.5數學歸納法課程標準學習目標（1）了解數學歸納法的原理和步驟，能用數學歸納法證明關于正整數的數學命題；（2）借助具體實例，進行大膽猜測和證明，理解數學歸納法的原理和步驟；（3）感受類比、從具體到抽象、從特殊到一般的數學思想方法。（1）了解數學歸納法的原理；（2）掌握數學歸納法證明一些問題的一般方法與步驟；（3）能用數學歸納法證明一些數學命題。知識點01數學歸納法1、數學歸納法的定義：一般地，當要證明一個命題對于不小于某個正整數的所有正整數都成立時，可以用以下兩個步驟：（1）（歸納奠基）證明當時命題成立；（2）（歸納遞推）假設當(，≥)時命題成立，證明當命題也成立.在完成這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于的所有正整數都成立，這種證明方法稱為數學歸納法。2、數學歸納法的三個關鍵點（1）驗證是基礎：數學歸納法的原理表明：第一個步驟是要找一個數n0，這個n0，就是我們要證明的命題對象對應的最小自然數，這個自然數并不一定都是“1”，因此“找準起點，奠基要穩”是第一個關鍵點．（2）遞推是關鍵：數學歸納法的實質在于遞推，所以從“k”到“k＋1”的過程中，要正確分析式子項數的變化．關鍵是弄清等式兩邊的構成規律，弄清由n＝k到n＝k＋1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項．（3）利用假設是核心：在第二步證明n＝k＋1成立時，一定要利用歸納假設，即必須把歸納假設“n＝k時命題成立”作為條件來導出“n＝k＋1”，在書寫f(k＋1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項，這是數學歸納法的核心．不用歸納假設的證明就不是數學歸納法．【即學即練1】（2023·新疆伊犁·高二校考期末）利用數學歸納法證明時，第一步應證明（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，，即從起連續項正整數之和.則為從起連續3個正整數之和，故第一步應證明.故選：B.知識點02“歸納——猜想——證明”的一般環節（1）計算：根據條件，準確計算出前若干項，這是歸納、猜想的前題；（2）歸納、猜想：通過觀察、分析、比較、綜合、聯想，猜想出一般的結論；（3）證明：對一般結論利用數學歸納法進行證明.【即學即練2】（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學校考期中）若正項數列中，，，則的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,在正項數列中,當時,,解得,當時,,解得,猜想,證明:當時,顯然成立;假設時,，則當時,.故時,結論也成立.故,故選:C.【題型一：對數學歸納法的理解】例1．（2023·高二課時練習）用數學歸納法證明，第一步應驗證（）A．當時，不等式成立B．當時，不等式成立C．當時，不等式成立D．當時，不等式成立【答案】C【解析】由題意知的最小值為，所以第一步應驗證當時，不等式成立，故選：C.變式1-1．（2023·新疆塔城·高二塔城市第三中學校考階段練習）（多選）已知為正偶數，用數學歸納法證明時，若已假設（，且為偶數）時等式成立，則還需利用假設再證（）A．時不等式成立B．時不等式成立C．時不等式成立D．時不等式成立【答案】B【解析】若已假設（，k為偶數）時命題為真，因為n只能取偶數，所以還需要證明成立．故選：B．變式1-2．（2023·高二校考課時練習）如果命題對成立，那么它對也成立.設對成立，則下列結論正確的是（）A．對所有的正整數成立；B．對所有的正奇數成立；C．對所有的正偶數成立；D．對所有大于1的正整數成立.【答案】C【解析】由于若命題對成立，則它對也成立．又已知命題成立，可推出均成立，即對所有正偶數都成立，故選：C．變式1-3．（2023·高二課時練習）（多選）設是定義在正整數集上的函數，且滿足：“當成立時，總可推出成立”，那么下列命題不成立的是（）A．若成立，則當時，均有成立B．若成立，則當時，均有成立C．若成立，則當時，均有成立D．若成立，則當時，均有成立【答案】ABC【解析】對于A，若成立，由題意只可得出當時，均有成立，故A錯誤；對于B，若成立，則當時均有成立，故B錯誤；對于C：因為不滿足題設條件，故不能得出相應結論，故C錯誤；對于D：若成立，則當時，均有成立，故D正確；故選：ABC.