PAGE5-章末復習課[整合·網絡構建][警示·易錯提示]1．正確區分“分類”與“分步”，恰當地進行分類，使分類后不重、不漏．2．正確區分是組合問題還是排列問題，要把“定序”和“有序”區分開來．3．正確區分分堆問題和安排問題．4．二項式定理的通項公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk是第(k＋1)項，而不是第k項，留意其指數規律．5．求二項式綻開式中的特定項(如：系數最大的項、二項式系數最大的項、常數項、含某未知數的次數最高的項、有理項……)時，要留意n與k的取值范圍．6．留意區分“某項的系數”與“某項的二項式系數”，綻開式中“二項式系數的和”與“各項系數的和”，“奇(偶)數項系數的和”與“奇(偶)次項系數的和”．專題一兩個計數原理的應用分類加法計數原理和分步乘法計數原理是本章學問的基礎，應用兩個計數原理解決應用問題時主要考慮三方面的問題：(1)要做什么事；(2)如何去做這件事；(3)怎樣才算把這件事完成了．并留意計數原則：分類用加法，分步用乘法．[例1]現有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()高中數學A.144種 B．72種C．64種 D．84種解析：法一依據所用顏色的種數分類第一類：用4種顏色涂，方法有Aeq\o\al(4,4)＝4×3×2×1＝24(種)．其次類：用3種顏色，必需有一條對角區域涂同色，方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,3)＝48(種)．第三類：用2種顏色，對角區域各涂一色，方法有Aeq\o\al(2,4)＝12(種)．依據加法原理，不同的涂色方法共有24＋48＋12＝84(種)．法二依據“高”“學”是否為同色分類第一類：區域“高”與“學”同色，從4色中選1色，有Ceq\o\al(1,4)種方法，其余區域“中”“數”各有3種方法，共有4×3×3＝36(種)．其次類：區域“高”與“學”不同色，區域“高”有4種方法，區域“學”有3種方法，區域“中”“數”各有2種方法，共有4×3×2×2＝48(種)．依據加法原理，方法共有36＋48＝84(種)．答案：D歸納升華1.對于一些比較困難的既要運用分類加法計數原理又要運用分步乘法計數原理的問題，我們可以恰當地畫出示意圖或列出表格，使問題更加直觀、清楚．2．當兩個原理混合運用時，一般是先分類，在每類方法里再分步．[變式訓練]甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數分別是0，0，2，1，5，為遵守當地某月5日至9日5天的限行規定(奇數日車牌尾數為奇數的車通行，偶數日車牌尾數為偶數的車通行)，五人協商拼車出行，每天任選一輛符合規定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數為()A．5 B．24C．32 D．64解析：5日至9日，有3天奇數日，2天偶數日，第一步支配奇數日出行，每天都有2種選擇，共有23＝8(種)，其次步支配偶數日出行分兩類，第一類，先選1天支配甲的車，另外一天支配其他車，有2×2＝4(種)．其次類，擔心排甲的車，每天都有2種選擇，共有22＝4(種)，共計4＋4＝8(種)．依據分步乘法計數原理，不同的用車方案種數共有8×8＝64(種)．答案：D專題二排列組合應用題排列組合應用題是高考的一個重點內容，常與實際問題相結合進行考查．要仔細閱讀題干，明確問題本質，利用排列組合的相關公式與方法解題．1．合理分類，精確分步．[例2](1)將5個不同的球放入4個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，則不同放法共有________種．()A．480 B．360C．240 D．120(2)一條長椅上有7個座位，4個人坐，要求3個空位中，恰有2個空位相鄰，共有________種不同的坐法．解析：(1)將5個不同的球分成4組，其中有一組有2個球，其余各有1球，有Ceq\o\al(2,5)種分法．把分組的球放入4個不同的盒子中有Aeq\o\al(4,4)種放法．所以由分步乘法原理不同的放法共有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝240(種)．(2)先讓4人坐在4個位置上，有Aeq\o\al(4,4)種排法，再讓2個元素(一個是兩個空位作為一個整體，另一個是單獨的空位)插入4個人形成的5個“空當”之間，有Aeq\o\al(2,5)種插法，所以所求的坐法數為Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480(種)．答案：(1)C(2)480歸納升華解排列組合應用題應遵循三大原則，駕馭基本類型，突出轉化思想．(1)三大原則：先特殊后一般的原則、先取后排的原則、先分類后分步的原則．(2)基本類型主要包括：排列中的“在”與“不在”問題、組合中的“含”與“不含”問題、“相鄰”與“不相鄰”問題、分組問題等．(3)轉化思想：把一些排列組合問題與基本類型相聯系，從而把這些問題轉化為基本類型，然后加以解決．