第五章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

章末總結(jié)

【要點(diǎn)歸納】

一、導(dǎo)數(shù)的定義

函數(shù)y=?x)在點(diǎn)沏處的導(dǎo)數(shù)可以有不同的等價(jià)表示形式，如八必)=lim黑一曲)

Ax—>0

..yu)-yuo)yu()+〃)—7Uo)凡布)-/(必一份依什口皿口/口b公&日1fl"女五月

=hm__—hm------1=hm1等，其關(guān)鍵是保證自變里的改變里

X-?.<0X3A—?0h—?Q

和函數(shù)值的改變量的一致性.

二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

曲線)，=於)在點(diǎn)(如啟。))處的切線斜率等于了(沏)，其切線方程為y—"o)=/(的)。一網(wǎng)).

三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則主要指和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則，即和的導(dǎo)數(shù)：(〃+h=/

+H差的導(dǎo)數(shù)：(〃一甘丫=/一/,積的導(dǎo)數(shù)：(〃?=〃，+〃匕商的導(dǎo)數(shù)：(3，=〃1/"(皿).

2.常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

除掌握好導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則外還需要牢記一些常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以提高解題效率.常

見的有以下8個(gè)：(11=0(。為常數(shù))，(2)(dy=nVC(〃￡Q”)，(3)(sinx)r=cosx,(4)(cosx)f

=—sinx,(5)(lnx),=p(6)(log^),=^-^,(7)(ey=er,

3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)復(fù)合函數(shù)4=g。)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，在點(diǎn)〃處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù);［以初在點(diǎn)x處可

導(dǎo)，且/(x)=/Q>g'a)，即q=丫/":.利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)后，要把中間變量換成自

變量.

四、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

(1)在某個(gè)區(qū)間3,6)內(nèi)，如果/。)>0,那么函數(shù)y=/(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果

Z(x)<0,那么函數(shù)y=/U)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是導(dǎo)數(shù)的主要應(yīng)用之一，其步驟為：

①求導(dǎo)數(shù)/(%);

②解不等式/㈤乂)或/(幻<0；

③確定并指出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間、減區(qū)間.

特別要注意寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，區(qū)間之間用“和”或“，”隔開，絕對(duì)不能用“U”連接.

2.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值和最值

函數(shù)的極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性，而不是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)；

函數(shù)的最值是個(gè)整體性概念，最大值必是整個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值，最小值必是整

個(gè)區(qū)間上的所有函數(shù)值中的最小值.

(1)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟：

①確定函數(shù)/(x)的定義域；

②解方程/(%)=0的根：

③檢驗(yàn)/a)=o的根的兩側(cè)/(X)的符號(hào).

若左正右負(fù)，則久T)在此根處取得極大值；

若左負(fù)右正，則氏0在此根處取得極小值；

否則，此根不是?r)的極值點(diǎn).

(2)求函數(shù)凡r)在閉區(qū)間|小加上的最大值、最小值的方法與步驟：

①求40在3,與內(nèi)的極值；

②將①求得的極值與I/(〃)，犬與相比較，其中最大的一個(gè)值為最大值，最小的一個(gè)值為

最小值.

特別地，①當(dāng)及)在［小加上單調(diào)時(shí)，其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)取得；②當(dāng)外)在(小

與內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處yu)有極大(或極小)值，則可以斷定yu)在該點(diǎn)處取得

最大(或最小)值，這里(a,b)也可以是(一8,+oo).

