寧夏高考數學模擬考試卷及答案解析(文科)

班級:姓名：考號：

一、單選題

1.給出下列關系：①兀wR；eQ；③一3更Z；④|一3/N；⑤OEQ,其中正確的個數()

A.1B.2C.3D.4

2.設復數z滿足(l-i)z=2+i,則|*=()

A.叵B.|C.x/10D.V5

22

3.現有下面四個推理：

①每個偶函數都有最大值；

②若XAlogQ,則x>log.12；

③如果今天是星期五，那么二十天后是星期四；

④已知函數因為/(1)=0,/⑵=0所以/(3)=0.

其中所有推理正確的序號是()

A.③B.②③C.②④D.@@@

UliUIUI

4.已知OA=(—1,2),OB=(3,若OA1OB,則〃?=()

A.4B.3C.——D.—

22

(1A

5.已知定義域為"的函數滿足=—且在(0.+8)單調遞減，若a=〃=fe'

c=/[e2則()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

6.圓的圓心到直線),="*?的距離是()

A.|B."C.1

D.6

22

7.考查棉花種子經過處理跟生病之間的關系得到如表數據:

項目種子處理種子未處理總計

得病32101133

第1頁共20頁

不得病192213405

總計224314538

根據以上數據，則（）A.種子是否經過處理決定是否生病

B.種子是否經過處理跟是否生病無關

C.種子是否經過處理跟是否生病有關

D.以上都是錯誤的

8.已知函數/"）=3。冰+父3>0）在區間|"；殺]上單調遞減，則實數出的取值范圍為（）

k3；144」

A.[o,1]B.（1,2]

C.（OJ]D.（o,：

9.執行如圖所示的程序框圖，輸出的結果為（）

S=2020>0

——?

k=k+\

S=S-2k

/輸出S/

A.1958B.1960C.1988D.1990

x+y<.6

10.已知變量x,>滿足約束條件，3y-xZ2,若目標函數z=ar+〃y(a>0,/?>0)的最小值為2,則2的

ab

x>\

最小值為()

119

A.9B.—C.5D.-

22

11.在58。中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c,JWC的面積為S,4s=6(/+/—〃)ABBC=-2

第2頁共20頁

且滿足sinA+sinC=2sinB,則該三角形的外接圓的半徑R為（）

A.走B.氈C.73

D.2

33

12.函數/(x)=lnx+L的零點個數為()

x

A.0B.IC.2I).3

二、填空題

13.請根據矩形圖表信息，補齊不等式：回？+正工產之

14.如圖是中國古代的太極圖，圖中的黑色區域和白色區域關于圓心成中心對稱，在圖中隨機取一點，則

此點取自黑色區域的概率是.

15.按如圖連接圓上的五等分點，得到優美的“五角星”，圖形中含有很多美妙的數學關系式，例如圖中點

〃即弦況的黃金分割點，其黃金分割比為歿■:=迎=在二1。0,618,且五角星的每個頂角都為36。等.由此

HEBE2

信息可以求出sin18。的值為.

A

BL-_H\——\E

CD

第3頁共20頁

16.橢圓c：5+'=15>/,>0)的左，右焦點分別為「，r2f上頂點為A(O,1),離心率為冬直線

產質+〃?(Q0)將△"遂分成面積相等的兩部分，貝卜〃的取值范圍是.

三、解答題

17.給定三個條件：①生M，％成等比數列，②S=5』，③(〃+1)&=〃％+1,從上述三個條件中，任選一個

補充在下面的問題中，并加以解答.

問題：設公差不為零的等差數列｛%｝的前〃項和為s“，且s；=6,.

⑴求數列｛為｝的通項；

⑵若〃=20T,求數列｛4。｝的前〃項和Tn.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

18.如圖，在四棱錐尸一4BCD中，尸.4J_平面.42CD,AB//CD.且AB=1,CD=2,萬，PA=1,ABJ.BC,

N為尸。的中點.

(1)求證：AN//平面PBC；

(2)求二面角8-PC-。的正弦值.

19.某花圃為提高某品種花苗質量，開展技術創新活動，A3在實驗地分別用甲、乙方法培訓該品種花苗.為

觀測其生長情況，分別在實驗地隨機抽取各50株，對每株進行綜合評分，將每株所得的綜合評分制成如圖

所示的頻率分布直方圖.記綜合評分為80及以上的花苗為優質花苗.

第4頁共20頁

頻率

(1)求圖中”的值，并求綜合評分的中位數.

(2)填寫下面的列聯表，并判斷是否有9舞的把握認為優質花苗與培育方法有關.