[變式訓練](1)某班班會打算從甲、乙等7名學生中選派4名進行發言，要求甲、乙兩人至少有一人參與．當甲、乙同時參與時，他們兩人的發言不能相鄰．那么不同的發言依次的種數為()A．360 B．520C．600 D．720(2)某校高二年級共有6個班級，現從外地轉入4名學生，要支配到該年級的兩個班級且每班支配2名，則不同的支配方案種數為________．解析：(1)當甲或乙只有一人參與時，不同的發言依次的種數為2Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝480；當甲、乙同時參與時，不同的發言依次的種數為Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,3)＝120.所以不同的發言依次的種數為480＋120＝600.(2)把新轉來的4名學生平均分兩組，每組2人，分法有eq\f(Ceq\o\al(2,4),Aeq\o\al(2,2))＝3(種)，把這兩組人支配到6個班中的某2個班中去，有Aeq\o\al(2,6)種方法，故不同的支配種數為3Aeq\o\al(2,6)＝90.答案：(1)C(2)90專題三二項式定理的應用二項式定理是歷年高考中的必考內容，解決二項式定理問題，特殊是涉及求二項綻開式的通項的問題，關鍵在于抓住通項公式，還要留意區分“二項式系數”與“綻開式系數”．[例8](1)(2024·山東卷)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(5)的綻開式中x5的系數是－80，則實數a＝________．(2)設(3x－1)6＝a6x6＋a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a6＋a4＋a2＋a0＝________．解析：(1)Tr＋1＝a5－rCeq\o\al(r,5)x10－eq\f(5,2)r，令10－eq\f(5,2)r＝5，解之得r＝2，所以a3Ceq\o\al(2,5)＝－80，a＝－2.(2)令x＝1，得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝26＝64；令x＝－1，得a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝4096.兩式相加，得2(a6＋a4＋a2＋a0)＝4160，所以a6＋a4＋a2＋a0＝2080.答案：(1)－2(2)2080歸納升華(1)區分“項的系數”與“二項式系數”．項的系數與a，b有關，可正可負；二項式系數只與n有關，恒為正數．(2)切實理解“常數項”“有理項(字母指數為整數)”“系數最大的項”等概念．(3)求綻開式中的指定項，要把該項完整寫出，不能僅僅說明是第幾項．(4)賦值法求綻開式中的系數和或部分系數和，常賦的值為0，±1等．[變式訓練]已知bxn＋1＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，對隨意x∈R恒成立，且a1＝9，a2＝36，則b＝()A．4 B．3C．2 D．1解析：因為bxn＋1＝b[(x－1)＋1]n＋1，所以b[(x－1)＋1]n＋1＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n.因此eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝Ceq\o\al(n－1,n)·b＝n·b＝9，,a2＝Ceq\o\al(n－2,n)·b＝\f(n（n－1）b,2)＝36.))所以n－1＝8，則n＝9，從而b＝1.答案：D專題四分類探討思想分類探討思想在解決排列組合問題時常常應用，此類問題一般狀況繁多，因此要對各種不同的狀況進行合理的分類與精確的分步，以便有條不紊地進行解答，避開重復或遺漏的現象發生．[例9]形如45132的數稱為“波浪數”，即十位數字，千位數字均比與它們各自相鄰的數字大，則由1，2，3，4，5可構成不重復的五位“波浪數”的個數為()A．20 B．18C．16 D．11解析：由題意可知，十位和千位數字只能是4，5或3，5，若十位和千位排4，5，則其他位置隨意排1，2，3，這樣的數有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12(個)；若十位和千位排5，3，這時4只能排在5的一邊且不能和其他數字相鄰，1，2在其余位置上隨意排列，這樣的數有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝4(個)，綜上，共有16個．答案：C歸納升華排列組合的綜合問題一般比較困難，分類方法也敏捷多變．一般有以下一些分類方式：(1)依據元素分類，又包括依據特殊元素分類，依據元素特征分類，依據特殊元素的個數分類；(2)依據特殊位置分類；(3)依據圖形分類，又包括依據圖形的特征分類，依據圖形的種類分類；(4)依據題設條件分類．[變式訓練](2024·浙江卷)從1，3，5，7，9中任取2個數字，從0，2，4，6中任取2個數字，一共可以組成________個沒有重復數字的四位數(用數字作