第06講平行線中的四大基本模型（4類題型+20道拓展培優題）【題型目錄】題型一平行線基本模型之M模型題型二平行線四大模型之鉛筆模型題型三平行線四大模型之“雞翅”模型題型四平行線四大模型之“骨折”模型【經典例題一平行基本模型之M模型】【結論1】若AB∥CD，則∠B0C=∠B+∠C【結論2】若∠BOC=∠B+∠C，則AB∥CD.【結論3】如圖所示，AB∥EF，則∠B＋∠D=∠C十∠E朝向左邊的角的和=朝向右邊的角的和結論3的模型也稱為鋸齒模型；鋸齒模型的變換解題思路拆分成豬蹄模型和內錯角拆分成2個豬蹄模型【例1】（2023下·福建莆田·七年級校聯考期中）如圖，，則滿足的數量關系為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】作，如圖，則，根據平行線的性質可得，進一步整理即得答案.【詳解】解：作，如圖，∵，∴，∴，∴，∴，即在原圖中有結論：；故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.【變式訓練】1．（2023下·安徽·九年級專題練習）如圖，已知：，，求證：．在證明該結論時，需添加輔助線，則以下關于輔助線的作法不正確的是（

）

A．延長交的延長線于點B．連接C．分別作，的平分線，D．過點作（點在點左側），過點作（點在點左側）【答案】C【分析】根據平行線的性質與判定逐一判斷即可．【詳解】解：A、如圖，

∵，∴，∵，∴，∴，故此選項不符合題意；B、如圖，

∵，∴，∵，∴，∴，故此選項不符合題意；C、如圖，

由平分，平分，沒有條件說明與相等，也沒有條件說明與平行，∴此輔助線的作法不能說明與平行，故此選項符合題意；D、如圖，延長交于點，

∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，故此選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查平行線的判定和性質，角平分線的定義，平行公理的推論．掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．2．（2023下·山東泰安·六年級統考期末）如圖，已知直線，為平面內一點，連接，．則、、之間的等量關系為．

【答案】【分析】過點作，從而可得，再根據平行于同一條直線的兩條直線平行可得，然后利用平行線的性質可得，從而利用角的和差關系進行計算，即可解答．【詳解】解：如圖，過點作，

，，，，，，，則、、之間的等量關系為，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．3．（2023下·山東聊城·七年級校考階段練習）如圖，已知直線，、和、分別交于點、、、，點在直線或上且不與點、、、重合．記，，．

(1)若點在圖（1）位置時，求證：；(2)若點在圖（2）位置時，寫出、、之間的關系并給予證明．【答案】(1)證明見解析(2)，證明見解析【分析】此題兩個小題的解題思路是一致的，過作直線、的平行線，利用平行線的性質得到和、相等的角，然后結合這些等角和的位置關系，來得出、、的數量關系．【詳解】（1）過作，

∵，∴，由兩直線平行，內錯角相等，可得：、；∵，∴．（2）關系：．過作，

∵，∴，同（1）可證得：；∵，∴，即．【點睛】本題主要考查平行線的性質，能夠正確多出輔助線是解題關鍵．【經典例題二平行基本模型之鉛筆模型】【結論1】如圖所示，AB∥CD，則∠B+∠BOC+∠C=360°【結論2】如圖所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，則AB∥CD.變異的鉛筆頭：拐點數n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）拐點數：1拐點數：2拐點數：n【例2】（2023下·山東德州·七年級統考期中）如圖，，則下列說法中一定正確的是

A． B．C． D．【答案】B【分析】此題要作輔助線，過點作，則根據平行線的傳遞性，得．先利用，可得，即，再利用，可得，而，整理可得：．【詳解】解：過點作，

，，，，又，，．故選：B．【點睛】注意此類題要作的輔助線：構造平行線．根據平行線的性質即可找到三個角之間的關系．【變式訓練】1、（2023下·甘肅白銀·七年級校考期中）如圖1是一個由齒輪、軸承、托架等元件構成的手動變速箱托架，其主要作用是動力傳輸．如圖2是手動變速箱托架工作時某一時刻的示意圖，已知，，，，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作，則，再根據平行線的性質可以求出、，進而可求出，再根據平行線的性質即可求得．【詳解】解：如圖，過點作，

，，，，．，．．．故選：C．【點睛】本題考查平行線的性質，結合圖形利用平行線的性質進行角的轉化和計算是解題關鍵．2、（2023下·浙江杭州·七年級統考期末）如圖，，射線，分別與，交于點M，N，若，則的度數是．

