蘇科版數學八年級上期末復習試題

一.選擇題（共10小題）

1.在一些美術字中，有的漢字是軸對稱的.下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（）

鵬B程萬里

【答案】D

【解析】

【分析】根據軸對稱圖形的定義逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形.

【詳解】解:A、不是軸對稱圖形，不符合題意；

B、不是軸對稱圖形，不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，不符合題意；

D、是軸對稱圖形，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，熟知軸對稱圖形的定義是解本題的關鍵.

2.在平面直角坐標系中，點A（2,4）與點5（以力關于,軸對稱，則m+〃的值為（）

A.6B.-6C.2D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化——軸對稱，熟知關于y軸對稱的點縱坐標相同，橫坐標互為

相反數是解題的關鍵.根據關于y軸對稱的點縱坐標相同，橫坐標互為相反數求出加、〃的值，然后代

值計算即可.

【詳解】解：：點A（2,4）與點5（機句關于y軸對稱，

/.m=-2,〃=4,

/.m+n=—2+4—2,

故選C.

3.如圖，在RtZkABC中，NC=90°,4AC的平分線4區交3。于點E,ED,A6于點。，若VA3C

的周長為12,則VBDE的周長為4,則AC為（）

A

A.3B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查求線段長，涉及角平分線定義、全等三角形的判定與性質、三角形周長等知識，先由

三角形全等的判定定理得到RtADE^RiACE（AAS）,進而確定團=￡C,AD=AC，再由

VABC的周長為12,V3DE的周長為4,表示出（應＞+5￡+。石）+（短＞+4。）=12、

6D+鹿+DE=4即可得到答案，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解決問題的關鍵.

【詳解】解：AE是/B4c的角平分線，ZC=90°,ED±AB，

ZDAE=ZCAE,ZC=ZADE=90°,

在RtADE和RtACE中，

2C=ZADE=90°

＜NDAE=NCAE

EA=EA

：.RtADE^RtACE（AAS）,

:.ED=EC,AD=AC，

VA3C的周長為12,

:.AB+AC+BC=12,則（4￡>+5￡>）+4。+（5￡+￡。）=12,即

（BD+BE+DE）+（AD+AC）=12,

VBDE的周長為4,

:.BD+BE+DE=4

:.AD+AC=S,即AC=4,

故選：B.

4.下列等式成立的是（）

A.后=±5B.±VoJ6=±0.4

C#^=-6D.^<=3

【答案】B

【解析】

【分析】根據算術平方根、立方根逐項計算即可求解.

【詳解】解：A.725=5,故該選項不正確，不符合題意；

B.±70J6=±0.4.故該選項正確，符合題意；

C.卜6）2=6,故該選項不正確，不符合題意；

D.'（—3）3=—3，故該選項不正確，不符合題意.

故選B

【點睛】本題考查了求一個數的立方根、算術平方根，正確的計算是解題的關鍵.

5.在同一平面直角坐標系中，函數y=近與y=-左的圖象大致是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了一次函數的圖象，根據左的值分別判斷出一次函數與正比例函數的圖象分布位置，

兩者一致即為正確答案，掌握一次函數的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：當人＞0時，一次函數丁=—依一左的圖象經過第二、三、四象限，正比例函數y=乙的圖

象經過第一、三象限，選項中沒有符合條件的圖象；

當左＜0時，一次函數丁=一日一左的圖象經過第一、二、三象限，正比例函數y=H的圖象經過第二、

四象限，B選項的圖象符合要求；

故選：B.

6.下列關于兩個三角形全等的說法：正確的說法個數是（）

①三個角對應相等的兩個三角形全等；②三條邊對應相等的兩個三角形全等；③有兩邊和它們的夾角對

應相等的兩個三角形全等；④有兩角和其中一角所對的邊對應相等的兩個三角形全等.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定.根據全等三角形的判定定理逐項判斷即可求解.

【詳解】解：①三個角對應相等的兩個三角形不一定全等，故原說法錯誤；

②三條邊對應相等的兩個三角形全等，正確；

③有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，正確；

④有兩角和其中一角所對的邊對應相等的兩個三角形全等，正確.

