圖形的相似（壓軸專練）（十大題型）

題型1:相似三角形解答證明題

1.在△Z8C中，AB=AC,點。在線段C8的延長線上，連接40,過點3作BE，交線段出于點

E,2NBED+ABAC=120°.

⑵如圖2,若爺=；，求期的值.

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接EC,EC交線段于點尸，若BD=36,求的的長.

［答案］⑴60。；

⑵BC4

【分析】（1）過點A作/T1OC于點T,證3E〃/T,得/BED=/DAT,即ZAEZ）=+,

由43=NC得ZBAT=ZCAT,從而可得ZCAD=ZBAD+/BAT+/CAT=60°；

(2)過點A作/71.OC于點7,證8s,得喀=空=之,從而即可得解；

BTAE2

(3)過點A作/TLDC于點T,作/M〃OC交CE的延長線于點M,在8c延長線上取一點G,使得

3E/D3

NG=60。，由(2)得^^—=—,BT=CT,證AEDCS^EAM,^FAM^^FBC,得=一=一，

''BC4AMAE2

——=',從而⑷——=--=—,設TG=VJ,，則。G=DT+TG=5百+G，，證

BFBC3BFBC6

△ADCSAGDA,得黑=§|即產(廠=逋,于是有AD?=105+21/,再利用勾股定理構造方程得

GDAD5V3+V3ZAD

105+21/=9〃+75,解得"可，從而利用勾股定理即可得解.

【解析】（1）解：如圖1,過點A作/7LDC于點T,

A

：./ATD=/EBD=90。,

：.BE//AT,

：.NBED=ZDAT,即ZBED=NBAD+NBAT,

AB=AC,

：.NBAC=2NCAT,

'：2ZBED+ABAC=120°f

：.2/BAD+2ZBAT+2/CAT=120°,

???ZCAD=/BAD+ZBAT+ZCAT=60°；

(2)解：如圖2,過點A作于點T,

A

圖2

BELBC,AB=AC,

工NATD=NEBD=90。，BT=CT=-BC,

2

：.BE//AT,

.DBDE_3

??茄一商-2'

.BD_BD_3

…BC~2BT~^

(3)解：過點A作/TLQC于點T,作。。交CE的延長線于點在5。延長線上取一點G,連接

AG,使得NG=60。，

,:BD=3。,

:.BC=4C，BT=CT=26DT=CD=*,

'：AM//DC,

ZM=ZECB,/EAM=NEDC,NFAM=NFBC,

AEDCS^EAM,AFAMS^FBC,

,DCED_3AFAM

，9~AM~^E~2?而一

*

AM=

3

;AFAM

~BF~一正一4邪6

設TG=0,則。G=OT+TG=5VJ+6L

;NG=60。，ATVCD,

：.^7^G=90o-60°=30°,

??.AG=2TG,

AT=^AG2-TG2=43TG=3t

?.?/G=/C4D=60。，ZD=ZD,

AADCS^GDA,

.AD_CDBnAD7V3

GDAD5石+存AD

，疝2=105+2”,

ATVDC,

AD2=AT2+DT2=(3f)2+卜可=9/+75,

，105+21/=9尸+75,

解得f=T(舍去)或"T，

AT=3,=10,

AB=yjAT2+BT-=JlU+(2灼2=4近,

,?竺_L

'BF^6'

/.AF=」一AB=Lx4板=—V7.

6+71313

【點睛】本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質，相似三角形的判定及性質，解一元二次方程以及

平行線的性質，熟練掌握平行線的性質及相似三角形的判定及性質是解題的關鍵.

2.如圖1,在a/BC中，NB4c=90。,4B=4C,BD，CD于點D,連接40,在CD上截取CE,使CE=BD,

連接他.

(1)直接判斷AE與AD的位置關系

(2)如圖2,延長4D,CB交于點尸，過點￡作EG〃//交3c于點G,試判斷FG與48之間的數量關系,

并證明；

⑶在(2)的條件下，若/E=2,CE=限,求EG的長.

【答案】(1)/￡_LAD

Q)FG3AB,見解析

(3)1

【分析】(1)證明由全等三角形的性質得出=再根據余角的性質得到

ZDAE=ZBAE+ZBAD=90°,即可判斷；

(2)過點3作交Z)尸于點證得A以加為等腰直角三角形，則=證明

KEGmWMF,由全等三角形的性質得出CG=8斤，由直角三角形的性質可得出結論；

(3)設EG=Rl/=x,則。尸=2+x,證明ACEGSACDF,由相似三角形的性質得出有一不，則可得出答

DrCD

案.

