易錯01數與式

,實數的有關阮鼾、易優點一:僅誤理解實「的有關概念

實效的運庫卜、馬指點二:運用順序錯誤

，《算卡》平才根與立才根卜一舄幡點三整滯平方根、算水平方根、立方根

B

與乙■(科學記數法與近似數卜、易錯點四:有故數字和指確度識別偌誤

式

N代數式的化簡求值易錯點五:混清代數式的運算法則

分式化簡卜一易錯息六:息略了分式的分處不能為零

N「因式分解卜、，得盤七四式分解不由原歿錯

易錯點一：錯誤理解實數的有關概念

一、實數的分類:

正有理數'

有理數零有限小數和無限循環小數.

實數負有理數

無理數無限不循環小數

負尢理數j

二、絕對值：一個數的絕對值就是表示這個數的點與原點的距離，同20。零的絕對值是它本身，也可看

成它的相反數，若同=。，則心o；若問=一。，則心0。

三、相反數：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數

四、倒數：如果〃與b互為倒數，則有a〃=l,反之亦成立

易錯提醒：(D需要牢記與三者有關的概念以及相關概念之間的的包含與被包含的關系才能避免出錯；

(2)幾個特殊值注意：0的相反數還是0；0沒有倒數，1的倒數是1,一1的倒數是一1；一個正數的絕對

值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值還是0?

?Q??

例I.例23的倒數的相反數是()

C?-盛

A.2023B.-2023

【答案】C

【分析】本題考查了倒數和相反數的定義，先求出2023的倒數，再求出其相反數即可.

【詳解】解：2023的倒數是盛,

1的相反數是-募

2023

故選:C

易錯警示：有理數、無理數以及實數的有關概念容易理解錯誤，相反數、倒數、絕對值的意義概念容易混

淆。選擇題考得比較多。

例2.下列說法：①負數沒有立方根；②實數和數軸上的點是一一對應的；③J(—IO)」］。；④任何實數

不是有.理數就是無理數；⑤兩個無埋數的和還是無理數；⑥無理數都是無限小數；其中正確的個數有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】此題主要考查了實數與數軸以及無理數的定義，直接利用實數的相關性質結合無理數的定義分別

分析得出答案.

【詳解】①負數有立方根，原說法錯誤；

②數軸上的點與實數成一一對應關系，原說法正確；

③、/(-10『=10,原說法錯誤；

④任何實數不是有理數就是無理數，原說法正確；

⑤兩個無理數的和不一定還是無理數，原說法錯誤；

⑥無理數都是無限小數，原說法正確，

故選:B.

變式1.下列實數：0.22,不，扃，0.010203040506,(夜『，券.其中有理數有個，無理數有個.

【答案】42

【解析】略

變式2.已知。的倒數是-3,人的絕對值是最小的正整數，且求〃的相反數.

【答案】加的相反數是一彳2

【分析】本題主要考查了倒數、絕燈值的意義、相反數，先根據倒數的定義和絕對值的意義得出

再結合力得出b=-l,從而求得。-占的值，最后根據相反數的定義即可得出答案，熟練掌握以上知識點并

靈活運用是解此題的關鍵.

【詳解】解：「”的倒數是-3,”的絕對值是最小的正整數，

a=—,b=±1,

3

a>b,

?'-/?=-1?

,I/2

:?j=十1)=§,

2

二.a-〃的相反數是一］.

變式3.若實數a,〃互為相反數，c,d互為倒數，機的絕對值為2,求加+(〃尸+(1-2m+〃/)的值.

【答案】1或t

【分析】根據相反數的定義、倒數的意義及絕對值可進行求解.

【詳解】解：由題意得：a+b=^cd=\jn=±2t

.,.當〃+b=O,c、d=1,〃?=2時，則：

a~-b2+(cd)”+(1-2ni+，叫

=(a+b)(a-b)+(cd)~14-(1-//z)2

=0+廣；(1-2『

=1：

當a+b=O,cd=1,7M=_2時,則：

a2-b2+(cz/)-1+(1—+4)

=^a+b)(a-b)+(cdy'

=0+L*1+2)2

1

=-?

9，

綜上所述：一加+(cd)-；(l-2/"+〃/)的值為1或".

【點睛】本題主要考查因式分解、相反數、倒數及負指數累，熟練掌握各個運算是解題的關鍵.

變式4.請把下列各數填在相應的集合里:

0,0；2?一卜2，-(-3),兀，-3.14,0.010010001...

正數集合：{「.}

負數集合：{_…}

有理數集合：{....}

無理數集合：{.…}

【答案】見解析

【分析】本題考查實數的分類，有理數和無理數稱之為實數，無理數是無限不循環小數，有理數包括無限

循環小數和有限小數，逐一判斷舊可.

【詳解】解：-|-2|=-2,-（-3）=3,

正數集合：{O.G，-（-3）,兀，0010010001…，…}

負數集合：L學,-|-2|,-3.14,...}

有理數集合：{0,-與，012,一卜斗，一（一3），-3.14,...）

無理數集合：{兀，0.010010001...}

故答案為:QJ2?一（一3），兀，0.010010001???；—7―,-|-2|,-3.14：0,---,。.讓,-|-2|,-（-3）,-3.14；

JJ

元，0.010010001..

