2024年吉林省長春市中考數學考前模擬試卷（6月份）

一、選擇題。

1.若〃與-2互為倒數，則〃的相反數是（）

1

A.-2B.C.一D.2

2

2.2023年2月，記者從國家知識產權局獲悉,2022年我國共授權發明專利798000件，數據798000用科

學記數法表示為（）

A.7.98X103B.798X103C.7.98X105D.0.798X103

3.如圖是某幾何體的展開圖，該幾何體是（）

B.圓柱C.圓錐D.三棱柱

4.下列命題中是真命題的是（）

A.確定性事件發生的概率為1

B.平分弦的直徑垂直于弦

C.正多邊形都是軸對稱圖形

D.兩邊及其一邊的對角對應相等的兩個三角形全等

5.如圖，以量角器的直徑A3為斜邊畫直角三角形ABC,量角器上點。對應的讀數是100°,則NBCD

的度數為（）

A.30°B.40°C.50°D.80°

6.一張小凳子的結構如圖所示，AC=BC,Zl=100°,BC=20cm,則AB等于（

A.20sin50°cmB.40cos50°cm

2040

C.---------cmD.---------cm

sm50°cos50°

，尺規作圖的痕跡如圖所示.若AC=2,AB=5,則線段CD的長為（）

462721

A.-B.-C.V21-3D.-------

357

8.如圖，在平面直角坐標系中，矩形。4BC的邊。4在y軸的正半軸上，邊OC在x軸的正半軸上，函數

y=/（％>0）的圖象經過對角線05的中點。，分別交邊A3、5C于點E、點R連結。E、DF、EF.若

△。斯的面積為1,則左的值為（)

y

E

AB

8

B-C6

3D.

9.分解因式：8a-2ab=.

10.請填寫一個常數，使得一元二次方程/-6%+=0沒有實數根.（填寫一個即可）

11.一個正方形和一個直角三角形的位置如圖擺放.若Nl=132。，則N2的大小為度.

12.如圖，在△ABC中，ZACB=90°，中線AD.BE相交于點O.若AC=4fCB=3,貝ljOB的長

為

c

13.如圖，將半徑為2,圓心角為90°的扇形BAC繞A點逆時針旋轉，在旋轉過程中，點B落在扇形8AC

的弧AC上的點。處，點C的對應點為點E,則圖中陰影部分圖形的周長為.

(結果保留7T)

14.二次函數y—x2-2ax+a(a為常數)的圖象經過點A(-4,yi)、B(-1,”)、C(3,*).若jl>

yi>yi,則a的取值范圍為.

三、解答題。

1

15.計算：(-2023)°-3tan30°-+V12.

16.一個黑箱子里裝有紅、白兩種顏色的球共3只，它們除顏色外其余都相同.小明將球攪勻后從箱子中

隨機摸出一個球，記下顏色，再把它放回，不斷重復實驗，發現多次實驗后摸到白球的頻率會逐漸接近

0.67.

(1)箱子中的紅球有個.

(2)從該箱子里隨機摸出一個球，記錄顏色后放回并攪勻，再摸出一個球記錄顏色.用畫樹狀圖(或

列表)的方法，求摸到一個紅球和一個白球的概率.

17.一艘輪船順水航行80千米所用的時間與逆水航行60千米所用的時間相同，若輪船在靜水中的速度為

21千米/小時，求水流的速度.

18.如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,BC=2AD,/BDC=9G°,E是邊8C的中點，連接。E.

(1)求證：四邊形A3即是菱形.

(2)過點E作EF1.AB于點F.若EF=4,sin乙ABE=等，則四邊形ABCD的面積

為

A

19.圖①、圖②均是4X4的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，每個小正方形的頂點

稱為格點，點A、2、尸均在格點上.在圖①、圖②中只用無刻度的直尺，按下列要求作圖，保留適當

的作圖痕跡.

(1)在圖①中，畫以點A、8為頂點，以點P為對稱中心的平行四邊形A3CO.

(2)在圖②中，利用圖①所作的平行四邊形，在邊42上確定點在邊上確定點N,連接PM、

MN,使PM+MN的值最小，這個最小值為.