【解析】(1)解：AEVAD-,

理由如下：設奶與CD交于O,

圖1

ABDO=ABAC=90°,ZDOB=AAOC,

/./DBA=ZACE,

?:CE=BD,AB=AC,

：.AABD(SAS),

???NEAC=/BAD,

???ZBAE+ZEAC=90°f

：./BAE+/BAD=90°,即ZDAE=90°,

AELAD

(2)角和FG=y/2AB,

證明：過點5作3M，交。尸于點M,

AE=AD,ZCAE=ABAD,CE=BD,

AELAD,

ZBAE+ZBAD=9O°,

：./ADE=45°,

BDLCD,

：?NBDM=45。，

???為等腰直角三角形，

:?BD=BM,

：.CE=BM,

?.?EG//AF,

：./EGC=/MFB,

?.?AB=AC,NB4c=90。,

:"FBM+ZABD=45。,又/GCE+NACE=45。,

：.ZFBM=/GCE,

:?KEG4BMFg^),

：.CG=BF,

：.CG+BG=BF+BG9

：.FG=BC,

BC=42AB,

??FG=yplAB;

(3)I?：,：AD=AE=2,△ZQE為等腰直角三角形,

DE=MAE=2亞，

?CE=y/2，

DC=3叵，

BD=CE=e,

:?DM=4iBD=2,

??,KEGABMF,

：.EG=FM,

^EG=FM=x,

DF=2+x,

???EG//DF,

???KEGS￡DF,

.EG_CE

??而一而‘

.-_后J

x+23-\/23

解得，x=l,經檢驗符合題意;

，EG=1.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，相似三角形的判定與性

質，等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是正確構造全等三角形解決問題.

題型2：相似三角形在特殊平行四邊形中的應用

3.如圖1,四邊形4B8是正方形，點E在邊3c的延長線上，點尸在邊4B上，且/尸=CE,連接斯交

（2）連接2。，如圖2,

①若尸=5血,求8。的長;

PE

②若FP=FD,貝1］而二

【答案】（1）證明見解析

⑵①后②6

【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、正方形的性質等知識，熟練掌

握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解題的關鍵.

（1）過點E作EG〃/8交/C的延長線于點G,證明AN廠。且AG￡0（ASA）,即可得到結論；

（2）①連接，證明AADF出ACDE（SAS），則DE=DF,ZADF=NCDE,得至IJ力EF是等腰直角三角形,

由（1）知：點。是斯的中點，則尸=。￡,證明A/FQSAEPD,則FQ.DE=DP4Q,得到

FQ-DE=5y［2,設。。=。石=戶0=x,根據勾股定理，得DE=MC，得到￡。=行，ZFBC=90°,Q是EF

的中點，即可得到3。=￡0=行；②過f作EW〃4D,證明四邊形是矩形，進一步得到

DH=PH=AF=EG=CE,設DH=PH=AF=EG=CE=a,AB=BC=x,貝ijB斤=x-a,CP=x-2a,

證明△尸CESAEBE,貝=得至［J=幺=，，求出x=（l+夜）a,得到。=證明

△PQCSAEQG,得至ljp°=（正-1）°E,貝UPE=0￡_PQ=（2—血）QE,即可得至I］答案.

【解析】（1）證明：如圖1,過點E作EG〃/6交/C的延長線于點G,

AQAF=NG,AAFQ=ZGEQ,

???四邊形/BCD是正方形，

AACB=ZGCE=45°,AD=CD,/FAD=ZDCE=90°,

?.?EG//AB,

?/NCEG=ZB=90°,

???NG=45°=ZGCE,

???GE=CE,

AF=CE,

：.AF=GE,

又/QAF=NG,ZAFQ=ZGEQ,

??.“尸。也△G￡0（ASA）,

:?FQ=EQ；

（2）①解：如圖2,連接。

??,四邊形是正方形，

???AD=CD,ZFAD=ZDCE=/ADC=90°,

AF=CE,

：.△4。尸之△COE（SAS）,

.?.DE=DF,ZADF=ZCDE,

ZADF+/CDF=ZCDE+/CDF=/ADC=90°

???尸是等腰直角三角形，

由（1）知：點0是即的中點，

??.DQ=QF=QE,

AB〃CD,

：.ZAFQ=ZDPEf

?：ZFAQ=45°,ZFED=45°,

：.ZFAQ=ZPED,

"FQS^EPD,

：.FQ:PD=AQ:DEf

：.FQDE=DPAQ,

,：AQ-DP=5y[2,

：.FQ-DE=542,

^_DQ=QE=FQ=x,

根據勾股定理，得DE=也x，

x'y[2x=5A/2,

:.X=下或x.=-也（舍去），

EQ=M，

VZFBC=90°,0是￡F的中點,

BQ=EQ=45■,

,：ABAD=NADH=ADHF=90°

四邊形是矩形,

FH=AD,FH//AD,FH1PD,

,:FD=FP,

：.DH=PH=AF,

由(1)知，AF=CE=EG,

：.DH=PH=AF=EG=CE,

設DH=PH=AF=EG=CE=a,AB=BC=x,

*.BF=x—a,CP=x—2a,

??PC//BF,

\ZECP=ZEBF,/CPE=ZBFE,

,?APCES^FBE,

,PCCE

?BF-BE'