1.下列各組數中，互為相反數的是（）

A.—23與（-2）3B.-3?與G3>

C.-5?與（-2/D.-（一3）與|-3|

【答案】B

【分析】本題考查了有理數的乘方，相反數和絕對值，正確得到有理數的乘方運算結果是解答本題的關鍵，

-2^表示2的立方的相反數，（-方表示-2的立方，4表示3的平方的相反數，（-T表示-3的平方，-5」表

示5的平方的相反數，（-2）5表示一2的五次方，分別求出各選擇支中各式的值，即可得到答案.

【詳解】選項A,因為-2=-8,（-2）3=-8,所以-23=（-2兒不符合題意;

選項B,因為—32=-9,（-3尸=9,所以-3?與（-31互為相反數,符合題意;

選項C,因為-父=一25,（-2）5=-32,所以不符合題意;

選項D,因為—（一3）=3,卜3|=3,所以-（-3）=卜3|,不符合題意.

故選B.

4

2.已知。Z?=V5+3.則。與〃的關系是（)

V5-3

A.互為相反數B.相等C.互為倒數D.互為負倒數

【答案】A

【分析】本題考查了分母有理化和相反數，根據分母有理化的方法求得。的值，即可求解，熟練掌握相反數

的定義和分母有理化的方法，進而求得〃的值是解題的關鍵.

44（＞/5+3）

【詳解】解：叫召的\廣一石一3,

/.4+/?=0,

???。與。互為相反數，

故選：A.

3.下列說法：①互為相反數的兩數和為0；②互為相反數的兩數商為-1；③若±=上，則％=），；④若以=紗,

aa

則工=兒其中正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查了相反數的意義和等式的基本性質，根據相反數意義和等式的性質逐項判斷即可求解，

掌握相反數的意義和等式的基本性質是解題的關鍵.

【詳解】解：①互為相反數的兩數和為0,正確，符合題意；

②當互為相反數的兩數為0時，兩數商無意義，故②錯誤，不合題意；

③若土=），則工=兒正確，符合題意；

aa

④當。=0時，?=緲，但爪y不一定相等，故④②錯誤，不合題意；

，正確的結論有①④，

故選：B.

4,下列說法中，正確的是（）

A.實數可分為正實數和負實數B.6、石、囪都是無理數

C.絕對值最小的實數是0D.無理數包括正無理數，零和負無理數

【答案】C

【分析】A、根據實數的分類即可判定；

B、根據無理數的定義和平方根的定義即可判定；

C、根據實數絕對值的定義即可判定；

D、根據無理數的分類及其定義即可判定.

【詳解】解：A、實數分為正實數、負實數和0,故選項錯誤；

B、百二3是有理數，故選項錯誤；

C、絕對值最小的實數是0,故選項正確；

D、0不是無理數，故選項錯誤.

故選C.

【點睛】此題主要考查了實數的定義：有理數和無理數統稱為實數，分數是有理數.也考查了實數的計算.要

求掌握這些基本概念并迅速做出判斷.

5.在單元復習課上，老師要求寫出幾個與實數有關的結論，小明同學寫了以下5個：

①任何無理數都是無限不循環小數；

②立方根等于它本身的數是±1和0;

③在I和3之間的無理數有且只有及、上、亞、將這4個；

④T是分數，是有理數：

⑤由四舍五人得到的近似數7.30表示大于或等于7.295,而小于7.305的數.

其中正確的有（填序號）.

【答案】①②⑤

【分析】本題考查了無理數的定義，立方根，近似數；根據無理數是無限不循環小數，立方根，實數的分

類，近似數，可得答案.

【詳解】解：①任何無理數都是無限不循環小數，故①正確；

②立方根等于它本身的數是±1和0,故②正確；

③在1和3之間的無理數有無數個，故③錯誤；

④f是無理數，故④錯誤：

⑤由四舍五入得到的近似數7.30表示大于或等于7.295,而小于7.305的數，故⑤正確；

故答案為：①②⑤.

6.給出卜.列說法：①。是最小的整數；②有理數不是正數就是負數；③正整數、負整數、正分數、負分數

統稱有理數；④非負數就是正數：⑤無限小數不都是有理數；⑥正數中沒有最小的數，負數中沒有最大的

數.其中正確的說法是.

【答案】2

【分析】根據實數的分類逐個分析即可解答.

【詳解】解：①整數包括正整數和負整數，則0是最小的整數，故①錯誤；

②有理數分為正數、負數和0,故②錯誤；

③正整數、負整數、正分數、負分數、0統稱為有理數，故③錯誤；

④非負數包含正數和0,故④錯誤；

⑤無限小數不都是有理數，無限不循環小數是無理數，循環小數一定是有理數；故⑤正確；

⑥正數中沒有最小的數，負數中沒有最大的數.正確；

綜上，正確的有⑤和⑥，共2個.

故答案為2.

【點睛】本題主要考查了實數的分類，熟練掌握實數的相關概念是解題的關鍵.

7.請把下列各數填入相應的集合中

c

1,5.2,0,2TT,—,-2'-0.030030003??