【答案】/108度【分析】過點F作，可得，根據平行線的性質結合已知求出，可得，即可求出的度數．【詳解】解：如圖，過點F作，

∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質，熟記：①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內錯角相等；③兩直線平行，同旁內角互補是解題的關鍵．3、（2023下·內蒙古鄂爾多斯·七年級統考期中）探究題(1)如下圖，，，．求度數；

(2)如下圖，，點在射線上運動，，．

①當點P在A，B兩點之間運動時，，，之間的數量關系為__________②當點P在A，B兩點外側運動時(點P與點A，B，O三點不重合)，請寫出，，之間的數量關系，并說明理由．

【答案】(1)；(2)①；②或．【分析】本題考查了平行線的性質和判定的應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造內錯角以及同旁內角．（1）過P作，構造同旁內角，利用平行線性質，可得；（2）①過P作交于E，推出，根據平行線的性質得出，，即可得出答案；②畫出圖形（分兩種情況：點P在的延長線上，點P在的延長線上），根據平行線的性質得出，，即可得出答案．【詳解】（1）解：過P作，

∵，∴，∵，．∴，，∴；（2）解：①：如圖3，過P作交于E，∵，∴，∴，，∴；

故答案為：；②當P在延長線時，；理由：如圖4，過P作交于E，∵，∴，∴，，∴；

當P在之間時，．理由：如圖5，過P作交于E，∵，∴，∴，，∴．

綜上所述，，，之間的數量關系為或．【經典例題三平行基本模型之“雞翅”模型】【例3】（2023秋·全國·八年級專題練習）①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點在直線上，則．以上結論正確的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】①過點E作直線EFAB，由平行線的性質：兩直線平行，同旁內角互補，即可得出結論；②如圖2，先根據三角形外角的性質得出∠1＝∠C+∠P，再根據兩直線平行，內錯角相等即可作出判斷；③如圖3，過點E作直線EF∥AB，由平行線的性質可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如圖4，根據平行線的性質得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關系解答即可．【詳解】解：①如圖1，過點E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故①錯誤；②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正確；③如圖3，過點E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③錯誤；④如圖4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正確；綜上結論正確的個數為2，故選：B．【點睛】本題考查的是平行線的性質及三角形外角的性質，熟練掌握平行線的性質，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵．【變式訓練】1、（2023秋·八年級課時練習）（1）已知：如圖（a），直線．求證：；（2）如圖（b），如果點C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會有什么結果？你還能就本題作出什么新的猜想？【答案】（1）見解析；（2）當點C在AB與ED之外時，，見解析【分析】（1）由題意首先過點C作CF∥AB，由直線AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由兩直線平行，內錯角相等，即可證得∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）根據題意首先由兩直線平行，內錯角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根據三角形外角的性質即可證得∠ABC-∠CDE=∠BCD．【詳解】解：（1）證明：過點C作CF∥AB，∵AB∥ED，∴AB∥ED∥CF，∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）結論：∠ABC-∠CDE=∠BCD，證明：如圖：∵AB∥ED，∴∠ABC=∠BFD，在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．若點C在直線AB與DE之間，猜想,∵AB∥ED∥CF，∴∴.【點睛】本題考查的是平行線的性質及三角形外角的性質，熟練掌握平行線的性質是解答本題的關鍵，注意掌握輔助線的作法．2、（2023春·廣東東莞·七年級東莞市光明中學校考期中）（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關系，不需要說明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由見解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由見解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由見解析【分析】（1）過點P作EF∥AB，根據兩直線平行，同旁內角互補即可求解；（2）首先過點P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根據兩直線平行，內錯角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，則可求得∠BPD=∠B+∠D．（3）由AB∥CD，根據兩直線平行，內錯角相等與三角形外角的性質，即可求得∠BPD與∠B、∠D的關系．【詳解】解：（1）如圖（1）過點P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如圖2，過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如圖（3），∠BPD=∠D-∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠BPD，∴∠D=∠B+∠BPD，即∠BPD=∠D-∠B；如圖（4），∠BPD=∠B-∠D．