PAGE1PAGE2專題03三角函數的應用5大題型題型一仰俯角問題1．（23-24九年級上·河南平頂山·期末）如圖是某建筑物的側面圖形．已知建筑物坡度為，總長為米，斜坡和平臺形成為，從E點看D點的仰角為，斜坡長15米．求長度為米．（結果保留根號）

【答案】【分析】過點A作于點H，延長交于點G，作于點N，設，則，利用勾股定理可得，從而求得，根據題意可得，利用勾股定理求得，從而求得，再根據直角三角形的性質求解即可．【詳解】解：過點A作于點H，延長交于點G，作于點N，則中，設，則，∴，解得，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，在中，，則，故答案為：．

2．（22-23九年級上·河南周口·期末）如圖，某無人機愛好者在一小區外放飛無人機，當無人機飛行到一定高度處時，無人機測得操控者的俯角為，測得小區樓房頂端點處的俯角為．已知操控者和小區樓房之間的距離為，小區樓房的高度為，求此時無人機的高度．（結果保留整數．參考數據：，，）【答案】此時無人機的高度為【分析】本題考查了矩形的性質，解直角三角形運用，一元一次方程的應用，解題的關鍵是構造輔助線，設未知數構建等式求解．過點做的平行線，在平行線上取兩點，，使，，根據矩形的性質和解直角三角，可得，設，代入數據求解，得到的值，即可求得無人機的高度．【詳解】解：如圖，過點做的平行線，在平行線上取兩點，，使，，由題易得四邊形為矩形，，，可得：，設，可得：，解得：，此時無人機的高度為：．3．（21-22九年級上·河南南陽·期末）為了響應國家“雙減”政策，適當改變作業的方式，某校內數學興趣小組組織了一次測量探究活動．如圖，大樓的頂部豎有一塊廣告牌，同學們在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為，沿坡面向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為，已知山坡的坡度，米，米，求廣告牌的高度．（測角器的高度忽略不計，結果精確到0.1米，參考數據：，【答案】廣告牌CD的高約為7.4米【分析】本題考查解直角三角形的應用，仰俯角的問題，掌握直角三角形的邊角關系是解決問題的前提，理解坡度的意義是解決問題的關鍵．在中求出，，進而求出，即，再在中，得出，在中由邊角關系求出，最終求出，取近似值得出答案．【詳解】解：如圖，過點作，，垂足分別為、，由題意可知，，，，米，米，，，，，，，，，在中，，米，（米，，答：廣告牌CD的高約為7.4米．4．（22-23九年級上·河南鶴壁·期末）鶴壁市新世紀廣場，是鶴壁市為了打造“火焰般的活力，鉆石般的晶瑩，田園般的美麗”的城市品牌，聘請清華大學設計建造的高起點、高品味的大型綜合性廣場．其中，鐘塔是廣場的主題，也是鶴壁市新區城市的標志性建筑，他默默的陪伴著鶴壁人民走過了20多年的歲月．如圖所示，小明在鐘塔一側的水平面上的處測得塔頂的仰角為，在某建筑物頂部處，又測得塔頂的仰角為，已知建筑物的總高度為米，水平距離的長度為10米，試求鐘塔的高度．（結果精確到1米，參考數據：）【答案】鐘塔的高度約為【分析】本題考查了解直角三角形的應用；過點作于點，證明四邊形是矩形，求出，，然后在中，根據列式計算即可．【詳解】解：過點作于點，則，設，，四邊形是矩形．，在中，，，，，在中，，，，解得，答：鐘塔的高度約為．5．（23-24九年級上·河南濮陽·期末）如圖，學校從教學樓頂懸掛了一幅長為的勵志條幅，已知樓頂到地面的距離為，在樓前點A處，測得條幅底端N的仰角為，在距A點處的B點（點A，B，C在一條直線上），測得條幅頂端M的仰角為，若忽略測量儀器的高度，請你計算條幅的長度．（結果保留根號）【答案】的長度為【分析】本題考查解直角三角形．熟練掌握銳角三角函數的定義，熟記特殊角的三角函數值，是解題的關鍵．在中，利用，求出的長，利用求出的長，在中，利用，求出的長，利用求出的長即可．【詳解】解：由題意，得：，，，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴．答：的長度為．6．（23-24九年級上·河南平頂山·期末）某數學興趣小組想測量電視塔的高度，如圖，在A處D用測角儀測得電視塔最高點D的仰角為，沿方向前進13到達B處，又測得電視塔最高點D的仰角為，已知測角儀的高度為，測量點A、B與電視塔的底部C在同一水平線上．求電視塔的高度．（結果精確到，參考數據：，，）【答案】電視塔的高度約為【分析】本題考查了解直角三角形的應用，掌握解直角三角形的方法是解題的關鍵．延長交于點H，設，根據列方程并解方程即可解決．【詳解】解：延長交于點H，由題意知，設，在中，，∴，在中，，，又∵，∴，∴，解得，∴，答：電視塔的高度均為．7．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）河南省科技館（新館）位于鄭州市鄭東新區象湖湖畔，是河南省有史以來規模最大、投資最多的公益性投資項目．新館設計方案由主體場館、圭表塔、室外科學廣場等組成，設計靈感源自河洛交匯文化意向，建筑形態宛如黃河與洛河自然交匯形成的天然造型，又如展翅雄鷹、飛機螺旋槳，寓意河南騰飛、中原崛起鄭東新區某數學興趣小組在去科技館游玩時，嘗試用所學的知識測量圭表塔的高度，以下是他們的測量方案：先站在地面的A點處用測傾器測得圭表塔的頂端N點的仰角為，接著沿圭表塔的方向前進33米到達C處測得頂端N的仰角為（點A、C、M在同一直線上）．(1)已知測傾器的高度為1.3米，請你根據以上數據求出圭表塔的高度；（結果精確到0.1．參考數據：，，，）(2)通過查看科技館的介紹，發現圭表塔的高度是100米，則計算結果的誤差為多少？請你說出一條可能導致計算結果產生誤差的原因．【答案】(1)圭表塔的高度約為100.3米(2)見解析【分析】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．（1）延長交于點，根據題意可得：，米，米，然后設米，則米，分別在和中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而列出關于的方程，進行計算即可解答；（2）利用（1）的結論進行計算，然后說出可能導致計算結果產生誤差的原因，即可解答．【詳解】（1）延長交于點，由題意得：，米，米，設米，米，在中，，米，在中，，（米，，解得：，米，（米，圭表塔的高度約為100.3米；（2）由題意得：（米，計算結果的誤差為0.3米，可能導致計算結果產生誤差的原因為：卷尺沒有拉直（答案不唯一）．題型二方位角問題8．（23-24九年級上·河南平頂山·期末）現在手機導航極大方便了人們的出行，如圖，嘉琪一家自駕到風景區游玩，到達地后，導航顯示車輛應沿北偏西方向行駛4千米至地，再沿北偏東方向行駛一段距離到達風景區，嘉琪發現風景區在地的北偏東方向，那么B，C兩地的距離為（