.x-2a_a

?二，

x-ax+a

,?%=(1+后)。(負值舍去)，

?.C尸二(血-1)Q,

?,PC//EG,

\ZQPC=/QEG,ZQCP=NG,

??APQCS^EQG,

?PQPC

'~QE~~EG'

??絲=(/T)“=/_1，

QEa

??PQ=(y/2-l)QE,

故答案為：V2

4.綜合與實踐

己知：矩形48cO,M是40邊上一點.

M

B

圖1圖3

【基本圖形】

(1)如圖1,AM=MD,期交NC于尸點，W的延長線與CD的延長線交于點E,連NE,求證:

MFEM

BFEB

【類比探究】

(2)如圖2,AM=MD,過點。任意作直線與由的延長線分別交于點￡,點P,連4E,求證:

ZEAD=NPAD；

【擴展延伸】

(3)如圖3,E是CD延長線上一點，尸是2C延長線上一點，北交C。于。點，8E交40于M點，延長40

交收于N點，若M是的中點，且48=3,BC=4,求△/￡尸的面積.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)12

【分析】(1)由四邊形48CD是矩形得/0I3C,從而得到而sac尸8,AEDMS^ECB,進而得到

MFAMEMMD,x-/口……人

=_?由ZAf=MD就可行到結論;

BFBCEBBC

(2)延長區4、PB交于點R,如圖，由三角形相似可證到繆=EMDM=,-

Bp,再由AM=MD可得

BREB

BR=BP,再由垂直平分線的性質可得到/R=4P,結合4D〃BC就可得ZE4Z)=z7W.

(3)延長E4、PB交于點、R,如圖，由(2)得NEAD=NP4D,進而證到再由㈤￡)=">8可證

到△/IDESZVM,進而得到DE.PS=12.根據％的=口功+以7■效就可求出△/￡尸的面積.

【解析】解：(1)證明：???四邊形是矩形,

/.AD//BC.

：.八AFMs/\CFB,AEDMS^ECB.

MFAMEMMD

BFBCEBBC

'：AM=MD,

MFEM

BFEB

(2)證明：延長胡、PB交于點、R,如圖,

E

\AD//BC.

AEAM^AERB,AEDM^AEPB.

,AMEMEMDM

?萬一年‘~EB~~BP'

,AMDM

：AM=MD,

\BR=BP.

.?四邊形/5CZ)是矩形，

\ZABC=90°f即/5_L5C.

\AR=AP.

\ZR=AAPR.

：AD//BC,

\AEAD=AR,APAD=AAPR.

\AEAD=ZPAD.

(3)延長￡4、PB交于點、R,如圖,

??,四邊形Z5S是矩形，

ZADC=90°,AD=BC.

：.ZADE=90°.

/.ZAED=ZAQD.

.?.AE=AQ.

：.DE=DQ,

■:/ADE=/ABP,ZEAD=ZAPB,

^ADE^/XPBA.

.ADDE

,?萬一萬.

*.*AB=3,AD=BC=4,

?4_DE

???

PB3

DEPB=\2.

??S^AEP=S^AEQ+S^PEQ

=^EQAD+^EQ-CP

=^EQ（AD+CP）

=^EQ（BC+CP）

=^EQBP

=-x2EDBP

2

=12.

/.Z\AEP的面積為12.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、矩形的性質、垂直平分線的性

質、直角三角形的兩銳角互余等知識.本題在解決問題的過程中，用已有的經驗得到角相等，用割補法和

整體思想求出三角形的面積，綜合性強，有一定的難度.而由平行線（矩形的性質）、角平分線（結論）聯

想到構造等腰三角形是解決第二小題的關鍵.

題型3：翻折問題

5.菱形4BCD中，48=5,點廠是40邊上的點,點。是邊上的點.

（圖1）（圖2）（圖3）

(1)如圖1,若點尸是/。的中點，CQ±AB,連接CF并延長交A4的延長線于點尸，連接0尸，

①求證：△尸/尸父MDF；

②判定△/C。的形狀，并說明理由；

(2)若菱形面積為20,將菱形沿C。翻折，點3的對應點為點￡.