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠BPD，∴∠B=∠D+∠BPD，即∠BPD=∠B-∠D．【點睛】此題考查了平行線的性質與三角形外角的性質．此題難度不大，解題的關鍵是注意掌握平行線的性質，注意輔助線的作法．3、（2023·全國·七年級假期作業）已知，，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，作的平分線交于點，點為上一點，連接，若的平分線交線段于點，連接，若，過點作交的延長線于點，且，求的度數．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據平行線的性質得出，再根據等量代換可得，最后根據平行線的判定即可得證；（2）過點E作，延長DC至Q，過點M作，根據平行線的性質及等量代換可得出，再根據平角的含義得出，然后根據平行線的性質及角平分線的定義可推出；設，根據角的和差可得出，結合已知條件可求得，最后根據垂線的含義及平行線的性質，即可得出答案．【詳解】（1）證明：；（2）過點E作，延長DC至Q，過點M作，，，AF平分FH平分設，．【點睛】本題考查了平行線的判定及性質，角平分線的定義，能靈活根據平行線的性質和判定進行推理是解此題的關鍵．【經典例題四平行基本模型之“骨折”模型】【例4】（2023·全國·九年級專題練習）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，則∠EAB的度數為__________．【答案】57°【分析】根據三角形內角和180°以及平行線的性質：1、如果兩直線平行，那么它們的同位角相等；2、如果兩直線平行，那么它們的同旁內角互補；3、如果兩直線平行，那么它們的內錯角相等，據此計算即可．【詳解】解：設AE、CD交于點F，∵∠E＝37°，∠C＝20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案為：57°．【點睛】本題主要考查三角形內角和定理以及平行線的性質，熟知平行的性質是解題的關鍵．【變式訓練】1、（2023春·湖北黃岡·七年級校考期中）如圖，已知∠ABC=80°，∠CDE=140°，則∠BCD=_____．【答案】【分析】延長交BC于M，根據兩直線平行，內錯角相等證明∠BMD=∠ABC，再求解，再利用三角形的外角的性質可得答案．【詳解】解：延長交BC于M，∵∴∠BMD=∠ABC=80°，∴；又∵∠CDE=∠CMD+∠C，∴．故答案是：40°【點睛】本題考查了平行線的性質．三角形的外角的性質，鄰補角的定義，掌握以上知識是解題的關鍵．2、（2023春·江蘇鹽城·七年級景山中學校考階段練習）如圖，若，則∠1+∠3-∠2的度數為______【答案】180°【分析】延長EA交CD于點F，則有∠2+∠EFC=∠3，然后根據可得∠1=∠EFD，最后根據領補角及等量代換可求解．【詳解】解：延長EA交CD于點F，如圖所示：，∠1=∠EFD，∠2+∠EFC=∠3，，，；故答案為180°．【點睛】本題主要考查三角形外角的性質及平行線的性質，熟練掌握三角形外角的性質及平行線的性質是解題的關鍵．3、（2023春·全國·七年級專題練習）（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，求∠ABE的度數．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）過E作EMAB，根據平行線的判定與性質和角平分線的定義解答即可；（2）過E作EMAB，過F作FNAB，根據平行線的判定與性質，角平分線的定義以及解一元一次方程解答即可；（3）過P作PLAB，根據平行線的判定與性質，三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義解答即可．【詳解】解：（1）過E作EMAB，∵ABCD，∴CDEMAB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）過E作EMAB，過F作FNAB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴設∠ABF＝x，∠EBF＝2x，則∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴設∠DCF＝∠ECF＝y，則∠DCE＝2y，∵ABCD，∴EMABCD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，

∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）過P作PLAB，∵GM平分∠DGP，∴設∠DGM＝∠PGM＝y，則∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴設∠BPQ＝∠GPQ＝x，則∠BPG＝2x，∵PQGN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵ABCD，∴PLABCD，

∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，∴∠MGN＝15°．【點睛】此題考查平行線的判定與性質，角平分線的定義，三角形的內角和定理，解題關鍵在于作輔助線和掌握判定定理．【拓展培優】1．（2024上·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學校考期末）如圖，，，，則可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質，正確作出輔助線是解題關鍵．過點作，首先根據“兩直線平行，內錯角相等”可得，進而可得，再根據“平行于同一直線的兩直線平行”證明，然后由“兩直線平行，內錯角相等”可得．【詳解】解：如下圖，過點作，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．故選：C．2．（2022下·浙江寧波·七年級統考期末）如圖，，，設，，則與之間的數量關系正確的是（

）A． B．C． D．與沒有數量關系【答案】A【分析】過C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定義得到，由鄰補角的性質即可得到答案．【詳解】解：過C作∥，∥，，，，，，，，，

