4．2．1等差數列的概念目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 4題型一：等差數列的判斷 4題型二：等差數列的通項公式及其應用 7題型三：等差數列的證明 9題型四：等差中項及應用 12題型五：等差數列的實際應用 14題型六：的應用 16題型七：等差數列性質的應用 18題型八：等差數列中對稱設項法的應用 20

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一、等差數列的定義文字語言形式一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母表示．知識點詮釋：⑴公差一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；⑵共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數（即公差）；符號語言形式對于數列，若（，，為常數）或（，為常數），則此數列是等差數列，其中常數叫做等差數列的公差．知識點詮釋：定義中要求“同一個常數”，必須與無關．等差中項如果，，成等差數列，那么叫做與的等差中項，即．知識點詮釋：①兩個數的等差中項就是兩個數的算術平均數．任意兩實數，的等差中項存在且唯一．②三個數，，成等差數列的充要條件是．知識點二、等差數列的通項公式等差數列的通項公式首相為，公差為的等差數列的通項公式為：，推導過程：（1）歸納法：根據等差數列定義可得：，所以，，，……當n=1時，上式也成立所以歸納得出等差數列的通項公式為：（）．（2）疊加法：根據等差數列定義，有：，，，…把這個等式的左邊與右邊分別相加（疊加），并化簡得，所以．（3）迭代法：所以．知識點詮釋：①通項公式由首項和公差完全確定，一旦一個等差數列的首項和公差確定，該等差數列就唯一確定了．②通項公式中共涉及、、、四個量，已知其中任意三個量，通過解方程，便可求出第四個量．等差數列通項公式的推廣已知等差數列中，第項為，公差為，則．證明：因為，所以所以由上可知，等差數列的通項公式可以用數列中的任一項與公差來表示，公式．可以看成是時的特殊情況．知識點三、等差數列的性質等差數列中，公差為，則①若，且，則，特別地，當時．②下標成公差為的等差數列的項，，，…組成的新數列仍為等差數列，公差為．③若數列也為等差數列，則，，（k，b為非零常數）也是等差數列．④仍是等差數列．⑤數列（為非零常數）也是等差數列．【方法技巧與總結】等差數列中對稱設項法的應用1、某兩個數是等差數列中的連續兩個數且知其和，可設這兩個數為：，，公差為；2、三個數成等差數列且知其和，常設此三數為：，，，公差為；3、四個數成等差數列且知其和，常設成，，，，公差為．【典型例題】題型一：等差數列的判斷【典例1-1】（2024·高二·全國·專題練習）下列數列是等差數列的是（

）A．，，， B．1，，，C．1，，1，－1 D．0，0，0，0【答案】D【解析】∵，故排除A；∵，故排除B；∵，故排除C，常數列是等差數列，故D正確.故選：D．【典例1-2】（2024·高三·內蒙古包頭·開學考試）“數列是等差數列”是“數列是等差數列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若數列是等差數列，可設其首項為，公差為，則，則，即數列是以為首項，為公差的等差數列；若數列是等差數列，取，則，符合要求，但數列不為等差數列，故“數列是等差數列”是“數列是等差數列”的充分不必要條件.故選：A,【方法技巧與總結】對于數列，若（，，為常數）或（，為常數），則此數列是等差數列，其中常數叫做等差數列的公差．【變式1-1】（2024·高二·海南·期中）下列數列的通項公式中，能得到為等差數列的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，不為常數，故A錯誤，對于B，為常數，故B正確，對于C,不為常數，故C錯誤，對于D，不為常數，故D錯誤，故選：B【變式1-2】（2024·高二·山東菏澤·期中）從1，2，3，…，9這9個數字中任取3個不同的數字，使它們成等差數列，則這樣的等差數列共有（