PP

一一—J__-?

___________________

APAB

圖①圖②

20.家庭過期藥品屬于“國家危險廢物”，處理不當將污染環境，危害健康.某市藥監部門為了了解市民

家庭處理過期藥品的方式，決定對全市家庭作一次簡單隨機抽樣調查.

收集整理數據：本次抽樣調查發現，接受調查的家庭都有過期藥品，現將有關數據呈現如表：

處理方式A繼續使用8直接丟棄C送回收點。擱置家中E賣給藥販廠直接焚燒

所占比例8%51%10%20%6%5%

(1)設計調查方式：有下列選取樣本的方法：

①在市中心某個居民區以家庭為單位隨機抽取；

②在全市醫務工作者中以家庭為單位隨機抽取；

③在全市常住人口中以家庭為單位隨機抽取.

其中最合理的一種是.(只需填上正確答案的序號)

(2)描述數據：此次抽樣的樣本數為1000戶家庭，圖是根據調查結果繪制的不完整的條形統計圖，請

補全此條形統計圖.

處理過期藥品方式的家庭數條形統計圖

ABCDEF處理方式

(3)分析數據：根據調查數據，你認為該市市民家庭處理過期藥品最常見的方式是

(4)分析數據：家庭過期藥品的正確處理方式是送回收點，若該市有800萬戶家庭，請估計大約有多

少戶家庭處理過期藥品的方式是正確的.

21.甲、乙兩個機器臂在生產流水線上組裝零件，兩個機器臂在正常工作過程中的工作效率均始終保持不

變.甲、乙兩個機器臂同時開始工作一段時間后，甲機器臂出現故障，只有乙機器臂在工作，當甲機器

臂故障排除后，甲、乙兩個機器臂共同完成剩下的組裝工作.如圖是兩個機器臂組裝零件的總量y(個)

與乙機器臂在甲機器臂發生故障后工作的時間無(分)之間的函數圖象.

(1)甲機器臂在正常工作過程中的工作效率是每分鐘組裝個零件.

(2)求甲機器臂排除故障后，y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍.

(3)本次工作中甲、乙兩個機器臂組裝完成全部550個零件一共用了多少分鐘？

22.【提出問題】興趣小組活動中老師提出了如下問題：如圖①，在△ABC中，若A2=5,AC=3,求BC

邊上的中線的取值范圍.小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到E,使得，

DE=AD,再連接BE(或將△ACZ)繞點。逆時針旋轉180°得到△EB。)，把AB、AC.24。集中在△

A8E中，利用三角形的三邊關系可得2<AE<8,則1<AO<4.

【方法感悟】當條件中出現“中點”、“中線”等條件時，可以考慮作“輔助線”，把一條過中點的線段

延長一倍，構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中，這種作輔助線

的方法稱為“中線加倍”法.

【解決問題】如圖②，在△ABC中,點。是邊BC的中點，點E在邊A8上，過點。作。FLOE,交

邊AC于點F,連接EE

圖3

(1)求證：BE+CF>EF.

(2)若/A=90°,則線段BE、CF、所之間的等量關系為

(3)【應用拓展】如圖③，在△ABC中，/A8C=90°,點。為邊AC的中點，點E和點尸分別在邊

AB.8C上，點M為線段EF的中點.若AE=2,CF=5,則DM的長為

23.如圖，在AABC中，ZABC=90°,AB=3,AC=5,點P在邊AC上(點尸與點C不重合)，連結

PB,過點C作CQJ_射線8P于點0.

(1)當點。在△ABC內部時，求AP長的取值范圍.

(2)連結AQ,則AQ長的最小值為.

(3)當△8CP是等腰三角形時，求△BC。的面積.

(4)當tcmNPCQ=|時，直接寫出AP的長.

24.在平面直角坐標系中，拋物線y=/+bx+c(b、c為常數)頂點M的坐標為(2,-5)，點尸、點。均

在這個拋物線上，點P的橫坐標為相，點。的橫坐標為2-租，將此拋物線上P、Q兩點之間的部分(包

括P、。兩點)記為圖象G.

(1)求b和c的值.

