第二部分函數(shù)

1.了解映射/：Af3的概念

注意：(1)映射可以是多對(duì)一，也可以是一對(duì)一的對(duì)應(yīng)，但不能是一對(duì)多的對(duì)應(yīng)；

(2)4中元素在5中必須都有象且唯一；

(3)8中元素在4中不一定都有原象，若有原象也不一定唯一.

2.函數(shù)B是特殊的映射.

特殊在定義域4和值域。都是非空數(shù)集！注意值域

函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域，其中值域由定義域和對(duì)應(yīng)法則確定，

也就是說(shuō)，確定一個(gè)函數(shù)，只需確定函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則.

3.求函數(shù)定義域的常用方法：

①偶次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；分式的分母不能為零；對(duì)魏OgX中X>。，。>。且

a

awl；

71兀

三角形中ovAv~最大角N彳，最小角〈彳等等.

②根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求確定自變量的范圍.注意單位.

［注］:定義域要用集合或區(qū)間表示，不能用不等式表示.

4.求函數(shù)值域(最值)的方法：

基本初等函數(shù)直接利用單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)；均值定理；三角代換；數(shù)形結(jié)合；幾何意義等.

5.指數(shù)函數(shù)/G)=GQ>0,且口工1)的反函數(shù)是/-1G)=logx(a>0,且々Hl),

a

反之亦然.它們的定義域與值域互換，圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng).

6.函數(shù)的奇偶性：

(1)具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)!

為此確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

(2)確定函數(shù)奇偶性的常用方法(若函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶

性，但要注意定義域的變化，如〃幻=±1)：

x-1

①直接利用奇偶性定義判斷:

-±1(4)才0).

②利用奇偶性定義的等價(jià)形式：f(x)±f(-x)=0或

/G)

()0+1%>0,且中1)的判斷.

如：奇函數(shù)y=lg+r+J-2+1，y=

Q-1

(3)函數(shù)奇偶性的性質(zhì):

①奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同;

-4-高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)整理

偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

②若/G）為偶函數(shù)，則/G）=/<|）,此性質(zhì)常用于根據(jù)單調(diào)性解不等式.

③若/G）為奇函數(shù)，且o在函數(shù)的定義域中，則必有/（o）=o,常用此性質(zhì)

解題,但要注意：/（o）=o是/G）為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件.

7.函數(shù)的單調(diào)性：

（1）確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：

①在解答題中常用：

定義法：（取值——作差一一變形一一定號(hào)）；

導(dǎo)數(shù)法：（在區(qū)間Q㈤內(nèi)，若總有廣（工）>。，則/G）為增函數(shù)；

反之，若/（X）在區(qū)間（。,力內(nèi)為增函數(shù)，則/'（X）N。.

請(qǐng)注意兩者的區(qū)別：前者不含等號(hào)，后者含等號(hào).

②選擇填空題還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，

b

特別要注意>="+_型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用

X

（〃/同號(hào)時(shí)，對(duì)勾函數(shù)；。/異號(hào)時(shí)，在（0,+8）（-8。）上分別單調(diào)）

③復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合產(chǎn)數(shù)單調(diào)I1的特點(diǎn)是同增異減.

如:函數(shù)y=log-X2+2X的單調(diào)遞增區(qū)間是？（答（1,2））.關(guān)注定義域.

函數(shù)y=sir?加-21?的單調(diào)遞增區(qū)間是？（應(yīng)首先將人的系數(shù)化為正數(shù)）

U）

答：僅兀十5兀，打:十n兀），4七z.

"12~

（2）特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時(shí)要注意，一是勿忘定義域；二是不能用不等式表示；三

是單調(diào)區(qū)間盡可能包括端點(diǎn)，但由導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間一律為開(kāi)區(qū)間.

（3）注意函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用：

①比較大小；②解不等式；③求參數(shù)范圍.

8.常見(jiàn)的圖象變換：

（1）平移變換：f（x）->/（x±a）或f（x）±a；

函數(shù)y=±a）（a>0）的圖象是把函數(shù)y=/Q）的圖象沿X軸左（右）平

移〃個(gè)單位得到的；函數(shù)y=/Q）±〃（a>0）的圖象是把函數(shù)y=/Q）的圖

象沿y軸向上（下）平移。個(gè)單位得到的；

（2）伸縮變換：/（x）f/（詞或af（x）；

-5-高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)整理

函數(shù)y=(a>0)的圖象是把函數(shù)y=/Q)的圖象沿X軸伸縮為原來(lái)的

1倍得到的；函數(shù)y=Cif(x)(a>0)的圖象是把函數(shù)y=fQ)的圖象沿y軸

a

伸縮為原來(lái)的。倍得到的.

*9.函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性：

①一個(gè)函數(shù)本身的性質(zhì)：若/(。+芯)=/6-1)對(duì)任意不恒成立，則函數(shù)/(D的

圖象關(guān)于直線(xiàn)X=軸對(duì)稱(chēng)；若/(。+/)+/(6-1)=0對(duì)任意X恒成立，，則

2

/G)的圖象關(guān)于點(diǎn)2+",0'中心對(duì)稱(chēng).

②兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系：若/(D與g(x)關(guān)于直線(xiàn)x=4對(duì)稱(chēng)，則g(x)=/(2〃-x)：

若/(X)與g(X)關(guān)于點(diǎn)(40)中心對(duì)稱(chēng)，則/Q+x)+gQ-。=0.

ax+b

⑶特別關(guān)注形如y=——；的函數(shù)，其圖象是雙曲線(xiàn)，其兩漸近線(xiàn)分別是直線(xiàn)

cx+d

%=一」(由分母為零確定)和直線(xiàn)y=:(由分子、分母中％的系數(shù)確定)，對(duì)稱(chēng)中

CC

心是點(diǎn)(一4,3)

CC

④如何畫(huà)出|/(x)I的圖象？如何畫(huà)出『(|x|)的圖象？

*10.函數(shù)的周期性：對(duì)于函數(shù)/(?,如果存在一個(gè)非零常數(shù)了,使得定義域內(nèi)的每一個(gè)X

值，都滿(mǎn)足/G+r)=/G),那么這個(gè)函數(shù)/G)就叫作周期函數(shù).

注意：①周期函數(shù)的定義域一定是無(wú)界的；

②定義在R上的常數(shù)函數(shù)也是周期函數(shù)，因而周期函數(shù)不一定有最小正周期；

(1)若/(X)圖象有兩條對(duì)稱(chēng)軸x==則/(M是周期函數(shù)，

且2|〃一回為一個(gè)周期；

(2)若/(x)圖象有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心4。，0)，5(兒0)(〃/幼，則是周期函數(shù),

且2|。一〃為一個(gè)周期;

(3)如果函數(shù)y=/(x)的圖象有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心4(。,0)和一條對(duì)稱(chēng)軸x=b(a^b),

則函數(shù)y=/(x)必是周期函數(shù)，且41〃|為一個(gè)周期；

(4)若。。0,且f(x)滿(mǎn)足一/Q)=/Q+X),或/(x+〃)=____；

fM

或〃x+a)=-=工；則均可得出2。是廣⑴的一個(gè)周期.

/W

-6-高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)整理

11.指數(shù)式、對(duì)數(shù)式：OlogaJV=7V,1QglOg沃=21%>，=

alogaomma

c

12.指、對(duì)、哥函數(shù)：①指數(shù)函數(shù)。=如的圖象分兩類(lèi)(Q>0、a<0)；

②對(duì)數(shù)函數(shù)y=logx的圖象也分兩類(lèi)(a>l、0<a<l)；

a

③基函數(shù)y=的圖象首先關(guān)注第一象限，再根據(jù)定義域及奇偶性

作出其它象限的圖象.在同一坐標(biāo)系中作出不同類(lèi)型的累函數(shù).

13.指數(shù)、對(duì)數(shù)值的大小比較主要方法為：

(1)化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性：(2)作差或作商法；(3)利用中間量(0或1)；

14.函數(shù)的應(yīng)用:求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，要特別注意：設(shè)(解答中涉及到的字母)，定義域(實(shí)際

問(wèn)題，注意單位)，答(將所得的數(shù)學(xué)結(jié)果，回歸到實(shí)際問(wèn)題中去).

*15.抽象函數(shù)：抽象函數(shù)通常是指沒(méi)有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條件

(如:函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等)的函數(shù)問(wèn)

題.求解抽象逑數(shù)問(wèn)題的常用方法是：

0利用賦值法探究性質(zhì)(如令x=0或1,求出/(0)或/(I)；令9=%或"二一%

或?qū)⒐Q成一x,將y換成一y等)；

。利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行演繹探究(如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等)；

0借鑒函數(shù)模型進(jìn)行類(lèi)比探究.幾類(lèi)常見(jiàn)的抽象函數(shù)為：

①正比例函數(shù)型：/(x)=kx(kwO)——f(x±y)=f(x^±f(y)；

②鼎函數(shù)型：/(x)=%2=

yf(y)

f3

③指數(shù)函數(shù)型：/(x)=a”——=f(x-y)=――：

f(y)

④對(duì)數(shù)函數(shù)型：/(%)=logx---f(xy)=/(%)+/(i/),fC)=；

ay

⑤三角函數(shù)型：/(x)=tanx一一f(x+y)=

需要注意的是：函數(shù)模型只是滿(mǎn)足所對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)的一種函數(shù)類(lèi)型，它只能幫助我們思

考問(wèn)題，但不能作為推理、論證的依據(jù).

16.高考試題中關(guān)于基本初等函數(shù)性質(zhì)考查的基本類(lèi)型：

函數(shù)是北京高考考查能力的重要素材，以函數(shù)為基礎(chǔ)與其它章節(jié)在知識(shí)交匯點(diǎn)命制的考查

能力的試題在歷年的高考試卷中占有較大的比重.

以選擇題、填空題形式主要考查函數(shù)的基本概念、函數(shù)圖象、函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶

-7-高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)整理

性、周期性）等重要知識(shí)：

同時(shí)關(guān)注函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，突出函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思

想.例1:對(duì)于函數(shù)：

11

①/（x）=4x+——5,②月x）=|log兇一引尤，?f（x]=cos（x+2）-cosx,

判斷如下兩個(gè)命題的真假：

命題甲：/（幻在區(qū)間（1,2）上是增函數(shù)；

命題乙：/（%）在區(qū)間（0,+呀上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且xx<1.

1212

能使命題甲、乙均為真的函數(shù)的序號(hào)是（D）

（A）①（B）②（C）①③（D）①@