優質花苗非優質花苗合計

甲培優法20

乙培優法10

合計

附：下面的臨界值表僅供參考.

P（Kz^k）

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.07

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

(實考公式：K~=("力)(L)(/c)("")’其中〃…―)

20.已知函數〃x)=aeX-lnx-L

(1)設x=2是“X)的極值點,求“X)的單調區間;

⑵證明：當時/(x)NO.

e

21.已知拋物線。：丁=2內(〃>())的焦點為凡過點尸且垂直于x軸的直線與。交于48兩點、，MOB(點

第5頁共20頁

。為坐標原點）的面積為2.

（1）求拋物線。的方程；

（2）若過點石（0,〃）3>0）的兩直線44的傾斜角互補，直線4與拋物線c交于機十兩點，直線4與拋物線

。交于R0兩點，二與△/PQ的面積相等，求實數〃的取值范圍.

22.如圖，在平面四邊形.488中，AB1AC,ADLCDt4480=408=30。，AC=2.

⑴求cosZJCD：

(2)求80的長.

23.（1）求函數/（求=|2x-l|-3+3|的最大值卬;

（2）若a>l,b>l,c〉l,求卅c=m,求一：一+」一+一!—的最小值.

a-\b-\c-\

參考答案與解析

1.A

【分析】依次判斷出各數所屬于的數域范圍，進而判斷出正誤.

【洋解】“是實數，①正確；百是無理數，②錯誤；-3是整數，③錯誤；1-3|=3是自然數，④錯誤；0是

有理數，⑤錯誤，所以正確的個數為1.

故選：A.

2.A

【分析】先由（l-i）z=2+i求出復數z,則可求得其共枕復數，從而可求出其模

【詳解】由—+i,得“含=/臀=手

回

~~

3.B

【分析】偶函數不一定有最值：由小范圍可推大范圍成立可判斷②正確：一星期有7天，21天后是周五,

第6頁共20頁

則20天后是周四；可判斷正確；將x=3代入求值可判斷④錯誤

【洋解】因為存在沒有最大值的偶函數，所以①錯誤；

因為logz3>log,2,所以②正確；

如果今天是星期五，那么二十一天后是星期五，所以二十天后是星期四，所以③正確；

若函數/（力=與崇，則/⑶=32;；；：+2他所以④錯誤.

故選:B

4.D

【分析】根據O41OB及。4、0B的坐標，應用坐標表示向量垂直即可求參數機

LILILILIU

【詳解】由OA=（-I,2）04=（3,〃。

有OAOB=-3+2m=0

解得加=]3

故選：D

【點睛】本題考查了向量垂直的坐標表示，利用已知向量坐標及垂直關系有不馬+）1乃=。求參數值

5.D

【分析】根據/*-1）=/（1-文）得/"）為偶函數，再根據單調性判斷即可.

【詳解】由定義域為"的函數/W滿足/（大-1）=/（1-月得：

函數/（X）是偶函數

所以/1n；）=/（ln4）

因為0<e《<.<l<ln4,又函數/（x）在（°，+8）單調遞減

32

所以/（e"）>/（e-b>/（ln4）

即：c>b>a

故選:D.

6.A

【分析】根據圓的方程得出圓心坐標（1,0）,直接依據點到直線的距離公式可以得出答案.

【詳解】圓（％—1>+），2=1的圓心坐標為（1,0）

第7頁共20頁

???圓心到直線y=—x的距離為4二

3

故選：A.

【點睛】本題考查點到直線的距離公式，屬于基礎題型.

7.C

【分析】根據表格提供的數據作出判斷.

【詳解】由列聯表中的數據可知

種子經過處埋，得病的比例明顯降低

種子未經過處理，得病的比例要高些

所以可得結論：種子是否經過處理跟是否生病有關.

故選：C

8.A

【分析】先由周期大于等于單調區間的長度的2倍，求得。的初步范圍，然后結合余弦函數的單調性進一

步確定”的范圍，得到答案.

【詳解】由題意有丁=生之兀，可得0<。42,又由[〈尊+必有學+[<兀，可得

33436439

故選：A

9.A

【分析】根據程序逐行模擬，直到A=5時退出循環，輸出S即得.

【詳解】彳的初始值為0,S的初始直為2020

%=0+1=1,5=2020-2,=2018.上=1<5；

左=1+1=2,S=2018-22=2014.太=2<5：

Ar=2+l=3.S=2014-23=2006,片=3<5；

k=3+l=4,S=2006-24=1990，片=4<5；

A-=4+l=5,S=1990-25=1958,k=525

成立，故輸出的S的值為1958

故選A.