(2)當點尸與點。重合時，求點P的坐標.

(3)當頂點M在圖象G上時，設圖象G最高點的縱坐標與最低點的縱坐標的差為4,求1與加之間

的函數關系式.

(4)矩形ABC。的頂點分別為A(2/77-1,2)、B(1-m,2)、C(1-m,-3),當圖象G在矩形ABCZ)

內部的部分所對應的函數值y隨x的增大而減小時，直接寫出m的取值范圍.

2024年吉林省長春市中考數學考前模擬試卷（6月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題。

1.若。與-2互為倒數，則a的相反數是（)

1

A.-2B.c.—D.2

2

【解答】解：根據倒數的定義得：a?（-2）1,

解得a--

根據相反數的定義,

的相反心

故選：C.

2.2023年2月，記者從國家知識產權局獲悉,2022年我國共授權發明專利798000件，數據798000用科

學記數法表示為（）

A.7.98X103B.798X103C.7.98X105D.0.798X103

【解答】解：798000=7.98X1()5.

故選：C.

3.如圖是某幾何體的展開圖，該幾何體是()

B.圓柱C.圓錐D.三棱柱

【解答】解：由題意知，圖中展開圖為圓錐的展開圖,

故選：C.

4.下列命題中是真命題的是（）

A.確定性事件發生的概率為1

B.平分弦的直徑垂直于弦

C.正多邊形都是軸對稱圖形

D.兩邊及其一邊的對角對應相等的兩個三角形全等

【解答】解：確定性事件發生的概率為1或0,故A錯誤;

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故8錯誤；

正多邊形都是軸對稱圖形，故C正確；

兩邊及其一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等，故D錯誤，

故選：C.

5.如圖，以量角器的直徑42為斜邊畫直角三角形ABC,量角器上點D對應的讀數是100°則N5CD

的度數為（）

c

A.30°B.40°C.50°D.80°

【解答】解：設的中點為。，連接OD,如圖所示：

,/以量角器的直徑AB為斜邊畫直角三角形ABC,

；.A、C、B、。四點共圓，

:量角器上點。對應的讀數是100°,

：.ZBOD=18Q°-100°=80°,

i

ZBCD=^ZBOD=40°,

6.一張小凳子的結構如圖所示，AC=BC,Zl=100°,BC=20cm,則A3等于（）

A.20sin50°cmB.40cos50°cm

2040

C.---------cmD.---------cm

sin50°cos50°

【解答】解：過點C作CDLA8,垂足為。,

D

X

*/Z1是AABC的一個外角，

.".Zl=Z2+ZCAB=100°,

■:CA=CB,

：.Z2=ZCAB=50°,

?；CD_LAB,

：.AB=2BD,

在R”\5C￡>中，BC=20cm,

：.BD=BC-cos50°=20cos50°(cm),

：.AB=2BD=40cos50°(cm),

故選：B.

7.在△ACS中，NAC8=90°,尺規作圖的痕跡如圖所示.若AC=2,AB=59則線段C。的長為（)

46-2V21

A.-B.-C.Vy21-3D.-------

357

【解答】解：由作法得：平分N8AC,DELAB,

VZACB=90°,BPCD±AC,

???CD=DE,

在RtAADE和RtAADC中，

(AD=AD

IDE=DC'

：.RtAADE^RtAADC(HL),

：.AE=AC=2,

：.BE=AB-AC=3.

在Rtz\AC8中，AC=2,AB=5,BC=y/AB2-AC2=V21,

設CD=x,則DE=x,BD=V21-x,

在Rt/XBEZ)中，BD1=BE2+DE1,

(V21—x)2=x2+32,

解得：x=早，

即CD=空.

故選：D.

8.如圖，在平面直角坐標系中，矩形0ABe的邊。4在y軸的正半軸上，邊0C在x軸的正半軸上，函數

y=：（x〉0）的圖象經過對角線。8的中點。，分別交邊A3、BC于點E、點、F,連結。E、DF、EF.若

△r>￡F的面積為1,則上的值為（）

D.6

【解答】解：設點C坐標為（2a,0）,點A坐標為（0,26）,

?.?四邊形A8CO是矩形,

.?.點8坐標為(2a,2b),

：.OA=BC=2b,AB=OC=2a,

:點。坐標為（0,0）,。是08的中點，

...點。坐標為（a,6）,

???反比例函數y=彳（％>0）過點。（a,b）,

：.b=：,即2出即反比例函數的解析式為y=?