五、常見函數(shù)構(gòu)造模型

1.對(duì)于礦(x)+/(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=x?/(x),

2.對(duì)于礦(x)+43+0(<0),構(gòu)造g(x)=x*?/(%)

3.對(duì)于x"'(x)—f(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=&l,

X

4.對(duì)于X?7'(%)-好'(x)>0(<0),構(gòu)造8(%)二綽

x

5.對(duì)于人勸+/(%)>0(<0),構(gòu)造g(x)=/?/(1),

6.對(duì)于f'(x)+?(%)>0(<0),構(gòu)造g(x)=*f(x)

7.對(duì)于廣。)一/(冗)>0(<0),構(gòu)造8(幻=華，

e

8.對(duì)于f'(X)—妙。)>0?0),構(gòu)造g(x)=^

e

9.對(duì)于sin%?7'(%)+8SX?/(%)>0(<0),構(gòu)造g(x)=/(犬)sinx,

10.對(duì)于sinx?7'(x)—cosx,/(x)>0(<0),構(gòu)造g(%)='^^

sinx

11.cosx-f\x)-sinx-f(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=/(x)?cosx,

12.對(duì)于以)§戈?/'(工)+5也無/(幻>0(<0),構(gòu)造g(x)=

cosx

13.對(duì)于八幻一/*)>4(<()),構(gòu)造g(x)=e'"(x)-燈

14.對(duì)于/'(%)Inx+"')>0(<0),構(gòu)造g(x)=In]?/'(%)

x

15.7'(x)+c="(%)+cr]'；r(x)+g'(x)="(x)+g(x)]'；

f'(x)-g,(x)=[f(x)-g(x)]^

16.ra)g(x)+/a)，(x)="(x)g(x)r；-、(幻二((*？'(幻=[尊了.

g(X)g(x)

17.二種基本模式

三種同構(gòu)方式

①積型：a^<b\nb---------------------?

'同左：aei<(In力)elnh…JG)=xe\

-同右：efllne<b\nb…./(x)=x\nx,

、取對(duì)：a+lno<ln/?+ln(Inb)......./(x)=x+lnx,

a三種同構(gòu)方式

②商型：*含----------------

(*pinbPx

同左:￡<前……/⑴=7*

<同右:合含…=急

、取對(duì)：a—Ina<ln/>—In(Inb)......f(x)=x—Inx,

兩種同構(gòu)方式

③和差型：e±a>b±\nb---------------------->

J同左：ea±a>e]nb±\nb......f(x)=ex±x,

[同右:efl±Inert>/?±lnb....../(x)=x±lnx.

【考點(diǎn)整合】

【考點(diǎn)一】導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(典型例題1】(2022?河南省洛陽(yáng)三模)若過點(diǎn)P(l,r)可作出曲線y=/的三條切線,

則實(shí)數(shù)/的取值范圍是()

A.(TO/)B.(0,-HC)C.(0,1)D.{0,1}

【解析】由已知,曲線y=d即令則r(x)=3f,

2

設(shè)切點(diǎn)為(%,/3),切線方程的斜率為/\^)=3X0,

32

所以切線方程為：y-x0=3x0(x-x0),將點(diǎn)尸(1,，)代入方程得：

t~XQ=3x(J(1—X。)，整理得t=3須J—2/3,

設(shè)函數(shù)g(X)=3f—2d,過點(diǎn)尸(1/)可作出曲線y=13的三條切線，

可知兩個(gè)函數(shù)圖像y=，與g(x)=3%2-2V有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

又因?yàn)間'(x)=6x-6f,由g<x)=O,可得x=0或x=l,

所以函數(shù)g(x)在(-8,0),(1,+0。)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)g(x)的極大值為g(l)=3—2=1,函數(shù)g(x)的極小值為g(0)=0—0=0,

如圖所示，當(dāng)Z￡(0,1)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn).故選：C.

【答案】C

【考點(diǎn)二】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【典型例題2】(2022?山東省臨沂三模)已知函數(shù)/(力=烏后，其圖象在x=e處

的切線過點(diǎn)(2e,2e?).