）

A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形性質和計算，方位角的表示，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵；過點B作于點D，根據，，利用三角形內角和定理求出，在得出長度，，利用勾股定理求出，即再次利用勾股定理求出的長．【詳解】如圖所示：過點B作于點D，

由題意得：，，，，，，，（千米），，（千米），（千米），故選：A9．（22-23九年級上·河南南陽·期末）如圖，某海警船向正西方向航行，在處望見一艘正在作業的漁船在南偏西方向，海警船航行到處時望見漁船在南偏東方向，又航行了一小時到達處，望見漁船在南偏東方向，若海警船的速度為25海里時，則，之間的距離為多少海里．（，結果精確到0.1海里）【答案】海里【分析】本題主要考查解直角三角形、方向角、等腰直角三角形的判定和性質等知識點，添加輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．如圖：作于M，設,在中，根據列出方程求解即可．【詳解】解：如圖：作于M，∵，∴，∵，∴，設,在中，（海里），∴，∴，解得：，∴（海里）．10．（23-24九年級上·河南新鄉·期末）小明和小紅相約周末游覽合川釣魚城，如圖，為同一平面內的五個景點．已知景點位于景點的東南方向米處，景點位于景點的北偏東方向米處，景點位于景點的北偏東方向，若景點與景點，都位于東西方向，且景點在同一直線上．(1)求景點與景點之間的距離．（結果保留根號）(2)小明從景點出發，從到到，小紅從景點出發，從到到，兩人在各景點處停留的時間忽略不計．已知兩人同時出發且速度相同，請通過計算說明誰先到達景點．（參考數據：）【答案】(1)景點與景點之間的距離為米(2)小紅先到達景點，理由見解析【分析】（）過點作于點，解直角三角形求出，即可求出點與景點之間的距離；（）過點作于點，過點作于點，解直角三角形求出，分別計算出兩人所走的路程，即可判斷求解；本題考查了解直角三角形的應用方向角問題，矩形的性質，根據題意，作出輔助線，構造出直角三角形是解題的關鍵．【詳解】（1）解：過點作于點，在中，，∴，在中，，∴，，∴，答：景點到景點的距離為米；（2）解：過點作于點，過點作于點，則，∴四邊形為矩形，在中，，∴，∴，，又∵四邊形為矩形，∴，在中，，∴，，∴，∴小明所走的路程為米，小紅所走的路程為米，∵且兩人速度相同，∴小紅先到達景點．11．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）如圖，海中有一個小島A，該島四周內有暗礁．今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西的B處，往東行后到達該島的南偏西的C處之后，貨輪繼續向東航行．（，）

