第2章一元一次不等式與一元一次不等式組章末重難點題型總結【北師大版】【考點1不等式的定義】【方法點撥】不等式的概念：用“＞”或“＜”號表示大小關系的式子，叫做不等式，用“≠”號表示不等關系的式子也是不等式．

凡是用不等號連接的式子都叫做不等式．常用的不等號有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知數，也可不含未知數．【例1】（2020春?叢臺區校級期中）式子①x﹣y＝2②x≤y③x+y④x2﹣3y⑤x≥0⑥12xA．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式1-1】（2020春?巴州區校級期中）在下列數學表達式：①﹣2＜0，②2x﹣5≥0，③x＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+2＜x﹣1中，是不等式的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式1-2】（2020春?葉集區期末）式子：①2＞0；②4x+y≤1；③x+3≠0；④y﹣7；⑤m﹣2.5＞3．其中不等式有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-3】（2020春?畢節市期中）老師在黑板上寫了下列式子：①x﹣1≥1；②﹣2＜0；③x≠3；④x+2；⑤x?12y＝0；⑥x+2A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點2不等式的基本性質】【方法點撥】不等式的基本性質：（1）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變；（3）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變．【例2】（2020春?開封期末）下列不等式的變形正確的是（）A．若a＜b，且c≠0，則ac＜bc B．若a＞b，則1+a＜1+b C．若ac2＜bc2，則a＜b D．若a＞b，則ac2＞bc2【變式2-1】（2020春?江陰市期末）若a＜b，則下列不等式一定成立的是（）A．a+2c＜b+2c B．2c﹣a＜2c﹣b C．a+2c＞b+2c D．2ac＜2bc【變式2-2】（2020春?福田區期中）下列不等式變形錯誤的是（）A．若a＞b，則1﹣a＜1﹣b B．若a＜b，則ax2≤bx2 C．若ac＞bc，則a＞b D．若m＞n，則m【變式2-3】（2020春?泰山區期末）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a+c＜b B．a﹣c＞b﹣c C．ac+1＜bc+1 D．a（c﹣2）＜b（c﹣2）【考點3不等式性質的運用】【方法點撥】含字母系數的不等式的解法，有一定難度，注意不等式兩邊同乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．【例3】（2020春?南崗區校級月考）如果一元一次不等式（m+2）x＞m+2的解集為x＜1，則m必須滿足的條件是（）A．m＜﹣2 B．m≤﹣2 C．m＞﹣2 D．m≥﹣2【變式3-1】（2020春?郯城縣校級期末）如果關于x的不等式（a+2020）x﹣a＞2020的解集為x＜1，那么a的取值范圍是（）A．a＞﹣2020 B．a＜﹣2020 C．a＞2020 D．a＜2020【變式3-2】（2020春?仁壽縣期中）若不等式ax?52?2?ax4＞A．3 B．4 C．﹣4 D．以上答案都不對【變式3-3】（2020?回民區二模）如果不等式（a﹣2）x＞2a﹣5的解集是x＜4，則不等式2a﹣5y＞1的解集是（）A．y＜52 B．y＜25 C．y＞【考點4解一元一次不等式及不等式組】【方法點撥】根據不等式的性質解一元一次不等式

