2024學年第一學期長寧區高三數學教學質量調研試卷

考生注意：

1.答題前，務必在答題紙上將姓名，學校，班級等信息填寫清楚，并貼好條形碼.

2.解答試卷必須在答題紙規定的相應位置書寫，超出答題紙規定位置或寫在試卷，草稿紙上的答案一律

不予評分.

3.本試卷共有21道試卷，滿分150分，考試時間120分鐘.

一,填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分）考生應在答題紙的

相應位置直接填寫結果.

1.設全集為R，集合A=（^X2-2X-3>o｝,則A=.

2.已知圓錐的底面半徑為1,母線長為2,則該圓錐的體積是（結果保留兀）.

3.曲線y=lnx在點（1,0）處的切線方程是.

4.以C（3,4）為圓心,V3為半徑的圓的標準方程是.

5.投擲兩枚質地均勻的骰子，觀察擲得的點數，則擲得的點數之和為7的概率是.

6.仆-工丫的二項展開式中的常數項是.\y

7.已知一，，一，3,函數y=無"的大致圖像如

3333

1

圖所示廁”第7題圖

8.已知向量值=（1,2）石=（3,-1）,則向量加在方方向上的投影的坐標是.

9.已知m2^+log2x<2,y5：x<〃z,若a是P的充分條件,則實數的取值范圍是.

10.若正實數a,6滿足a6=2a+b,貝!J“+2Z?的最小值是.

11.設。為坐標原點，從集合｛123,4,5,6,7,8,9｝中任取兩個不同的元素x,y，組成A,3兩點的坐標（x,y）,

（y,x）SAAOB<10的概率為.

12.WP,M,N分別位于正方體ABCD-AB'C'D'的面上,/W=l,則PM-PN的最小值是.

二,選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13,14題每題4分，第15,16題每題5分）每題有且只有一個

正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.已知復數z和N,則下列說法正確的是.........................................（）

A.z+N一定是實數，B.z—2一定是虛數，

C.若z+乞=0,則z是純虛數，D.若z—N=0,貝1Jz是純虛數.

14.已知非零空間向量心B和己,則下列說法正確的是................................（）

A.若萬貝!〃dB.若五貝！

c.若五，〃人則B〃dD.若五，B,五〃乙則d

15.已知函數y=sin1&x+￡|（o>0）在區間",鼻上單調遞增，則0的取值范圍是....（）

A.（O,1],B.（O,1）,C“,g，D/O,|.

16.數列｛%｝為嚴格增數列，且對任意的正整數n，都有&L?瓦，則稱數列｛%｝滿足“性質Q”.

zi+1n

①存在等差數列｛%｝滿足“性質Q”.

②任意等比數歹式%｝，若首項4>0,則｛%｝滿足“性質C”.

下列選項中正確的是..............................................................（）

A.①是真命題，②是真命題，B.①是真命題，②是假命題.

C.①是假命題，②是真命題，D.①是假命題，②是假命題.

三,解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.

17.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）.

在VABC中，角A,8,C所對的邊分別為<2,Z?,c,J!LZ?sinA-73acosB=0.

（1）求角8的大小.

（2）若6=2,VAfiC的面積為a,請判斷VA5c的形狀，并說明理由.

18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）.

如圖所示,四棱柱A3CD-A4GR的底面ABCD是正方形,0是底面的中心,\O±平面ABCD,

A3=A4,=&.

（1）求證：4c，平面g

（2）求直線與平面441a所成角的正弦值.

19.（本題滿分14分，第1小題滿分4分，第2小題第①問滿分4分，第2小題第②問滿分6分）.

2024年第七屆中國國際進口博覽會（簡稱進博會）于11月5日至10日在上海國家會展中心舉行.

為了解進博會參會者的年齡結構，某機構隨機抽取了年齡在15-75歲之間的200名參會者進行調查，并按

年齡繪制了頻率分布直方圖，分組區間為[15,25）,[25,35）,[35,45）,[45,55）,[55,65）,[65,75],把年齡落

在區間[15,35）內的人稱為“青年人”，把年齡落在區間[35,65）內的人稱為“中年人”，把年齡落在[65,75]

內的人稱為“老年人”.

（1）求所抽取的“青年人”的人數.

（2）以分層抽樣的方式從“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名參會者做進一步訪談，發現

其中女性共4人，這4人中有3人是“中年人”.再用抽簽法從所抽取的10名參會者中任選2人.

①簡述如何采用抽簽法任選2人.

②設事件A：2人均為“中年人”，事件3：2人中至少有1人為男性，判斷事件A與事件3是否獨

立,并說明理由.

20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）.

已知橢圓的左，右焦點分別為好(-IQ),B，且經過點.

(1)求該橢圓的離心率.

(2)點。為橢圓上一點，且位于第三象限，若VPQE的面積為3,求點。的坐標.

(3)是橢圓上不重合的四個點,AB與CD相交于點耳，且濕?①=0,求|AB|+|CD|的

取值范圍.

21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分).

雙曲余弦函數coshx=—+—，雙曲正弦函數sinhx=e'—e'.

22

(1)求函數coshx="+e'的單調增區間.

2

(2)若函數丫=85112%-4511±%在［0,+00)上的最小值是；,求實數。的值.

(3)對任意xeR,cosh(x)Ncosx+zn/恒成立，求實數機的取值范圍.

參考答案

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分)考生應在答題紙

的相應位置直接填寫結果.