【方法技巧與總結】1、驗證是基礎：找準起點，奠基要穩，有些問題中驗證的初始值不一定為1；2、遞推是關鍵：正確分析由到時式子項數的變化是應用數學歸納法成功證明問題的保障。【題型二：數學歸納法處理增項問題】例2．（2024·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學校考期末）用數學歸納法證明：（）的過程中，從到時，比共增加了（）A．1項B．項C．項D．項【答案】D【解析】因為，所以，共項，則共項，所以比共增加了項，故選：D變式2-1．（2022·河南南陽·高二校聯考專題練習）用數學歸納法證明：時，從到，等式的左邊需要增乘的代數式是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】從到，等式的左邊需要增乘的代數式是.故選：D.變式2-2．（2023·上海·高二期末）用數學歸納法證“（）”的過程中，當到時，左邊所增加的項為．【答案】【解析】當時，等式為，當時，等式為，因此，從“”變到“”時，左邊應增加的項是.變式2-3．（2023·陜西渭南·高二校考期中）設，那么等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可得,所以，故選：D【方法技巧與總結】用數學歸納法研究添項問題關鍵在于弄清表達式的構成規律，從而確定到增加多少項，增加怎樣的項。【題型三：用數學歸納法證明恒等式】例3．（2024·上海·高二上海中學校考期末）用數學歸納法證明：對于任意正整數都有：.【答案】證明見解析【解析】當時，，結論成立；假設①當時，，②則當時，，結論成立；綜合由①②知，對于任意正整數都有：.變式3-1．（2023·高二校考課時練習）用數學歸納法證明：．【答案】見解析【解析】當時，左邊，右邊；假設當時等式成立，即有，當時，，則當時等式也成立，根據數學歸納法，可知等式對于任意都成立.變式3-2．（2023·全國·高二隨堂練習）用數學歸納法證明：．【答案】證明見解析【解析】當時，等式左邊，等式中間，等式右邊，即等式左邊=等式中間=等式右邊，等式成立；假設時等式成立，即有成立，我們分兩步來證明當時，等式成立，即分別證明此時等式左邊=等式中間，等式中間=等式右邊即可，第一步：由假設可知，當時，有成立，即當時，等式左邊=等式中間成立；第二步：由假設，所以此時有成立，從而可知，當時，有成立，即當時，等式中間=等式右邊成立；結合以上兩步有：若當時等式成立，則當時等式成立；綜上所述：由數學歸納法可得.變式3-3．（2023·高二課時練習）用數學歸納法證明：（1）；（2）．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）當時，成立；假設當時成立，則，即成立，故當時也成立.綜上有（2）當時，成立；假設當時成立，則，故當時也成立.故【方法技巧與總結】用數學歸納法證明恒等式時，應關注以下三點：（1）弄清取第一個值時等式兩段項的情況；（2）弄清從到等式兩端增加了哪些項，減少了哪些項；（3）證明時結論也成立，要設法將待證式與歸納假設建立聯系，并朝證明目標的表達形式變形。【題型四：用數學歸納法證明不等式】例4．（2023·全國·高二隨堂練習）設，，且，用數學歸納法證明：．【答案】證明見解析【解析】當時，左邊，右邊，因為，所以，故左邊右邊，原不等式成立；假設當時，不等式成立，即，則當時，，，在不等式兩邊同乘以得，所以．即當時，不等式也成立．綜上，對一切正整數，不等式都成立．變式4-1．（2023·全國·高二隨堂練習）用數學歸納法證明：．【答案】證明見解析.【解析】當，則成立，若且時，成立，令，則，所以時不等式也成立，綜上，恒成立.變式4-2．（2023·全國·高三專題練習）證明∶不等式成立.【答案】證明見解析【解析】①當時，左邊右邊，∴不等式成立.②假設當時不等式成立，即.③當時，左邊，∴當時，不等式也成立.綜上可得，原不等式恒成立.變式4-3．（2023·全國·高三專題練習）數列滿足：，，求證：．【答案】證明見解析【解析】先用數學歸納法證明加強命題：對一切正整數n，有，1°當時，顯然成立．2°假設時，有，則當時，一方面，由基本不等式，有．等號當且僅當時取得，因為，所以．另一方面，，當時，也成立，因此，．