故選：C

7.由下列條件不能判定VA3C為直角三角形的是()

A./>+/B=/CB.a:b:c=l:l:2

C.(Z?+c)(Z?-c)=a2D.a=l,b=^/2>c=6

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查直角三角形的判定，涉及三角形的內角和定理和勾股定理的逆定理；利用三角形的內角

和定理和勾股定理的逆定理，以及三角形的分類逐項判斷即可.

【詳解】解：A,VZA+ZB+ZC=180°,ZA+ZB=ZC,

：.2ZC=180°,則NC=90。，

VABC為直角三角形，故不符合題意；

B、*/a:Z?:c=1:1:2,

.?.設a=x,b=x,c=2x,

a2+Z72=x2+x~=2x2,c2=4-x2，

???/+廿/°2,則VABC不是直角三角形，故符合題意；

C>V(Z?+c)(Z>-c)=a2,

b1—c1—a2即?2+c2=Z?2>

.??VABC為直角三角形，故不符合題意；

D、=]j=y/2,c—V3>

a?+加=1+2=3，c2=3>

??a2+b2—c2>

...VABC為直角三角形，故不符合題意；

故選：B.

8.如圖，在VABC中，/ABC和/ACfi的平分線相交于點。，過。點作所〃8。交AB于點E,交

AC于點憶過點。作0。，AC于。，下列四個結論.(1)EF=BE+CF；(2)

ZBOC=90°+-ZA；③點。到VA3C各邊的距離相等；④設OD=m,AE+AF=n,則

2

m

SAAEF=〃，正確的結論有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】根據角平分線的定義和三角形的內角和定理，即可求得/3。。=90°+工/4；由角平分線的定

2

義和平行線的性質得出5E=OE,CF=OF,進而得出跖=5￡+。p；過點。作于

M,作QVJ_BC于N,連接。4,由角平分線的性質定理得出OM=QV=OD=機，然后利用三角

形的面積公式即可得出S=:m〃，即可.

【詳解】解：,?,在VA3C中，/ABC和NACB的平分線相交于點0,

ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,

22

ZOBC+ZOCB=1(ZABC+ZACB)=1(180°-ZA)=90°-1zA,

ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=180。—190。-；NA)=90°+gNA,

二結論(2)正確；

在VA3C中，/ABC和/ACB的平分線相交于點0,

:.ZOBC=ZOBE,ZOCB=ZOCF,

EF//BC,

NOBC=NEOB,ZOCB=ZFOC,

:.NEOB=NOBE,ZFOC=ZOCF,

：.BE=OE,CF=OF,

EF=OE+OF=BE+CF,

二結論(1)正確；

如圖，過點。作Q0LA5于M,作。N_LBC于N,連接。4,

A

M

?「在VABC中，/ABC和/ACS的平分線相交于點0,

/.OM=ON,ON=OD-m,

OM-ON-OD=m,

又AE+AF-n，

??0AEF~uAOE丁0AOF

=-AEOM+-AFOD

22

=1-0D（AE+AF）

1

=—mn,

2

二結論（4）錯誤；

?.■在VABC中，/ABC和/ACfi的平分線相交于點0,

：.OM=ON,ON=OD,

:.OM=ON=OD,

即點。到VA3C各邊的距離相等，

結論（3）正確；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形的內角和定理，平行線的性質，等腰三角形的判定，

角平分線的性質定理，三角形的面積公式等知識點，熟練掌握相關知識點并能加以綜合運用是解題的關

鍵.

9.甲、乙兩人在筆直的湖邊公路上同起點、同終點、同方向勻速步行2400米先到終點的人原地休息.已

知甲先出發4分鐘，在整個步行過程中，甲、乙兩人的距離y（米）與甲出發的時間，（分）之間的關系如

圖所示，下列結論：①甲步行的速度為60米/分；②乙走完全程用了36分鐘；③乙用16分鐘追上甲；④

乙到達終點時，甲離終點還有360米.其中正確的結論有（）

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查函數圖像，解答的關鍵是理解題意，利用數形結合思想獲取所求問題需要的條件.根據

題意和函數圖象中的數據可以逐個判斷結論是否正確即可解答.