(1)請用尺規作圖，找到貨輪距離小島A最近時的位置點P（不寫過程，需保留作圖痕跡）；(2)當貨輪航行到P點位置時，距離小島A有多遠，貨輪有觸礁危險嗎？【答案】(1)見解析(2)貨輪航行到P點位置時，距離小島A，貨輪沒有觸礁危險【分析】本題考查作圖一作垂線，解直角三角形的應用，解題的關鍵是理解題意，學會利用參數構建方程解決問題．（1）根據要求畫出圖形；（2）設，則，根據，構建方程求解即可．【詳解】（1）解：如圖，點P即為所求，

（2）在中，設，則，，解得：，經檢驗，是方程的解，，，貨輪航行到P點位置時，距離小島A，貨輪沒有觸礁危險．12．（22-23九年級上·河南濮陽·期末）某地修建了一個半徑為的圓形公園，如圖，公園的中心點A位于C地南偏西，B地南偏東方向上．C地在B地的正東方向，且兩地相距．有關部門計劃在B，C兩地之間修一條筆直的公路來連接兩地，問該公路是否穿過公園？試通過計算加以說明（參考數據：，，)．

【答案】該公路不穿過公園，見解析【分析】過點A作于點D，設，在中，，在中，，在根據可求解的長，進而可求解．【詳解】解：不穿過．如圖，過點A作于點D，

設．由題意得，，．在中，，（）．在中，，∴（）．∵，∴．解得．，∴該公路不穿過公園．13．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）如圖，在東西方向的海岸線上有A，B兩個港口，甲貨船從A港沿東北方向出發，同時乙貨船從B港口沿北偏西方向出發，甲貨船行駛10海里后和乙貨輪相遇在點P處．則A港與B港相距多少海里？【答案】A港與B港相距海里．【分析】先作于點C，根據題意求出，從而得出的值，得出的值，即可求出答案．【詳解】解：作于點C，由題意得，∴海里，∵乙貨船從B港沿西北方向出發，∴，，∴海里，∴海里，答：A港與B港相距海里．14．（22-23九年級上·河南南陽·期末）習近平總書記指出“沒有全民健康，就沒有全面小康”，全民健身被越來越多的人接納，人們的健身方式更加多元，健身場地更加豐富，沿河跑步也成為一種時尚．九年級學生小明在河邊跑步時，決定用數學知識計算河的寬度，如圖是一條河的示意圖，小明沿河岸跑步，對岸EF上有兩棵大樹A，B，當小明跑到C處時，測得大樹A在北偏東方向，小明繼續跑步5分鐘到達D處，此時大樹B剛好在北偏西方向，已知，，小明跑步的平均速度是每分鐘，請根據以上數據求出該段河的寬度．（結果精確到．參考數據：，，，）【答案】該段河的寬度約是．【分析】過點A作于點M，過點B作于點N，得，四邊形是矩形，則，設，在中，則，在中，，根據的長度列方程求解即可．【詳解】解：過點A作于點M，過點B作于點N，則，∵，∴，四邊形是矩形，∴，設，在中，，∴，在中，，∴，∴，∴，即該段河的寬度約是．15．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）“一方有難，八方支援”，新冠疫情期間，各地醫療隊星夜馳援鄭州抗疫．一名醫務工作者從賓館C出發，沿北偏東的方向行走1000米到達A處，后又從A處沿正南方向行走一段距離到達位于賓館南偏東方向的B處，如圖所示，若這名工作者以100米/分的速度從B處返回賓館，那么他在10分鐘內能否到達賓館？（參考數據：，，，）【答案】能到達賓館【分析】過作于，由含角的直角三角形的性質求得的長，再在中，求出的長，然后由時間路程速度求出他到達賓館需要的時間，與10分鐘比較即可．【詳解】解：過作于，由題意可得：，，米，（米），在中，，（米），這名工作者以100米分的速度從處返回賓館，他到達賓館需要的時間為（分）分，這名工作者在10分鐘內能到達賓館．題型三坡度問題16．（23-24九年級上·河南濮陽·期末）河堤橫斷面迎水坡的坡度，若水平寬度為24米，則鉛垂高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】本題考查的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關鍵．根據坡度的概念計算，得到答案．【詳解】解：∵迎水坡的坡度，水平寬度為24米，∴鉛垂高度為：（米），故選A．17．（23-24九年級上·河南南陽·期末）國慶期間，小明陪媽媽去爬山，兩人走到山腳下A處時，看見A處一標語牌上寫著“溫馨提示：此山坡的坡度”，兩人沿坡前行，到達C處時，又發現C處標語牌上寫著“恭喜你已上升50米”，愛思考的小明很快告訴媽媽：“我們至少走坡路（

