第3節第一課時變量間的相關關系及回歸模型2023屆1《高考特訓營》·數學課程標準解讀命題方向數學素養1.結合實例，了解樣本相關系數的統計含義.2.結合實例，會通過相關系數比較多組成對數據的相關性.3.結合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數的統計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數的最小二乘估計方法.4.針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測1.變量間相關關系的判斷數據分析數學運算數學抽象2.樣本的相關系數3.經驗回歸模型0102知識特訓能力特訓01知識特訓知識必記拓展鏈接對點訓練1．變量間的相關關系(1)常見的兩變量之間的關系有兩類，一類是函數關系，另一類是相關關系：與函數關系不同，______________________________.(2)從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區域內，兩個變量的這種相關關系稱為________；點散布在左上角到右下角的區城內，兩個變量的這種相關關系稱為________．相關關系是一種非確定性關系正相關負相關2．兩個變量的線性相關(1)一般地，如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在一條________附近，我們就稱這兩個變量線性相關；如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關．直線

正相關當r<0時，表明兩個變量________．r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性________．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間兒乎不存在線性相關關系．通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關性．負相關越強1.[知識拓展]恩格爾系數(Engel’sCoefficient)是根據恩格爾定律得出的比例數，指居民家庭中食物支出占消費總支出的比重，是表示生活水平高低的一個指標．其計算公式為恩格爾系數＝食物支出金額÷總支出金額．一個家庭收入越少，家庭收入中或者家庭總支出中用來購買食物的支出所占的比例就越大，隨著家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭總支出中用來購買食物的支出所占比例將會下降．恩格爾系數是預測生活水平高低的一元線性回歸模型．2．[知識解析]相關關系和回歸分析的注意點(1)易混淆相關關系與函數關系．兩者的區別是函數關系是一種確定的關系，而相關關系是一種非確定的關系，函數關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系．(2)回歸分析中易誤認為樣本數據必在回歸直線上，實質上回歸直線必過點，可能所有的樣本數據點都不在直線上．(3)利用回歸方程分析問題時，所得的數據易誤認為是準確值，而實質上是預測值(期望值)．答案：2.62．[教材改編]兩個變量的相關關系有①正相關，②負相關，③不相關，則下列散點圖從左到右分別反映的變量間的相關關系是(

)

A．①②③

B．②③①C．②①③ D．①③②D解析：第一個散點圖中，散點圖中的點是從左下角區域分布到右上角區域，是正相關；第三個散點圖中，散點圖中的點是從左上角區域分布到右下角區域，是負相關；第二個散點圖中，散點圖中的點的分布沒有什么規律，是不相關．所以應該是①③②.

D解析：由散點圖得相關關系為負相關，所以r1，r2<0，因為剔除點(10，21)后，剩下點的數據更具有線性相關性，|r|更接近1，所以－1<r2<r1<0.選D.4．[真題體驗](2020·全國Ⅰ卷)某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發芽率y和溫度x(單位：℃)的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發芽試驗，由試驗數據(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散點圖：

D02能力特訓特訓點1特訓點2特訓點3[題組·沖關]1．在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數據，并制作成如圖所示的人體脂肪含量與年齡關系的散點圖．根據該圖，下列結論正確的是(

)A．人體脂肪含量與年齡正相關，且脂肪含量

的中位數等于20%B．人體脂肪含量與年齡正相關，且脂肪含量的中位數小于20%C．人體脂肪含量與年齡負相關，且脂肪含量的中位數等于20%D．人體脂肪含量與年齡負相關，且脂肪含量的中位數小于20%特訓點1變量間相關關系的判斷【自主沖關類】B解析：觀察圖形，可知人體脂肪含量與年齡正相關，且脂肪含量的中位數小于20%，故選B.2．已知變量x和y滿足關系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關，下列結論正確的是(

)A．x與y正相關，x與z負相關B．x與y正相關，x與z正相關C．x與y負相關，x與z負相關D．x與y負相關，x與z正相關C[錦囊·妙法]判斷相關關系的2種方法(1)散點圖法：如果所有的樣本點都落在某一函數的曲線附近，變量之間就有相關關系．如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關關系．(2)相關系數法：利用相關系數判定，當|r|越趨近于1，相關性越強．

特訓點2樣本相關系數【師生共研類】(1)求該地區這種野生動物數量的估計值(這種野生動物數量的估計值等于樣區這種野生動物數量的平均數乘以地塊數)；(2)求樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相關系數(精確到0.01)；(3)根據現有統計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區這種野生動物數量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由．

(3)分層隨機抽樣：根據植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進行分層抽樣．理由如下：由(2)知各樣區的這種野生動物數量與植物覆蓋面積有很強的正相關．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物數量差異也很大，采用分層隨機抽樣的方法較好地保持了樣本結構與總體結構的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區這種野生動物數量更準確的估計．模型擬合效果的判斷(1)殘差平方和越小，模型的擬合效果越好．(2)相關指數R2越大，模型的擬合效果越好．(3)回歸方程的擬合效果，可以利用相關系數判斷，當|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關性越強．大學生是國家的未來，代表著國家可持續發展的實力，能夠促進國家綜合實力的提高．據統計，2016年至2020年我國高校畢業生人數y(單位：萬人)的數據如下表：年份20162017201820192020年份代號x1617181920高校畢業生人數y(單位：萬人)765795820834874(1)根據上表數據，計算y與x的相關系數r，并說明y與x的線性相關性的強弱．(已知：0.75≤|r|≤1，則認為y與x線性相關性很強；0.3≤|r|<0.75，則認為y與x線性相關性一般；|r|<0.3，則認為y與x線性相關性較弱)(2)求y關于x的線性回歸方程，并預測2022年我國高校畢業生的人數(結果取整數)．

考向1回歸模型的辨析典例2某學校開展研究性學習活動，某同學獲得一組實驗數據如下表：特訓點3經驗回歸模型【多維考向類】x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01

D考向2線性經驗回歸問題典例3某研究機構為調查人的最大可視距離y(單位：米)和年齡x(單位：歲)之間的關系，對不同年齡的志愿者進行了研究，收集數據得到下表：x2025303540y167160150143130

2．待定系數法：利用經驗回歸直線過樣本點的中心求系數．3．利用經驗回歸方程進行預測，把線性回歸方程看作一次函數，求函數值．考向3非線性經驗回歸問題典例4數獨是源自18世紀瑞士的一種數學游戲，玩家需要根據9×9盤面上的已知數字，推理出所有剩余空格的數字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮(3×3)內的數字均含1－9，不重復．數獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數獨大賽初級組的比賽，賽前小明在某數獨APP上進行一段時間的訓練，每天的解題平均速度y(秒)與訓練天數x(天)有關，經統計得到如表的數據：

(2)當x