【詳解】解：根據圖象，甲步行4分鐘走了240米，

，甲步行的速度為240+4=60（米/分），故①正確；

由圖象可知，甲出發16分鐘后乙追上甲，則乙用了16-4=12（分鐘）追上甲，故③錯誤；

，乙的速度為16x60+12=80（米/分），

則乙走完全程的時間為2400+80=30（分），故②錯誤；

當乙到達終點時，甲步行了60x（30+4）=2040（米），

.??甲離終點還有2400—2040=360（米），故④正確；

綜上，正確的結論有①④.

故選：B.

10.如圖，在直線/上依次擺放著四個正方形和三個等腰直角三角形，已知這三個等腰直角三角形的直角

邊長從左到右依次為2,3,4,四個正方形的面積從左到右依次是S2,S3,”,則

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定及性質，勾股定理，發現兩個小正方形的面積和是

之間的等腰直角三角形的面積的兩倍是解題的關鍵.

將已知的等腰直角三角形翻折得正方形，運用勾股定理可知，每兩個相鄰得正方形面積和等于中間斜放的

正方形面積，據此即可解答.

【詳解】解：如圖，觀察發現，等腰直角三角形翻折得正方形,

:AB=BE,ZACB=ZBDE=90。,

：.ZABC+ZBAC=90°,ZABC+NEBD=90°,

ZBAC=ZEBD,

：.△ABC^ABDECAAS),

BC=ED，

AB2=AC2+BC2,

：.AB2=AC~+ED-=H+S2,

即1+S2=4,

同理S3+S4=16.

則S］+S,+S3+=4+16=20.

故選：B.

二.填空題(共8小題)

11.若7^=_j2y_4,貝U(2x—3y+10)2的平方根為.

【答案】±2

【解析】

【分析】根據非負數的性質可列出關于x、y的一元一次方程，解出x、》代入(2x-3y+10)2中，求出其

平方根即可.

［詳解］：V^=_,2y_4

Jx+3+J2y-4=0

%+3=0,2y-4=0

解得：x=-3,y=2

；.(2x-3y+10)2=4

4的平方根為土2

故答案為：±2.

【點睛】本題考查算術平方根的非負性，解一元一次方程以及代數式求值和求一個數的平方根.根據非負

數的性質列出關于x、j的一元一次方程是解答本題的關鍵.

12.在平面直角坐標系中，點P（24,7）關于x軸對稱的點的坐標是—.

【答案】（24,—7）

【解析】

【分析】此題主要考查了關于x軸對稱點的性質，根據關于x軸對稱的點的特征：橫坐標不變，縱坐標互

為相反數，即可得出結果.

【詳解】解：點尸（24,7）關于x軸對稱的點的坐標是（24,-7）；

故答案為：（24,-7）.

13.已知直線/:y=Ax-k+1,下列四個結論：①直線一定經過第一象限；②關于刀、丁的方程組

y=kx-k+1fx=l/、/、

<+_2的解為j③若點A（幾對,5（x“2）在直線/上，當xi<%2時，">為；④若直線/

2

向下平移2個單位后過點（2,m）,且不等式米—Z+1〈m的解集為％>5,則左=—-,其中正確的是

3

.（填寫序號）

【答案】①④

【解析】

【分析】本題主要考查了一次函數與二元一次方程（組）、一次函數的性質、一次函數圖象與幾何變換及一

次函數與一元一次不等式，熟知一次函數與二元一次方程（組）及一元一次不等式的關系是解題的關鍵.根

據所給一次函數解析式，發現當x=l時，y=l,進而得出一次函數過定點，即可得出①的正誤，解關于

無，y的方程組，并對左的取值進行討論，即可得出②的正誤，因為左的正負不確定，所以y隨尤的變化如

何變化無法確定，即可得出③的正誤，先寫出平移后的直線函數解析式，再將點（2，m）坐標代入，進而得

出機與上之間的關系，再根據所給不等式的解集，即可得出④的正誤.