F)D

①如圖2,當點不落在以邊的延長線上時，連接BD,交。。于K，交EC于點M,求二y的值;

BM

②如圖3,當垂足為點尸，交AD于點、N,求四邊形CWV。的面積.

【答案】(1)①證明見解析；②△尸是等腰三角形，理由見解析;

55?136

v74821

【分析】(1)①利用AAS證明尸gZkCD廠即可；②由全等三角形的性質可得PR=CR,進而根據直角

三角形斜邊上的中線長等于斜邊的一半得0B=/C=gpC,即可求解；

(2)①由對稱可得C0，3E,QE=QB,由菱形的面積可得C。=4,進而由勾股定理得80=后彳=3，

得到。E=3,40=5-3=2,即得/E=3-2=1,再由A30RSA￡)CR,^FDM^^CBM,^AEF^^DCF,

BR=BQ=lFD=DM必=生」,理=理二也再即得以二孫設

DRCD5BCBMCDFD5DRCD5DR58

AF=k,則FD=5左，則4。=//+即=左+5左=6左，可得尸。=竺，進而得也=殷=9，得到

6BMBC6

BD即得出=28。，據此即可求解；②如圖3,過點。作。于a,由CE1/。，AD//BC

~BM611

可得NBCE=90。,由折疊的性質得CE=8C=5,ZQCH=^ZBCE=45°,NE=N8=NO,進而可得

是等腰直角二角形，得到C"=QH,又由菱形的面積可得C尸=4,即得斯=5-4=1,由勾股定理得

NFEF14

FD=A/52-42=3,再證明得到==即可得N尸=7,得到

CFDF33

SANEF=：NFEF=3,同理由△硒/S.EOH可得S0CE=；C￡?Q〃=m，再根據S四邊形CFN0=S.℃E—湎即

可求解.

【解析】(1)①證明：??,/為4D中點,

：.AF=DF,

??,四邊形4gs是菱形,

???AB//CD,

:?/P=/FCD,

又：NAFP=NDFC,

/.APAF知CDF(AAS)；

P

②解：△尸CQ是等腰三角形，理由如下：

/\PAF"ACDF,

PF=CF,

?：CQ1AB,

；.ZCQP=90°,

/.QF是RtAC0廠斜邊上的中線，

:.QF=FC=：PC,

???△/C0是等腰三角形；

(2)解：①：點8與點E關于C。對稱，

：.CQLBE,QE=QB,

$菱形488=20,AB=5,

/.C。=20+5=4,

在△BC。中，根據勾股定理可得，BQ=^52-42=3,

QE=3,AQ=5—3=2,

：.AE=3-2=lf

???四邊形/5S是菱形，

AB//CD,AD//CB,

：?小BQRs公DCR,AFDMSKBM,^AEF^^DCF,

BRBQ_3FD_DMAE_AF

…DR~CD-5'BC~BM'cF'?

..BR=BQ^l

'DR~CD~5

.BR+DR_3+5_8即黯

…DR-5-5

：.DR=-BD,

8

^AF=k,則尸。=5左，則ZQ=Z尸+FD=k+5左=6左，

AD=AB=5fAD=6k,

：.6k=5,

'：BC=5,

25

/.DM_FD_6_5,

.BM+DM_5+611

…BM~6~6

BM=—BD,

11

"^M~6an~48'

—DL)

11

即黑的值為要；

BM48

②如圖，過點。作。于H,

NBCE=90°,

由折疊可知，CE=BC=5,N0cH=g/3CE=45。，NE=NB=ND,

是等腰直角三角形，

：.CH=QH,

?S菱形Z88=20,AD=5,

：.CF=4f

：.EF=5-4=1,

在R3CED中，由勾股定理得，FD=^52-42=3,

,:/E=/D,/EFN=/DFC=9。。，

???AEFNS^DFC,

,NFEF1

**CF-DF-3*

NF1

即nnT=7

43

:,N-F=—4,

3

C1ELL14,2

:=-NF-EF=-x-xl=-

△由2233

?；QHICE,ADICE,

：.NF//QH,

：.八ENFs八EQH,

.NF_EF

??麗―麗’

設CH=QH=a,則EH=5-a,

1

5-Q

20

a=—

7

CH=QH=y

?V=-CEQH=-x5x—=—

,,3QCE2277

502_136

?,§四邊形CFAQ=S^QCE-S&ENF

【點睛】本題考查了菱形的性質，平行線的性質，全等三角形判定和性質，直角三角形的性質，等腰三角

形的判定，軸對稱的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，折疊的性質，等腰直角三角形的判定和

性質，正確作出輔助線是解題的關鍵.

