第一節導數的概念和運算

【要點歸納】

一、函數的平均變化率

1.函數的平均變化率的定義：一般地，已知函數y=/（x）,必，為是其定義域內不同的

兩點，記則當時，商

Ax=X2—Xi，Ay=y2-y\=J（X2）-/（Xi）+Ax）—y（xi）.Ax#）

曲士誓出1=熟作函數y=7㈤在區間3，汨+Ar］（或3+右，加）的平均變化率.

2.如何理解4G少的含義：/X表示自變量X的改變量，即Zk=X2—制；”表示函數

值的改變量，即少=/但）-AM）.

3.求平均變化率的步驟

求函數yq/H）在g,M內的平均變化率.

⑴先計算函數的增量4y=心2）—4即）.

計算自變量的增量

（2）Jx=x2-xi.

（3）得平均變化率卷="三票.

4.關于函數的平均變化率，應注意以下幾點

（1）函數式口在勺處有定義.

（2）Ax是變量X2在X］處的改變量，且42是"1附近的任意一點，即加=工2—勺和，但

Ax可以為正，也可以為負.

（3）注意自變量與函數值的對應關系，公式中若以=為一勺，則2=人為）一人九）；若心

=1一為，則與=%］）一/2）?

（4）在公式弩二誓=歿共然二四中,當處取定值，Ax取不同的數值時，函數

的平均變化率是不同的；當Ax取定值⑶取不同的數值時，函數的平均變化率也是不同的.特

別地，當函數4x）為常數函數時，△），=（）,則言=8

（5）平均變化率的幾何意義：

設4汨，風口）），B3,4及））是曲線y=/U）上任意不同的兩點，函數y=/m）的平均變化率

卷=於2）—的）=加+黑一加為割線AB的斜率,如圖所示.

ZAAX2-X\Zxx

二、平均速度與平均變化率

如果物體運動的位移xm與時間rs的關系為％=人"）,則物體在［小句“1<，2時）或比，

h］（t2<h時）這段時間內的平均速度為叫）「”）（m/s）.即物體在某段時間內的平均速度等于

f2-h

%=/?⑺在該段時間內的平均變化率.

三、瞬時變化率與導數

1.物體運動的瞬時速度：設物體運動路程與時間的關系是S=W），當&趨近于。時，

函數W）在加到h+4之間的平均變化心嗯二邈趨近于常數，我們把這個常數稱為m

時刻的瞬時速度.

2.函數在某點的瞬時變化率：設函數y=/（x）在的及其附近有定義，當自變量在％=刖

附近改變量為Ax時，函數值相應地改變△），=/“（）十Ax）—貝切），如果當Ax趨近于0時，平均

變化率非=假士誓皿趨近于一個常數人那么常數/稱為函數式、）在點沏的瞬時變化率?

記作：當心一。時，血土誓幽L.

還可以說：當A\JO時，函數平均變化率的極限等于函數在沖的瞬時變化率/,記作lim

△x-L

3.函數/）在處的導數：函數），=/）在點M的瞬時變化率，通常稱為/（幻在點出

處的導數，并記作了（xo）,即/（xo）=lim於。+勰一於。）.

Ax—*0八工

4.函數的導數：

（I）函數可導的定義：

如果y（x）在開區間（。，力內每一點x導數都存在，則稱y（x）在區間（小力內可導.

（2）導函數的定義：

若共處在區間3,加內可導，則對開區間（小與內每個值X,都對應一個確定的導數/（X）,

于是在區間（小力內/（%）構成一個新的函數，把這個函數稱為函數.y=/（x）的導函數，記為

/（X）（或）4、/）?導函數通常簡稱為導數.

四、導數的幾何意義

1.導數的幾何意義：函數人"）在x=xo處的導數就是切線PT的斜率比即k=f（xQ）=lim

于（xo+Ax）一于（xo）

Ax,

2.導函數：從求函數人x）在工=迎處導數的過程可以看到，當x=/o時，/（沏）是一個確

定的數.這樣，當X變化時，“1）便是X的一個函數，我們稱它為於）的導函數（簡稱導數）.y

=￡0的導函數有時也記作即〃x）=y=lin/（沏+嗎7（沏）.

AJO

3.割線的斜率：已知丁=犬0圖象上的兩點A（xo,?3），B（xo+At，＜xo+Ax））,過A、B

兩點割線的斜率是非」（即+然「/a°）,即曲線割線的斜率就是函數的平均變化率.