非負數集合：｛…｝

分數集合：｛…｝

無理數集合：｛…｝

【答案】5.2,0,2乃，—；5.2,—>—；2/r,-0.030030003...

27273

【分析】本題主要考查了實數的分類，由于實數包括有理數和無理數，有理數包括整數和分數，無限不循

環小數是無理數；實數還可分為正實數、負實數和0.利用這些結論即可求解.

【詳解】解：非負數集合：｛3,5.2,0,2萬，y,

分數集合：｛：,5.2?—?——?...｝；

無理數集合:｛2^,-0.030030003...).

故答案為：；，5.2,0?2)，—■：5.2,—,—:2/r,-0.030030003....

27273

8.已知〃?的絕對值是1,〃的絕對值是4.求〃?-〃的最大值.

【答案】5

【分析】本題考杳了絕對值和有理數運算，解題關鍵是求出兩個數，再根據求〃?一〃的最大值進行計算即可.

【詳解】解：因為小的絕對值是1,n的絕對值是4,

所以〃2=±1,〃=±4,

當〃2=1,〃=一4時，，〃一〃的值最大，

最大值為m一〃=1一（-4）=5.

易錯點二：運算順序錯誤

實數運算：在實數范圍內，可以進行加、減、乘、除、乘方及開方運算，而且有理數的運算法則和運算律

在實數范圍內仍然成立

易錯提醒：在有理數混合運算中不注意運算導致計算錯誤，所以要牢記運算順序避免出錯：①先算乘方，

再算乘除，最后算加減；②有括號先算括號里面的，再算括號外面的；先算小括號，再算中括號，后算大

括號.

例3.若有取一1.817,計算344一4石—992的結果是（）

A.-100B.181.7C.-181.7D.-0.01817

【答案】B

【分析】本題考查了實數的運算，先把沁的系數相加減，再把亞石=-1.817代入計算即可.

【詳解】解：:石=-1.817,

/.3^-4^6-99^

=-1002

=-100x（-1.817）

=181.7.

故選B.

易錯警示：關于實數的運算，要掌握好與實數的有關概念、性質，靈活地運用各種運算律，關鍵是把好符

號關；在較復雜的運算中，不注意運算順序或者不合理使用運算律，從而使運算出現錯誤。

例4.定義一種新的運算”(〃，〃)''，若a，=b,PW(4〃)=c.

①依定義，(216)=：

②若(5,10)+(5,20)=(5,幻，則％=.

【答案】4200

【分析】本題考查了幕的乘方，積的乘方等知識，①直接根據新定義即可求解設，②5m=10,5"=20,根

據新運算定義用也〃表小(5/0)+1：5,20)制方程即可求解，理解并運用新運算的定義是解題的關過.

【詳解】解：①依題意可得2,=16，

c=4,

??.(2,16)=4,

設5m=10，5"=20，

②依題意可知：(5,10)=〃?，(5,2。)二〃，

???(5,10)+(5,20)=〃?+〃，

/.(5,x)=〃?+〃

/.x=5w+fl

=5wx5M

=10x20

=2(X),

故答案為：4,2(X).

變式1.計算：

(1)(—11)—(—7.5)—(+9)4-2.5；

(2)|-1)2--^27+716

【答案】(1)一10

(2)8

【分析】本題考查的是實數的混合運算，掌握運算順序是解本題的關鍵：

(1)先化為省略加號的和的形式，再計算即可；

(2)先計算乘方，立方根，算術平方根，再計算加減運算即可.

【詳解】(1)解：(-11)-(-7.5)-(+9)+2.5

=-11+7.5-9+2.5

=-1()：

(2)

=1-(-3)+4

=1+3+4

變式2.計算：一F3+m—s.^y—v^+i—]

【答案】3-26

【分析】本題考查零指數基、二次根式的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵.分別利用二次

格式的化簡、零指數哥及有理數的乘方法則計算即可.

【詳解】解：原式=7+1-26+3

變式3.計算.

⑴歷+「普

(2)(-2)2+Q_A/^7+卜閩

【答案】(1)—21

4

⑵及-1

【分析】本題考查了實數的運算.

(1)根據立方根、算術平方根的性質化簡，再合并即可求解：

(2)根據立方根、算術平方根、乘方和絕對值的性質化簡，再合并即可求解.

【詳解】(1)解：血.125+/嚕

=-3—+0.5+

2

I

+-

4

3

-

4

22

(2)解.：(-2)+^8-A/(-2)+|1-V2|

=4-2-2-1+72

變式4.觀察下列等式，利用你發現的規律解答下列問題：

(72+1)(72-1)=1,

(73+x/2)(V3-72)=1,

(〃+石乂/-8=1,

(75I-74)(75")=1,

⑴計算：f-7=--->-—(=—7=+~r=—7=+?,+----------](J2D23+1)；

IV2+1x/3+x/2V4+V3V2023+V2022J

(2)試比較布-J而與加一JTT的大小.

【答案】⑴2022

(2)712-VH<>/n-5/io

【詳解】解：(1)原式=(應-1+75—應+4—G++J2023-J2022)(j2023+1)

=(72023-1)(72023+1)

=2023-1=2022.