【方法技巧與總結】數學歸納法證明不等式的四個關鍵：（1）驗證第一個的值時，要注意不一定為1，若（為正整數），則；（2）證明不等式的第二步中，從到的推到過程中，一定要用到歸納假設，不應用歸納假設的證明不是數學歸納法；（3）用數學歸納法證明與有關的不等式一般有兩種具體形式：一時直接給出不等式，按要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小，對第二類形式往往要先對取前個值的情況分別驗證比較，以免出現判斷失誤，最后猜出從某個值開始都成立的結論，常用數學歸納法證明；（4）用數學歸納法證明不等式的關鍵是由時成立得時成立，主要方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等。【題型五：用數學歸納法解決整除問題】例5．（2023·遼寧·高二遼寧實驗中學校考期中）用數學歸納法證明“當為正奇數時，能被整除”的第二步是：設，則假設＝時正確，再推＝時正確．【答案】【解析】因為用數學歸納法證明：當為正奇數時，能被整除，第一步，當時，能被整除；第二步，假設，時，命題正確，再證明，時，命題正確．故答案為：，變式5-1．（2023·全國·高二隨堂練習）用數學歸納法證明：能被整除（）【答案】答案見解析【解析】當時，，故能被整除，假設當時，結論成立，即能被整除，則當時，，由于和均能被整除，故能被整除，綜上：能被整除（）.變式5-2．（2023·全國·高三專題練習）求證：對任何正整數n，數都能被8整除【答案】證明見解析【解析】證明:1°當n=1時，，命題成立．2°假設n=k時，能被8整除，則當n=k+1時，,因為是8的倍數，而也是8的倍數，所以Ak+1也是8的倍數，即n=k+1時，命題也成立由以上1°、2°可知，對一切正整數n，能被8整除．變式5-3．（2022·高二課時練習）用數學歸納法證明：可以被7整除.【答案】證明見解析．【解析】證明：（1）時，，能被7整除，（2）假設時，命題成立，即能被7整除，設（是正整數），則時，，是正整數，所以能被7整除，所以時，命題成立，綜上，原命題成立，（是正整數）可以被7整除．【方法技巧與總結】利用數學歸納法證明整除時，關鍵是整理出除數因式與商數因式積的形式，這就往往要涉及到“添項”“減項”與“因式分解”等變形技巧，湊出時的情形，從而利用歸納法假設使問題得證。【題型六：與數列有關的歸納-猜想-證明問題】例6．（2022·寧夏銀川·高二校考階段練習）已知數列滿足（1）求出項，并由此猜想的通項公式（2）用數學歸納法證明的通項公式【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）依題意，所以，由此猜想.（2）當時，，成立.假設當時成立，即成立.則當時，，成立.綜上所述，對任意正整數都成立.變式6-1．（2023·高二課時練習）已知函數，設，且任意的，有.（1）求的值；（2）試猜想的解析式，并用數學歸納法給出證明.【答案】（1）；（2），證明見解析【解析】（1）由，任意的，有，得，，，所以.（2）由（1）猜想：.用數學歸納法證明如下：①當時，，猜想正確；②假設當時，猜想正確，即，則當時，，因此當時，猜想正確，由①②知，對任意的，都有.變式6-2．（2023·上海·高二七寶中學校考階段練習）已知數列滿足，，是其前n項和.（1）計算，，并猜想的通項公式，用數學歸納法證明；（2）記，求.【答案】（1），，猜想，證明見解析；（2）【解析】（1），，猜想當時，，滿足猜想，假設當時，猜想成立，即，則當時，，所以當時猜想也成立，綜上，猜想成立，即.（2），，，.變式6-3．（2023·北京房山·高二統考期末）已知數列的通項公式為，記該數列的前n項和為．（1）計算，，，的值；（2）根據計算結果，猜想的表達式，并進行證明．【答案】（1），，，；（2），證明見解析.【解析】（1）因為，所以，，，.（2）猜想，下面用數學歸納法進行證明：當時，，猜想正確，假設當時，猜想也正確，則有，當時，，所以時，猜想也正確，綜上所述，.【方法技巧與總結】歸納-猜想-證明的一般環節：計算：根據條件愛你，準確計算出前若干項，這是歸納、猜想的基礎；歸納-猜想：通過觀察、分析、比較、綜合、聯想，猜想出一般的結論；證明：對一般結論用數學歸納法進行證明。一、單選題1．（2023·陜西西安·高二期中）用數學歸納法證明“”時，第二步應假設（）A．當時，成立B．當時，成立C．當時，成立D．當時，成立【答案】C【解析】根據題意，證明的結論為“”，所以第二步的假設應寫出：假設時命題成立，即成立.故選：C.2．（2023·高二課時練習）用數學歸納法證明（），在驗證成立時，左邊計算所得的項是（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】因為，當時，左邊，故C正確.