基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數為1．以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數為1可能用到性質3，即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．

不等式組的解的求解過程：分別求出每個不等式的解、把兩個不等式的解表示在同一數軸上、取公共部分作為不等式組的解（若沒有公共部分則無解）.口訣：大大取大，小小取小，大小小大兩頭夾，大大小小是無解.【例4】（2020春?福山區期末）解下列不等式（組），并把解集表示在數軸上．2x+135x?4≤2+7x【變式4-1】（2020春?河南期末）解不等式：2x?1.50.5【變式4-2】（2020春?思明區校級月考）x取何正整數時，代數式x+13?2x?1【變式4-3】（2020春?東阿縣期末）根據要求解不等式組．（1）2x?6＜3xx+2（2）2x?13【考點5一次函數與一元一次不等式】【方法點撥】一次函數與一元一次不等式的關系：從函數的角度看，就是尋求使一次函數y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合．【例5】（2020春?壽光市期末）如圖，一次函數y＝kx+b的圖象經過點A（0，3），B（4，﹣3），則關于x的不等式kx+b+3＜0的解集為（）A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3【變式5-1】（2020?徐州一模）如圖是一次函數y1＝kx+b與y2＝x+a的圖象，則不等式kx﹣x＜a﹣b的解集是（）A．x＜3 B．x＞3 C．x＜a+b D．x＞a﹣b【變式5-2】（2019秋?南潯區期末）如圖，直線y＝ax+b與x軸交于點A（4，0），與直線y＝mx交于點B（2，n），則關于x的不等式組0＜ax﹣b＜mx的解集為（）A．﹣4＜x＜﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．2＜x＜4【變式5-3】（2020春?東昌府區期末）如圖所示，直線y＝﹣x+m與y＝nx+4n（n≠0）的交點的橫坐標為﹣2，則關于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整數解有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．無數個【考點6方程（組）的解構造不等式（組）求字母范圍】【方法點撥】不等式組的解的求解過程：分別求出每個不等式的解、把兩個不等式的解表示在同一數軸上、取公共部分作為不等式組的解（若沒有公共部分則無解）.口訣：大大取大，小小取小，大小小大兩頭夾，大大小小是無解.【例6】（2020春?龍華區校級期末）已知關于x的方程5x+m3?x?12=m【變式6-1】（2020春?高州市期末）已知關于x，y的二元一次方程組2x+y=1+2mx+2y=2?m的解滿足不等式x+y為非負數，求實數m【變式6-2】（2020秋?大渡口區月考）已知方程組3x+y=?13+mx?y=1+3m的解滿足x為非正數，y（1）求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下，若不等式（2m+1）x﹣2m＜1的解為x＞1，請寫出整數m的值．【變式6-3】（2020春?洪山區期末）已知關于x、y的方程組3x?y=2a?5x+2y=3a+3的解都為正數，且滿足a+b＝4，b＞0，z＝a﹣3b，則zA．﹣8＜z＜4 B．﹣7＜z＜8 C．﹣7＜z＜4 D．﹣8＜z＜8【考點7根據不等式（組）的解集求字母范圍】【例7】（2020春?章丘區期末）若不等式2x+53?1≤2﹣x的解集中x的每一個值，都能使關于x的不等式2x+m＜1成立，則A．m＜?35 B．m≤?35 C．m＞?【變式7-1】（2020春?邗江區期末）已知x＝4是不等式mx﹣3m+2≤0的解，且x＝2不是這個不等式的解，則實數m的取值范圍為（）A．m≤﹣2 B．m＜2 C．﹣2＜m≤2 D．﹣2≤m＜2【變式7-2】（2020春?渝中區校級期末）關于x的方程3﹣2x＝3（k﹣2）的解為非負整數，且關于x的不等式組x?2(x?1)≥32k+x3≤xA．