故選：A．【點睛】本題考查平行線的性質，關鍵是過C作，得到，由平行線的性質來解決問題．3．（2022下·河北邯鄲·七年級統考期中）如圖，若，則、、之間關系是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】作，根據平行線的性質可得，，然后由整理后可得答案．【詳解】解：如圖，作，

∵，∴，∴，，又∵，∴，即．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，熟知兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等是解題的關鍵．4．（2023下·江蘇泰州·七年級泰州市第二中學附屬初中校考階段練習）如圖，已知和分別平分和，若，，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點E作，則，由平行線的性質得，過點C作，則有，同理，結合角平分線的定義即可求得結果．【詳解】解：如圖，過點E作，∵，∴，∴，∴，過點C作，則有，同理，∵和分別平分和，∴，∴，，即，解得：，故選：D．

【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，解二元一次方程組，構造平行線是解題的關鍵．5．（2023下·廣東深圳·七年級校考期中）如圖，E在線段的延長線上，，連交于G，的余角比大，K為線段上一點，連，使，在內部有射線，平分．則下列結論：①；②平分；③；④．其中正確結論的個數有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據平行線的判定定理得到，故①正確；由平行線的性質得到，等量代換得到，求得平分；故②正確；根據平行線同旁內角互補得，再根據題目已知，得，又根據，得，但根據現有條件無法證明，故③錯誤；設，得到，根據角平分線的性質即可得到結論．【詳解】∵，∴，∴，故①正確；∴，∵，∴，∴平分；故②正確；延長交于P，延長交于Q，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；∵的余角比大，∴，∵，∴，∴，故③錯誤；設，，∴＋，∵平分，∴＋，∵平分，∴，∴，∴＋＋＋，∴，∴，故④錯誤，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，角平分線的性質，對頂角性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．6．（2023下·重慶北碚·七年級西南大學附中校考期中）如圖，已知分別為的角平分線，，則下列說法正確的有（

）個．①②③平分④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】如圖，延長交于，由，可得，由，可得，，進而可判斷①的正誤；由分別為的角平分線，則，，如圖，過作，則，有，，根據，可得，可得，進而可判斷④的正誤；由，可知，，由，可得，進而可判斷③的正誤；由，可知，由于與的位置關系不確定，可知與的大小關系不確定，則不一定成立，進而可判斷②的正誤，進而可得答案．【詳解】解：如圖，延長交于，∵，∴，∵，∴，∴，∴①正確，故符合要求；∵分別為的角平分線，∴，，如圖，過作，∴，∴，，∵，∴∴，∴④正確，故符合要求；∵，∴，，∵，∴，∴平分，∴③正確，故符合要求；∵，∴，∵與的位置關系不確定，∴與的大小關系不確定，∴不一定成立，∴②錯誤，故不符合要求；∴正確的共有3個，故選B．【點睛】本題考查了兩直線平行，內錯角相等；同位角相等，兩直線平行；角平分線，兩直線平行，同旁內角互補等知識．解題的關鍵在于對平行線的判定與性質的熟練掌握與靈活運用．7．（2021下·重慶九龍坡·七年級重慶市楊家坪中學校考期中）如圖，，點E在上，點G，F，I在，之間，且平分，平分，．若，則的度數為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，過作，可設，由，可設，設，而平分，可得，可得，由，可得，可得答案．【詳解】解：如圖，過作，∴設，∵，∴，∴設，∵平分，∴，設，而平分，∴，∵，∴，由平角的定義可得：，∴，即，∵，∴，∴，∴．故選C．【點睛】本題考查的是平行線的性質，平行公理的應用，角平分線的定義，作出適當的輔助線構建平行線是解本題的關鍵．8．（2022下·河北唐山·七年級統考期中）如圖，已知，于點，，，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，過點H作，過點F作，根據平行線的性質定理進行解答即可．【詳解】解：如圖，過點H作，過點F作，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握判定與性質定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．9．（2023下·湖南長沙·七年級統考期末）（1）如圖一，，，，則．（2）如圖二，，，，，分別平分和，則，滿足的數量關系為．

【答案】【分析】（1）過點E作，由平行線的性質得出，，進而可得，即可求解；（2）根據（1）的結論，結合已知條件進行角的計算轉換求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，過點E作，

∵，∴，，故答案為：；（2）同（1）可知，，∵，，∴，∴∵，，∴，又∵，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，熟知平行線的性質是解題的關鍵．10．（2023下·湖北武漢·七年級校考階段練習）如圖，，點，在直線上（在的左側），點在直線上，，垂足為，為線段上的一動點，連接，，與的角平分線交于點，且點在直線，之間的區域，下列結論：①；