［詳解］解：因為、=辰_k+1=左（％―1）+1,

所以當x=l時，y=l,

即一次函數圖象過定點（1,1）,

所以直線一定經過第一象限，故①正確.

由x+y=2得，y=-x+2,

所以一x+2=kx—左+1,

則(k+l)x=k+l,

當左w—l時，x=l,則y=l,

X=1

所以方程組的解為.

b=1l

當左=—1時，左+1=0,

止匕時(左+1)%=左+1恒成立，

所以x可取一切實數，則方程組的解有無數組，故②錯誤.

因為左正負不確定，所以y隨尤的變化如何變化不確定.故③錯誤.

直線/向下平移2個單位后的函數解析式為y=區-左-1,

將點(2,加)坐標代入平移后的函數解析式得，2k—k—T=m,

則加=左一1.

由不等式"一女+1<m得，kx—k+l<k—l,

則Ax<2左一2.

因為此不等式的解集為x>5,

7k-2

所以左<0,且------=5,

k

解得左=—g.故④正確.

故答案為：①④.

14.如圖，是一種飲料的包裝盒，長、寬、高分別為4cm,3cm,12cm,現有一長為16cm的吸管插入盒

的底部，則吸管露在盒外部分的長度h的取值范圍為.

【答案】3cmW/W4cm

【解析】

【詳解】試題解析：①當吸管放進杯里垂直于底面時露在杯口外的長度最長，最長為16-12=4(cm)；

②露出部分最短時與底面對角線和高正好組成直角三角形，

底面對角線直徑為5cm,高為12cm,

由勾股定理可得杯里面管長為年+12?=13cm,則露在杯口外的長度最長為16-13=3cm；

則可得露在杯口外的長度h的取值范圍為3cm</z<4cm.

點睛：首先要考慮吸管放進杯里垂直于底面時露在杯口外的長度最長為16-12=4cm；最短時與底面對角線

和高正好組成直角三角形，用勾股定理解答，進而求出露在杯口外的長度最短.

_3

15.已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=-x+3的圖象與無軸和y軸交于A、8兩點將

--4

△AOB繞點。順時針旋轉90。后得到△409則直線49的解析式是.

3

【分析】根據y=-x+3求出點A、B的坐標，得至iJOA、OB的值，即可求出點4(0,4),B'(3,0),設

4

直線的解析式為代入求值即可.

3

【詳解】由=—x+3,當y=0時，得x=-4,(-4,0),

4

當x=0時，得y=3,.,.B(0,3),

：.OA=4,。8=3,

.?.04=04=4,OB'=OB=3,

：.A'(0,4),B'(3,0),

設直線A0的解析式為y=kx+b,

3k+b=Q

??<?

b=4

解得彳3.

b=4

4

直線4〃的解析式是y=--x+4.

4

故答案：y=--x+4.

3

【點睛】此題考查一次函數與坐標軸的交點坐標的求法，待定系數法求一次函數的解析式.

16.如圖，在中，ZACB=90°,分別以AB,AC,5c為邊長向外側作正方形正

方形ACGb,正方形BCHI,連接上戶，GH,DI.若正方形AFGC的面積為9,正方形BCm的面

積為16,則六邊形DEFG印的面積為.

【答案】74

【解析】

【分析】本題主要考查了正方形的性質，勾股定理，全等三角形的性質與判定，先由正方形面積計算公

式和勾股定理得到AC=3,BC=4r,正方形A3DE的面積為25,AB=5；如圖所示，過點E作

交E4延長線于過點。作交由延長線于N,證明

△MAE必△CAB,△NBD%ACBA,EM=BC=4,DN=AC=3,則5-尸￡=6,SABDI=6,

據此根據六邊形面積等于三個正方形面積加上四個三角形面積求解即可.