5 B．2 C．4 D．6【變式7-3】已知不等式組2x?3a＜7b+26b?3x?3＜5b①若它的解集是4＜x＜23，求a，b的取值．②若a＝b，且上述不等式無解，求a的取值范圍．【考點8利用整數解求字母取值范圍】【例8】（2020春?惠安縣期末）已知關于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且僅有三個正整數解，則滿足條件的整數a的個數是（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【變式8-1】（2020春?長沙期末）關于x的不等式組52x+1＞3A．1＜a≤3 B．1≤a＜3 C．3＜a≤5 D．3≤a＜5【變式8-2】（2020春?津南區校級期末）已知關于x的不等式組x?m＞02x?n≤0的整數解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，若m，n為整數，則m+nA．3 B．4 C．5或6 D．6或7【變式8-3】（2020春?萬州區期末）已知關于x、y的方程組ax+3y=12x?3y=0的解為整數，且關于x的不等式組2(x+1)＜x+53x＞a?4有且僅有5個整數解，則所有滿足條件的整數A．﹣1 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣6【考點9不等式（組）中的新定義問題】【例9】（2020春?高郵市期末）我們定義：如果兩個一元一次不等式有公共整數解，那么稱這兩個不等式互為“云不等式”，其中一個不等式是另一個不等式的“云不等式”．（1）不等式x≥2x≤2的“云不等式”：（填“是”或“不是”）．（2）若關于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+1的“云不等式”，求m的取值范圍；（3）若a≠﹣1，關于x的不等式x+3＞a與不等式ax﹣1≤a﹣x互為“云不等式”，求a的取值范圍．【變式9-1】（2020春?椒江區期末）規定min（m，n）表示m，n中較小的數（m，n均為實數，且mn），例如：min{3，﹣1}＝﹣1，、min{2（1）min{?12，?1（2）若min{2x?13，2}=（3）若min{2x﹣5，x+3}＝﹣2，求x的值．【變式9-2】（2020春?丹陽市校級期末）定義一種新運算“a※b”：當a≥b時，a※b＝2a+b；當a＜b時，a※b＝2a﹣b．例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．（1）填空：（﹣2）※3＝；（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），則x的取值范圍為；（3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范圍；（4）小明在計算（2x2﹣2x+4）※（x2+4x﹣6）時隨意取了一個x的值進行計算，得出結果是0，小麗判斷小明計算錯了，小麗是如何判斷的？請說明理由．【變式9-3】（2019秋?九龍坡區校級月考）定義：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的“相伴方程”．例如：方程2x﹣6＝0的解為x＝3，不等式組x?2＞0x＜5的解集為2＜x＜5．因為2＜3＜5．所以稱方程2x﹣6＝0為不等式組x?2＞0（1）若關于x的方程2x﹣k＝2是不等式組3x?6＞4?xx?1≥4x?10的相伴方程，求k（2）若方程2x+4＝0，2x?13=?1都是關于x的不等式組(m?2)x＜m?2x+5≥m（3）若關于x的不等式組?x＞?2x+12x≤n+2的所有相伴方程的解中，有且只有2個整數解，求n【考點10不等式（組）的應用（程序框圖）】【例10】（2020春?渝中區校級期末）如圖，按下面的程序進行運算．規定：程序運行到“判斷結果是否大于28”為一次運算．若運算進行了3次才停止，則x的取值范圍是（）A．2＜x≤4 B．2≤x＜4 C．