(1)求。的值；

(2)討論〃力的單調(diào)性；

/JY~—1

【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x\=——，

Inx

2ax\nx-^ax2-1)—

所以/⑻二優(yōu)2—1,/'(x)=,則r(e)=ae+—,

(,nx)2e

所以函在x=e處的切線方程為丁一(四2=,

又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(2e,2e2),所以2e?—l)=，e+1](2e-e),

即2zze2=2e2,解得a=l；

、x2-12x2lnx-x2+1

(2)由(1)知；/(x)=--,則nl/'(x)x=---------；—

Inxx(lnx)-

令g(x)=2f|nx-f+i,則g[x)=4xlnx,

當(dāng)Ovx<l時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,

所以g(x)>g⑴=0

即當(dāng)0cxvl時(shí)，/'(冗)>0，當(dāng)x>l時(shí)，/'(x)>0,

所以“X)在(0,1)上遞增，在(1,+0。)上遞增；

【考點(diǎn)三】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值

【典型例題3】(2022?河南省鄭州高三階段練)已知函數(shù)/(^)=-7—.

(1)若。=0,求曲線y=/(力在點(diǎn)處的切線方程；

(2)若/(力在%二一1處取得極值，求/(力的單調(diào)區(qū)間及其最大值與最小值.

【解析】⑴當(dāng)a=0時(shí)，/(月=寧定義域?yàn)?一8.0)J(0.+8),41)=0,

r(力「丁)"號(hào),/⑴=7,故y=/(x)在點(diǎn)處的切線

XX

方程為：y-0=-(x-l),即x-y—l=0；

⑵由題意得：r(—i)=。,,故

(廠+〃)(廠+〃)

1+2-41=0,此時(shí)4=3,經(jīng)檢驗(yàn)，符合要求，

r?—2T—3

r(x)=-------令/?'(x)nO時(shí)，％=3,凡=-1,令/'(x)>0得：XV-1或

卜2+37

x>3,令r（x）<0得：-l<x<3,/（力的單調(diào)遞增區(qū)間為（-00,-1）,（3,+00）,

單調(diào)遞減區(qū)間為（—1,3）；又當(dāng)xv—l時(shí)，/（刈=與=>0恒成立，當(dāng)x>3時(shí)，

xI3

1_V11

〃力=7有<°恒成立‘故〃力-=〃3）=-1〃"3=〃-1）=5'即最大值

為最小值為一1.

26

【答案】（l）x+y-l=0；（2）/（力的單調(diào)遞增區(qū)間為（一8,—1）,（3,-w）,單調(diào)遞

減區(qū)間為（一1,3）；最大值為g,最小值為

【考點(diǎn)四】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

（典型例題4]（2022?黑龍江省哈三中第五次驗(yàn)收）己知函數(shù)f（x）=er.

(1)若關(guān)于x的不等式/(x)>a(sinx+cosx)在—-上恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值

144

范圍；

5乃

(2)當(dāng)x>----時(shí)，證明：/(x)>sinx+cosx.

4

【解析】(1)當(dāng)xe(-2，生時(shí)，sinx+cosx>0,

144；

r

e

則f(x)>〃(sinx+cosx)可化為〃V-----------，

sinx+cosx

設(shè)h(x)=----------,則

sinx+cosx

_e'(sinx+cosx)-e*(cosx-sinx)2exsinx

)—z?、)

(sinx+cosx)(sinx+cosX)

‘乃、之減，在卜，引上單調(diào)遞減，則

因此h(x)在--,0上單調(diào)H

I4J

e0

r)mi出n=〃'(0')=--?--------c=1，

sin0+cos0

所以a?l；

(2)證明：4,^(%)=er-sinA-COSX^X>--,則g(x)=e*-&sin(x+工，

4)\4；

,s1(\

所以①當(dāng)xw時(shí)，血sinx+—<0,此時(shí)g(x)之0；

I44」I4J

②當(dāng)xc-2，包]時(shí)，由⑴可知：當(dāng)。=1時(shí)，/(x)>sinx+cosx,即g(x)之0

144；

③當(dāng),,+co時(shí)，^(x)=ex-V2sin^x+^>e'->/2>0,

綜上所述：當(dāng)尢>一旦時(shí)，/(x)>sinx+cosx.