把y=26代y=,中得，x=

即點E坐標為（趣，26）,

把x=2a代入y=苧中得，y=1,即點/坐標（2a,1）,

26）,B（2a,2b）,尸（2a,1）,

a3b3

BE-2a--=-

22a,2-2-

???四邊形A8CO是矩形，

：.ZOAB=ZOCB=90°,

如圖，取中點G,取5C中點H,

??,點Q,G分別是08,AB的中點，

1

：.DG=20A=b,DG//0A,

：.ZDGB=ZOAB=90°,即0G=4且是△BDE中BE邊上的高,

???點。點〃分別是05,5c的中點，

1

：.DH=^0C=a,DH//OC,

：.ZDHB=ZOCB=90°,

:?DH=a,且是尸中8尸邊上的高，

???四邊形ABC。是矩形，

ZEBF=90°,

0O

在ZXEB/中，Z.EBF=90%BE=沙BF=沙

)，

:.S>△E皿BF=52xBExBF=52X5261X25/=-58-

在ABDE中,Z.DGB=90%DG=b,BE=|Q,

?1133

??SABDE~xBExDG—xQx=4ab.

在△3。尸中=90。，DH=a,BF=|b,

1I33

:?SABDFx)

—5LDZHxBFZ=5x41ax5/=-ab,

?333

??S四邊形EDFB=S.DE+S^BDF=40。+4=2ab，

?393

??S〉DEF=S四邊^EDFB—SXEBF=2ab一百ab=^ab,

又?「SADEF=1,

38

--1即--

8ab3

8

---

3

故選：B.

二、填空題。

9.分解因式：8a-2ab=2a(4-b).

【解答】解：8a-2ab=2a(4-b),

故答案為：2a(4-6).

10.請填寫一個常數，使得一元二次方程/-6x+元(答案不唯一)=0沒有實數根.(填寫一個即可)

【解答】解：設所填寫的常數為出根據題意得：

A=(-6)2-4-m<0,

解得：1n>9,

...符合條件的常數可以為10.

故答案為：10(答案不唯一).

11.一個正方形和一個直角三角形的位置如圖擺放.若Nl=132°,則/2的大小為48度.

VZ1=132°,

；.N3=180°-Nl=48°,

VZ4+Z3=90°,Z4+Z2=90°,

???N2=N3=48°；

故答案為：48.

12.如圖，在△ABC中，ZACB=90°，中線A。、相交于點0.若AC=4,CB=3,貝UOB的長為

【解答】解：為AC的中點，

ACE=^AC=2,

：.BE=y/CE2+BC2=V22+32=V13,

連接ED

則ED是△ABC的中位線，

1

：.DE||AB.DE/AB,

：.ZOED=ZEBA,ZODE=ZDAB,

工△ODEs^OAB,

.OEDE1

OB~AB~2

22

：.0B=仔BE=|V13.

故答案為：|V13.

13.如圖，將半徑為2,圓心角為90°的扇形8AC繞A點逆時針旋轉，在旋轉過程中，點8落在扇形B4C

的弧AC上的點。處,點C的對應點為點E,則圖中陰影部分圖形的周長為—|兀+2」結果保留n)

E

Ai

k\

BC

【解答】解：連接5。，如圖，

??,將半徑為2,圓心角為90°的扇形A4C繞點A逆時針旋轉，在旋轉過程中，點3落在扇形A4C的弧

上的點。處，點。的對應點為點

：.AB=AD=BC=BD=2,ZADE=ZABC=90°,

???△A3。是等邊三角形，

ZABD=60°,

???弧A￡)的長=6；缺之—稱九，弧AE的長=9,缺之=江,

loU3loU

___―2

???陰影部分的周長=AB+A&+DE=|7r+7r+2,

1

14.二次函數y=x-lax+a(Q為常數)的圖象經過點A(-4,yi)、B(-1,”)、C(3,*).若yi>

*>”,則a的取值范圍為—<a<l_.