故選：C.3．（2023·高二課時練習）用數學歸納法證明，“當為正奇數時，能被整除”時，第二步歸納假設應寫成（）A．假設時正確，再推證正確B．假設時正確，再推證正確C．假設時正確，再推證正確D．假設時正確，再推證正確【答案】B【解析】因為命題為“當為正奇數時，能被整除”，所以第二步歸納假設應寫成：假設時正確，再推證正確.故選：B.4．（2023·北京房山·高二統考期末）用數學歸納法證明，從到，左邊需要增加的因式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當時，左邊，當時，左邊，所以左邊應添加因式為，故選：B.5．（2023·全國·高三對口高考）已知，證明不等式時，比多的項數為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，，所以，所以比多的項數是.故選：B.6．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考期中）用數學歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時不等式左邊（）A．增加了B．增加了C．增加了，但減少了D．增加了，但減少了【答案】C【解析】當時，，當時，，故增加了，但減少了.故選：.7．（2023·北京·高二北京八中校考期中）在用數學歸納法證明的過程中，從“到”左邊需增乘的代數式為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當時，左邊，當時，左邊，則.故選：D.8．（2023·廣東佛山·高二石門中學校考階段練習）用數學歸納法證明“，”，則當時，左端應在的基礎上加上（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】當時，等式左端為，當時，等式左端為，兩式比較可知，增加的項為．故選：B．二、多選題9．（2022·遼寧大連·高二大連八中校考階段練習）用數學歸納法證明不等式的過程中，下列說法正確的是（）A．使不等式成立的第一個自然數B．使不等式成立的第一個自然數C．推導時，不等式的左邊增加的式子是D．推導時，不等式的左邊增加的式子是【答案】BC【解析】當時，可得；當時，可得；即使不等式成立的第一個自然數，故A錯誤，B正確；當時，可得；當時，可得；兩式相減得：，所以推導時，不等式的左邊增加的式子是，故C正確，D錯誤；故選：BC.10．（2024·廣東佛山·高二統考期末）已知為數列的前項和，且，則（）A．存在，使得B．可能是常數列C．可能是遞增數列D．可能是遞減數列【答案】ABD【解析】因為為數列的前項和，且，對于A選項，取，則，則，A對；對于B選項，取，則，，，以此類推可知，對任意的，，所以，可能是常數列，B對；對于C選項，假設數列為遞增數列，則對任意的，，即，所以，對任意的恒成立，但當時，，矛盾，故數列不可能是遞增數列，C錯；對于D選項，取，則，，，猜想，，當時，猜想成立，假設當時，猜想成立，即，則當時，，這說明當時，猜想也成立，故對任意的，，此時，數列為單調遞減數列，D對.故選：ABD.三、填空題11．（2024·上海寶山·高二校考期末）用數學歸納法推斷時，正整數n的第一個取值應為．【答案】【解析】根據數學歸納法的步驟，首先要驗證當取第一個值時命題成立；結合本題現將看成函數上的點，將看成上的點，兩函數圖像有兩個交點，即，解得或，根據兩函數圖像分析，時，恒成立，所以正整數n的第一個取值應為.12．（2023·上海浦東新·高一華師大二附中校考期末）用數學歸納法證明時，第一步應驗證不等式為．【答案】【解析】由不等式，當時，可得，所以用數學歸納法證明時，第一步應驗證不等式為.13．（2023·安徽淮北·高二淮北師范大學附屬實驗中學校考階段練習）用數學歸納法證明“已知n為正奇數，求證：能被整除”時，第二步假設當時命題為真后，需證時命題也為真．【答案】【解析】為正奇數，第二步假設第項成立，第三步證明相鄰正奇數第項成立.14．（2023·上海寶山·高二校考期中）用數學歸納法證明時，從“到”左邊需要增加的代數式是【答案】【解析】把和代入等式左邊分別可得：①②兩式作差得.四、解答題15．（2023·全國·高二隨堂練習）證明：凸n邊形的對角線的條數．【答案】證明見解析【解析】證明：①當時，，四邊形有兩條對角線，命題成立；②假設當，時，命題成立