②；③若，則；④若，則，其中為正整數．上述說法正確的是（寫出所有正確結論的序號）．

【答案】①③④【分析】過點H作，利用平行線的性質可得，即可判斷①；根據角平分的定義可得，，再根據三角形內角和定理，根據，利用平行線的性質即可判斷②；設，則，利用①的結論即可判斷③，同上可判斷④．【詳解】解：如圖，過點H作，

，，，，，，，故①正確；與的角平分線交于點，，，根據①中的結論，可得,，，，，，，故②錯誤；設，則，，根據①中結論可得，，故③正確；設，則，，，根據①中結論可得，故④正確．故答案為：①③④．【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．11．（2022上·廣東廣州·八年級廣州市黃埔軍校紀念中學校考開學考試）如圖①所示，四邊形為一張長方形紙片．如圖②所示，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（、、），則（度）；

（1）如圖③所示，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（、、、），則（度）；（2）如圖④所示，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（、、、、），則（度）；（3）根據前面的探索規律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個角，那么這個角的和是（度）．【答案】360540720180n【分析】過點作，再根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到三個角的和等于的倍；（1）分別過、分別作的平行線，根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到四個角的和等于的三倍；（2）分別過、、分別作的平行線，根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到四個角的和等于的四倍；（3）根據前三問個的剪法，剪刀，剪出個角，那么這個角的和是度．【詳解】過作（如圖②）．∵原四邊形是長方形，∴，又∵，∴（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．∵，∴（兩直線平行，同旁內角互補）．∵，∴（兩直線平行，同旁內角互補）．∴，又∵，∴；

（）分別過、分別作的平行線，如圖③所示，

用上面的方法可得；（）分別過、、分別作的平行線，如圖④所示，

用上面的方法可得；（）由此可得一般規律：剪刀，剪出個角，那么這個角的和是度．故答案為：；；；．【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內角互補是解本題的關鍵，總結規律求解是本題的難點．12．（2022下·四川成都·七年級四川省成都市七中育才學校校考期末）已知直線，射線、分別平分，，兩射線反向延長線交于點，請寫出，之間的數量關系：．【答案】【分析】分別過點，作，，根據，可得，根據平行線性質可得，，根據角平分線定義可得，進而證出，同理，根據平角定義可得，，由此證出，進而證出結論．【詳解】分別過點，作，∵，∴∵射線平分∴∵∴∴∵∴∴∵射線平分∴∵，，∴∴∴∴∴∵∴同理：∴∴故答案為：【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義等知識點，能熟記平行線的性質是解本題的關鍵．13．（2021下·上海浦東新·七年級期中）如圖，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于點F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的補角，則∠BAH的度數是．【答案】60°/60度【分析】首先設∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，過點B作BMAD，過點F作FNAD，根據平行線的性質，可得∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，又由∠F的余角等于2∠ABC的補角，可得方程：90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），繼而求得答案．【詳解】解：設∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，∵∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于點F，∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，過點B作BMAD，過點F作FNAD，如圖所示：∵ADCE，∴ADFNBMCE，∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°，∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，∵∠F的余角等于2∠ABC的補角，∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），解得：x＝30，∴∠BAH＝60°．故答案為：60°【點睛】此題考查了平行線的性質與判定以及余角、補角的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，掌握數形結合思想與方程思想的應用．14．（2021下·黑龍江哈爾濱·七年級統考期中）已知，點、分別為、上的點，點、、為、內部的點，連接、、、、、，于，，，平分，平分，則（小于平角）的度數為．【答案】【分析】過點，做平行于，根據平行線的傳遞性及性質得，同理得出，令，則，，則，通過等量關系先計算出，再根據角平分線的性質及等量代換進行求解．【詳解】解：過點，做平行于，如下圖：，，則，，同理可得：，令，則，，則，則，，，，平分，平分，，，故答案是：．【點睛】本題考查了平行線的性質、角平分線的性質，解題的關鍵是添加適當的輔助線，找到角之間的關系，利用等量代換的思想進行計算求解．15．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）已知：直線與直線內部有一個點，連接．(1)如圖，當點在直線上，連接，若，求證：；(2)如圖，當點在直線與直線的內部，點在直線上，連接，若，求證：；(3)如圖，在（）的條件下，、分別是、的角平分線，和相交于點G，和直線相交于點，當時，若，，求的度數．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（）過點作，推出，進而得，根據平行公理的推論即可得證；（）分別過點和點作，，推出，進而得，根據平行公理的推論即可得證；（）過點作，同（）（）理證明，設，，，則，結合角平分線得，用含的式子代替，，代入即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過點作，∴，∵，∴，∴，∴；（2）證明：如圖，分別過點和點作，，∴，，∵，即，∴，∴，∴，∴；（3）如圖，過點作，由()得，∴，，，∴，設，，，則，∵、分別是、的角平分線，∴，∵，∴，由()得，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴∴，∴，即的度數為.【點睛】本題考查平行線的判定與性質，角平分線的定義，三角形的內角和，平角定義等知識，添加輔助線，靈活運用平行公理的推論是解題的關鍵．16．（2023上·全國·八年級專題練習）已知，，直線交于點，交于點，點在線段上，過作射線、分別交直線、于點、．(1)如圖，當時，求的度數；(2)如圖，若和的角平分線交于點，求和的數量關系；(3)如圖，在（）的基礎上，當，且，時，射線繞點以每秒的速度順時針旋轉，設運動時間為秒，當射線與的一邊互相平行時，請直接寫出的值．【答案】(1)；(2)；(3)的值為，，，，，秒．【分析】（）過點作，利用平行線的性質可得，，再利用垂直定義即可得解；（）過點作，過點作，根據平行線的性質及判定以及角平分線的定義即可得解；（）分種情況求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過點作，