6.如圖1,在矩形中，AB=3,45=4,點E在2c上，連接"把沿直線4E1翻折得到

△AFE,直線EF與直線CD交于點G,連接

（1）當NDFG=NGEC時，求BE的長.

小星看到把A/BE沿直線NE翻折得到△/M,就想到翻折圖形的特征特點，對應邊相等，對應角相等，對

應點連線被對稱軸垂直平分,那么他就知道BE=FE,AB=AF,ZABE=ZAFE=90°,根據ZDFG=AGEC,

他延長EG與2。的延長線相交于點〃，可證/。=。尸=￡月，AH=EH,再通過勾股定理即可求出8E的長.

請用小星的方法或自己的方法求防的長；

（2）當G是CD的中點時，求BE的長；

（3）如圖2,已知等邊△4BC的邊長為6,點。在邊上，連接3,把△45。沿直線4。翻折得到,

直線DE與直線ZC交于點R若CF=g,求BD的長.

【答案】（1）8-而

"-歷

3-

（3）102-6舊或102+6拒或114-6府

【分析】（1）延長EG與的延長線相交于點”，可證斤=DH,AH=EH,在中根據勾

股定理即可求出族的長.

（2）延長EG與4D的延長線相交于點”，設EF=BE=x,則CE=4-x,證明會AEGC,得

DH=CE=4-x,求出E"=/〃=8-x,尸“=EH—E尸=8-2x,在中根據勾股定理，

AF2+FH2=AH2,求出x即可；

（3）分兩種情況：當點尸在線段/C上時，當點尸在/C延長線上時，根據等邊三角形及相似三角形解決

問題

【解析】（1）解：延長EG與4。的延長線相交于點X,

由翻折得5￡=尸￡,AB=AF,/ABE=/AFE=90。,

??,四邊形4gs是矩形，

???AD〃BC,

：.ZCEG=ZH,

ZDFG=ZGEC

：.ZH=ZDFG

：.DF=DH,

?：ZFAH+ZH=90°,NAFD+NDFH=90。,

：.ZAFD=ZDAF,

AD=DF=DH=4,

???AD//BC,

：.AHAE=ZAEB=ZAEH,

；.EH=AH=AD+DH=8

在RtZX/F〃中，AF2+FH2=AH2.

：.32+（8-5^）2=82

解得B石=8—莊或5￡=8+后（舍去）；

（2）延長EG與的延長線相交于點〃，

設EF=BE=x,貝ljCE=4—x

???G是CD的中點，

???四邊形/5S是矩形,

???AD〃BC,

/CEG=AH,

AHGD=ZCGB

AHGD之小EGC,

：.DH=CE=4-x,

：.AH=AD+DH=8-X9

9：AD〃BC,

：.ZHAE=ZAEB=ZAEH,

:.EH=AH=8—x,

：.FH=EH-EF=S-2x

在Rd/F//中，AF2+FH2=AH2,

：.32+（8-2x）2=（8-x）2

解得x=三巨或x=（舍去）

33

即田巴”

3

（3）當點/在線段4C上時，

設BD=DE=x,DF=a,貝UCD=6—x,EF=DE—DF=x—a,

???△力5C是等邊三角形，

AZB=ZC=60°,AB=AC=6,

由翻折得ZE=/5=6,ZE=ZB=60°,

???ZE=ZC,

?：ZAFE=ZDFC,

/\AFE^Z\DFC,

.AEAFEF

，9~CD~^F~~CFf

11

.6_2_x-a

6-xaJ_

2

解得xJ02-6屈或"。2+6舊；

2323

當點廠在NC延長線上時，

設BD=DE=x,貝！CJ￡>=6—x,

???△力^。是等邊三角形，

AZS=ZACB=60°,AB=AC=6,

由折疊得“E=/5=4C=6,AB=ZAED=60°,

NACB=ZAED,

ZAHC=/EHD,

ZCAH=ZHDE,

ZAFE=ZDFC,

AAFES^DFC

,AEAFEF

**CF-DF-CF

13

?6萬EF

6-x~x+EF~~f

2

解得-6病或x」4+6a(舍).

2525

綜上，即的長為-一6,或1。2+6屈或114-6標.

232325

【點睛】此題考查了矩形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性

質，勾股定理等知識，是綜合性較強的一題，綜合掌握各種圖形的性質，正確引出輔助線分類討論是解題

的關鍵.

7.(1)發現：如圖1,正方形4BCO中，點￡在邊上，將沿ZE對折得到△NFE,延長斯交8C

邊于點G,連接ZG.證明：BG+DE=EG.