）米了”．A．50 B．120 C．130 D．170【答案】C【分析】本題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，根據坡度的概念解直角三角形即可．【詳解】由題意可得，坡度，（米），∴（米），∴（米），即至少走坡路130米，故選：C．18．（23-24九年級上·河南南陽·期末）為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發展理念，某市大力開展植樹造林活動．如圖，若在坡比為的山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為，那么斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題，由坡比為，株距（相鄰兩樹間的水平距離）為，則上升的高度為米，根據勾股定理即可求解，掌握坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比是解題的關鍵．【詳解】∵坡比為，株距（相鄰兩樹間的水平距離）為，∴鉛直高度為米，由勾股定理得，斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離為，故選：．19．（23-24九年級上·河南新鄉·期末）如圖，滑雪場有一坡角為的滑雪道，滑雪道AC長為150米，則滑雪道的坡頂到坡底的豎直高度AB的長為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，根據正弦的定義計算即可，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵.【詳解】解：在中,（米）．故選：．20．（22-23九年級上·河南南陽·期末）如圖是簡化后的冬奧會跳臺滑雪的雪道示意圖，段為助滑道，段為著陸坡，著陸坡的坡角為，點與點的高度差為米，點與點的高度差為米，則著陸坡的長度為（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】D【分析】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．過點作于點，過點作，垂足為，過點作，垂足為，可得四邊形矩形，從而得，然后在中，利用銳角三角函數的定義，進行計算即可解答．【詳解】解：過點作于點，過點作，垂足為，過點作，垂足為，則四邊形矩形，，米，米，米，在中，米，故選：D．21．（23-24九年級上·河南平頂山·期末）如圖是某建筑物的側面圖形．已知建筑物坡度為，總長為米，斜坡和平臺形成為，從E點看D點的仰角為，斜坡長15米．求長度為米．（結果保留根號）

【答案】【分析】過點A作于點H，延長交于點G，作于點N，設，則，利用勾股定理可得，從而求得，根據題意可得，利用勾股定理求得，從而求得，再根據直角三角形的性質求解即可．【詳解】解：過點A作于點H，延長交于點G，作于點N，則中，設，則，∴，解得，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，在中，，則，故答案為：．