10.D

第8頁共20頁

141（14、

【分析】根據約束條件作出可行域，再根據幾何意義可得。+人=2,再根據一+工二義一+工（。+。）結合基

ab2\ah）

本不等式即可得解.

x+><6

【詳解】解：作出約束條件3），-x22的可行域，如圖所示

x>\

則目標函數Z=4X+切（4>0$,0）過點時，取得最小值

所以。+方=2

所以訝+\=;9

=2

當且僅當gI）二與4“，即“=24：時取等號

ab33

所以上1+24的最小值為9:.

ab2

故選:D.

7F

【解析】由三角形的面積公式和余弦公式可求得角8=g,結合平面向量的數量積可求得a=4,利用正弦

定理可得出。+。=給，再利用余弦定理可求得力=2,進而利用正弦定理可求得/?的值.

【詳解】由題意4s=6（（/+。2一〃），BP4Xacs\nB=\/3x2accosB,得tan8=G

又8?0,乃），所以8=2.

又因為BC=accos（7T-B）=-accosB=--ac=-2所以ac=4.

由余弦定理得b1=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac

又因為sinA+sinC=2sin8,所以a+c=2Z?

第9頁共20頁

所以力2=(a+c)2-3ac=4/Z—12,所以人=2

b_2_4Gnr

由正弦定理可得2*=而萬=一^=亍，所以/?=任

sin—3

3一

故選:B.

【點睛】在處理三角形中的邊角關系時，?般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系.題中若出現邊的

一次式?般采用到正弦定理，出現邊的二次式?般采用到余弦定理.應用正、余弦定理時，注意公式變式

的應用.解決三角形問題時，注意角的限制范圍.

12.A

【分析】利用導數求得函數的單調性與最小值，結合單調性與最小值，即可求解.

【詳解】由題意，函數.f(x)=lnx+」的定義域為(0,*o),且八,0=°一4=二！

當m時-a)>o,函數/(X)單調遞增；

當0<x<l時八外<0,函數單調遞減

所以當x=l時，函數/(“取得最小值，最小值為了⑴=1>0

所以函數/(x)=lnx+,在定義域內沒有零點.

x

故選:A.

【點;睹】本題主要考查了利用導數研究函數的零點問題，其中解答中利用導數求得函數的單調性和最值是

解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.

13.^(a+by+(c+J)-

【分析】在直角三角形中利用勾股定理和三角形三邊關系即得.

【詳解】解：由勾股定理知，A8=勿方+BD，=而++,+

AC=y/a2+c2BC=J及+d?

第10頁共20頁

如圖中的.工8C,根據三角形的兩邊之和大于第三邊，知A8WAC+BC

當且僅當A,B,C三點共線時，等號成立

:.7t/2+c2+\ib2+d2>J(4+.廣十(C+")2

故答案為：++(c+d『

"14—2

【分析】由面積比可求得所求概率.

【詳解】黑色區域和白色區域關于圓心成中心對稱，.??黑色區域的面積是總面積的g

???在圖中隨機取一點，則此點取自黑色區域的概率是g.

故答案為：y.

15.旦

4

【分析】在中，利用正弦定理，結合誘導公式、二倍角公式計算作答.

CEHE

【詳解】在中，NC=36,NC〃E=108,由正弦定理得：———而CE=BE

smZ.CHEsinZC

于是得3=筆,即與，因此，sin”"2二紅

sin108sin36sin722Csin18cos182BEcosl84

故答案為：苴二1

4

【點睛】關鍵點睛：條件較隱含的解三角形問題，根據題意設出變量，再選擇恰當的三角形，借助正余弦

定理列出方程、方程組是解題的關鍵.

f,V21]

16.Fa

X/

【分析】根據已知條件求得。，〃，根據直線)，=丘+/〃(攵>0)與K軸的交點的位置進行分類討論，由此列不等

第11頁共20頁

式來求得〃?的取值范圍.

b=\

【詳解】依題意，￡=*，解得〃=&,c=i

a2

a'=b'+C

所以橢圓C的方程為［■+），2=1

由干|倒=|。制=|。閭=1,欠制=|4周=應，忸閭=2

所以鳥是等腰直角三角形

所以Sf/gxax夜=1

直線AF2的方程為x+），=1,直線M的方程為產"?