【解答】解：??,>=/-2ax+a,

...拋物線的對稱軸為直線x=-姜=a,且開口向上，

???點A(-4,yi)在對稱軸的左側，C(3,”)在對稱軸的右側，且點A到對稱軸的距離大于點。到

對稱軸的距離，

a-(-4)>3-〃>〃-(_1),

1

解得：—JV。VI.

1

故答案為：—*VaVl.

三、解答題。

1

15.計算：(-2023)°-3tan300-+V12.

【解答】解：原式=1-3X孚-(-2)+2V3

=1-V3+2+2百

=V3+3.

16.一個黑箱子里裝有紅、白兩種顏色的球共3只，它們除顏色外其余都相同.小明將球攪勻后從箱子中

隨機摸出一個球，記下顏色，再把它放回，不斷重復實驗，發現多次實驗后摸到白球的頻率會逐漸接近

0.67.

(1)箱子中的紅球有1個.

(2)從該箱子里隨機摸出一個球，記錄顏色后放回并攪勻，再摸出一個球記錄顏色.用畫樹狀圖(或

列表)的方法，求摸到一個紅球和一個白球的概率.

【解答】解：(1).??摸到白球的頻率會逐漸接近0.67,

摸到紅球的頻率會逐漸接近1-0.67=0.33,

，箱子中的紅球有3X0.33^1個，

故答案為：1;

(2)樹狀圖如圖所示，

如圖表示所有可能的情況，共有9種等可能的結果，而摸到一個紅球和一個白球的結果有4次，可知其

4

概率為

9

4

故答案為：

9

17.一艘輪船順水航行80千米所用的時間與逆水航行60千米所用的時間相同，若輪船在靜水中的速度為

21千米/小時，求水流的速度.

【解答】解：設水流的速度為尤千米/小時,

8060

根據題意,"G=五二?

解得：x=3,

經檢驗，尤=3是所列方程的根.

答：水流的速度為3千米/小時.

18.如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,BC=2AD,ZBDC=90°,E是邊8c的中點，連接。E.

(1)求證：四邊形A8即是菱形.

⑵過點E作所UB于點況若臣=4,si山BE=等則四邊形ABC。的面積為」^

BEC

【解答】(1)證明：???NBOC=90°,E是邊3。的中點，

1

：.DE=BE=訶,

又??,3C=2A0,

：.AD=BE

9：AD//BC

???四邊形ABED是菱形.

(2)VEF1AB,

EF_275

.'.sinZ-ABE=BE=~f

ppA.f—

???BE=sinLABE=^=2逐,

：.AB=BE=2逐,

:?S菱形ABED=AB-EF=x2V5x4=8V5,

又是邊8C的中點,

11

:?S〉DCE=S^DBE=qS菱形ABED=2x8A/5=4V5,

:，S四邊形ABCD~S^DCE+S菱形ABED="遮+8遮=12遍,

故答案為：12V5.

19.圖①、圖②均是4X4的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，每個小正方形的頂點

稱為格點，點A、8、尸均在格點上.在圖①、圖②中只用無刻度的直尺，按下列要求作圖，保留適當

的作圖痕跡.

(1)在圖①中，畫以點A、8為頂點，以點P為對稱中心的平行四邊形ABCD

(2)在圖②中，利用圖①所作的平行四邊形，在邊上確定點在邊AD上確定點N,連接PM、

3V2

使PM+MN的值最小，這個最小值為——.

-2-

圖①圖②

【解答】解：(1)如圖所示，平行四邊形A8CD即為所求;

(2)解：如圖所示，點A/、N即為所求,

:點尸和點P'關于48對稱,

：.PM=P'M,

當P、M、N三點共線，且PN_LA。時，PA/+MN最小,

此時PM+MN=P，M+MN=P'N,

圖①圖②

由圖可知，在RtZkAB。中，AB=DB=2,

：.ZBAD=ZBDA^45°,

：.AN=AM-cos45°=察AD=""=2位，

2cos45

DN=AD-AN=2五一號=苧，

：.P'N=DN=竽.

