專題25江蘇中考數(shù)學(xué)大題滿分訓(xùn)練02(最新模擬40題：每日一練押題訓(xùn)練)

題組一：數(shù)與式的計算、解分式方程與不等式、概率、統(tǒng)計、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用、四邊形的簡單計

算與證明、圓的有關(guān)計算與證明、反比例函數(shù)與一次函數(shù)、幾何壓軸題、二次函數(shù)綜合題

1.(2023春?崇川區(qū)校級月考)計算:

_1

(1)計算：|1一四|一(4一兀)。+21麗60。+(—5)-2；

8x2-l

(2)先化簡：L—x—3)+7j,,再從中選一個合適的整數(shù)x代入求值.

3—xX2—6%+9Q

【考點】分式的化簡求值；零指數(shù)累；負(fù)整數(shù)指數(shù)幕；特殊角的三角函數(shù)值；實數(shù)的運算.

【答案】(1)3V3+2；

(2)3-x,當(dāng)x=2時，原式=1.

【分析】(1)先計算零指數(shù)幕，負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉和特殊角三角函數(shù)值，再根據(jù)實數(shù)的混合計算法則求解即

可；

(2)先根據(jù)分式的混合計算法則化簡，然后根據(jù)分式有意義的條件選擇一個合適的值代值計算即可.

【詳解】解：(1)原式=—1—1+2X+4

=V3-1-1+2V3+4

-3v+2；

8x2—l.83x—x29—3xx2-l

(2)——%—3)4-——=(~———----—―----)+)「——

3—xX2-6x4-93—%3—x3—%x2—6%+9

222

z8—3x+x-9+3%^N—1x—1(%—3)

=3^x)<(x-3)2-3-x-x2-i

=3-x,

?.?分式要有意義，

0,x2-1^0,

1且xW3,

...可以選取x=2,

當(dāng)x=2時，原式=3-2=1.

【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，實數(shù)的混合計算，特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)塞，負(fù)整數(shù)指

數(shù)累，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.

x3

2.(2023?天寧區(qū)校級模擬)(1)解分式方程：；

yzx——1j-+^1——Z—x=2

（2）解不等式組：M線J（I）.

【考點】解分式方程；解一元一次不等式組.

1

【答案】（1）x=

（2）-2WxW3.

【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方

程的解；

（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可.

【詳解】解：（1）去分母得：x-3=2（2尤-1）,

1

解得：x=

1

檢驗：把尤=代入得：2x-1W0,

1

分式方程的解為苫=

0、f7x+2>4（x—1）①

s1x4-3>2x②'

由①得：尤，-2,

由②得：xW3,

二不等式組的解集為-2WxW3.

【點睛】此題考查了解分式方程，以及解一元一次不等式組，熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵.

3.（2023?天寧區(qū)校級模擬）如圖，甲、乙兩個帶指針的轉(zhuǎn)盤分別被分割成三個面積相等和兩個面積相等的

扇形，轉(zhuǎn)盤甲上標(biāo)注的數(shù)字分別是-1,-6,8,轉(zhuǎn)盤乙上標(biāo)注的數(shù)字分別是-4,5.（規(guī)定：指針恰好

停留在分界線上，則重新轉(zhuǎn)動一次）.

1

（1）轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲，指針指向正數(shù)的概率是孑；

（2）若同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤甲的指針?biāo)赶虻臄?shù)記為。，轉(zhuǎn)盤乙的指針?biāo)赶虻臄?shù)記為6,求滿足

a+b<0的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法.

1

【答案】（1）

1

（2）—.

【分析】（1）直接利用概率公式計算即可.

（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和滿足的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案.

1

【詳解】解：（1）由題意得，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲，指針指向正數(shù)的概率是7

1

故答案為：

（2）畫樹狀圖如下：

其中滿足q+6V0的結(jié)果有3種，

31

滿足q+6〈0的概率為

6N

【點睛】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵.

4.（2023?金壇區(qū)一模）為慶祝中國共青團(tuán)成立100周年，某校團(tuán)委開展四項活動：/項參觀學(xué)習(xí)，8項團(tuán)

史宣講，C項經(jīng)典誦讀，。項文學(xué)創(chuàng)作，要求每位學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)必須且只能參加其中一項活動.從

全體學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生，調(diào)查他們參加活動的意向，將收集的數(shù)據(jù)整理后，繪制成如下兩幅不完

各項活動意向參加人數(shù)的條形統(tǒng)計圖各項活動意向參加人數(shù)的扇形統(tǒng)計圖

整的統(tǒng)計圖:

（1）本次調(diào)查的樣本容量是80,3項活動所在扇形的圓心角的大小是54

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）若該校有2000名學(xué)生，請估計其中意向參加“參觀學(xué)習(xí)”活動的人數(shù).