∴，∵∴，∴，∵，∴；（2）解：如圖過點作，過點作，

∵和的角平分線交于點，∴，，由（）得，∵，，∴，∵，設，則，∵，，∴，∴，，∵和的角平分線交于點，∴，，∴，∴；（3）解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，當旋轉到在射線上時，有，此時，，解得（秒）

當旋轉到平行于射線時，有，則，∴此時，，解得（秒）；

當旋轉到平行于射線時，有，則，∴，此時，，解得（秒）

當旋轉到在射線上時，有，此時，，解得（秒）

當旋轉到平行于射線時，有，此時，，解得（秒）

當旋轉到平行于射線時，有，，此時，解得（秒）

綜上可知，的值為，，，，，秒．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質，一元一次方程的應用，以及旋轉的性質，熟練掌握平行線的判定與性質及分類討論是解題的關鍵．17．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第一一三中學校校考階段練習）已知，，點、點分別在線段上．

(1)如圖1，點在直線之間，求證．(2)如圖2，分別過點和點作直線，使，以點為頂點作直角，并且的兩邊分別與直線交于點和點，則____________．（直接寫出角度和）(3)如圖3，在（2）的條件下，若和恰好分別平分和，并且，求的度數．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）過點作，根據平行線的傳遞性，得到，再根據平行線的性質，即可得出結論；（2）連接，平行線的性質，得到，三角形的內角和得到，進而得到；（3）設，角平分線的定義，求出，進而求出，再根據角平分線求出，平行線的性質，求出，進而求出，過點作，得到，再根據，求解即可．【詳解】（1）解：過點作，

∵，∴，∴，∴；（2）連接，

∵，∴，∵，∴，∴；故答案為：；（3）設，平分，，，由（1）得，，∴，，，平分．，，過點作，交于點，答：的度數是

【點睛】本題考查平行線的判定和性質，與角平分線有關的計算，熟練掌握平行線的判定和性質，過拐點構造平行線，是解題的關鍵．本題有一定的難度，屬于壓軸題．18．（2022下·湖南長沙·七年級校考階段練習）如圖1，，為、之間一點．(1)若平分，平分．求證：；(2)如圖2，若，，且的延長線交的角平分線于點，的延長線交的角平分線于點，猜想的結果并且證明你的結論；(3)如圖3，若點是射線之間一動點，平分，平分，過點作于點，請猜想與的關系，并證明你的結論．【答案】(1)見解析(2)，見解析(3)，見解析【分析】（1）根據平行線的性質可得，再利用角平分線的定義可求解，進而證明結論；（2）分別過，作，，根據平行線的性質可得，再根據角平分線的定義結合，，可求解；（3）根據垂線的定義可求得，再根據角平分線的定義可求解．【詳解】（1），，平分，平分，，，，即；（2）分別過，作，，，，，，，，，，同理：，，平分，平分，，，，，，，；（3）．證明：，，，，平分，平分，，，，．【點睛】本題主要考查平行線的性質，角平分線的定義，垂線的定義，靈活運用平行線的性質及角平分線的定義是解題的