）A．16個 B．24個 C．32個 D．48個【答案】C【解析】當公差時，數列有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；，5，6，7；6，7，8；7，8，9共7個；當公差時，數列有1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共5個；當公差時，數列有1，4，7，；2，5，8；3，6，9共3個；當公差時，數列有1，5，9共1個，同理，當時，有7個，當時，有5個，當時，有3個，當時，有1個，故共有．故選：C．【變式1-3】（2024·高二·浙江·期中）對于數列，設甲：為等差數列，乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】充分性：若是等差數列，則．必要性：若，則，兩式相減得，即，所以是等差數列．所以甲是乙的充要條件.故選：C．【變式1-4】（2024·高二·重慶·學業考試）下列數列中等差數列的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于A，，相鄰兩項的差為常數，是等差數列；對于B，，相鄰兩項的差不為常數，不是等差數列；對于C，，相鄰兩項的差不為常數，不是等差數列；對于D，，相鄰兩項的差不為常數，不是等差數列；故選：A題型二：等差數列的通項公式及其應用【典例2-1】（2024·高二·江蘇蘇州·期中）數列與的所有公共項由小到大構成一個新的數列，則.【答案】116【解析】與的所有公共項由小到大構成一個新的數列為，故為首項為2，公差為6的等差數列，所以，所以.故答案為：116【典例2-2】（2024·高二·甘肅蘭州·期中）若數列中，，且，則其通項公式.【答案】【解析】因為數列中，，且，即，所以數列是以3為首項，以5為公差的等差數列，則其通項公式.故答案為：.【方法技巧與總結】等差數列通項公式的求法與應用技巧（1）等差數列的通項公式可由首項與公差確定，所以要求等差數列的通項公式，只需求出首項與公差即可．（2）等差數列的通項公式中共含有四個參數，即，，，，如果知道了其中的任意三個數，那么就可以由通項公式求出第四個數，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”．（3）通項公式可變形為，可把看作自變量為的一次函數．【變式2-1】（2024·高二·全國·專題練習）在等差數列，，，，…每相鄰的兩項之間插入一個數，使之組成一個新的等差數列.(1)求新數列的通項公式；(2)28是新數列的項嗎？若是，是第幾項？【解析】（1）原數列的公差，所以新數列的公差，所以新數列的通項公式為.（2）是.設28是新數列的第項，令，解得，所以28是新數列中的項，且是第45項.【變式2-2】（2024·高二·全國·專題練習）已知無窮等差數列的首項，公差，依次取出序號為被4除余3的項組成數列．(1)求和；(2)求的通項公式；(3)中的第110項是中的第幾項？【解析】（1）因為，，所以，因為數列中序號能被4除余3的項依次是第3項，第7項，第11項，…，所以，；（2）設中的第項是的第項，即，則（），所以，所以的通項公式為（）；（3）因為，設它是中的第項，則，則，所以是中的第439項．【變式2-3】（2024·高二·全國·課后作業）已知數列滿足，且.(1)求數列的通項公式；(2)對于，將數列中落在區間內的項的個數記為，求數列的通項公式.【解析】（1）當時，為等差數列，設公差為..（2）由（1）得，，，，，…，，.題型三：等差數列的證明【典例3-1】（2024·高二·河南漯河·期末）已知數列滿足：，.若，求證：為等差數列.【解析】因為，所以，即，，又，所以是以為首項，為公差的等差數列；【典例3-2】（2024·高二·全國·課后作業）已知數列滿足，證明：數列為等差數列．【解析】由，得，所以，所以數列是以為公差的等差數列．【方法技巧與總結】證明等差數列的方法（1）定義法或數列是等差數列．（2）等差中項法數列為等差數列．（3）通項公式法數列{an}的通項公式形如（，為常數）數列為等差數列．【變式3-1】（2024·高二·全國·課后作業）已知正項數列滿足，且．(1)判斷數列是否為等差數列，并說明理由；(2)求數列的通項公式．【解析】（1）由正項數列滿足，可得，即，即，又由，可得，故數列是首項為，公差為2的等差數列．（2）由（1）可得．所以，將以上式子累加，可得，可得，所以．【變式3-2】（2024·高二·全國·課堂例題）已知函數，數列的通項由（且）確定．(1)求證：是等差數列；(2)當時，求．【解析】（1）因為，可得，即，所以是以公差為的等差數列．（2）由（1）知的公差為，又因為，即，可得，所以．【變式3-3】（2024·高二·全國·專題練習）已知數列滿足，且，證明：是等差數列.【解析】因為，所以，所以，即所以是以為首項，為公差的等差數列.【變式3-4】（2024·高二·全國·課前預習）已知各項均為正數的數列的首項，是數列的前項和，且滿足．求證：是等差數列；【解析】由已知可得，.因為，所以，即.又，所以數列是以2為首項，為公差的等差數列．【變式3-5】（2024·高二·全國·課前預習）設數列的前n項和為，已知，，．證明：數列是等差數列；【解析】數列的前n項和為，因為，所以，即所以（為常數），所以數列是等差數列．題型四：等差中項及應用【典例4-1】（2024·高二·甘肅蘭州·期中）已知三個數19，，31是等差數列，則.【答案】5【解析】因為三個數19，，31成等差數列，所以.故答案為：5【典例4-2】（2024·高二·上海松江·階段練習）已知構成等差數列，則實數的值為.【答案】32/【解析】因為構成等差數列，所以，解得.故答案為：.【變式4-1】（2024·高二·上海·期末）等差數列中，，則.【答案】2【解析】因為為等差數列，則，所以.故答案為：2.【方法技巧與總結】若a，A，b成等差數列，則；反之，由也可得到a，A，b成等差數列，所以A是a，b的等差中項．【變式4-2】（2024·高二·上海·課后作業）已知數列滿足（n為正整數），且，則．【答案】/【解析】因為數列滿足，故為等差數列，則，故，故答案為：【變式4-3】（2024·高二·上海·課前預習）等差數列的前三項依次為，，，則x的值為．【答案】【解析】等差數列的前三項依次為，，，，則.故答案為：.【變式4-4】（2024·高二·上海·期末）若函數的四個零點從小到大恰好構成等差數列，則.【答案】/【解析】，若，無解，舍去，若，此時，此時，只有兩個零點，舍去，若，，若，則，故，若，則，故，其中，因為四個零點從小到大恰好構成等差數列，所以，故，故，解得.故答案為：【變式4-5】（2024·高二·貴州銅仁·階段練習）已知，.若a，b，c成等差數列，則.【答案】6【解析】因為，b，成等差數列，所以，解得.故答案為：6【變式4-6】（2024·高二·廣西南寧·期中）若關于的方程和（，且）的四個根組成首項為的等差數列，則的值為.【答案】【解析】設方程的根是，方程的根是，∴，，四個根排成等差數列，不妨設為，則，于是，，，因此，，∴，．故答案為：．題型五：等差數列的實際應用【典例5-1】（2024·高二·陜西漢中·期中）《周髀算經》中有這樣一個問題：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿，芒種這十二個節氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數列，若立春當日日影長為尺，立夏當日日影長為尺，則春分當日日影長為（