(2)?/Vl2>Vio,

.?.配+而>而+后，

------1---<-----I----

?、歷+?VFT+W'

X-.(V12-Vn)(Vi2+VH)=I.

(41-標)(而+癡)=1,

1.計算：(4+V13)(4-Vi3)-^8+|5-4V5|.

【答案】4>/5

【分析】本題主要考杳了實數的混合運算，先根據平方差公式，立方根的定義，絕對值的定義，將算式化

簡，再進行計算即可，掌握實數的運算法則是解決問題的關鍵.

【詳解】解：(4+后)(4一舊)一舛+卜一46|

=16-13-(-2)+4x/5-5

=4>/5.

2.計算：

(1)4-(-8)+(-6)

(2)l7+4x(-5)-K2x-!-

⑶㈤罟備積技)

(4)|73-2|-7(-2)2-^64

【答案】(1)6

(2)-31

4

(3)-2

⑷~4-G

【分析】本題考查實數的混合運算能力，

(1)先將原式化簡，再進行加減運算；

(2)先計算有理數的乘除法，再計算加減運算；

(3)先計算立方、變除法為乘法，再運用乘法分配律計算乘法，最后計算加減運算；

(4)先計算絕對值、算術平方根和立方根，再進行加法運算；

解題的關鍵是能準確確定運算順序和運算法則，并能進行正確地計算.

【詳解】(1)解：4-(-8)+(-6)

=4+8-6

=6；

(2)l7+4x(-5)-R2xl

=17+(-20)-i

=17-20--

4

4

364

=-8+8-20+18

=-2；

(4)2—2卜J(_21-病

=-4一6.

3.閱讀材料并解決問題：

求1+2+22+2,+L+2的的值.

^5=l+2+22+23+L+2202\等式兩邊同時乘2,則2s=2+2：+23++22023+22024,

兩式相減得2S-SuZ202，1,所以5=22儂-1.

依據以上計算方法，計算1+3+32+33+-..+3期3=.

々2024_?

［答案］

【分析】本題考查了實數計算中的規律,讀懂閱讀材料并知曉等式兩邊同乘的是幕的底數是解題的關鍵.根

據閱讀材料，可令S=l+3+32+33+..+32023,再利用等式的性質即可解題.

【詳解】解：由題意知，令S=l+3+32+3、.一+3如，

等式兩邊同時乘以3,得35=3+32+33"F-.+32024

兩式相減，得35-5=3血4-1

3*1

??o—,

2

3融4-1

故答案為:

~2~

4.對有理數m。定義運算“③"：a?b=ab-a-b-2

⑴計算（-2）合3的值;

⑵比較4③（一2）與（-2）?4的大小.

【答案】（1）—9

(2)40(-2)=(-2)04

【分析】本題考查了有理數新定義計算，大小比較:

（1）根據定義運算即可;

（2）先計算，后比較大小即可.

【詳解】(1)Va?b=ab-a-b-2,

???(-2)③3

=(-2)x3-(-2)-3-2

=-6+2-3-2

=-9.

(2)Va?b=ab-a-b-2,

Z.4?(-2)

=4x(-2)-4-(-2)-2

=-8+2-4-2

=-12.

(-2)04

=(-2)x4-(-2)-4-2

=-8+2-4-2

=-12.

故.40(-2)=(-2)<2)4.

5.小明在電腦中設置了一個有理數的運算程序：輸入數。，力M鍵，再輸入數〃，就可以得到運算：

a*b=a2+b-ab.

⑴求(-5)*3的值；

⑵求(2*5)*(-6)的值.

【答案】(1)43

(2)-11

【分析】本題考查了新定義，有理數的混合運算，正確理解題巨所給新定義的運算順序和運算法則是解題

的關鍵.

(1)根據題目所給新定義的運算順序和運算法則進行計算即可；

(2)根據題目所給新定義的運算順序和運算法則進行計算即可.

【詳解】(1)解：根據題意可得：

(-5)*3=(-5)2+3-(-5)x3=254-3+15=43：

(2)解：根據題意可得：

(2*5)*(-6)

=(22+5-2X5)*(-6)

=(T)*(Y)

2

=(-1)+(-6)-(-1)X(-6)

=1—6—6

=-11.

6.符號表示一種運算，它對一組數的運算如下：

7，，、2?

"1)=1+丁/(2)=1+-,/(3)=1+-,/(4)=1+-...

⑴利用以上運算的規律寫出/(〃)=_；(〃為正整數)

(2)計算,@四()〃)〃)/()：

⑶計算J/??")!及))/'()/(一)的值.

2

【答案】(1)1+一;

n

(2)21:

(3)75151.

【分析】此題主:要考查了定義新運算，解題的關鍵是觀察數字規律和熟練掌握實數的運算法則.

(I)根據題意中的運算，觀察規律即可寫出/(〃)；

(2)由(1)中求出/(〃)的表達式，即可求出〃$)見)/()/()/()的值；

(3)由(1)中求出/(〃)的表達式,即可求出但)在()]&"()〃—j的值.