2＜x＜4 D．2≤x≤4【變式10-1】（2020春?南岸區期末）如圖，規定程序運行到“判斷結果是否大于100”為第一次運算，若運算進行了三次才停止，則滿足條件的整數x的個數為．【變式10-2】（2020?浙江自主招生）按下列程序進行運算（如圖）規定：程序運行到“判斷結果是否大于244”為一次運算．若x＝5，則運算進行次才停止；若運算進行了5次才停止，則x的取值范圍是．【變式10-3】（2020春?朝陽區期末）在近幾年的兩會中，有多位委員不斷提出應在中小學開展編程教育，2019年3月教育部公布的《2019年教育信息化和網絡安全工作要點》中也提出將推廣編程教育．某學校的編程課上，一位同學設計了一個運算程序，如圖所示．按上述程序進行運算，程序運行到“判斷結果是否大于23”為一次運行．（1）若x＝5，直接寫出該程序需要運行多少次才停止；（2）若該程序只運行了2次就停止了，求x的取值范圍．【考點11不等式（組）的應用（得分問題）】【例11】（2020春?金水區校級月考）某次知識競賽共有20道題，規定每答對一題得10分，答錯或不答都扣5分，小明得分要超過120分，他至少要答對多少道題？如果設小明答對x道題，根據題意得（）A．10x﹣5（20﹣x）≥120 B．10x﹣5（20﹣x）≤120 C．10x﹣5（20﹣x）＜120 D．10x﹣5（20﹣x）＞120【變式11-1】（2020秋?解放區校級月考）在某校班級籃球聯賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得3分，負一場得1分，如果某班要在第一輪的28場比賽中至少得43分，那么這個班至少要勝場．【變式11-2】（2019春?南京期末）某次知識競賽共有20道題，答對一題得5分，不答得0分、答錯扣3分小明有3題沒答，若競賽成績要超過60分，則小明至少答對幾道題？【變式11-3】（2019春?德惠市期末）一次智力測驗，共設20道選擇題，評分標準為：對1題得a分，答錯或不答1題扣b分．下表記錄了2名參賽學生的得分情況．參賽學生答對題數答錯或不答題數得分甲18288乙101040（1）若參賽學生小亮只答對了16道選擇題，則小亮的得分是多少？（2）參賽學生至少要答道題，總分才不會低于60分．【考點12不等式（組）的應用（銷售問題）】【例12】（2020?朝陽）某品牌襯衫進價為120元，標價為240元，商家規定可以打折銷售，但其利潤率不能低于20%，則這種品牌襯衫最多可以打幾折？（）A．8 B．6 C．7 D．9【變式12-1】（2020春?太平區期末）一工廠以90元/每箱的價格購進100箱原材料，準備由甲、乙兩個車間全部用于生產某種產品，甲車間用每箱原材料可生產出該產品12千克，乙車間用每箱原材料可生產出的該產品比甲車間少2千克，已知該產品的售價為40元/千克，生產的產品全部售出，那么原材料最少分配給甲車間多少箱，才能使去除成本后所獲得的總利潤不少于35000元？【變式12-2】（2020春?孝義市期末）為進一步提升摩托車、電動自行車騎乘人員和汽車駕乘人員安全防護水平，公安部交通管理局部署在全國開展“一盔一帶”安全守護行動．某商店銷值A，B兩種頭盔，批發價和零售價格如下表所示：名稱A種頭盔B種頭盔批發價（元/kg）6040零售價（元/kg）8050請解答下列問題．（1）第一次，該商店批發A，B兩種頭盔共100個，用去4600元錢，求A，B兩種頭盔各批發了多少個？（2）第二次，該商店用6900元錢仍然批發這兩種頭盔（批發價和零售價不變），要想將第二次批發的兩種頭盔全部售完后，所獲利潤率不低于30%，則該超市第二次至少批發A種頭盔多少個？【變式12-3】（2020春?衡陽期末）超市購進一批A、B兩種品牌的飲料共320箱，其中A品牌比B品牌多80箱．此兩種飲料每箱的進價和售價如下表所示：品牌AB進價（元/箱）5535售價（元/箱）6340（1）問銷售一箱B品牌的飲料獲得的利潤是多少元？（注：利潤＝售價﹣進價）（2）問該商場購進A、B兩種品牌的飲料各多少箱？（3）受市場經濟影響，該商場調整銷售策略，A品牌的飲料每箱打折銷售，B品牌的飲料每箱售價改為38元．