【考點】條形統(tǒng)計圖；總體、個體、樣本、樣本容量；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖.

【答案】⑴80,54；

（2）見解答；

（3）800人.

【分析】（1）根據(jù)兩幅統(tǒng)計圖提供的信息列式計算即可；

（2）計算條形統(tǒng)計圖中C項活動的人數(shù)，畫圖即可；

（2）根據(jù)樣本估計總體列式計算即可.

12

【詳解】解（1）本次調(diào)查的樣本容量是16?20%=80,8項活動所在扇形的圓心角的大小是360°X—

oU

=54°，

故答案為：80,54；

（2）條形統(tǒng)計圖中C項活動的人數(shù)是80-32-12-16=20（人），

各項活動意向參加人數(shù)的條形統(tǒng)計圖

（3）2000x--800（人），

oU

答：該校意向參加“參觀學(xué)習(xí)”活動的人數(shù)約為800人.

【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?南京一模）如圖，河流的兩岸P。、互相平行，河岸P0上/、2兩處間的距離為50米，為了

測量河流的寬度，某人在河岸"N的C處測得N5CN=35°,然后沿河岸走了120米到達(dá)。處，測得/

ADN=70；求河流的寬度.（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin35°七0.57,cos35°心0.82,tan35°弋

0.70,sin70°心0.94,cos70°弋0.34,tan70°仁2.75)

pABQ

【考點】解直角三角形的應(yīng)用.

【答案】180米.

【分析】過點/作//，兒W于點尸，過點8作兒W于點E,設(shè)AF=BE=x,然后根據(jù)銳角三角函數(shù)

的定義列出方程即可求出x的值.

【詳解】解：過點4作/尸于點凡過點8作兒W于點E,

...四邊形/8E尸是矩形，

:.AB=FE=5Q（米），AF=BE,

設(shè)AF=BE=x（米），

在Rtz\4D尸中，

AF

tan//。尸=777：,

DF

xx

DF=tan70°=2.75'

在RtA5C￡中，

BE

tanN2CE=7777，

CE

x

.?.0.7"120+—+50>

2.75

解得：X-180（米），

答：河流的寬度為180米.

【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義，本

題屬于中等題型.

6.（2023?天寧區(qū)校級模擬）如圖，菱形N8CD的對角線NC、8。相交于點。，過點。作。E〃/C,且。￡=

1

-AC,連接CE.

（1）求證：四邊形OCED為矩形；

（2）連接若BD=6,AE=473,求菱形/BCD的邊長.

【考點】矩形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì).

【答案】（1）證明見解析；

（2）5.

【分析】（1）先證四邊形OCED是平行四邊形，再由NDOC=90°,即可得出結(jié)論;

（2）根據(jù)勾股定理和菱形的性質(zhì)解答即可.

【解答】（1）證明：：四邊形/BCD是菱形，

1

J.ACLBD,AO=OC^~AC,

：.ZDC>C=90°,

1

'JDE//AC,DE^-AC,

:.DE=OC,DE//OC,

四邊形OCED是平行四邊形，

又：NDOC=90°,

平行四邊形OCE。是矩形；

（2）解：由（1）可知，平行四邊形OCE。是矩形，

11

AZECA^90°,EC=OD=]BD=3,DE^OC=~AC,

由勾股定理可得，AC=<AE2-EC2=V73-9=8,

；.OC=4,

：.DC=70c2+OD2=/42+32=5,

菱形/BCD的邊長=5.

【點睛】此題考查矩形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)解答.

7.（2023?建湖縣一模）如圖，的半徑是2屆加，48是的直徑，半徑于點。，點E是半

徑04上一點，CE交OO于點D,且PD=PE.

（1）求證：尸。是。。的切線；

1

（2）若tan//CZ）=5，求：BZ）和4c的長.

【考點】切線的判定與性質(zhì)；解直角三角形；圓周角定理.

【答案】（1）證明見解析；（2）BD=8cm,AC=2410cm.

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)推出NODC+NPDE=90°,得到半徑。。，尸

即可證明尸。是。。的切線；

1

（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出4C的長，由tan5=tanN4cz）=5,令A(yù)D=xcm,應(yīng)用勾股定理

求出x,即可求出5。長.