【詳解】⑴解：???〃1)=1+和/(2)=1+,/(3)=1+-,"4)=1+；,…，

2

f(〃)=1+[，

2

故答案為：1+一;

n

22,、222

(2)V/(1)=1+-,/(2)=1+-,/(3)=1+-,/(4)=1+7/(5)=1+-,

34567

-2

'"I/2”(3"(4)"51-2-3-4-5-

⑶”(4)?")[”)).”)/()=.3衿x-高專^-.

7.【閱讀材料】?:,即2<石<3,，lv不-1<2,???6-1的整數部分為1,?'?6-1的小

數部分為6-1-1=6-2.

【解決問題】

(1)填空：底的小數部分是二

(2)已知。、b分別是短-4的整數部分、小數部分，求代數式行工+(。+9尸的值.

【答案】(1)府-9;

⑵84.

【分析】(1)由于81<82<100,可求版的整數部分，進一步得出辰的小數部分；

(2)先求出屈-4的整數部分和小數部分，再代入代數式進行計算即可.

本題考查了估算無理數的大小，利用完全平方數和算術平方根對無理數的大小進行估算.

【詳解】(1)V81<82<100,

???、厄的整數部分是9,

辰的小數部分是屈-9，

故答案為屈-9；

（2）???4、〃分別是庖-4的整數部分、小數部分，

.?.“=9-4=5,。=版-9，

，行TW+S+9）2

=4而+（廊-9+9『，

=探+（短

=2+82,

=84.

易錯點三：混淆平方根、算術平方根、立方根

一、算術平方根：一個正數〃的算數平方根用符號表示為

二、平方根：一個非負數〃的平方根用符號表示為±6；

三、立方根：一個數”的立方根用符號表示為也.

易錯提醒：幾個特殊值：0的算術平方根、平方根和立方根都是0；平方根等于其自身的有0和1；立方根

等于其自身的有TQ和1

例5.下列說法正確的是（）

A.行不是最簡二次根式B.在數軸上找不到也

C.I的立方根與1的平方根相等D.Jil和人是同類二次根式

【答案】A

【分析】本題考查了最簡二次根式，數軸與點，平方根與立方根，同類二次根式，根據性質判斷解答即可.

【詳解】A.而壽是最簡二次根式，正確，符合題意；

B.在數軸上能找到血，錯誤，不符合題意；

C.1的立方根是1,1的平方根是±1,錯誤，不符合題意;

D.V12=2x/3,78=272,不是同類二次根式，錯誤，不符合題意;

故選A.

例6.已知行|+|〃-4|=0,貝勺的平方根是（）

3

A.正B.士且C.±-

D.4-

224

【答案】C

【解析】略

變式1.若一個正數％的平方根是打工和師］，則弘的值為.

【答案】-2

【分析】此題主要考查了平方根的定義和立方根的定義，正確把握定義是解題關鍵；

根據平方根的定義得出17-。+勿-1=0,進而求出a的值，即可得〃;的值.

【詳解】??717-4和13〃-1是x的平方根,

故圻不二和向二I互為反數，

???17-。與與-1互為相反數,

即17-。+%-1=0,

解得a=-8,

>!a的值為-2，

故答案為：-2.

變式2.已知5a+2的立方根是3,3。+力-1的算術平方根是4,c?是的整數部分.

（1）求4,b,c的值；

⑵求a-?+c的平方根.

【答案】（l）a=5/=2,c=3；

⑵包

【分析】（1）利用立方根的意義、算術平方根的意義、無理數的估算方法，求出小仇。的值;

（2）將a,4c的值代入代數式求出值后，進一步求得平方根即可.

【詳解】⑴解：5〃+2的立方根是3,

:,5a+2=3\解得。=5,

?.?口+〃-1的算術平方根是4,

.?.%+〃—1=42.把。=5代入可得匕=2,

?*是g的整數部分.

c=3；

：.a=5,b=2,c=3.

（2）解：把，a=5,〃=2,c=3代入乃+c得：

?-2/?+c=4,

.?.a-2Z?+c?的平方根是±2.

【點睛】此題考查業力根的意義、算術平力根的意義、無理數的估算:力法、平為根的意義、代數式求值等

知識點，讀懂題意，掌握解答順序，正確計算是解答本題的關鍵.

變式3.已知某正數的兩個平方根分別是T和a-2,匕-5的立方根為2,

⑴求小力的值:

⑵求。+人的算術平方根.

【答案】（1）。=3,力=13

（2）4

【分析】本題主要考杳了平方根、立方根、算術平方根等知識點，熟練掌握平方根、立方根、算術平方根

的計算方法是解題的關鍵.

（1）根據正數的兩個平方根互為相反數可求得〃的值，力-5的立方根為2列方程求解即可求得力的值；

（2）根據（1）可求得的值，然后再求其算術平方根即可.

【詳解】（1）解：???某正數的平方根分別是T和〃-2,8-5的立方根為2,

-1+?-2=0,。-5=8,

解得a=3,/?=13.

（2）解：/?=13,

/.474-/2=3+13=16,

???16的算術平方根為4,

???〃+人的算術平方根為4.

變式4.(1)若y+1是所的整數部分，求1+4)，的平方根；

(2)已知2x+l和4x+3都是燒的平方根,求「的值.

【答案】(1)±3：(2)1或/

【分析】本題考查了平方根的概念、無理數的估算等知識，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

(1)由題意可得出『的值，從而可求出答案；

(2)由平方根的定義可列出方程，從而求出工的值，進?步得出答案.