22．（23-24九年級上·河南周口·期末）如圖，在外力作用下，一個滑塊沿坡度為的斜坡向上移動了，此時滑塊上升的高度是．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比，是解答本題的關鍵．根據題意設滑塊沿斜坡向上移動了時，上升的高度為，利用坡度的定義，由勾股定理計算，得到答案．【詳解】解：根據題意設：滑塊沿斜坡向上移動了時，上升的高度為，斜坡的坡度為，滑塊水平距離為，由勾股定理得：，解得：（負值舍去），滑塊上升的高度為，故答案為：．23．（22-23九年級上·河南開封·期末）某小區開展了“行車安全，方便居民”的活動，對地下車庫作了改進．如圖，，測得米，米，為了居民行車安全，現將斜坡的坡角改為，即（此時點、、在同一直線上）．（參考數據：）(1)求這個車庫的斜坡的長；(2)求斜坡改進后的起點與原起點的距離（結果精確到0.1米）．【答案】(1)米(2)米【分析】（1）在中，勾股定理即可求解；（2）在中，根據，求得，進而根據，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴（米）答：這個車庫的斜坡的長米；（2）解：在中，，∴（米）∴（米）斜坡改進后的起點與原起點的距離約為米．題型四不規則圖形問題24．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）如圖，河岸、互相平行，橋垂直于兩岸，橋長，在C處看橋兩端A、B，夾角（，，），則B、C間的距離為（

）mA． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了解直角三角形，在中，利用直角三角形的邊角間關系可得結論．【詳解】解：由題意可知：，，在中，，故選：A．25．（22-23九年級上·河南南陽·期末）疫情網課期間，某數學興趣小組開展了“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關系”的實踐探究活動．如圖，當張角時，頂部邊緣A處離桌面的高度的長為，此時用眼舒適度不太理想．小組成員調整張角大小繼續探究，最后聯系黃金比知識，發現當張角時（點是A的對應點），用眼舒適度較為理想．求此時頂部邊緣處離桌面的高度的長．（結果精確到；參考數據：，，）【答案】此時頂部邊緣處離桌面的高度的長約為【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數的定義是解題的關鍵．根據，得到，再根據，得到，在中根據三角函數即可求解．【詳解】解：∵，∴，在中，，∴，由題意得：，∵，∴，在中，∴此時頂部邊緣處離桌面的高度的長約為．26．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）如圖，東西走向的水平海岸線上有A，B兩個碼頭，小島C在碼頭A正北方向20海里處，輪船行駛到D時觀測到小島C在船的西南方向50海里處，碼頭B在船的南偏東方向上．求出碼頭A和碼頭B的距離（結果保留整數，參考數據：，，，）．【答案】74海里．【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用、方向角概念、銳角三角函數的定義等知識點，正確作出輔助線構建背靠背的直角三角形是解題的關鍵．如圖，過點D作，垂足為E，過點C作，垂足為F．然后解直角三角形求得，進而得到，證明四邊形AEFC為矩形求得海里，即海里，最后在中解直角三角形以及線段的和差即可解答．【詳解】解：如圖，過點D作，垂足為E，過點C作，垂足為F．在中，，，，∴海里．∵為等腰直角三角形，∴海里．根據題意得：四邊形AEFC為矩形，∴海里．∴海里，即海里．在中，，，∴，，∴海里．答：碼頭A和碼頭B的距離AB約為74海里．27．（23-24九年級上·河南周口·期末）小藝在某大學藝術學院就讀，她想借助學院前的臺階，測量學院對面雕塑的高度，如圖為雕塑和學院門口臺階的側面示意圖，為雕塑，為雕塑下端的平臺，為學院門口的臺階，已知B，D在同一水平線上（即），此時測得等于，點D距離地面高度為米，已知臺階的坡角為，米，求該雕塑的高度．（結果精確到米，參考數據：）【答案】雕塑的高度約為米【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是熟練掌握三角形函數的定義，先根據題意得出為等腰直角三角形，求出米，得出（米），根據，求出結果即可．【詳解】解：在中，米，臺階的坡角為，∴為等腰直角三角形，米，（米），由題意得，四邊形為矩形，米，在中，，，，解得米．答：雕塑的高度約為米28．（23-24九年級上·河南鶴壁·期末）在學習過“解直角三角形”一章的知識后，九年級某班的同學們為了鞏固學習成果，就地取材，利用所學的數學知識解決身邊問題．如圖1所示是教室內一只酒精消毒用的噴霧瓶的實物圖，其示意圖如圖2所示，．求按壓柄下端到導管的距離．（結果保留一位小數，參考數據：，）【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．過點作，垂足為，過點作，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點，則四邊形是矩形．根據題先利用平角定義求出，然后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，再利用平角定義求出，最后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，過點作，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點，則四邊形是矩形．由題意得，．在Rt中，，∴．∵，∴．在Rt中，，∴．∴．答：按壓柄下端到導管的距離約為．29．（23-24九年級上·河南洛陽·期末）風力發電是風靡全球的自然能源應用綠色設備，在我國應用更加廣泛．如圖是某風力發電設備示意圖，其相同的三個葉片均勻分布，水平地面上的點在旋轉中心的正下方．某一時刻，太陽光線恰好與扇葉在同一平面上，在地上設置高的標桿影長．此時太陽光垂直照射葉片（如左圖），整個風力發電設備的影子最長達到．已知風力發電桿高為，求扇葉的長和此時點到地面的距離．