【解答】（1）證明：連接OD,

■:PD=PE,

：./PDE=/PED,

U：OD=OC,

：?/ODC=/OCD,

OCL4B,

：.ZEOC=90°,

：.ZOCD+ZOEC=90°,

：.ZODC+ZOEC=90°,

*.*/PED=/OEC,

：.ZODC+ZPED=90°,

：.ZODC+ZPDE=90°,

???半徑。。，尸0,

???尸。是。。的切線；

(2)解：VZAOC=90°,AO=CO,

???AAOC是等腰直角三角形，

：.AC=y[2AO,

,圓的半徑是2或cm,

',AC—V2X2V5=2VT0(cm),

/B=NACD,

1

tan5=tanZACD=

.AD1

??麗二5，

令A(yù)D=xcm,貝!J8。=2xcm,

是圓的直徑，

：,/ADB=90°,

??AB—y/AD2+BD2=y/x2+(2x)2=V5x—4V5(cm),

?.x=4,

：?BD=2x=8(cm).

【點睛】本題考查切線的判定，勾股定理，圓周角定理，解直角三角形，關(guān)鍵是掌握切線的判定方法；

1

由tanB=tmZACD=萬，求BD的長.

m

8.(2023?蘇州一模)如圖，一次函數(shù)＞=底用的圖像與反比例函數(shù)y=》的圖像交于點4(1,2n)和點5

(3〃-6,2),與x軸交于點C

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

3

(2)連接ON,OB,在直線/C上是否存在點。，使△0CD的面積是△NO8面積的彳？若存在，求出點

。的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

6

【答案】(1)一次函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+8,反比例函數(shù)表達(dá)式為、=短

(2)點。坐標(biāo)為(2.5,3)或(5.5,-3).

m

【分析】(1)先根據(jù)點力和點8在反比例函數(shù)y=^的圖像上，可得1?2〃=2(3H-6),求出〃的值，可

得點A和點B坐標(biāo)，再待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式和反比例函數(shù)表達(dá)式即可；

(2)先求出C點坐標(biāo)，根據(jù)SAAOB=SAAOC-SABOC^^AOB的面積，設(shè)D點縱坐標(biāo)為t,根據(jù)△OCD

1

的面積=]X4|t|=6,求出/的值，即可確定點。坐標(biāo).

m

【詳解】解(1)???一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)y=與的圖像交于點/(1,2n)和點3Un-

6,2),

1?2〃=2(3?-6),

解得〃=3,

點/坐標(biāo)為(1,6),點8坐標(biāo)為(3,2),

.,.加=1X6=6,

將點/(1,6)和點B(3,2)代入一次函數(shù)

4H(k+b=6

19l3k+b=2)

解得｛憶/

6

???一次函數(shù)表達(dá)式為歹=-21+8,反比例函數(shù)表達(dá)式為y=w

(2)???一次函數(shù)y=-2x+8的圖像與x軸交于點C,

當(dāng)y=-2x+8=0時，x=4,

???點C坐標(biāo)為(4,0),

J。。=4,

?^?S^AOB=S^AOC_S^BOC

11

=-x4x6——x4x2

=8,

3

VAOCD的面積是△/OB面積的了，

q

3

:?△OCD的面積為彳x8=6,

q

設(shè)。點縱坐標(biāo)為6

1

**.-x4|t|=6,

解得t=3或t=-3,

??,點。在直線4C上，

3=-2x+8或-3=-2x+8,

解得％=2.5或x=5.5,

???點。坐標(biāo)為(2.5,3)或(5.5,-3).

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求解析式，三角形面積等，熟練掌

握待定系法求解析式是解題的關(guān)鍵.

9.(2023?天寧區(qū)校級模擬)如圖，在△ZSC中，4B=4C=10,點D、￡分別是邊/5、邊5C上的點，連

接CD,NCDE=NB,尸是。E延長線上一點，連接CRZFCE=ZACD.

(1)判斷△COb的形狀，并說明理由；

EF

(2)若4。=4,求而的值；

DE

3

(3)若sin5=g,BD=BE.

BD

①^7^7的值；

Uc

②求cr的長.

A

【考點】三角形綜合題.

【答案】（1）結(jié)論：△CD尸是等腰三角形.證明見解析部分;

2

⑵3;

（3）①孚

（2）CF=2V10.