【詳解】解：(1)3cM<4

j+1=3

.??)=2

l+4y=l+8=9

.?.士Jl+4,，=±?=±3

故l+4y的平方根為±3；

(2)2x4-1和4x+3都是加的平方根

/.(2A+1)2=(4X+3)2

2

解得x=-1或x=\

〃7=(2X+1『=(-2+1)2=1或〃?=(2工+1)2=(-^+1)2=g

1.V2口的立方根是；屈的平方根是.

【答案】-返±>/6

【分析】本題主要考查求平方根和立方根，熟練掌握平方根和立方根的計算是解題的關鍵.分別進行計算

即可得到答案.

【詳解】解：中的立方根是跖；

扃的平方根是土布.

故答案為：>/4;±^6.

2.如圖是一個無理數生成器的工作流程圖，根據該流程圖，下面說法:

①當輸出值），為3時，輸入值x為3或9；

②當輸入值x為16時，輸出值），為應；

③對于任意的正無理數），，都存在正整數-使得輸入后能夠輸出尸

④存在這樣的正整數x,愉入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出），值.其中錯誤的是（）

A.①②B.@?C.①④D.①③

【答案】D

【分析】本題主要考查了無理數的定義，算術平方根，根據運算規則即可求解.

【詳解】解：①x的值不唯一.x=3或x=9或81等，故①說法錯誤；

②輸入值x為16時，\[\6=4,>/4=2>即y=&,故②說法正確；

③對于任意的正無理數戶都存在正整數1，使得輸入x后能夠輸出戶如輸入/，算術平方根式是兀，輸

出的），值為兀，故③說法錯誤；

④當x=l時，始終輸不出y值.因為1的算術平方根是1,一定是有理數，故④原說法正確.

其中錯誤的是①③.

故選：D.

3.一個正數x的平方根是勿-3與5-。，丁的立方根是-3,求彳+y+3的算術平方根.

【答案】5

【分析】本題考查平方根、算術平方根和立方根的定義，根據“正數有兩個平方根，它們互為相反數''列式求

得。與工的值，再根據立方根定義求得的值，將x與>的值代入x+）,+3求解，即可得到x+>+3的算術平

方根.

【詳解】解：?,?一個正數x的平方根是2a-3與5-。，

...加一3+5—々=0,解得。二一2,

將a=—2代入5—?中，得x=[5-(-2)]2=49,

??,)’的立方根是-3,

.?.y=(-3)-=-27,

將x=49,y=-27代入x+y+3中，

有工+y+3=49-27+3=25,則25的算術平方根為后=5.

x+y+3的算術平方根為5.

4.己知%+2的立方根是-1,2a+〃-1的算術平方根是3,。是而的整數部分.

⑴求。，b,。的值；

⑵求j2〃-4a-c的平方根.

【答案】(1)。=-1,b=l2,c=3

(2)J2b-4a-c的平方根土行

【分析】本題考查立方根、平方根、算術平方根以及無理數的估算，求代數式的值，理解立方根、平方根、

算術平方根的定義是解題的關鍵.

(1)根據立方根、算術平方根以及估算無理數的大小即可求〃，b,c的值；

(2)將〃，力，c的值代入J2……求出結果,再根據平方根的定義進行解答即可.

【詳解】(1)解：?.?為+2的立方根是-1,2〃+b-1的算術平方根是3,

/.3a+2=-l,2a+b-\=9,

解得：a=-i,b=\2,

3<x/H<4，

二.E的整數部分3,

c—3,

/.?=—1?Z?=12,c=3；

(2),b=12,c=3,

/.\2b-4a-c=^2xl2-4x(-1)-3=y/25=5,

y12b-4a-c的平方根±6.

5.己知。的平方根是±2,”是27的立方根，c是g的整數部分.

⑴求a+0+c的值；

（2）若x是后的小數部分，求X-J/+21的平方根.

【答案】（1）10

⑵±3&

【分析】本題考查了無理數的估算，平方根，立方根.

（1）根據平方根，立方根的定義，無理數的估算求出的。，江。的值，代入計算即可得出答奚；

（2）先得出x的俏，即可得出結果.

【詳解】（1）???，的平方根是±2,

???〃=4,

丁力是27的立方根，

???力=3,

???c是g的整數部分，而3＜巫＜4

c*=3,

/.d+Z;+c=4+3+3=10；

（2）由（1）可知，位的整數部分是3,

?、是g的小數部分，

:.工=屈-3,

A^-Vl2+21=Vl2-3-712+21=18?

???x-g+12的平方根是±3&.

6.已知2cLi的平方根是±3,3〃+〃-9的立方根是2,c是質的整數部分，求a+〃+c的平方根.

【答案】±3

【分析】此題主要考查了平方根、立方根、算術平方根的定義及無理數的估算能力，掌握二次根式的基本

運算技能，靈活估算無理數是解題的關鍵.

【詳解】解：根據題意，可得加一1=9,3a+〃一9=8

故q=5,/?=2

又?；2＜逐＜3

.'.c=2

:.a+b+c=5+2+2=9

??.9的平方根為±3.