設直線y=kx+m(k>0)與AF2的交點為。，與A軸的交點為E

①當E與尸?重合時，Jx2x%=Jxl,%=；,則號=；

乙乙乙乙

0=-k+m

所以11,，解得人=m=]

—=—k+m3

122

②當E在。，"之間時，

所以;x|E段x%=；xl,|E周x%=l

|x+y=lk+m.k+m\-m

\y=kx+ni1+Z\+k1+k

由？=公+，〃令y=0,得4=——

k

所以怛周=1+?,所以fl+r卜*=1

KIKJ1+

整理得女=*_,由2="_>0解得

1—2/n1-2m32

第12頁共20頁

設直線y=kx+m(k>0)與然的交點為P

y=loc+m\_k-m

由解得x=---i-n--,>>=-------

|y=x+lP'k-l"k-\

因為5?=白1=：

所以;x(l—，〃岡馬一溫=；,(1—一嘗=1

乙乙I?AAI

2(1-/H)2=|A：2-1|,所以0(1-川=小2_"<1

所以1-,m>\-

綜上所述，加的取值范圍是|1-半,;

14

故答案為：卜-孝,;

【點睛】求解橢圓的方程，關鍵點是根據已知條件求得/4C是3個未知數，需要3個條件，其中一

個條件是/=巨十C2,另外的兩個條件由題目給出，如本題中的A點坐標以及離心率，通過解方程組可求得

ahc,進而求得橢圓的方程.

17.⑴%=〃

⑵7；=1+5-1)x2”

【分析】(1)若選條件①，根據4M4，出成等比數列，得生網，然后利用基本量思想求出叫和"，最后

利用等差數列通項公式進行求解；若選條件②或③，直接利用基本量思想求出坊和d,然后利用等差數列

通項公式進行求解；

第13頁共20頁

（2）根據（1）%的通項公式，代入女中，得應a=〃x2"L然后利用錯位相減法求解前〃頂和小

【詳解】（1）設等差數列｛4｝的公差為以"工。）.

選條件①：S,=6,生，4，6成等比數列

Sy=3q+3d=6

[（q+3d）"=（4+d）（4+Id）

a,=1/、

解得:=],故數列質｝的通項4=〃.

S3=3q+3d=6

選條件②:Sy—6,*.1S&=5〃2，，ici-(,\

4q+64=5(%+d)

解得Cl'故數列｛q｝的通項〃”=〃.

選條件③：S3=6,(〃+1)%=〃%

53=3q+34=6

(〃+l)[q+(〃-l)d]=+nd)

a.=I/、

解得《一，故數列應｝的通項〃“=〃.

Cl—I

⑵由(1)得見也=〃X2"T

所以7；=1x20+2x2/3x22++〃x2”」

可得27；=1x2+2x2?+..+(〃-1)X2"T+〃X2"

兩式相減得—7；=2°+2]+2?+?.+2"T-〃xT

所以<=l+(〃-l)x2”.

18.(1)證明見解析

⑵好

3

第14頁共20頁

【分析】（1）取PC中點為例，連接NM,進而證明四邊形NM班為平行四邊形即可證明結論；

（2）取。。中點為E,以A為空間直角坐標系原點，A石為1軸，A區為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐

標系，利用坐標法求解即可；

【詳解】（1）證明：取PC中點為例，連接NM,A弟如圖所示

因為M，N分別是PC,PO的中點，所以MW〃DC且NA7=gz）C

又因為ABDCRAB=-DC

2

所以NM〃ABNM=AB

所以四邊形NMBA為平行四邊形

所以AN〃8M

又因為ATVa平面P8C,3"u平面尸8c

所以AN//平面P8C.

（2）解：取。。中點為￡,以A為空間直角坐標系原點，AE為1軸，A3為＞軸，AP為z軸，建立空間直

角坐標系，如圖所示

則4（0,0,0）,尸（001）,8（0,1,0）,￡）（272.-1.0）,C（2九Q0）

設平面尸8C的法向量為￡=（x.y.二）

因為5戶=（0,-1,1）,前=（20,0,0）

BP-m=-y+z=0|x=0

所以令y=i,解得1即w=(0,1,1)

BC?m=2\f2x=0

第15頁共20頁

設平面PDC的法向量為〃=(“〃")

因為尸0=(2夜,一1,一1)DC=(0,2,0)

所以，令a=&，解得/即〃二四。4

記平面PDC與平面P8C夾角為氏0<6?<^

2

則網"辰如小品=懸而=|,simply等

所以二面角8-尸。-。的正弦值為好.