）A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺【答案】D【解析】設十二節氣自冬至日起的日影長構成的等差數列為，則立春當日日影長為，立夏當日日影長為，所以春分當日日影長為.故選：D【典例5-2】（2024·河南鄭州·模擬預測）在北京冬奧會開幕式上，二十四節氣倒計時驚艷了世界．從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣的日影長依次成等差數列，若冬至的日影長為18.5尺，立春的日影長為15.5尺，則春分的日影長為（

）A．9.5尺 B．10.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺【答案】D【解析】由題意得：為等差數列，公差為d，則，，則，解得：，則，故春分的日影長為12.5尺.故選：D【方法技巧與總結】（1）解決實際應用問題，首先要認真領會題意，根據題目條件，尋找有用的信息．若一組數按次序“定量”增加或減少時，則這組數成等差數列．合理地構建等差數列模型是解決這類問題的關鍵，在解題過程中，一定要分清首項、項數等關鍵的問題．（2）能在具體的問題情境中，識別數列的等差關系，抽象出數列的模型，并能用有關知識解決相應的問題，是數學建模的核心素養的體現．【變式5-1】（2024·高二·江蘇蘇州·期末）單分數（分子為1，分母為正整數的分數）的廣泛使用成為埃及數學重要而有趣的特色，埃及人將所有的真分數都表示為一些單分數的和．例如，，……，現已知可以表示成4個單分數的和，記，其中，，是以101為首項的等差數列，則的值為（

）A．505 B．404 C．303 D．202【答案】A【解析】根據題中拆分后分數的特征以及分出結果中含，對分母增大倍數進行拆分，即得結果.依題意，拆分后的分數，分子都是1，分母依次變大，又中含，故可分解如下：，又，，是以101為首項的等差數列，故.故.故選：A.【變式5-2】（2024·高三·遼寧·期末）我國古代數學家提出的“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，它在世界數學史上具有光輝的一頁，堪稱數學史上名垂百世的成就，而且一直啟發和指引著歷代數學家們.定理涉及的是數的整除問題，其數學思想在近代數學，當代密碼學研究及日常生活都有著廣泛的應用，為世界數學的發展做出了巨大貢獻，現有這樣一個整除問題：將1到2022這2022個數中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的數按從小到大的順序排成一列，構成數列，那么此數列的項數為（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】D【解析】由題意得：能被3除余2的數為2，5，8，11……，故，，被5除余3的數為3，8，13……，故，，被7除余1的數為1，8，15……，故，，由，，，故，，令，解得：，因為，所以，故此數列的項數為20.故選：D【變式5-3】（2024·高三·江蘇淮安·階段練習）天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2022年是壬寅年，請問：在100年后的2122年為（