【分析】（1）證明NFCD=NF￡>C即可;

（2）利用等腰三角形的判定與相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；

3EK333

（3）①過點E作于點K,由題意得sinfi=E，推出六;=三，推出=-BD,推出5K

41__________V10

=￡BD,推出DK=0￡）.可得DE=7DK2+EK2=

…DECD叵BDCD16V10

②證明△CDESACAD,推出亦=77m，推出-----=—,可得CD=―--.由（知：AABCs

DUCoBD5

BCAB

△FCD,推出含=777,可得結(jié)論.

【詳解】解：（1）結(jié)論：△CZ）廠是等腰三角形.

理由：?：AB=AC,

：./B=/ACB,,

???NFCE=/ACD,

：./FCD=/ACB,

■:/CDE=NB,

???ZFCD=ZCDF,

:?FC=FD,

???△尸CD是等腰三角形;

(2)?:NECF=/ACD,

：.ZACB=ZDCF.

/B=/CDE,

：.AABCsAFCD,

：.ZBAC=ZF.

U：AB=AC,

：.FD=FC.

?；NBAC=/F,NACD=/FCE,

：.dACDsAFCE,

.ACCF

??Z5=10,AD=4,

.CF105

，9EF=~=2f

9：DE+EF=FC,

.EF2

，9~DE=r

(3)①過點￡作叢，45于點K,如圖,

3

由題意得：sinB=

.EK3

??瓦=g，

33

:?EK=~BE=_5D,

4

：.BK=~BDf

1

：.DK=-BD.

：.DE=7DK2+EK2=-BD,

.BDVIO

?,班=T；

②,/ZCDE=ZB,ZDCE=ZBCD,

：.ACDE^ACBD,

DECD

'BD=~CB"

.粵BD_迫

'BD16，

16VTU

：.CD-5-

由（1）知：AABCS^FCD,

.BCAB

"'CO=CF）

1610

???厘=加

.\CF=2VTO.

【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股

定理，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?金壇區(qū)一模）如圖，已知二次函數(shù)＞=/+/-4的圖像經(jīng)過點/（3,-4）,與x軸負(fù)半軸交于

點、B,與y軸交于點C,連接BC.

（備用圖）

（1）填空：b=-3；

（2）點P是直線A8下方拋物線上一個動點，過點尸作尸軸，垂足為T,PT交4B于點、Q,求線段

PQ的最大值；

(3)點。是y軸正半軸上一點，若/BDC=/ABC,求點。的坐標(biāo).

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【答案】(1)-3；

(2)P。的最大值是4；

一5

(3)點。的坐標(biāo)為(0,

【分析】(1)將點/(3,-4)代入》=1+及-4即可求解；

(2)利用二次函數(shù)解析式可求得3點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得直線N8的解析式，設(shè)出尸點坐標(biāo),

則可表示出。點坐標(biāo)，表示出尸。的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得尸。的最大值；

(3)證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得CD的長，即可求得。點坐標(biāo).

【詳解】解：(1)將點/(3,-4)代入＞=/+云-4得：

9+36-4=-4,解得6=-3,

故答案為：-3；

(2),:b=-3,

...二次函數(shù)y=x2-3x-4,

解方程x2-3x-4=0,得xi=-l,X2=4,

：.B(-1,0),

設(shè)直線48的函數(shù)表達(dá)式是夕=h+加，

直線48交y軸于點足

,：A(3,-4),

?-{-^^0-解得{9片，

???直線45的函數(shù)表達(dá)式是歹=-x-1,

設(shè)點尸(加，m2-3m-4),

則0(加，-m-1).

'?PQ--m-\-冽2+3加+4=-加2+2加+3=-(加-1)2+4.

???當(dāng)冽=1時，尸。的最大值是4；

(3)如圖，設(shè)交y軸于

wI

,二次函數(shù)y=x2-3x-4,令x=0,則y=-4,

：.C（0,-4）,

?.,直線的函數(shù)表達(dá)式是》=-x-1,

：.E（0,-1）,

,:B（-1,0）,

：.CE=3,BC=712+42=近,

?:NBDC=NABC,ZBCD=ZECB,

ABCDsAECB,

CDCBCD777

'-CB=CE，即赤=『

17

/.CD=—,

175

：.OD=CD-OC=—-4=~,

_5

.?.點。的坐標(biāo)為（0,

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了待定系數(shù)法求拋物線和直線的解析式、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、相

似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，本題綜合性強，熟練掌握待定系數(shù)法，相似三角形的判定與

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題組二：數(shù)與式的計算、解方程組與不等式、概率、統(tǒng)計、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用、圓的有關(guān)計算與證

明、一次函數(shù)的應(yīng)用、基本作圖、幾何壓軸題、二次函數(shù)新定義問題

1

11.（2023?海陵區(qū)一模）（1）計算：（一§）2-|V3-3|+2sin30°-（TT-2023）0；

—412

（-

（2）化筒：a2-4a+4^a2-2a

【考點】實數(shù)的運算；分式的化簡求值；零指數(shù)幕；特殊角的三角函數(shù)值.