3>/2

故答案為：-

20.家庭過期藥品屬于“國家危險廢物”，處理不當將污染環境，危害健康.某市藥監部門為了了解市民

家庭處理過期藥品的方式，決定對全市家庭作一次簡單隨機抽樣調查.

收集整理數據：本次抽樣調查發現，接受調查的家庭都有過期藥品，現將有關數據呈現如表：

處理方式A繼續使用8直接丟棄。送回收點。擱置家中E賣給藥販方直接焚燒

所占比例8%51%10%20%6%5%

(1)設計調查方式：有下列選取樣本的方法：

①在市中心某個居民區以家庭為單位隨機抽取；

②在全市醫務工作者中以家庭為單位隨機抽取；

③在全市常住人口中以家庭為單位隨機抽取.

其中最合理的一種是③.(只需填上正確答案的序號)

(2)描述數據：此次抽樣的樣本數為1000戶家庭，圖是根據調查結果繪制的不完整的條形統計圖，請

補全此條形統計圖.

處理過期藥品方式的家庭數條形統計圖

戶數

(3)分析數據：根據調查數據，你認為該市市民家庭處理過期藥品最常見的方式是直接丟棄

(4)分析數據：家庭過期藥品的正確處理方式是送回收點，若該市有800萬戶家庭，請估計大約有多

少戶家庭處理過期藥品的方式是正確的.

【解答】解：(1)??.抽取的樣本具有代表性，

③在全市常住人口中以家庭為單位隨機抽取更具有代表性；

故答案為：③；

(2)C的數量為：1000X10%=100；。的數量為：1000X20%=200,補圖為:

處理過期藥品方式的家庭數條形統計圖

戶數

(3)根據調查數據，你認為該市市民家庭處理過期藥品最常見的方式是直接丟棄；

(4)800X10%=80(萬戶)；

答：估計大約有80萬戶家庭處理過期藥品的方式是正確的.

21.甲、乙兩個機器臂在生產流水線上組裝零件，兩個機器臂在正常工作過程中的工作效率均始終保持不

變.甲、乙兩個機器臂同時開始工作一段時間后，甲機器臂出現故障，只有乙機器臂在工作，當甲機器

臂故障排除后，甲、乙兩個機器臂共同完成剩下的組裝工作.如圖是兩個機器臂組裝零件的總量y(個)

與乙機器臂在甲機器臂發生故障后工作的時間x(分)之間的函數圖象.

(1)甲機器臂在正常工作過程中的工作效率是每分鐘組裝3個零件.

(2)求甲機器臂排除故障后，y與龍之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍.

(3)本次工作中甲、乙兩個機器臂組裝完成全部550個零件一共用了多少分鐘？

130-70

【解答】解：(1)乙的工作效率是每分鐘組裝個數為:=6個,

550-130

甲的工作效率是每分鐘組裝個數為：----------6=8個，

40-10

甲每分鐘組裝8個；

(2)>=130+(6+8)(x-10)=14x70,

自變量尤的取值范圍為：10WxW40；

70

(3)甲、乙兩個機器臂組裝完成全部550個零件一共用時為：一+40=45分，

6+8

22.【提出問題】興趣小組活動中老師提出了如下問題：如圖①，在AABC中，若AB=5,AC=3,求8C

邊上的中線AO的取值范圍.小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到E,使得，

DE=AD,再連接BE(或將△ACZ)繞點。逆時針旋轉180°得到△即。)，把A3、AC,24。集中在△

A8E中，利用三角形的三邊關系可得2<AE<8,則1<AO<4.

【方法感悟】當條件中出現“中點”、“中線”等條件時，可以考慮作“輔助線”，把一條過中點的線段

延長一倍，構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中，這種作輔助線

的方法稱為“中線加倍”法.

【解決問題】如圖②，在△ABC中，點。是邊的中點，點E在邊上，過點。作DFLDE,交

邊AC于點尸，連接EF.

、'EDCBF

圖1圖2

(1)求證：BE+CF>EF.

(2)若44=90°,則線段8￡、CF,所之間的等量關系為BE?+CF2=EF2.