【詳解】解：：正方形AFGC的面積為9,正方形BCm的面積為16,

???3=9,BC2=16.

AC=3,BC=4,

?..在RtAABC中，ZACB=9Q°,

/.AB2=AC2+BC2=25，即正方形ABDE的面積為25,

AAB=5；

如圖所示，過點E作石交E4延長線于跖過點。作。V，由交7B延長線于N,

由正方形的性質可得AE=AB=BD,ZCAM=ZBAE=NCBN=NASD=90°,

AZMAE^ZCAB,NNBD=NCBA,

又?:NACB=NM=NN=90°,

AMAE^^CAB,ANBD^ACBA,

：.EM=BC=4,DN=AC=3,

S.=-AF-EAl=-x3x4=6,S=-BI-DN=-x3x4=6,

L^ArFtFL22LA\fDiDOL/22

又?：S?H=-CG-CH=-x3x4=6,5A,?r=-AC-BC=-x3x4=6,

**,S六邊形DEFGH/=4x6+9+16+25=74,

故答案為：74.

17.如圖，VA3C的面積為15cm2，3尸平分/A5C，過點A作AP_L5P于點P.則△P3C的面積為

【答案】7.5

【解析】

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，三角形面積的計算，解題的關鍵是作出輔助線，證明

ABP^EBP(ASA),得出AP=PE,證明=SAECP,即可求出結果.

【詳解】解：延長AP交5c于E,如圖所示：

/.ZABP=ZEBP,

?/AP±BP，

：.ZAPB=ZEPB=90°,

在，A3尸和△￡?尸中，

ZABP=ZEBF

<BP=BP

ZAPB=ZEPB

.?一ABm_EBP（ASA）,

AP=PE,

^AABP=S&EBP，S&ACP=SAECP，

11/2,

SPBC=3SABC=—xl5=7.5（cm

故答案為：7.5.

18.如圖1,一個正方體鐵塊放置在圓柱形水槽內，現以一定的速度往水槽中注水，28s時注滿水槽，水槽

內水面的高度y(cm)與注水時間％卜)之間的函數圖象如圖2所示.如果將正方體鐵塊取出，又經過

【答案】①.4②.400

【解析】

【分析】本題主要考查函數的圖像及應用，二元一次方程組的應用，根據函數圖像讀懂信息是解題的關

鍵.根據函數圖像可得正方體的棱長為10cm,同時可得水面上升從10cm到20cm,所用的時間為16

秒，結合前12秒由于立方體的存在，導致水面上升速度加快了4秒可得答案，再求出正方體鐵塊的體

積，設注水的速度為ven?/s，圓柱的底面積為sen?,結合題意建立二元一次方程組求解即可.

【詳解】解：由題意可得，12秒時，水槽內水面的高度為10cm,12秒后水槽內水面高度變化趨勢改

變，

正方體的棱長為10cm；

1沒有立方體時，水面上升從10cm到20cm,所用的時間為：28-12=16秒

前12秒由于立方體的存在，導致水面上升速度加快了4秒

將正方體鐵塊取出，又經過4秒恰好將此水槽注滿；

根據題意：正方體的體積為：103=1000(cm3),

設注水的速度為xcm'/s，圓柱的底面積為scm?，

⑵+1000=10s

根據題意得:

28v+1000=205

v=250

解得《

s=400

水槽的底面面積為400cm2.

故答案為：4；400.

三.解答題(共9小題)

19.一個正數x的兩個不同的平方根分別是2。一8和—a+2.

(1)求。和X的值；

(2)求3x+2a—11的算術平方根.

【答案】(1)a=6,x=16

(2)7

【解析】

【分析】本題考查平方根和算術平方根.熟練掌握相關定義和性質是解題的關鍵.

(1)根據一個正數的兩個平方根互為相反數，列式計算，求出。的值，進而求出x的值;

(2)將a,x的值代入代數式，求出代數式的值，再求算術平方根即可.