【答案】（1）6+V3；

a(a+3)

(2);

【分析】（1）分別根據(jù)零指數(shù)幕及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運算法則、絕對值的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值計算

出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)混合運算的法則進(jìn)行計算即可;

（2）根據(jù)分式混合運算的法則把原式進(jìn)行化簡即可.

「1

【詳解】解：（1）原式=9-（3-V3）+2X--1

=9-3+73+1-1

—6+V3；

(a+2)(a-2)1a(a-2)

(2)原式=((a-2/+后?——

a+21a(a—2)

(----+----)?-------

a-2a-22

a+3a(a—2)

=a-2-2-

a(a+3)

=-2-*

【點睛】本題考查的是實數(shù)的運算及分式的化簡求值，熟知零指數(shù)累及負(fù)整數(shù)指數(shù)賽的運算法則、絕對

值的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?天寧區(qū)校級模擬）解方程組和不等式組:

x+2y=4

(1)

x—y=l

（2x+1>7—x

（2）

【考點】解一元一次不等式組；二元一次方程組的解；解二元一次方程組.

【答案】（1）

（2）2VxW3.

【分析】（1）利用加減消元法求解即可;

（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不

到確定不等式組的解集.

【詳解】解：（1）4,

①+②X2,得：3x=6,

解得x=2,

將x=2代入②，得：2-y=l,

解得：尸1，

則方程組的解為P

(2)由2x+l>7-x得：x>2,

%+3

由得：x<3,

則不等式組的解集為2<xW3.

【點睛】本題考查的是解二元一次方程組和一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟

知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

13.(2023?淮陰區(qū)一模)從2名男生和2名女生中隨機抽取運動會志愿者.

1

(1)隨機抽取1名，恰好是女生的概率為

(2)請用畫樹狀圖或列表的方法，寫出抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式.

1

【答案】(1)2-

(2)—.

【分析】(1)直接利用概率公式計算即可.

(2)畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的結(jié)果數(shù)，再利用概率

公式可得出答案.

【詳解】解：(1).??有2名男生和2名女生，

21

隨機抽取1名，恰好是女生的概率為1=寧

1

故答案為：2.

(2)設(shè)2名男生分別記為/,B,2名女生分別記為C,D,

畫樹狀圖如下：

BCDDABDABC

共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的結(jié)果有/C,AD,BC,BD,

CA,CB,DA,DB,共8種，

82

二抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率為逵=§.

【點睛】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵.

14.(2023?天寧區(qū)校級模擬)2023年2月，C市從甲、乙兩校各抽取10名學(xué)生參加全市數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平監(jiān)

測.樣本學(xué)生數(shù)學(xué)測試成績(滿分100分)如表：

樣本學(xué)生成績平方差中眾

均位數(shù)

數(shù)數(shù)

甲校5066666678808182839474.6141.04a66

乙校6465697476767681828374.640.8476b

(1)表中a=79；b=76；

(2)請結(jié)合平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)這幾個統(tǒng)計量，評判甲、乙兩校樣本學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績；

(3)若甲、乙兩校學(xué)生都超過2000人，按照C市的抽樣方法，用樣本學(xué)生數(shù)據(jù)估計甲、乙兩校總體數(shù)

學(xué)素養(yǎng)水平可行嗎？為什么？

【考點】方差；用樣本估計總體；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù).

【答案】(1)79,76；

(2)乙校成績更加穩(wěn)定，理由見解答；

(3)不可以按照C市的抽樣方法，用樣本學(xué)生數(shù)據(jù)估計甲、乙兩校總體數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，理由見解答.

【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念分析求解即可；

(2)結(jié)合平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，方差的意義進(jìn)行分析評判；

(3)統(tǒng)計調(diào)查要考慮總體的大小來確定樣本容量的大小.