(3)【應用拓展】如圖③，在△ABC中，ZABC=90°,點。為邊AC的中點，點E和點廠分別在邊

AB.BC上，點M為線段EF的中點.若AE=2,CF=5,則。M的長為標

【解答】(1)證明：如圖，延長到點G,使得EO=OG,連接GF、GC,

A

:?EF=FG,

???。是BC的中點，

：.BD=CD

又?：NBDE=NGDC,

：.ADBE^ADCG(SAS),

：.BE=CG,

在△C/G中

■:CG+CF>GF,

：?BE+CF>EF；

(2)解：如圖，延長ED到點G,使得ED=DG,連接GRGC,

VZA=90°,

AZB+ZACB=90°,

由(1)可知△OBEgADCG,EF=FG,

；?BE=CG,NB=NBCG,

：.ZGCA=ZBCG+ZACB=90°

在Rt△。/G中,

GC2+CF2^GF2,

:.BE1+CF2=EF2,

故答案為：BE1+CF2=EF2；

(3)如圖，如圖，延長ED到點G,使得ED=DG,連接GF、GC,

：.ZA+ZACB=90°,

由(1)可知△D4E也△￡>CG,

：.AE=CG=2,ZA=ZACG,

：./GCB=ZBCA+ZACG=90°,

在RtzXC尸G中，

?/GF=VGC2+CF2=V22+52=V29,

,：M,D是EF、EG的中點，

DM是△EFG的中位線,

：.DM=^FG=等,

故答案為：|V29.

23.如圖，在△ABC中，NABC=90°,4B=3,AC=5,點尸在邊AC上(點尸與點C不重合)，連結

PB,過點C作CQ_L射線BP于點Q.

(1)當點。在△ABC內部時，求AP長的取值范圍.

(2)連結A。，則AQ長的最小值為2_.

(3)當△BC尸是等腰三角形時，求△BC。的面積.

(4)當tanNPCQ=飄，直接寫出AP的長.

c

【解答】解：(1)根據題意得：

當點。在△ABC內部時，ZAPS>90°,

VZABC=90°,AB=3,AC=5,

：.BC=y/AC2-AB2=4,

11

當NAP8=90°,即時，^SLABC=^ACxBP=^ABxBC,

11

x5xBP=-x3x4,

22

解得：BP=^,

：.AP=7AB2-BP2=I，

Q

，當點。在△ABC內部時，A尸長的取值范圍為0V4PV/

(2)：CQ_L射線BP,

：.ZCQB=90°,

/.點。在以BC為直徑的圓上運動，

如圖，取BC的中點。，連接。。，OA,則當點A,Q,O三點共線時，A。最短,

：.OB=OQ=^BC=2,OA=y/AB2+OB2=V13,

：.AQ=。4一。Q=V13-2,

即AQ長的最小值為vn-2.

故答案為：V13—2；

（3）當CP=8C=4時，此時點。為BP的中點,

.1

,?S^BCQ=2S^BCP9

如圖，過點8作8O_LAC于點

由（1）得：BD=竽,

111224

:上即=^CPXBD=5X4X￥=JT,

.112

??S^BCQ=]S2BCP~虧；

當CP=BP時，設AC交圓。于點E,連接5E,

??,BC為圓。的直徑,

：?/BEC=NBQC=90°,

■:/CPQ=/BPE,BP=CP,

:?△CPQQXBPE(ASA),

:?SM:PQ=SABPE,

??S/\BCQ=SACPQ+SACPB=S/\BPE+SACPB=SACBE,

由⑴得：BE=gAE=1，

55

CE=5一卷=學，

.11121696

??eS^CBE=qCExBE=2X~g~X耳=25；

?q_96.

??、ABCQ-25；

綜上所述，當△及?尸是等腰三角形時，△BC。的面積為9或1|；

(4)如圖，當點。在△ABC內部時，設AC交圓。于點R連接3R

???5。為圓。的直徑，

：?NPFB=NBFC=90°,

???/BPF+NPBF=9U°,

9：ZCQP=90°,

：.ZBPF+ZPCQ=90°,

：.ZPBF=ZPCQ,

tanZ-PBF=