(2)探究：如圖2,矩形45。中/。>/3,。是對角線的交點，過。任作一直線分別交工。于點

M、N,四邊形AMNE是四邊形CMND沿肱V翻折得到的，連接CN,若△CDN的面積與KMN的面積比為1:3,

求而的管

(3)拓展：如圖3,在菱形45。中，AB=6,E為。邊上的三等分點，ZD=60°,將△/￡>￡沿NE翻折

得至！J△/尸E,直線E尸交8C于點尸，求PC的長.

【答案】(1)見解析；(2)票=2道；(3)|■或，

【分析】(1)由折疊性質得=ZAFE=/D=90°,再證明A/G/絲△/尸G即可；

(2)連接NC,過N作NG,8c于G,依題意得四邊形CDVG是矩形；首先證明四邊形ZMCN是平行四

邊形，從而得BM=ND；設ND=a,由面積關系得“C=3a,從而由勾股定理得48=20a;依題意得四

邊形CDNG是矩形，則有MG=2a,在直角三角形中由勾股定理求得"N,即可求得結果；

(3)分兩種情況考慮：①。E=；DC=2時；②CE=；DC=2時，分別利用勾股定理建立方程求解.

【解析】(1)證明：正方形48。中，AD=AB,ND=NB=9G°；

由折疊性質得/尸=NDNAFE=ND=90°,DE=EF■,

ZAFG=ZB=90°,AB=AF；

■.■AG=AG,

.?.△4G/絲△/FG(HL),

:.BG=FG；

BG+DE=FG+EF=EG；

(2)如圖，連接/C,過N作NGL8C于G,則NNGC=90。，

在矩形/BCD中，

CD=AB,AD//BC,ND=/BCD=NB=90。,OA=OC；

則四邊形CDNG是矩形，

ND=GC,CD=NG=AB；

AD//BC,

:./NAO=/MCO,NANO=NCMO,

:.AANO絲MMO,

/.AN=MC,

故四邊形ZMCN是平行四邊形，

BC-MC=AD-AN,

BM=ND；

由折疊知，AM=MC,

設ND=a,由于的面積與的面積比為1:3,

即;ONCQ:；MCNG=1:3,

:.MC:DN=1:3；

:.MC=3a,BM=DN=GC=a,AM=MC=3a；

由勾股定理得AB=4AM1-BM1=，

-：MG=MC-GC=2a,

在RL^JWG中，由勾股定理求得=Je+MG?=2恁，

，3=拽—?

DNa

(3)由于四邊形是菱形，

則4B=/Z)=Z)C=6,AD〃BC；

①如圖，當。E="C=2時；

延長用交力)于點0,過點。作。“上。于點”，過點￡作￡“，/0于ENLAF于N,過點/作

4RLFQ于R；

設=QE=yf則/0=4O_O0=6—x；

???CP//DQ,

:ACPES^DQE,

.CP_CE

??瓦―京—'

貝UCP=2DQ=2x；

由折疊知：EF=DE=2,AF=AD=6,/QAE=/FAE,

.：/￡平分/Q4F,

:.EM=EN；

■：S^AQE=^AQ-EM=^QE-AR,S^AEF=^AF-EN=^EF-AR,

上兩式相比并化簡得：當=柒，

AFEF

即斗故有：y=2-^X；

o23

vZD=60°f

:.DH=^DQ=^x,

HE—DE—DH=2—萬x,HQ=-43DH=x?

在RtZ\〃0E中，由勾股定理得：叱+瞳=￡。,

②當CE=；QC=2時,

如圖，延長在交血）延長線于點。'，過點。'作。歸UCE于",

則。E=CD-CE=4；

設孫Q'E=yi,則/°'=/0+0。=5+再；

???CP//DQ',

.△CPEsADQ'E,

CPCE1

~DQ~~DE~3."

.■.CP=^DQ'=^Xl；

由折疊性質得：EF=DE=4,AF=AD=6,AQ'AE=AEAF；

與前一情況同理,得：隼二瞽,

即金=2,

64

2

二%二4A+§西;

???ZCDA=ZQ'DH'=60°,

:.DH'=^DQ'=,

1h

fffrf

HE=DE+DH=4+-HQ=y/3DH=^-xx;

在RtZVTQ'E中，由勾股定理得：H'Q'12+H'E2=EQ'2,

即（玉+[4+：再]=乂2=]4+|?西

12

解得：為=1?或再=。（舍去），

1126

PC=—x—=一；

255

綜上，尸。的長為m或g.

