，在另一端口cd產生的短路電流icd(如圖(a)所示)，等于將同一us接到端口cd時在端口ab所產生的短路電流iab(如圖(b)所示)。圖互易定理二互易定理二：對互易雙口網絡Nr，當在端口ab施加一電流源激勵is時，在另一端口cd產生的開路電壓ucd(如圖(a)所示)，等于將同一is接到端口cd時在端口ab所產生的開路電壓uab(如圖(b)所示)。圖互易定理三互易定理三：對互易雙口網絡Nr，當在端口ab施加一電流源激勵is時，在另一端口cd產生的短路電流icd(如圖4(a)所示)，等于將一數值與is相等的電壓源接到端口cd時在端口ab所產生的開路電壓uab(如圖(b)所示)。情況1

激勵電壓源電流響應當

uS1=

uS2時，i2=

i1則端口電壓電流滿足關系：i2線性電阻網絡NR+–uS1abcd(a)線性電阻網絡NR+–abcdi1uS2(b)注意證明:由特勒根定理：即：兩式相減，得：將圖(a)與圖(b)中端口條件代入，即:即：證畢！i2線性電阻網絡NR+–uS1abcd(a)線性電阻