1.(—1,3),2.71,3.y=x—1,4.(%-4)2+(>—3)2=3,5.—,6.—20.

二,選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第13,14題每題4分，第15,16題每題5分)每題有且只有一個

正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.A14.D15.A16.B

三,解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.

17.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分).

(1)由正弦定理可得sinBsinA-百sinAcosB=0..................................2分

因為sinAw0，所以tanB=A/3................................................2分

TV

所以2=§.................................................................2分

=—〃csin3=J^

(2)SyABC

所以ic=4.................................................................2分

由余弦定理?=〃2+02-24cosB=4,得々2+c2=8.......................2分

即當+C?=8，解得c=2,〃=2

c

所以VABC是等邊三角形...............................................4分

18.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分).

(1)因為ABCD是正方形，所以==

因為1底面ABCD，所以OC是AC在平面ABCD上的投影.

所以4。，班>................2分

由明=五,。4=0。=1，4。，底面至8.

可得4。=1，4。=^/2.

所以朋2+4。2=4。2,即有AB

M"C...................................................................................2分

因為^〃臺耳，所以±4C

所以AC，平面BDDtB1............................................................................................................2分

（2）設點0到平面A4t3的距離為瓦

所以〃=畢=也........................4分

V33

得直線＜?A與平面所成角e的正弦值

73

sin6=.......2分

3

方法2：（建系）

以0為原點，射線。4,03,04為無軸,y軸,z軸的正半軸，建立空間直角坐標系.

可得A(l,0,0),8(0,1,0),A(0,0,1)

則函1=(0,0,1),X51=(―1,0,1),須=(―1,Lo).........................................................2分

從而可知平面AA.B的一個法向量為7=（1,1,1）......................................................................2分

所以直線O\與平面AA.B所成角Q的正弦值

>,西_16

4分

q.阿一6一3

19.本題滿分14分，第1小題滿分4分，第2小題第①問滿分4分，第2小題第②問滿分6分）.

(1)(2a+0.01x2+0.015x2)x10=1

解得：a=0.025........................................................................................................................2分

200x0.4=80

所以所抽取的“青年人”人數為80.......................................................................................2分

（2）先將10名參會者進行編號：1,2,……10,并將10個號碼寫在完全相同的紙片上，放入某容器中充分

混合均勻,再取出2張,2張紙片上所對應的參會者就是要選取的人。

4分

（知道要編碼2分,充分混合均勻隨機抽2張或者依次抽兩張2分）

（3）“青年人”“中年人”“老年人”的人數之比為0.04:0.05:0.01=4:5:1

所以10人中“中年人”共有5人.

2人均為“中年人”的概率尸（A）=導=：.

人中至少有人為男性的概率尸（）立=12分

218=1-襦一百2

2人均為“中年人”且至少有1人為男性的概率尸（an3）=G

2分

do43

因為P（AnS）*P（A）.P（B）,所以事件A與事件B不獨立.2分

20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）.

22

（1）橢圓方程為工+乙=1..............................................................................................2分

43

c1

所以e=S=±.............................................................................................................2分

a2

（2）①尸乙=35,直線3尸的3的解析式為y=—.......................................................2分

244

因為VPQK的面積為3,所以尸工邊上的高為（

（3）①若AB或CD垂直于無軸，則|AB|+|C必=7........................................................1分

②若AB和CD不垂直于x軸.

設直線AB的解析式為v=k（x+1）,點A（M，必）,B（X2,y2）

聯立方程組<彳+行―1,得(3+4左2卜2+8左2*+4左2-12=0

y=k(x+1)

-8k24k2-12

從而xx+x2-14分

3+4r3+4左2

『_8左2],4左2—1212僅?+1)

AB=^l+k2-

叱3+4左2廠,3+4左2

3+4左2

同理CDJ2僅2+1)

A?Q7.2

12僅2+1)112k2+1)84僅4+2/+1)

|AB|+|CD|=

3+4左24+3左212左4+25左2+1212廿+4+25

io4S

因為12左2+淳+25249,所以1工,到+|。4<7............................3分

綜上,|AB|+|CD|的取值范圍是3,7

21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）.

(1)(coshx)=--1—

令(coshx)=0,解得％=。.............................................2分

當尤>。時,(coshx)=--->0

所以函數coshx=^￡的單調增區間是(0，+8)........................2分

2

(2)y=cosh2x-asinhx=---------e=-^ex-ex^--|(ex-e^j+l

令f=e*-e"三e'+e->0.

所以f=e"-0在［0,+8）上是嚴格增函數.

得，當xw[0,+oo)時,fe[0,+oo)

2分

a<0時,y=；產-卞+1嚴格增,y=1，舍去,

min2分

4>。時,，min=-：〃2+1=1，所。=6...................................2分

84

(3)①證明sinh(x)>x(xe[0,+oo])

X.-x

令，(x)=sinh(x)-x,t\x)=cosh(x)-1=----1>0

所以(%)=sinh(x)-%在[0,+8]上單調增，則(無)之(0)=0..................2分

②證明cosh(x)-cosx-x2>0

令g(%)=cosh(x)-cosx-X2,g(o)=o,g<；v)=sinh(x)+sinx-2x,g'(0)=0

令/z(x)=g'(x)=sinh(x)+sinx-2x,"(%)=cosh(x)+cos尤一2為偶函數

令c(尤)="(％)=cosh(x)+cosx-2

則當xe[0,+co],cr(x)=sinh(x)-sinx>x-sinx>0

所以NO,從而<(犬)=sinh(