【點睛】本題是相似三角形與四邊形的綜合，考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質,

折疊的性質，勾股定理，含30度直角三角形的性質，正方形的性質，矩形及菱形的性質，平行四邊形的性

質等知識，涉及分類討論思想，綜合性強，難度大，正確作出輔助線，熟練掌握折疊的性質、相似三角形

的判定與性質是關鍵.

題型4：旋轉問題

8.如圖，△4BC和是有公共頂點的等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°.

⑴如圖1,連接血、CD,班的延長線交/C于尸，交CD于點P,求證:

①"BE知ACD；

②BPLCD；

（2）如圖2,把△/￡）￡繞點A順時針旋轉，當點。落在上時，連接BE、CD,CD的延長線交BE于點P,

若3c=60，AD=3.

①求證：LBDPS/\CDA,

②4PDE的面積是一

【答案】（1）①見解析；②見解析

⑵①見解析；②、27

【分析】（1）①利用SAS定理證明A/3E0"CZ）；

②根據全等三角形的性質得到=根據三角形內角和定理、垂直的定義證明結論；

（2）①證明A/BEgA/CD,根據全等三角形的性質得到々BE利用相似三角形的判定定理證明

即可；

②根據等腰直角三角形的性質求出/C,根據勾股定理求出CD,證明△C/DS^CPE,根據相似三角形的

性質分別求出PE、PD,根據三角形的面積公式計算，得到答案.

【解析】（1）證明：@vABAC=ZDAE,

:.ZBAC-ZEAC=NDAE-NEAC,即NBAE=ACAD,

在"BE和AACD中，

AB=AC

<NBAE=/CAD,

AE=AD

?\'^ABE^ACD,

.?./ABE=ZACD,

???AAFB=ZPCF,

:"BPC=/BAC=9。。,^BP.LCD；

(2)①證明：在△/5￡和“8中，

AE=AD

<ZBAE=ZCAD=90°,

AB=AC

.\AABE^AACD(SAS),

/ABE=ZACD,

?「ZBDP=ZCDA,

:.BDPs￡DA；

②解：在△45C中，/BAC=90。,AB=AC,BC=6亞,

：.AB2+AC2=BC2=(6A/2)2=72

...AB=AC=6y[2x—=6,

2

在△ZOE中，^DAE=90°,AD=AE,AD=3,

AE=3,

CE=CA+AE=9,

在中，ZDAC=90°,

由勾股定理得：CD￡AC2+AD?=3下，

由(1)②可知，BPLCD,

/CAD=/CPE=9。。,

???ZACD=ZPCE,

:KADs/PE,

,CDADCA日門3店36

"~CE~~PE~~CP"^~9~=^E=~CP9

解得：PE=座,。尸=竺5,

55

:.PD=CP-CD=^^-34S=—,

55

13亞97527

?s=-PDPE=—X----------X-----------=——

…QAPDE225510

【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質，勾

股定理以及三角形的面積計算，靈活運用相似三角形的判定定理是解題的關鍵.

9.問題背景：如圖(1),在△4BC和△/￡)￡■中，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE,求證:

八ABD咨八ACE；

嘗試應用：如圖(2),在△ABC和△/￡>￡中，ZABC=ZADE=90°,ZACB=ZAED=30°,連接CE,點尸

是CE的中點.判定以2,D,尸為頂點的三角形的形狀，并證明你的結論；

拓展創新：如圖(3),在UBC中，ACM，BC=245,將48繞點/逆時針旋轉90。得到4D,連接

BD,CD.若點K是CD的中點，連接BE,直接寫出BE的最大值.

【答案】問題背景：見解析；嘗試應用：等邊三角形，理由見解析；拓展創新：6

【分析】問題背景：由NB4C=ND4E得NB4D=/C4E,利用SAS即可證明全等；

嘗試應用：取/C中點尸，連接尸尸，則尸是等邊三角形，得BP=4B；由三角形中位線定理得PF=ND,

PF//AE,則/C尸尸=/C4E,從而可得/BPF=/B/D,從而可證明△/如二△尸瓦^SAS),則可得

BD=BF,NABD=ZPBF，問題即可證明；

拓展創新：過C作尸CL8C,垂足為C,且尸C=BC,連接3尸，DF,可得AACBSADFB,從而

。尸=2；.取CF的中點G,連接8G,GE,則GE=1,BG=5,由BEWBG+GE可得BEW6,即8E的最大

值為6.