7.已知。-4的立方根是1,%+〃-1的平方根是±4,。是M的整數部分.求。+勸-。的算術平方根.

【答案】V5

【分析】本題考查了平方根，算術平方根，無理數的估算，分別求得的對應值是解題的關鍵.根據立方根

的定義，求得的。值，根據平方根，可求得〃值，根據無理數的估算，可得。，代入代數式，進而求算術平

方根即可求解.

【詳解】解：由題可得：

4=1,3〃+力—1=16,

.*?ci=5,b=2,

v4<M<5，

/.c=4,

.,.a+2/)—c=5+2x2—4=5,

.?.a+%-c,的算術平方根為：75.

易錯點四：有效數字和精確度識別錯誤

一、科學記數法：表示形式為〃乂10”的形式，其中14同<10,〃為整數.

二、近似數：一個近似數四舍五人到哪一位，就說它精確到哪一位

易錯提醒：(1)科學計數法中確定〃的值時，要看把原數變成〃時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與

小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時，〃是正數；當原數的絕對值VI時，〃是負數；

<2)有效數字：從左邊第一個不是零的數字起到右邊精確的數位止的所有數字

例7.寧都縣位于贛江東源貢水上游.2020年戶籍人口約為904000人，用科學的計數方法表示904000為

()

A.9.04x10'B.90x104C.9.04x105D.9.04xlO6

【答案】C

【分析】科學記數法的表示形式為0X10〃的形式，其中隆同<10,〃為整數.確定〃的值時，要看把原數變

成〃時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值210時，〃是正數：當

原數的絕對值VI時，〃是負數.

【詳解】解：904000=9.04X10\

故選:C.

【點睛】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為。xl0〃的形式，其中號同＜10,〃為整

數，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

例8.把準確數237.448四舍五入，精確到十分位的近似數是.這個近似數有一個有效數字.

【答案】237.44

【分析】本題主要考查了近似數，有效數字，先把百分位上的數字4進行四舍五入可得近似數，再根據有

效數字的定義解答即可.

【詳解】解：237.448?237.4(精確到十分位)，近似數237.4的有效數字為2、3、7、4.

故答案為:237.4；4.

變式1.數據0.001239用科學計數記作()

A.1.239x10-B.0.1239x10-3C.12.39xl0-2D.1.239x10^*

【答案】A

【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為ax](T",與較大數的科學記數法不

同的是其所使用的是負指數累，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.

【詳解】解:0.001239=1.239x1()0

故答案為：A.

【點睛】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為axur其中0j4wi0,n為由原數左邊起第一

個不為零的數字前面的0的個數所決定.

變式2.“厚德開泰，奮發圖興''是130萬泰興人的不懈追求，130萬用科學計數表示為()

A.13x105B.1.3X106C.1.3x|()7D.l.3xl09

【答案】B

【分析】科學記數法的表示形式為axion的形式，其中號間＜10,n為整數.確定n的值時，要看把原數變

成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對?值＞1時，n是正數；當

原數的絕對值VI時，n是負數.

【詳解】將130萬用科學記數法表示為1.3xl()6.

故選B.

【點睛】此題考查科學記數法的表示方法.解題關鍵在于掌握科學記數法的表示形式為axion的形式，其中

l<|a|<I0,n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

變式3.用四舍五入法取近似數，保留3位有效數字后，1.804。.

【答案】1.80

【分析】本題主要考查有效數字和近似數，一個近似數的有效數字是從左邊第一個不是。的數字起，后面

所有的數字都是這個數的有效數字.

【詳解】解：根據題意得：1.804480

故答案為：1.80.

變式4.6.4349精確到0.01的近似數是,精確到個位的近似數是一，保留4個有效數字時是一，

精確到千分位時是;

【答案】6.4366.4356.435

【分析】本題考查近似數及有效數字.根據對一個數精確到哪一位就是對這一位后面的數字進行四舍五入

即可.

【詳解】解：6.4349精確到0.01的近似數是6.43,

精確到個位的近似數是6,

保留4個有效數字時是6.435,

精確到「分位時是6.435.

故答案為：6.43,6,6.435,6.435

1.在芯片設計和制造中，為了表示芯片中晶體管與晶體管之間的距離，經常需要用到納米這樣的計數單

位.我們知道：1納米=0.000001亳為，傕米=0.001米，貝IJ1納米=()

A.10-8米B.10.9米C.10一0米D.1O-"米

【答案】B

【分析】根據科學記數法定義處理，把一個絕對值小于1的數表示成axl(r"，其中1<忖<10,〃等于原

數第一個不為零的數字前零的個數.

【詳解】解:1納米=0.000001毫米=0.000000001米=10f米

故選:B

【點睛】本題考查科學記數法，掌握科學記數法定義是解題的關鍵.

2.下列說法正確的是().

A.0.600有4個有效數字B.5.7萬精確到0.1

C.6.610精確到千分位D.2.708x1()4有5個有效數字

【答案】C

【分析】本題考查了近似數與有效數字，近似數精確到哪一位，應當看末位數字實際在哪一位.有效數字

是指從左起第一個不為0的數開始所有數字個數的和.