【答案】扇葉的長為，點到地面的距離為【分析】本題考查了解直角三角形的應用，添加輔助線構造直角三角形是解題的關鍵；過B作于N，過O作于G；則可得四邊形是矩形，有；由同一時刻物高與影長的比相等，得，設，則可表示出，由，得，其正切值相等，得到關于x的方程，求得x，即可求得結果．【詳解】解：如圖，過B作于N，過O作于G；∵，∴四邊形是矩形，∴；∵同一時刻物高與影長的比相等，∴，設，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，解得：，∴，，，由勾股定理得：；∴扇葉的長為，點到地面的距離為．

30．（23-24九年級上·河南洛陽·期末）暴雨過后，校園的兩棵風景柏樹同時側傾在一起，如圖，較低的正好抵著高樹的中點．救援的小明等想知道高樹比低樹高多少（即的值），就通過測量得到了以下數據并進行計算：

(1)米，，取，他們設米，則用含的代數式表示______米，______米．由此列方程求解得______．(2)應用（1）的數據，求高樹比低樹高多少米（取1.4）．【答案】(1)(2)高樹比低樹高米【分析】本題考查解直角三角形的應用；（1）由正切關系求得，由列出方程即可求解；（2）由勾股定理求得，可求得，即可求得結果．【詳解】（1）解：由題意知，，∴（米），米，∵，∴，解得：；故答案為：；（2）解：由（1）知，米，米，在中，由勾股定理得：米，（米）∴米，∴（米）即高樹比低樹高米．31．（2023·河南·中考真題）綜合實踐活動中，某小組用木板自制了一個測高儀測量樹高，測高儀為正方形，，頂點A處掛了一個鉛錘M．如圖是測量樹高的示意圖，測高儀上的點D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線交于點H．經測量，點A距地面，到樹的距離，．求樹的高度（結果精確到）．【答案】樹的高度為【分析】由題意可知，，，易知，可得，進而求得，利用即可求解．【詳解】解：由題意可知，，，則，∴，∵，，則，∴，∵，則，∴，∴，答：樹的高度為．32．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）某設計師結合數學知識設計一款沙發，沙發三視圖如圖一所示，將沙發側面展示圖簡化后，得到圖二所示圖形．為了解沙發相關性能，設計師將圖形放入平面直角坐標系，其中曲線AB是反比例函數的一段圖像，線段BD是一次函數：的一段圖像，點，沙發腿軸．請你根據圖形解決以下問題：(1)請求出反比例函數表達式和一次函數表達式（不要求寫x的取值范圍）；(2)過點A向x軸作垂線，交x軸于點F．已知，，，設計師想用一個長方體箱子將沙發放進去，則這個長方體箱子長、寬、高至少分別是多少？【答案】(1)反比例函數表達式為，一次函數表達式為(2)長方體箱子的長、寬、高至少應該是60、52、80【分析】（1）將B點坐標代入反比例函數表達式求出k的值，進而求出反比例函數表達式，將B點坐標代入一次函數表達式求出b的值，進而求出一次函數表達式；（2）作軸于M，先根據三角函數求出的值，進而求出高的值，將代入一次函數表達式即可求出長和寬．【詳解】（1）將B點坐標代入反比例函數表達式：∴反比例函數表達式為代入一次函數表達式得：，解得，∴一次函數表達式為（2）如圖，作軸于M，∵，∴，∵∴∵∴當時，∴∴∵∴把代入一次函數表達式得∴，即長為60∴根據三視圖可得：長方體箱子的長、寬、高至少應該是60、52、80．題型五三角函數測高33．（20-21九年級上·河南信陽·期末）下表是小亮填寫的實踐活動報告的部分內容：題目測量樹頂到地面的距離測量目標示意圖相關數據米，，設樹頂到地面的高度米，根據以上條件，可以列出求樹高的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據∠β=45°，得出BC＝CD＝x，再根據，用它的正切列方程即可．