4

【答案】(1)?<1.(2)證明見解析.

【考點(diǎn)五】利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題

【典型例題5](2022?云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三第七次月考)已知函數(shù)

/(x)=(x-l)ev-ar.

⑴當(dāng)4=0時(shí)，求f(X)的極值；

3

⑵若對(duì)\/工￡1(),+8),恒成立，求4的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)4=0時(shí)，/(x)=(x-l)e\f(x)=xex.

當(dāng)xvO時(shí)，r(x)<0：當(dāng)上>()時(shí)，f(x)>0.

所以/(幻有極小值/(0)=-1，無極大值.

⑵由題得/'(幻=朧"一。，xe[0,+oo).

①當(dāng)時(shí)，xer>0,-a>0,故f'(x)NO,f(x)在[0,+0。)上單調(diào)遞增.

32

所以/U)min=/(O)=-1>--a,解得。之4(舍去).

②當(dāng)。>0時(shí)，/'(0)=-〃<0,/'(〃)=o(e“-1)>0,

令g(x)=/'(x)=^"-。,則g'(x)=(x+l)e'>0,所以/(k)在[0,+oo)上單調(diào)遞

增，

故f'(x)在[0,+8)上有唯一零點(diǎn)七￡(0,〃)，且〃=%e".

當(dāng)xe[O,/)，/'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(%,+8),/f(x)>0,7*)單調(diào)遞增.

所以,(了)01加=/(/)=(/_1把與_也=(/_1)巴一孰=4[—%------之一彳〃，

跖I“2

131

即1—/----->――.解得3?工0?2.

/22

又因?yàn)?=在I，2上單調(diào)遞增，所以當(dāng)工〃421.

綜上，。的取值范圍為—,2e2.

2

【答案】⑴極小值/（0）=-1,無極大值（2）與2e2

【考點(diǎn)六】利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根或函數(shù)的零點(diǎn)問題

【典型例題6】（2022?陜西省西安中學(xué)高三三模）已知函數(shù)/（x）=e>—or+sinx—L

（I）當(dāng)。=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（H）當(dāng)1工。<2時(shí)，證明：函數(shù)"力有2個(gè)零點(diǎn).

【解析】（1）當(dāng)。=2時(shí)，/（冗）=?"—21+§E%—1,則/'（x）=eX-2+cosx,可

得F"（x）=e"—sinx.

當(dāng)X￡（0,+oo）時(shí)，e*>l,/"（x）>l-sinxN0,/'（X）在（0,+向單調(diào)遞增，

（X）>r（0）=o,/（X）花（。,+8）單調(diào)遞增.

當(dāng)xw（-oo,0］時(shí)，可得e"l,=e*-2+cosx?-l+cosx?0，「./（X）在

（-oo,01單調(diào)遞減；

綜上，/（x）在（YO,0］單調(diào)澧減，在（0,+/）單調(diào)遞增.

（II）當(dāng)x=0時(shí)，/（0）=e°-0-l+sin0=0，."=0是的一個(gè)零點(diǎn)，

由/f（x）=ex-a+cosx,可得了"（x）=eX-sinx.

因?yàn)?Wa<2,

①當(dāng)xs（0,+oo）時(shí)，e*>l,/./"（x）>l-sinxN0,在（0,+8）單調(diào)遞增,

.?J"）在（0,+8）單調(diào)遞增，.■J（x）>/（0）=0,此時(shí)/（力在（0,+8）無零點(diǎn).

②當(dāng)工￡（-00,一萬］時(shí)，—axN兀，有/（x）=e*一依+sinx-lNe*+4+sinx-l>0,

此時(shí)/（X）在（-8,一句無零點(diǎn).

③當(dāng)工￡（一4,0）時(shí)，sinx<0,7"（x）=e*-sinx>0，在（一