小問1詳解】

解：一個正數尤的兩個不同的平方根分別是2a—8和-a+2,

2a-8+(-a+2)=0,

解得：a=6,

??2a—8=2x6—8=4,

???%=42=16;

【小問2詳解】

將。=6,%=16,代入3x+2a—11得：3x16+2x6-11=49,

,3x+2a—11的算術平方根為：749=7.

20.在平面直角坐標系中，已知點”(加一2,2機一7),點"(八,3)

(1)若M在x軸上，求〃點的坐標;

(2)若點M到x軸的距離等于5,求機的值;

(3)若MN||y軸，且MN=4,求〃的值.

【答案】(1)M(1.5,0)

(2)加=6或"2=1

(3)5或1

【解析】

【分析】本題主要考查了坐標與圖形，點到坐標軸的距離，尤軸上點的坐標特點：

(1)根據在x軸上的點縱坐標為0進行求解即可；

(2)根據點到x軸的距離為縱坐標的絕對值得到|2加-7|=5,解方程即可得到答案；

(3)根據平行于y軸的直線上的點橫坐標相同得到“2,再由MN=4得到|2〃z—7—3|=4,解方程

即可得到答案.

【小問1詳解】

解：；點2,2加一7)在x軸上.

2m—7=0,

??m—3.5,

加一2=1.5,

M(1.5,0)；

【小問2詳解】

解：：點、M(m-2,2m-7)到x軸的距離等于5,

|2/n-7|=5,

解得加=6或加=1；

【小問3詳解】

解；?.,"N〃'軸，M(m-2,2m-7),N(〃,3)且肱V=4,

|2m—7-3|=4,n=m—2

解得m=Q或m=3,

當租=7時，n=m—2=5

當根=3時，n=m-2=l；

綜上所述，〃的值為5或1.

21.如圖，AB=AD,AC平分/R4。，求證：ABC^ADC.

【解析】

【分析】首先根據角平分線的定義得到NBAC=NZMG再利用SAS定理便可證明其全等.

【詳解】證明：.AC平分NB4。，

:.ZBAC=ZDAC,

在VABC和AADC中，

AB=AD

<ABAC=ADAC,

AC=AC

:心ABC會ADC.

【點睛】判定兩個三角形全等的一般方法有：AAS、ASA、SSS、SAS、

HL，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵.

22.某農戶準備在一個大棚里種植甲、乙兩種水果.實際種植中，甲種水果的種植費用y(元)與種植面

積x(n?)的函數關系如圖所示，乙種水果的種植費用為每平方米20元.

丸元)

8600

5000

。200400城)

(1)求y與無函數關系式；

(2)甲、乙兩種水果種植面積共600m2,其中，甲種水果的種植面積尤滿足200<x<350,怎樣分配

甲、乙兩種水果種植面積才能使種植費用最少？最少種植費用是多少？

’25x(0<%<200)

【答案】(1)y=\i)

18x+1400(x>200)

(2)應該分配甲、乙兩種花卉的種植面積分別是350m2和250m2,才能使種植總費用最少，最少總費用

為12700元

【解析】

【分析】本題主要考查了一次函數的實際應用：

（1）利用待定系數法求解即可；

（2）設種植費用為W元，根據題意可得甲種花卉種植為則乙種花卉種植（600-x）n?,然后分別

求出兩種花卉的費用，求和得到W關于x的一次函數關系式，利用一次函數的性質求解即可.

【小問1詳解】

解：當0WxW200時，設〉=女述，

把（200,5000）代入y=《X中得：200%=5000,

解得勺=25,即y=25x；

當%〉200時，設y=&x+。，

把（200,5000）,（400,8600）代入y=左2%+人中得：

‘200&+少=5000

1400左2+〃=8600'

fk=18

解得L2

Z?=1400

，y=18x+1400,

-25x（0<x<200）

綜上所述，y=i7；

[18x+1400（%>200）

【小問2詳解】

解:設種植費用為W元，

根據題意可得甲種花卉種植為加？，則乙種花卉種植（600-x）n?

,?.W=18x+1400+20（600-x）=-2x+l3400.