【詳解】解：(1)將甲校樣本學(xué)生成績從小到大排序為：50,66,66,66,78,80,81,82,83,94,

位于第5個和第6個的數(shù)據(jù)分別是78和80,

78+80

?*.a—~=79,

在乙校樣本學(xué)生成績中出現(xiàn)次數(shù)最多的是76,

；.6=76,

故答案為：79,76；

（2）由題意，甲乙兩校平均數(shù)相同，乙校方差小于甲校，

，乙校成績更加穩(wěn)定；

（3）甲、乙兩校學(xué)生都超過2000人，不可以按照C市的抽樣方法，用樣本學(xué)生數(shù)據(jù)估計甲、乙兩校總

體數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，因為C市的抽樣方法是各校抽取了10人，樣本容量較小，而甲乙兩校的學(xué)生人數(shù)太

多，評估出來的數(shù)據(jù)不夠精確，所以不能用這10個人的成績來評估全校2000多人的成績.

【點睛】本題考查眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)，樣本估計總體，頻數(shù)分布表等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

基本知識，屬于中考常考題型.

15.（2023?秦淮區(qū)校級模擬）如圖，在一筆直的海岸線/上有/,8兩個觀測站，N在8的正東方向，AB=

2（單位：km）,有一艘小船在點尸處，從/測得小船在北偏西60°的方向，從2測得小船在北偏東45。

的方向.

（1）點尸到海岸線/的距離；

（2）小船從點P處沿射線/尸的方向航行一段時間后，到點C處，此時，從2測得小船在北偏西15°的

方向，則點C與點B之間的離為V2km.

（注：上述兩小題的結(jié)果都保留根號）

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題.

【答案】（1）（V3—1）km；

（2）V2.

【分析】（1）過點尸作于點。，沒PD=xkm,先解用含x的代數(shù)式表示3D,再解

Rt△尸4D,用含x的代數(shù)式表示Z。，然后根據(jù)列出關(guān)于x的方程，解方程即可；

1L

（2）過點8作瓦LL4C于點R先解RtZUB凡得出8尸=/8=1而，再解RtZ\8CF,得出BC=&BF

=y[2km.

【詳解】解：（1）如圖，過點尸作尸于點D.設(shè)PD=xkm.

在中，NBDP=90°,ZPBD=90°-45°=45°,

/.BD—PD=xkm.

在Rt/iP力。中，ZADP=90°,ZPAD=90°-60°=30°,

'.AD=\[3PD=\Fixkm.

'：BD+AD=AB,

.'.x+V^x=2,

.".x=V3—1,

點尸到海岸線/的距離為（遮一1）km,

（2）如圖，過點2作瓦U/C于點?

根據(jù)題意得：ZABC=IO5°,

在RtZ\48尸中，ZAFB=90°,ZBAF=30°,

1

.".BF=~AB—1km.

在△NBC中，ZC=180°-ABAC-AABC=^°.

在RtZXBCF中，ZBFC=90°,ZC=45°,

BC=s[2BF=y[2km,

；.點C與點、B之間的距離為近后〃，

故答案為：V2.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，難度適中.通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是

解題的關(guān)鍵.

16.（2023?南京一模）如圖，在△NBC中，CA=CB,E為ABk一點、,悴EF//BC,與NC交于點尸，經(jīng)過

點N、E、尸的。。與3C相切于點。，連接ED、FD.

（1）求證

（2）若4E=10,BE=8,求CO的長.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；三角形的外接圓與外心;

切線的性質(zhì).

【答案】（1）證明見解析；（2）8=24.

【分析】（1）連接。。，利用切線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理和相似三角形的

判定定理解答即可；

（2）利用相似三角形的性質(zhì)定理求得m，設(shè)CD=x,則5C=4C=x+12,利用角平分線的性質(zhì)定理列

出比例式，解比例式即可得出結(jié)論.

【解答】（1）證明：連接。D,如圖，

?:5C為。。的切線，

：.ODLBC,

,:BC〃EF,

：.ODA.EF,

：.Eb=DFf

：.ZBAD=ZCAD.

■:FE//BC,

：.NBDE=NFED.

*.?ZFED=ZCAD,

：.NBDE=NBAD,

*.?NB=NB,

：.ABDEsABAD；

（2）解：,:ABDEs^BAD,

.BDBA

??瓦=訪’

\9AB=BE+AE=10+8=18,

.BD18

：.BD=12.

設(shè)CD=x,貝!JBC=/C=x+12.

由（1）知：/BAD=/CAD,

.BDAB

99~CD=~AC,

.1218

，，~=x+12,

解得：x=24,

經(jīng)檢驗，x=24是原方程的根,

ACD=24.