）A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】A【解析】由題意得：天干可看作公差為10的等差數列，地支可看作公差為12的等差數列，由于，余數為0，故100年后天干為壬，由于，余數為4，故100年后地支為午，綜上：100年后的2122年為壬午年.故選：A【變式5-4】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）習近平總書記提出：鄉村振興，人才是關鍵．要積極培養本土人才，鼓勵外出能人返鄉創業．為鼓勵返鄉創業，黑龍江對青山鎮鎮政府決定投入創業資金和開展“創業技術培訓”幫扶返鄉創業人員．預計該鎮政府每年投入的創業資金構成一個等差數列（單位萬元，），每年開展“創業技術培訓”投入的資金為第一年創業資金的倍，已知．則預計該鎮政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為（

）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元【答案】C【解析】設等差數列的公差為，由題意可知，五年累計總投入資金為：，因為，所以，當且僅當時取等號，故預計該鎮政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為120萬元，故選：C.題型六：的應用【典例6-1】（2024·高二·全國·課后作業）設，，，是等差數列的項，且．求證：．【解析】證明：設等差數列的公差為d，則，，因為，故，故.【典例6-2】（2024·全國·高二課時練習）在等差數列中：（1）已知，求首項與公差d；（2）已知，求．【解析】（1）由題意得，解得（2）設等差數的公差為，則由題意得，所以【方法技巧與總結】靈活利用等差數列的性質，可以減少運算．令，即變為，可以減少記憶負擔．【變式6-1】（2024·全國·高二單元測試）（1）在等差數列中，已知，，求首項與公差d；（2）已知數列為等差數列，，，求．【解析】（1）等差數列的公差為，∵，，則解得，∴這個等差數列的首項，公差．（2）設等差數列的首項為，公差為d，則由題意得解得，故．【變式6-2】（2024·全國·高三專題練習）在等差數列中，已知求及．【解析】因為數列是等差數列，故可得；又因為．故；．題型七：等差數列性質的應用【典例7-1】（2024·高二·全國·課后作業）已知數列為等差數列，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由等差數列的性質知，所以，解得，所以，故選：A【典例7-2】（2024·高二·重慶渝中·期中）已知在等差數列中，且，則數列的通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設等差數列公差為d，由題意：，故，即，解得；故等差數列的公差為，通項公式為；故選：A.【方法技巧與總結】等差數列運算的兩種常用思路（1）基本量法：根據已知條件，列出關于，的方程（組），確定，，然后求其他量．（2）巧用性質法：觀察等差數列中項的序號，若，且，則．【變式7-1】（2024·高二·吉林長春·期中）已知等差數列滿足，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，解得，故選：D.【變式7-2】（2024·高二·福建漳州·階段練習）等差數列中，，求（

）A．36 B．15 C．18 D．30【答案】A【解析】由可得，可得，，故選：A【變式7-3】（2024·高三·遼寧·期中）公差不為的等差數列滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】由題可知，，則，所以，所以，當且僅當且時，即時等號成立，所以的最小值為.故選：C.【變式7-4】（2024·高二·廣西南寧·期中）在等差數列中，若，則的值為（

）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】D【解析】由題設，所以.故選：D【變式7-5】（2024·高二·全國·課后作業）設數列，都是等差數列，且，，，那么數列的第37項為（

）A．0 B．37 C．100 D．【答案】C【解析】因為，都是等差數列，所以也是等差數列．又因為，，所以數列的公差為0，即數列為常數列．所以的第37項為100.故選：C．【變式7-6】（2024·高二·四川自貢·期中）在等差數列中，若，則的值為（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】C【解析】由題意.故選：C.題型八：等差數列中對稱設項法的應用【典例8-1】（2024·高二·山西運城·開學考試）（1）三個數成等差數列，其和為，前兩項之積為后一項的倍，求這三個數.（2）四個數成遞增等差數列，中間兩數的和為，首末