為使新購進的A、B兩種品牌的飲料全部售出且利潤不少于700元，問A種品牌的飲料每箱最低打幾折出售？【考點13不等式（組）的應用（方案問題）】【例13】（2020春?防城港期末）自治區發展和改革委員會在2019年11月印發《廣西壯族自治區新能源汽車推廣應用攻堅行動方案》，力爭到2020年底，全區新能源汽車保有量比攻堅行動前增長100%，達到14.6萬輛以上，某汽車專賣店銷售A，B兩種型號的新能源汽車．上周售出2輛A型車和1輛B型車，銷售額為62萬元；本周已售出3輛A型車和2輛B型車，銷售額為106萬元．（1）求每輛A型車和B型車的售價各為多少萬元．（2）甲公司擬向該店購買A，B兩種型號的新能源汽車共6輛，且A型號車至少購買1輛，購車費不少于130萬元，則有哪幾種購車方案？【變式13-1】（2020秋?三水區校級月考）現計劃把甲種貨物306噸和乙種貨物230噸運往某地．已知有A、B兩種不同規格的貨車共50輛，如果每輛A型貨車最多可裝甲種貨物7噸和乙種貨物3噸，每輛B型貨車最多可裝甲種貨物5噸和乙種貨物7噸．（1）裝貸時按此要求安排A、B兩種貨車的輛數，共有幾種方案？（2）使用A型車每輛費用為600元，使用B型車每輛費用800元．在上述方案中，哪個方案運費最省？最省的運費是多少元？（3）在（2）的方案下，現決定對貨車司機發共2100元的安全獎，已知每輛A型車獎金為m元．每輛B型車獎金為n元，38＜m＜n．且m、n均為整數，求此次獎金發放的具體方案．【變式13-2】（2020春?廬陽區校級月考）某體育用品店準備購進甲，乙品牌乒乓球兩種，若購進甲種乒乓球10個，乙種乒乓球5個，需要100元，若購進甲種乒乓球5個，乙種乒乓球3個，需要55元．（1）求購進甲，乙兩種乒乓球每個各需多少元？（2）若該體育用品店剛好用了1000元購進這兩種乒乓球，考慮顧客需求，要求購進甲種乒乓球的數量不少于乙種乒乓球數量的6倍，且乙種乒乓球數量不少于23個，那么該文具店共有哪幾種進貨方案？（3）若該體育用品店銷售每只甲種乒乓球可獲利潤3元，銷售每只乙種乒乓球可獲利潤4元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？【變式13-3】（2020春?日照期末）2020年春，我國遭受了罕見的新冠病毒疫情，“病毒無情人有情”．某單位給武漢捐獻一批口罩和藥物共1000件，其中口罩比藥物多120件．（1）求口罩和藥物各有多少件？（2）現計劃租用甲乙兩種貨車共10輛，一次性將這批口罩和藥物全部運往該鄉中小學．已知每輛甲種貨車最多可裝口罩80件和藥物40件，每輛乙種貨車最多可裝口罩和藥物各50件，那么運輸部門安排甲、乙兩種貨車時有哪幾種方案？（3）在（2）的條件下，如果甲種貨車每輛需付運費400元，乙種貨車每輛需付運費360元，運輸部門應選擇哪種方案可使運費最少？最少運費是多少元？【考點14不等式（組）的應用（分段計費問題）】【例14】（2020春?思明區校級期末）為鼓勵市民節約用電，某市對居民用電實行“階梯收費”（總電費＝第一階梯電費+第二階梯電費）．規定：用電量不超過200度按第一階梯電價收費，超過200度的部分按第二階梯電價收費，如圖是劉鷺家2019年2月和3月所交電費的收據（度數均取整數）．（1）該市規定的第一階梯電費和第二階梯電費單價分別為多少？（2）劉鷺家4月份家庭支出計劃中電費不超過120元，她家最大用電量為多少度？【變式14-1】（2020春?江岸區期末）為了促進消費，端午節期間，甲乙兩家商場以同樣的價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同促銷方案：甲商場的優惠方案：購物價格累計超過200元后，超出200元部分按70%付費；乙商場的優惠方案：購物價格累計超過100元后，超出100元部分按75%付費；若某顧客準備購買標價為x（x＞200）元的商品，（1）在甲商場購買的優惠價為元，在乙商場購買的優惠價為元；（均用含x的式子表示）（2）顧客到哪家商場購物花費少？寫出解答過程；（3）乙商場為了吸引顧客，采取了進一步的優惠：購物價格累計超過100元后，但不超過1000元，超出100元部分按75%付費；超過1000元后，超出100