【點睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與

性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂徑定理，角平分線的性質(zhì)，連接經(jīng)過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助

線.

17.（2023?沐陽縣模擬）某市在城中村改造中，需要種植/、8兩種不同的樹苗共3000棵，經(jīng)招標(biāo)，承包

商以15萬元的報價中標(biāo)承包了這項工程，根據(jù)調(diào)查及相關(guān)資料表明，/、2兩種樹苗的成本價及成活率

如表：

品種購買價（元/棵）成活率

A2890%

B4095%

設(shè)種植/種樹苗x棵，承包商獲得的利潤為y元.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）政府要求栽植這批樹苗的成活率不低于93%,承包商應(yīng)如何選種樹苗才能獲得最大利潤？最大利潤

是多少？

（3）在達(dá)到（2）中政府的要求并獲得最大利潤的前提下，承包商用綠化隊的40人種植這兩種樹苗，己

知每人每天可種植/種樹苗6棵或2種樹苗3棵，如何分配人數(shù)才能使種植/、3兩種樹苗同時完工.

【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）由購買/種樹苗x棵，可得出購買2種樹苗（3000-%）棵，根據(jù)“總利潤=報價-購買/

種樹苗錢數(shù)-購買B種樹苗錢數(shù)”即可得出了關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)政府要求栽植這批樹苗的成活率不低于93%,即可列出關(guān)于x的一元一次不等式，解不等式即

可得出x的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題；

（3）設(shè)安排機人種植N種樹苗，則有（40-加）人種植5種樹苗，根據(jù)每人每天可種植/種樹苗6棵

或2種樹苗3棵且同時完工，可列出關(guān)于%的分式方程，解分式方程求出”的值，檢驗后即可得出結(jié)

論.

【詳解】解：（1）根據(jù)題意，得：購買3種樹苗（3000-x）棵，

與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=150000-28x-40（3000-x）=12x+30000（0WxW3000）.

（2）根據(jù)題意，得：90%x+95%（3000-x）^93%X3000,

解得:xW1200,

\>=12x+30000中左=12>0,

...當(dāng)x=1200,3000-1200=1800時，y取最大值，最大值為44400.

答：購買/種樹苗1200棵，3種樹苗1800棵時，承包商應(yīng)的利潤最大，最大利潤為44400元.

（3）設(shè)安排加人種植/種樹苗，則有（40-〃?）人種植8種樹苗，

12001800

根據(jù)題意，得：后~=3（40-峭，

解得：加=10.

經(jīng)檢驗，加=10是分式方程的解，且符合實際，此時40-10=30（人）.

答：安排10人種植“種樹苗，30人種植2種樹苗，恰好同時完工.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)數(shù)

量關(guān)系列出不等式；（3）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出分式方程.本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時,

根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式（不等式或方程）是關(guān)鍵.

18.（2023?錫山區(qū)模擬）（1）如圖1,在銳角△NBC的外部找一點。，使得點。在/8/C的平分線上，且

/BDC+/BAC=180°,請用尺規(guī)作圖的方法確定點。的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；

10-

（2）在（1）中，若4B=6,AC=4,ZBAC=60°,則線段的長為V3_.（如需畫草圖，請

使用圖2）

【考點】作圖一復(fù)雜作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì).

【答案】（1）見解答；

(2)^/3.

【分析】(1)作/胡C的平分線，再作NC的垂直平分線，確定△/BC的外接圓的圓心，作圓，與

ABAC的平分線的交點即為點D；

(2)過點。作。于M,DVL/C交/C的延長線于N.利用全等三角形的性質(zhì)證明

5,最后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求解.

【詳解】解：(1)如下圖：點。即為所求；

(2)如圖1,過點。作于M,ON_L/C交NC的延長線于N,

ZBMD=ZDNC=90°,

?.,。在NB/C的平分線上，

ZBAD=ZCAD=3>0°,

：.DM=DN,CD=BD,

...RtADAffigRtADNC(HL),

:.BM=CN,

,:DM=DN,AD=AD,

.,.RtA￡>M4^RtAZ)AM(HL),

:.AM=AN,

'：AB+AC=AM+BM+AN-CN=2AN=\0,

：.AN=5,

故答案為：-yV3.

【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，三角形的外接圓，三角形的角平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

19.(2023?濱湖區(qū)一模)如圖1,在直角三角形紙片N2C中，/A4C=90°,AB=6,/C=8.