-20<0,

W隨x的增大而減小，

,當九=350時.Wmin=12700元，

,當甲的種植面積為350m2時，總費用最少，最少總費用為12700元.

止匕時乙種花卉種植面積為600—350=250m?.

答：應該分配甲、乙兩種花卉的種植面積分別是350m2和250m2,才能使種植總費用最少，最少總費用為

12700元.

23.如圖，公園有一塊三角形空地ABC,過點A修垂直于5c的小路A。，過點。修垂直于AC的小路

DE（小路寬度忽略不計），經測量，A5=13米，5￡>=5米，8=9米.

（2）求小路DE的長.

【答案】（1）小路AD的長為12米

（2）小路DE的長為7.2米

【解析】

【分析】本題主要考查了勾股定理的應用以及三角形面積，根據勾股定理求出AD、AC的長是解題的關鍵.

（1）由勾股定理求出的長即可；

⑵由勾股定理求出AC的長，再由三角形面積求出。E的長即可.

【小問1詳解】

AD1BC,

:.ZADB=ZADC=90°,

AD=yjAB2-BD2=V132-52=12（米）,

答：小路AD的長為12米；

【小問2詳解】

在RfACD中，由勾股定理得：AC=7AD2+CD2=7122+92=15（米），

DELAC

.-.SVADC=^ADCD=^ACDE,

ADCD12x9

DE==7.2（米）,

AC15

答：小路OE的長為7.2米.

24.如圖，在VA6C中，AB=AC,ZBAC=120°,AZ）是5C邊上中線，且BD=BE,CO的垂

直平分線人加交AC于歹，交3c于

(1)求N①汨的度數；

(2)證明△ADP是等邊三角形；

(3)若知戶的長為2,求AB的邊長.

【答案】(1)ZBDE=15°

(2)見解析(3)AB=8

【解析】

【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，等邊三角形的判定與性

質，含30。角的直角三角形，理解等腰三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，熟練掌握等邊三

角形的判定與性質，含30。角的直角三角形是解決問題的關鍵.

(1)先根據等腰三角形性質及三角形內角和定理求出N3=NC=30°,再根據5石即可得出

N5D石的度數；

(2)根據線段垂直平分線性質得=C?,則NFDC=NC=30。，進而得NAFD=60。，再根據等

腰三角形性質得/B4O=NC4D=60°,則，由此可得出結論；

(3)在火匕引0c中，根據NC=30。得b=2MF=4,則=C/=4,再由⑵的結論得

AF=DF=4,由此可得出AB的長.

【小問1詳解】

解：在VABC中，AB=AC,NB4c=120°,

ZB=ZC=1x(180°-ZBAC)=1x(180°-120°)=30°.

在VBDE中，BD=BE，

ZBDE=/BED=|x(180°-ZB)=1x(180°-30°)=75°.

【小問2詳解】

證明：CD的垂直平分線北田交AC于R,交5C于M,

DF=CF,NFMC=90°,

...NFDC=NC=3O°,

ZAFD=ZFDC+ZC=60°,

在VABC中，AB=AC,ABAC=120°,AD是5c邊上的中線,

/BAD=ACAD=-ABAC=-xl20°=60°.

22

:.ZCAD=ZAFD=60°.

：.是等邊三角形.

【小問3詳解】

在HCEWC中，ZC=30°,MF=2,

,-.CF=2MF=4.

：.DF=CF=4.

由（2）可知：△AD尸是等邊三角形，

.-.AF=DF=4.

.-.AB=AC=AT>+CF=4+4=8.

25.在VA3C中，OE垂直平分A3,分別交A5,5C于點。，E,垂直平分AC,分別交AC,

5C于點M,N.

(2)如圖1,若NB4C=108°,求㈤N的度數；

(3)如圖2,若/胡。=78°,求NE4N的度數；

(4)通過以上的探索過程，直接寫出㈤N的度數與4,/C的關系.