4.利用導數的幾何意義求切線方程的方法

（1）若已知點（刈，外）在已知曲線上，求在點（向，外）處的切線方程，先求出函數y=/（x）在

點刈處的導數，然后根據直線的點斜式方程，得切線方程y-yo=/（.w）（x-&）.

（2）若點（出,刈）不在曲線上，求過點（刈，為）的切線方程，首先應設出切點坐標，然后根

據導數的幾何意義列出等式，求出切點坐標，進而求出切線方程.

5.根據切線斜率求切點坐標的步驟

（1）設切點坐標（XO，州）；

（2）求導函數/（%）；

（3）求切線的斜率/（xo）；

（4）由斜率間的關系列出關于皿的方程，解方程求刈；

（5）點（的，覺）在曲線久0上，將（沏，泗）代入求州得切點坐標.

五、幾個常用函數的導數

原函數導函數

J（x）=c（c為常數）r（x）=o

yu)=x/?=1

犬x)=Wf(x)=2x

火》）=:

/(x)=-p

心）=也/⑴-25

六、基本初等函數的導數公式

原函數導函數

尸。y=o

y=y*("WN+)〃為正整數

y=va>o,"并且"WQ)"為有理數

y=av(a>0,存1)y=alna

y=cK

尸T-

y=log</(a>0,a^\?x>0)

)xlna

y=\nx

)X

y=sinxy=cos_x

y=cosx/=_sin

七、導數運算法則

1.和差的導數：Wx)±g(x)]f=f(x)±g\x).

2.積的導數：(l)Kt)g(x)丫=fa)g(x)+%)g3；(2)[加明，=以幻.

3.商的導數：蔚’=嗎鏟㈤,gQ)和.

八、復合函數的導數

復合函數的概念及求導法則

復合函數一般地，對于兩個函數)，=/(〃)和u=g(x),如果通過變量〃，y可以表示成x的

的概念函數，那么稱這個函數為函數￥=貝〃)和〃=8。)的復合函數，記作y=/(g。)).

復合函數

復合函數尸慮⑴)的導數和函數y=A〃),〃=g(x)的導數間的關系為累=需祟，

的求導法

則即)，對X的導數等于)，對〃的導數與〃對X的導數的乘積.

【夯實基礎練】

1.(2022?東北師大附中、黑龍江省大慶實驗中學高三聯合模擬考試)己知

f(x)=ax+a+cosx(aeR),則在曲線y=/(%)上一點(0,2)處的切線方程為()

A.x-y+2=0B.x+y-2=0

C.2x-y+2=0D.2x+y-2=0

【解析】因為點(0,2)在曲線上，所以7(0)=a+cos0=2,于是。=1,所以

f(x)=x+cosx+l,/'(x)=l—sinx，r(o)=l,故切線方程為y-2=x—0,即

x—y+2=0.故選：A

【答案】A

2.(2022-重慶市第八中學高三第三次調研檢測)已知函數

2

〃x)=27⑶x—gf+mx(r(x)是/(x)的導函數)，則”1)=()

2011―716

A----B.---C.-D.—

9999

4141

【解析】:.f(x)=2f(3)--x+-,/./(3)=2/(3)--+-^/(3)=1,

9x33

n*7[A

f(x)=2x--x2+lnx,f(V)=2--=—,故選：D.

【答案】D

3.(2022?重慶市第八中學高三第六次調研檢測)(多選)已知函數/)=lnx,g(x)=d+

mx(〃?wR),若函數Kt)的圖象在點處的切線與函數g(x)的圖象相切，則m的值為()

A.1B.-1C.3D.-3

【解析】易知川)=(),ra)=L從而得到r⑴=i,函數/)的圖象在點(1,用))

大

處的切線方程為y=x—l.設直線y=x-\與ga)=x2+〃wm￡R)的圖象相切于點p(x0,

2%+tn=}

為)，從而可得g'(/)=1,g(Xo)=Xo—Hg'(x)=2x+〃?，因此有，

片+mxQ=x0-1

得/2=1，解得|")=]或一].故選：BC.

m=-1m=3

【答案】BC

4.(2022-山西省長治市第二中學高三(上)第三次練考)已知函數

f(x)=(x-a)^x(a>0,acA)的圖象在點x=2處的切線4的斜率與在點x=-2處的

切線6的斜率之積為-3,則切線(與坐標軸圍成的三角形的面積為()

2

A.4e2B.2e2C.e2D.—

e

【解析】,f(x)=(x—a)?e",f(x)=(x-a+1)ex,根據題意

廣⑵?八一2)=(3-〃)—.(_1-〃)?2=-3,解得a=2,(a=0舍

i).r(x)=(x-l)e\r(2)=(2-l)-e2=e2,/⑵=0,故切線方程為：y=e2(x-2),

過點(2,0)和(0,-2e2),S=！x2x2e2=2e2.故選：B.