【詳解】解：A、0.600有3個有效數字，故本選項錯誤；

B、5.7萬精確到千位，故本選項錯誤；

C、6.610精確到千分位，故本選項正確：

D、:2708xl0,有4個有效數字,故本選項錯誤.

故選：C.

3.2020年我國GDP達到1015986億元，是全球為數不多的實現經濟正增長的國家之一，用科學計數法保

留4個有效數字可表示為億元.

【答案】1.016xl06

【分析】先把1015986億元表示成axKT的形式,進而把。保留4個有效數字即可.

【詳解】解：1015986億元=1.015986x10。億元al.OI6xW億元，

故答案為：1.016x1()6

【點睛】本題考查科學記數法及有效數字的應用：科學記數法的長小形式為4x10”的形式，其中

〃為整數數位減1;保留幾個有效數字，從，的左邊第一個不是0的數字數夠需要的數字，讓下一位四舍五

入.

4.世界上最小、最輕的昆蟲是膜翅纓小蜂科的一種卵蜂，其質量只有0.000005克；0.000005用科學記數表

示為()

A.5X10-6B.5xl()7C.5X10-4D.5xlO-3

【答案】A

【分析】用科學記數法表示較小的數，一般形式為axl(T",其中1?忖V10，〃為整數.

【詳解】解：0.000005=5xl0-6.

故選：A.

【點睛】此題主要考查了用科學記數法表示較小的數，一般形式為〃xl(T，其中1〈忖＜10,〃為由原數

左邊起第一個不為零的數字前面的。的個數所決定，確定。與〃的值是解題的關鍵.

5.下列說法中，正確的是()

A.近似數28.0()與近似數28.0的精確度-樣

B.近似數0.32與近似數0.302的有效數字一樣

C.近似數2.4x102與近似數240的精確度一樣

D.近似數220與近似數0.101都有三個有效數字

【答案】D

【分析】本題主要考查了近似數的精確度與有效數字的意義，根據這兩者的意義解題即可.

【詳解】解：A、近似數28.00精確到百分位，近似數28.0精確到十分位，故本選項不符合題意；

B、近似數0.32有3、2兩個有效數字，近似數0.302有3、0、2三個有效數字，故本選項不符合題意；

C、近似數2.4x102精確到十位，240精確到個位，故本選項不符合題意：

D、近似數220與近似數0.101都有三個有效數字，故本選項符合題意.

故選：D.

6.記者從2022年高質量發展新聞發布會上獲悉，截至2022年年底，國家能源集團風電裝機達到5600萬

千瓦，繼續保持世界第一、其中數據5600萬可用科學記數表示為千瓦.

【答案】5.6xl07

【分析】根據科學記數法表示形式的確定方法即可求解.

【詳解】解:數據5600萬可用科學記數表示為5.6x107,

故答案為：5.6x10。

【點睛】本題考查用科學記數法表示較大的數，科學記數法的表示形式為|〃|xl(r,其中，IWavlO,〃為整

數，〃是把原數的小數點移動到左邊第一個不為0的數字的后面所得到的數，確定〃的值，要看小數點向左

移動了幾位，〃就等于幾.

7.海洋面積361000000/2用科學記數法可記作km'(保留2個有效數字)

【答案】3.6x10s

【分析】本題考查了用科學記數法表示較大的數.考查科學記數法即考查應用數學的能力.有效數字是從

左邊第一個不是0的數字起，后面所有的數字都是有效數字，根據定義即可求解.

【詳解】解：根據題意361000000=3.61x108*3.6x108

故答案為：3.6xl()8.

易錯點五：混淆代數式的運算法則

一、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，且字母

連同它的指數不變

二、幕的運算：①同底數哥的乘法：②鼎的乘方：（4"'）"=。加；

③積的乘方：（"）”二優夕；④同底數累的除法：a』="'.

例9.下列計算正確的是（）

A.a2+a3=a5B.C.（/）=,/D.=ab2

【答案】C

【分析】此題主要考查同底數幕的乘法，暴的乘方，積的乘方，合并同類項，解題的關鍵是熟整式的運算

法則.

【詳解】解：A、A不是同類項，不能合并，故不正確：

B、/./=/,原計算不正確：

C、（/）2=不，原計算正確；

D、（他『=//，原計算不正確；

故選C.

例10.（1）化簡：5A7-（4.r2+2y）-2[.17-1；

（2）先化簡，再求值：3a2b-2ab2-2（ab-a2b]+ab+3ab2,其中。=2,b=-3.

【答案】（1）-41-2），+2

（2）加+ab，12

【分析】本題考查了整式的化簡求值.熟練掌握整式的化簡求值是解題的關鍵.

（1）先去括號，然后合并同類項即可；

（2）先去括號，然后合并同類項，可得化簡結果，最后代值求解即可.

【詳解】（1）解：5孫-（4丁+2.|-26個-1）

=59-4x2-2y-5xy+2

（2）解：3crb-2加一21力—+3加

=3a%2alr-2ab+3a2b+〃〃）+3ab2

=3a%-2ab2+lab-3a'b-ab+3加

=cib'+ab，

當〃=2,/?=—3時，原式=2x（-3）'+2x（—3）=12.

變式I.已知A=2x+