2025/1/25第七講C組沖擊金牌重點中學與你有約數學解題技巧2.如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當CQ=CE時，EP+BP=

．一讀關鍵詞：三角形、中點、邊的關系、平分線二聯重要結論：相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、三角形中位線定理；重要方法：綜合分析三解解：四悟延長BQ構造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解題的關鍵，也是本題的難點如圖，延長BQ交射線EF于M，∵E、F分別是AB、AC的中點，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分線，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案為：12．重點中學與你有約數學解題技巧3.如圖，AB∥GH∥CD，點H在BC上，AC與BD交于點G，AB=2，CD=3，則GH的長為

．一讀關鍵詞：平行線、線段的長二聯重要結論：平行線分線段成比例；重要方法：分析計算三解解：四悟熟練運用等式的性質進行計算,本題難度適中∵AB∥GH，

①

∵GH∥CD，

②①+②，得

解得GH=故答案為

重點中學與你有約數學解題技巧4.如圖，△ABC中，∠ACB=2∠ABC，求證：AB2=AC2+AC?BC．一讀關鍵詞：三角形、角的關系二聯重要結論：相似三角形的判定與性質；重要方法：分析推理三解解：四悟本題中求證△ABC∽△ADB是解題的關鍵證明：延長AC至D，使CD=BC，連接BD，∵BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，∵∠ACB=2∠ABC，∠ACB=∠CBD+∠CDB，∴∠D=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，∴即AB2=AC?AD=AC（AC+CD）=AC2+AC?BC．重點中學與你有約數學解題技巧5.如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并延長DP交邊AB于點E，連接BP并延長交邊AD于點F，交CD的延長線于點G．（1）求證：△APB≌△APD；（2）已知DF：FA=1：2，設線段DP的長為x，線段PF的長為y．①求y與x的函數關系式；②當x=6時，求線段FG的長．一讀關鍵詞：菱形、線段間的關系二聯重要結論：相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、菱形的性質；重要方法：分析計算三解解：（1）證明：∵點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，∵在△APB和△APD中

∴△APB≌△APD（SAS）；重點中學與你有約數學解題技巧三解解：

（2）①∵△APB≌△APD，∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，∵在△DFP和△BEP中，

∴△DFP≌△BEP（ASA），∴PF=PE，DF=BE，∵四邊形ABCD是菱形，∴GD∥AB，∴∵DF：FA=1：2，∴∵

∴y=x；重點中學與你有約數學解題技巧三解解：四悟根據平行關系得出DG：AB,BE：AB的值是解題關鍵②當x=6時，y=×6=4，∴PF=PE=4，DP=PB=6，∵∴解得：FG=5，故線段FG的長為5．重點中學與你有約數學解題技巧6.我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性質，如關于線段比．面積比就有一些“漂亮”結論，利用這些性質可以解決三角形中的若干問題．請你利用重心的概念完成如下問題：（1）若O是△ABC的重心（如圖1），連結AO并延長交BC于D，證明：（2）若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點，且滿足

，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；（3）若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點重合）（如圖3），S四邊形BCHG，S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究

的最大值．重點中學與你有約數學解題技巧一讀關鍵詞：三角形的重心二聯重要結論：相似的綜合題、三角形的重心；重要方法：綜合分析三解解：（1）證明：如答圖1所示，連接CO并延長，交AB于點E．∵點O是△ABC的重心，∴CE是中線，點E是AB的中點．∴DE是中位線，∴DE∥AC，且DE=AC．∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE，∴

∵AD=AO+OD，∴重點中學與你有約數學解題技巧三解解：（2）答：點O是△ABC的重心．證明：如答圖2，作△ABC的中線CE，與AD交于點Q，則點Q為△ABC的重心．由（1）可知，

而∴點Q與點O重合（是同一個點），∴點O是△ABC的重心．（3）解：如答圖3所示，連接DG．設S△GOD=S，由（1）知

，即OA=2OD，∴S△AOG=2S，S△AGD