［數(shù)學(xué)活動］

將三角形紙片/2C進(jìn)行以下操作：第一步：折疊三角形紙片/3C使點C與點/重合，得到折痕。打，

然后展開鋪平；第二步：將△DEC繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△DFG,點"、C的對應(yīng)點分別是點尸、

G,直線G尸與邊NC交于點M(點M不與點/重合)，與邊AB交于點、N.

［數(shù)學(xué)思考］

(1)折痕的長為3；

(2)在△DEC繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，試判斷兒田與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

［數(shù)學(xué)探究］

(3)如圖2,在△〃￡(3繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)直線GP經(jīng)過點8時，求的長；

［問題延伸］

(4)如圖3,若直角三角形紙片4BC的兩直角邊AB=/C=4,按上邊［數(shù)學(xué)活動］的步驟操作，在點G

從點C開始順時針旋轉(zhuǎn)45。的過程中，設(shè)△DFG與△NBC的重疊部分的面積為S,求S的最小值.小明

在探究這個問題的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°和45°時S的值比較小，你能在小明探究的基礎(chǔ)上,

求出S的最小值嗎？請直接寫出答案.

k『B

卜

AEC

圖J圖2

圖3

【考點】三角形綜合題.

【答案】⑴3；

(2)MF=ME,證明見解答過程；

(4)12-6V3.

【分析】(1)通過證明。E是中位線，可得。E=3；

(2)連接ZW,根據(jù)證RtZVWF咨RtZkDME,即可得出結(jié)論;

(3)根據(jù)角相等得出設(shè)MC=2M=x,根據(jù)勾股定理求出x的值，根據(jù)/M=/C-CW求出

的值即可；

(4)設(shè)DG交4C邊于尺，由(2)知由旋轉(zhuǎn)變化知當(dāng)RtZ\。“RtZxDME之

□△。座時5有最小值，即當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°時△GM?的面積最大，此時S有最小值，求出此時的S值

即可.

【詳解】解：(1)由折疊可知：AE=EC,DELAC,

J.DE//AB,

CDEC

^BD~AE~b

：.DC=BD,

???￡)￡是△45。的中位線，

1

:?DE=~AB—3,

故答案為：3；

(2)MF=ME,證明如下：

連接DM,

圖1

由旋轉(zhuǎn)知，DE=DF,ZDFM=ZDEM=90°,

在RtADMF和RtADME中，

[DE=DF

[DM=DM'

:.RtADMF咨RtADME(HL),

:.MF=ME；

(3),:DG=DB=DC,

：.ZG=ZDBG,

.?.NG=NC,

???NMBC=NC,

：.BM=MC,

設(shè)BM=MC=x,

222

在河中，BM=AB+AMf

即62+(8-x)2=x2,

25

解得％=T,

q

257

：.AM=AC-CM=S--^-；

44

(4)設(shè)。G交NC邊于R,由(2)知RtZXDMF^RtZVWE,由旋轉(zhuǎn)變化知當(dāng)RtZVJMF名RtADME1安

Rt△。尺E時S有最小值，即當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°時△GM7?的面積最大，此時S有最小值，

如下圖所示：

圖3

?.Z3=/C=4,

：.DE=DF=2,

延長。尸交NC于7,則N7Z)E=30°,ZDTM=60°,

.5DE4V3

"DT=7^=~T'

4V3

即FT=DT-DF=—^-2,

.,.W=^r*tan60°=4-2禽，

:.MR=2FM=8-4禽，

11

:.S=S&DF貯SADMR=]X2X(4-2V3)+]X2X(8_4V3)=12-6V3.

【點睛】本題是三角形綜合題，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)

等知識是解題的關(guān)鍵.

20.Q023?祁江區(qū)校級一模)對于二次函數(shù)給出如下定義在平面直角坐標(biāo)系xQy中，二次函數(shù)y=a/+6x+c

(a,b,c為常數(shù)，且aWO)的圖象頂點為P(不與坐標(biāo)原點重合)，以O(shè)P為邊構(gòu)造正方形。尸兒W,則

稱正方形。尸MN為二次函數(shù)y=a？+6x+c的關(guān)聯(lián)正方形，稱二次函數(shù)y=a/+6x+c為正方形OPAW的關(guān)

聯(lián)二次函數(shù).若關(guān)聯(lián)正方形的頂點落在二次函數(shù)圖象上，則稱此點為伴隨點.

（1）如圖，直接寫出二次函數(shù)y=（