【答案】(1)44

(2)ZEAN=36°

(3)/EAN=24。

(4)ZE4N=2(4+4)-180。

【解析】

【分析】本題考查線段垂直平分線的性質、三角形的內角和定理、等腰三角形的性質，關鍵是掌握線段

垂直平分線的性質定理，并分兩種情況討論.

(1)由線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，得到/E鉆+NC4N=N6+NC,由三角形內角

和定理求出NB4C,即可求出㈤N的度數；

(2)由線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，得到NE4N=2NB4C—180。，即可求出㈤TV

的度數；

(3)由線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，得到NE4N=1800-24AC,即可求出㈤TV

的度數；

(4)由(2)(3)即可總結得出結論.

【小問1詳解】

解：DE垂直平分AB,

:.EA=EB.

:.ZB=ZEAB.

同理NC=NC42V,

/.ZEAB+/CAN=NB+NC=32°+36°=68°.

ZBAC=180°-(ZB+ZC)=180°-68°=112°,

ZEAN=ZBAC-(NEAB+ZCAN)=112°-68°=44°.

【小問2詳解】

解:DE垂直平分AB,

:.EA=EB.

:.ZB=ZEAB.

同理NC=NC4N,

ZEAB+ZCAN=ZB+ZC=1800-ZBAC.

ZEAN=ZBAC-(180°-ZBAC)=2ZBAC-180°=2xl08°-180°=36°.

【小問3詳解】

解：DE垂直平分AB,

:.EA=EB.

:.ZB=ZEAB.

同理NC=NC42V,

ZEAB+ZCAN=ZB+ZC=1800-ZBAC.

ZEAN=ZEAB+ZCAN-ZBAC=180°-2ZBAC=180°-2x78°=24°.

【小問4詳解】

解：由(2)知當90°<4AC<180。時，

ZE4^=2ZfiAC-180o=2(180o-ZB-C)-180o=180°-2(ZB+ZC).

由(3)知0。</&1。<90°時，

ZEAN=180°-2ZBAC=180°-2(180°-ZB-ZC)=2(ZB+ZC)-180°,

綜上，ZEAN=2(ZB+ZC)-18Q°.

一3

26.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+l與x軸交于點3,直線y=—-x+3與x軸交于點C,與y

(2)線段CD上是否存在點P,使二CBP為以5c為底的等腰三角形，如果存在，求出點P的坐標；如果

不存在，請說明理由.

(3)點M(羽y)是直線y=x+l圖象上一動點，設一BCM的面積為S,請求出S關于x的函數解析式.

【答案】(1)5(-1,0),C(4,0)

(2)存在，點尸的坐標為

—x+—(x>-1)

22V'

(3)S=<

55(

——x——(x<-n1

[22、,

【解析】

【分析】本題考查一次函數的綜合應用，熟練掌握一次函數的圖象及性質，等腰三角形的性質，分類討論

是解題的關鍵.

3

(1)分別令y=x+l=O,=--x+3=0,求出x的值即可；

■y4

(2)連接PB,過點P作PHJLBC于H,根據CBP為以5C為底的等腰三角形，得到BH=CH,即

H(1,0L再根據點P的橫坐標與點H的橫坐標相同，即可解答;

(3)分點M在x軸上方，下方和在x軸上，三種情況討論即可.

【小問1詳解】

解：在y=x+l中，令y=0,得x+l=0,

解得：x=—1,

.,.5(-1,0),

3

在丁=犬+3中，令％=0,得y=3,

4

.*.0(0,3)，

3

令y=0,得——九+3=0,

4

解得：x=4,

/.C(4,0)；

【小問2詳解】

解：存在，如圖，連接PB,過點P作/于H,

CBP為以5c為底的等腰三角形,

BH=CH,

即點”是5C的中點，

軸，即軸，

3

二點P的橫坐標與點〃的橫坐標相同，即點P的橫坐標為一,

2

,3133cl5

當x=一時，y=—x—1-3=一,

2,428

.??點P的坐標為

【小問3詳解】

解：當點M在x軸上方時，如圖，過點M作腔，x軸于E,

y

：M(久,y)