【解析】問題背景：證明：???/R4C=/D/E,

:.ABAC-ADAC=/DAE-ADAC,

即/BAD=NCAE,

VAB=AC,AD=AE,

:△ABD^ACE(SAS)；

嘗試應用：解：等邊三角形；證明如下：

取/C中點尸，連接月尸，如圖，

vZABC=ZADE=90°fZACB=ZAED=30°,

BP=AP,/BAP=/EAD=60。，AD=-AE,

2

「.△43尸是等邊三角形，

:.BP=AB,ZAPB=ZABP=60°；

ZBPC=180°—/APB=120°,

/BPF=ZBPC+/CPF=120°+/CPF；

?./為CE的中點，4C中點為尸，

:.PF=-AE=AD,PF//AE,

2

/./CPF=/CAE,

/./BAD=ZBAP+/CAE+ZEAD=120°+ZCAE,

/.ZBPF=ABAD,

.?.△48QdP昉(SAS),

:.BD=BFfZABD=ZPBF,

/./DBF=ZDBP+ZPBF=ZDBP+ZABD=ZABP=60°,

:.ADBF是等邊三角形；

拓展創新：解：如圖，過C作尸CL8C,垂足為C,且尸C=8C,連接AF,DF,

則/CBb=45°,BF=6BC;

由旋轉知，AB=AD,ABAD=90°,

:.AABD=45°,BD=6AB;

???NABC+ZCBD=NCBD+ZDBF=45°,

ZABC=/DBF；

?.圖=”地，

ABBC

:AACBs^DFB,

與”=叵,

ABAC

:.DF=42AC=2-

取3的中點G,連接8G,GE,則CG=[w=布;

2

???E點是CD的中點，

r.GE=尸=1,

2

由勾股定理得：BG=yjBC2+CG2=V20+5=5>

?：BE<BG+GE,

即BEW5+1=6,

.〔BE的最大值為6.

【點睛】本題是三角形的綜合，考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等邊三角形

判定，等腰三角形的性質，勾股定理，三角形中位線定理等知識，構造輔助線證明三角形全等與相似是本

題的關鍵.

10.如圖，在△銳角ABC中，AB=行，8C=3,乙4cB=45。，將△48。繞點B按逆時針方向旋轉得到△42G.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，當點G在線段C4的延長線上時，求NCG4的度數;

(2)如圖②，連接，4，CC,,若的面積為2,求△C8G的面積;

(3)如圖③，點￡為線段48中點，點P是線段NC上的動點，在△4BC繞點8按逆時針方向旋轉過程中,

點P的對應點是點4,求線段朝長度的最大值與最小值.

【答案】(1)90。

(2)^cac,=y

⑶線段班長度的最大值為3+,與最小值為《夜-

【分析X1)由旋轉的性質可得：乙4"=ZACB=45°,BC=BCt,又由等腰三角形的性質，即可求得ZCQ4

的度數；

(2)由旋轉的性質可得：/BCaAg,易證得4sACBG，利用相似三角形的性質可得答案；

(3)由①當P在AC上運動至垂足點D,LABC繞點B旋轉，使點P的對應點R在線段AB上時，步最小;②

當尸在/C上運動至點C,AABC繞點B旋轉,使點尸的對應點耳在線段的延長線上時，列最大，即

可求得線段團長度的最大值與最小值.

【解析】(1)解：由旋轉的性質可得：ZAlClB=ZACB=45°,BC=BQ,

：.NCgB=NGCB=45°,

：.ZCQ4=ZCQB+ZA^B=45°+45°=90°.

(2)解：由旋轉的性質可得：AABCaAg,

：.BA=BAt,BC=BG，ZA8C=Z4g,

BABA,

ZABC+N4BG=N4g+ZABQ,

；.NAB&=NCBQ,

:.AABAISACBG，而22=收BC=3,

■：的面積為2,

(3)解：過點5作8DL/C,。為垂足,

,/△4BC為銳角三角形,

...點。在線段/C上，

在Rt^CZ）中，ZACB=45°fZBDC=90°,

.-,2/）50=90°-45°=45°,

???ZDBC=/DCB,

DB=DC,

9：DB2+DC2=BC2,

???2032=32,

解得：05=1&或D2=也（舍去），

乙2.

:點￡為線段48中點，

BE=AE=—AB=；

22

①如圖1,當P在NC上運動至垂足點。，△ABC繞點2旋轉，使點尸的對應點片在線段上時,

E"4G,此時團最小，且最小值為：EP[=BP[-BE=BD-BE=-；

圖1

②如圖，當P在/C上運動至點C,△ABC繞點3旋轉，使點尸的對應點々在線段48的延長線上時，ER

最大，且最大值為：ER=BCi+BE=BC+BE=3+《.

A4

1G（R）

綜上分析可知，線段玷長度的最大值為3+立與最小值為口后-

2