3

19.(1)。=0.040；綜合評分的中位數為82.5

⑵填表見解析；有99舟得到把握任務優質花苗與培育方法有關

【分析】(1)根據頻率分布直方圖中所有小矩形的面枳之和為1得到方程，即可求出。，再根據中位數計算

方法求出中位數；

(2)完善列聯表，計算出卡方，即可判斷；

(1)

解：由直方圖的性質可知：0.005xl0+0.010xl0+0.025xl0+10rt4-0.020x]0=l

解得〃=0.040

因為(0.02+0.04)xl()=0.6>0.5,所以中位數位于[80,90)之間

設中位數為X,則有0020x10+0.040x(90一力=0.5,解得x=82.5

故綜合評分的中位數為82.5；

(2)

解：根據笫一問，優質花苗的頻率為0.6,樣本中優質花苗的數量為60

得如下列聯表：

優質花苗非優質花苗合計

甲培優法203050

乙培優法401050

第16頁共20頁

合計6040100

100x(20xl0-30x40)2

所以K?*16.667>6.635,

60x40x50x50

所以有99%得到把握任務優質花苗與培育方法有關;

20.(1)減區間為(0,2),增區間為(2,+oo)；

(2)證明見解析.

【分析】(D根據/'(2)=0求出a的值，根據導數/'(司的正負判斷f(x)單調區間即可;

⑵電時，山)之。0?—令3)黨-…，判斷人)單調性，證明其最小值式…。

即可.

⑴

函數/3=f/e'-lnx-l..,.x>O,/,(r)=-g

??r=2是/(x)的極值點，.?/⑵=ae2T=0,解得。=工

22e

/(x)=點e'TnX-1r(x)=與e一

NLND人

顯然廣(x)在(0,+8)上單調遞增，而廠(2)=表e?-：=0

當0vx<2時/'(力<0,當x>2時，,/^x)>0

\/(x)的減區間為(0,2),增區間為(2,+oo)；

(2)

當“之」時,/(x)>--ln.r-1,設g(x)=2--lnx-1>則g'(x)=J

eeeex

由--1=0,得x=i,且g'(力在(0,y)上單調遞增

ex

???當Ovxvl時g'(x)<0,g(x)單調遞減，當x>l時，g'(x)>0,g⑺單調遞增

「.)=1是g(x)的極小值點，也是最小值點

故當x>0時，g(x)Ng(l)=0

第17頁共20頁

...當〃2：,/(力20.

21.(1)y2=4.r；(2)(O1)U(1,回

【分析】⑴根據題意可得A8的坐標分別為名，〃嗎，-p),則％^=2,解得〃的值，即可求得拋物線

的方程；

(2)設直線心-〃)，點的小義)，聯立橢圓的方程,可得/11>0,結合韋達定理可得乂+%，乂，2,

由弦長公式可得|陰，由點到直線的距離公式可得焦點到直線4的距離d,得SFMN，同理可得

2

SAfPQ=2ylt+at\ta-\\\,由=S0,得至解出〃的取值范圍.

【詳解】⑴由題意，拋物線。：'2=2/.(〃>0)的焦點叱,0)

所以44的坐標分別為(多p),(多-〃)

所以S*M=/x2px^=2,解得p=2

所以拋物線的方程為V=4x.

(H)由題意可知直線4,4的斜率存在，且不為0,設直線4：x=?.y-a)

設點MQ，M),N(x2,y2)

聯立方程組廠v~=,41,整理得y_4/)，+4a=0

x=t(y-a)

所以Ai=16J-16c〃>0,且y+%=4/,乂為=4a

2?

所以|MN\=V1+/1>1->'2|=J1+JJ16(/2-a/)=+ryjr-ai

焦點尸到直線《的距離d==2yjr-at|1+/?|=2〃

所以S...=x471+Z2VZ2-^x=2yjt2-at\\+ta\

2Vl+r

設直線〃的方程為x=T(.V-a)

r2A.

聯立方程組，=A,整理得/+旬，+4〃=。，可得△2=16/+16C”>0

x=-t(y-a)

將/用T代換，可得SAFPQ=2yl尸+af\ta-1|

山，△卜MN=?可得2-Jt~—at|1十回=+at—1|

第18頁共20頁

化簡可得居愣,兩邊平方得/二不二

2—。

所以2-/>0,解得0<〃<血

乂由4>0且4>0,可得r〈T或可知產>/

所以.即(“27)2>0,所以。工1

所以實數”的取值范圍是(0』)U(l,a).

【點睛】直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：

對于直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用問題，通常聯立直線方程與圓錐曲線方程，應用一元二次方程

根與系數的關系，以及弦長公式等進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解-能

較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力.

22.(1)cosZACD=^-

7

⑵吁雙

7

【分析】(1)記NACO=a,根據題意用。表示相關未知量，在△8CO中，利用正弦定理結合三角恒等變

換運算求解：

(2)法一：利用兩角和公式求sin4。。=詼，在△88中，利用正弦定理運算求解;法二：先求CO=生自,

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在也?。。中，利用余弦定理運算求解.

■AC

【詳解】(1)丁Z4BC=30°AC=2：.BC=---------=4