【詳解】解：∵，∴BC＝CD＝x，∵AB＝30，∴AC＝x+30，∴tan28°＝，∴x＝（x+30）tan28°，故選：B．34．（22-23九年級上·河南南陽·期末）如圖是攔水壩的橫斷面．斜坡AB的坡度為1：2，BC⊥AE，垂足為點C，AC長為12米，則斜坡AB的長為米．【答案】6．【詳解】試題分析：根據坡度的概念和已知求出BC，根據勾股定理求出斜坡AB的長．解：∵斜坡AB的坡度為1：2，∴=，又AC=12，∴BC=6，∴AB==6，故答案為6．35．（22-23九年級上·河南安陽·期末）小敏同學測量一建筑物CD的高度，她站在B處仰望樓頂C，測得仰角為30°，再往建筑物方向走30m，到達點F處測得樓頂C的仰角為45°（BFD在同一直線上）．已知小敏的眼睛與地面距離為1.5m，求這棟建筑物CD的高度（參考數據：，．結果保留整數）【答案】42．【詳解】試題分析：延長AE交CD于點G，設CG=xm，在Rt△CGE中利用x表示出EG，在Rt△ACG中，利用x表示出AG，根據AE=AG﹣EG即可列方程求得x的值，進而球兒CD的長．試題解析：延長AE交CD于點G．設CG=xm，在直角△CGE中，∠CEG=45°，則EG=CG=xm．在直角△ACG中，AG==m．∵AG﹣EG=AE，∴，解得：x=≈15×2.732≈40.98（m）．則CD=40.98+1.5=42.48（m）．答：這棟建筑物CD的高度約為42m．36．（22-23九年級上·河南鶴壁·期末）如圖，某校數學興趣小組為測得校園里旗桿AB的高度，在操場的平地上選擇一點C，測得旗桿頂端A的仰角為30o，再向旗桿的方向前進16米，到達點D處(C，D，B三點在同一直線上)，又測得旗桿頂端A的仰角為45o，請計算旗桿AB的高度(結果保留根號)．【答案】旗桿AB的高度是（8+8）米．【分析】根據銳角三角函數可得（CD+DB）×=BD×1，解得BD，從而可以求得AB的高度．【詳解】，解：由題意可得，CD=16米，∵AB=CB?tan30°，AB=BD?tan45°，∴CB?tan30°=BD?tan45°，∴（CD+DB）×=BD×1，解得BD=8+8，∴AB=BD?tan45°=（8+8）米，即旗桿AB的高度是（8+8）米．37．（22-23九年級上·河南周口·期末）縣某初中興趣小組在實踐課上計劃用所學到的知識測量學校附近一樓房的高度，由于到樓房底部的水平距離不易測量，他們通過實地觀察、分析，制訂了可行的方案，并進行了實地測量．已知樓房前有一斜坡，它的坡度．他們先在坡面處測量樓房頂部的仰角，接著沿坡面向下走到坡腳處，然后向樓房的方向繼續行走至處，再次測量樓房頂部的仰角，并測量了、之間的距離，最后測量了坡面、之間的距離．為了減少測量誤差，小組在測量仰角以及距離時，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結果（測角儀高度忽略不計），如下表：項目內容課題測量學校附近樓房的高度測量示意圖說明：測點D、E與點C、B都在同一水平面上測量數據測量項目第一次第二次平均值仰角的度數30.2°29.8°30°仰角的度數60.1°59.9°60°、之間的距離5.1米4.9米5米、之間的距離9.8米10.2米……任務一：兩次測量，之間的距離的平均值是________米；任務二：請你幫助該小組根據上表中的測量數據，求出學校附近樓房的高．（結果精確到0.1米．參考數據：，）【答案】任務一：10；任務二：樓房的高為19.3米．【分析】任務一：直接用平均數公式計算即可；任務二：過點作于點；作于點，交于點．過點作于點，根據坡比求，解△DCG、△EHP、△AFH即可．【詳解】解：任務一：（米），故答案