【答案】B

5.(2022?江西上饒一模)設〃力為可導函數，且｛巴/⑴―則曲

線y=/(x)在點(1,/。))處的切線斜率為()

1

A.2B.-1C.1D.一一

2

【解析】由導數的幾何意義，點(1,/。))處的切線斜率為/'(1),因為―0時，

巫止竺U-1所以

外)="⑴一"㈤，"⑴一川一2明」，所以在點處

?1。2Ax2?。N2「八”

的切線斜率為-2，故選：D.

2

【答案】D

6.已知函數的導函數為了(外，且滿足?r)=H(e)+lnx,則/(e)=()

A.e1B.-1C.—e1D.-e

【解析】V^)=2x/(e)+lnx,：.f(x)=2f(c)^,

???/?=〃(e)+±解得/(e)=—故選C.

【答案】c

7.(2021?湖南長沙長郡中學模擬)等比數列｛小｝中，改=2,函數/(x)=x(x—〃1)(彳一s)(x

一G)，則八0)=()

A.8B.-8

C.4D.-4

【解析】/(X)=(X—41)(X—。2)(4—。3)+%[(4-。1)(彳一。2)。一。3)]'，?"(0)=—。1。2。3=—

?!=—8.

【答案】B

8.(2022?山東省淄博第一中學高三開學考試)動直線/分別與直線y=2x-l,曲線

3

,二^/一皿工相交于人^兩點，則|AB|的最小值為()

A.立B.在C.1D.非

105

3

【解析】設點A是直線y=2x-l上任意一點，點B是曲線尸?jf-inx上任意一

點，當點3處的切線和直線y=2x-l平行時，這兩條平行線間的距離|A8|的值最小，因

為直線＞=2工一1的斜率等于2,曲線y=2f-]nx的導數y=3x-±,令y'=2,可得

2x

2-「1_逐

或%=舍去)，故此時點的坐標為

1=1-1(8，故選:

375~10

A.

【答案】A

9.(2022?湖南省長郡中學高三階段練)若不等式J(a-b)2+(a-lnb)2對任意

4WR,匕￡(0,E)恒成立，則實數6的取值范圍是()

—00,—D.(-00,2]

2

【解析】設T=&-4+伍-1時,則T的幾何意義是直線y=x上的點P(〃,a)

與曲線f(x)=lnx上的點Q(b,lnb)的距離，將直線y=x平移到與面線/(x)=lnx相切

時，切點Q到更線y=x的距離最小.而f'(x)=L,令/(%)=,=1,則/=1,可得

Q(l,0),此時，。到直線y=x的距離與“二也，故IPQImin=堂,所以〃2《也.故

J2222

選：B

【答案】B

10.(2022?重慶市巴蜀中學第七次月考)在微積分中“以直代曲”是最基本，最樸索的思想

方法，中國古代科學家劉徽創立的“割圓術”，用圓的外切正〃邊形和內接正〃邊形“內外夾

逼”的辦法求出了圓周率萬的精度較高的近似值，事實上就是用“以直代曲''的思想進行近似

計算的，它是我國最優秀的傳統科學文化之一.借用“以直代曲”的方法，在切點附近、可以

用函數圖象的切線代替在切點附近的曲線來“近似計算”.請用函數/(x)=e、"近似計

窠哂的值為(結果用分數表示).

【解析】函數f(x)=e"的導數為，(x)=e)所以f(0)=l,函數/*)=/在點

(0.1)處的切線y=x+l,所以=在x=0附近可以用y=x+l代替，即

f(x)=爐bx+1,.故答案

<2022；2022

2023

2022

【答案】

11.(2022?重慶市第五次質量檢測)曲線/(6二X2-Inx在點(1,1)處的切線方程為

【解析】函數/(x)=f一1內定義域為(0,+oo),f\x)=2x--,則:⑴=1,

X

于是得y—l=lx(x—l),即X—)，=0,所以曲線/(x)=f—Inx在點(1,1)處的切線方程

為x-y=。故答案為：x-y=0

【答案】x-y=