（每日一練）高中數學第四章指數函數與對數函數基礎知識點歸納總結

高中數學第四章指數函數與對數函數基礎知識點歸納總結

單選題

1、若％不是二次函數y=/—5%+6的兩個零點，則的值為（）

X1x2

A.-jB.-jC.I

答案：D

分析：解方程可得小二2,乃二3,代入運算即可得解.

由題意，令/-5%+6=0,解得%二2或3,

不妨設.二29二3,代入可得g+g弓+

X]X2Zoo

故選：D.

2、將進貨價為每個80元的商品按90元一個出售時，能賣出400個，每漲價1元，銷售量就減少20個，為了

使商家利潤有所增加，則售價Q（元/個）的取值范圍應是（）

A.90<a<100B.90<a<110C.100<a<HOD.80<a<100

答案：A

分析：首先設每個漲價%元，漲價后的利潤與原利潤之差為y元，結合條件列式，根據y>o,求％的取值范圍、

即可得到a的取值范圍.

設每個漲價“元，漲價后的利潤與原利潤之差為y元，

則a=x+90,y-(10+x)-(400-2Ox)-10x400--20x2+200x.

要使商家利潤有所增加，則必須使y>0,即/一10%VO,得0VxV10,，90V%+90V100,所以a的取值

為90<a<100.

故選：A

3、設m,n都是正整數，且n>l,若a>0,則不正確的是()

A..(az+a-z)2=a+a-1

m[

c.a-n=衙D.a0=1

答案：B

解析：由指數運算公式直接計算并判斷.

由m,ri都是正整數，且九>1,。>0,、

得(成+a-2)2=(az)2+2成?a~+(a-2)2=a+a-1+2,

故B選項錯誤，

故選：B.

(x~2,x€(-oo,0)

4、已知函數f(%)={lnx,xG(0,1),若函數g(%)=f(x)-m恰有兩個零點，則實數勿不可熊是

(-X2+4x—3,xe[l,+oo)

()

A.-IB.OC.ID.2

答案：D

解析：依題意畫出函數圖象，函數9(%)=/(%)-m的零點，轉化為函數y=f(%)與函數y=血的交點，數形結

合即可求出參數m的取值范圍；

x~2,xe(—oo,o)

lnx,xe(0,1),畫出函數圖象如下所示，

(—X2+4%—3,%G[1,4-00)

2

函數0(%)=f3)-血的有兩個零點，即方程9(%)=/'(%)-根=。有兩個實數根，即/'(%)=m,即函數y=

f(%)與函數y=m有兩個交點，由函數圖象可得m<0或m=1,

故選：D

小提示：函數零點的求解與判斷方法：

⑴直接求零點：令*x)=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.

⑵零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間臼句上是連續不斷的曲線，且/(分*功<0,還必須結合函數

的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點.

⑶利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值,

就有幾個不同的零點.

5、化簡皿?礪的結果為()

A.-.—y/—CL

C.，—aD.\[a

答案:A

分析：結合指數鬲的運算性質，可求出答案.

3

由題意，可知QNO,

V-a-Va=(―a)3?加=—加?而=一涼+力=—di=-y/a.

故選：A.

6、若ln2=a,ln3=b,貝Ijlog818=()

.a+3bca+2b-a+2b_.a+3b

A.—.--C.-^-D.——

a33aa33a

答案：B

分析：先換底，然后由對數運算性質可得.

.Inl8In(32x2)21n3+ln22b+a

故選：B

7、設4a=3。=36,則卡=()

A.3B.IC.-ID.-3

答案：B

分析：先求出Q=log436,b=log336,再利用換底公式和對數的運算法則計算求解.

因為4。=3》=36,

所以a=log436,b=Iog336,

貝哈=1唯6好=1嗚69,

所以則十+：=Iog364+log369=log3636=1.

故選：B.

8、已知Q=lg2,106=3,則1強6=()

4

1+a1-a1+a1-a

答案：B

分析：指數式化為對數式求從再利用換底公式及對數運算性質變形.

a=lg2,10。=3,

???b=lg3,

i,lg6Ig2x3Ig2+lg3a+b

A10ge6=--=-io-=----------=-------.

65lg5Igyl-lg21-a

故選：B.

9、已知f(x)=ar(a>0,且”1)，且*-2)>*-3),則a的取值范圍是()

A.a>0B.a>l

C.avlD.0<a<l

答案：D

分析：把4-2),4-3)代入解不等式，即可求得.

因為汽一2)=&；/(-3)=Z/(-2)>/(-3),即解得：0<a<l.

故選：D

10、我國某科研機構新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進入二期臨床試驗階段.已知這種新藥在

注射停止后的血藥含量c(t)(單位：mg/L)隨著時間t(單位：h)的變化用指數模型c(t)=。。/"描述，

假定某藥物的消除速率常數上=0.1(單位：-1),剛注射這種新藥后的初始血藥含量C。=2000mg/L,且這

種新藥在病人體內的血藥含量不低于1000mg/L時才會對新冠肺炎起療效，現給某新冠病人注射了這種新藥，

則該新藥對病人有療效的時長大約為()(參考數據：也2?0.693,ln3?1.099)

A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.7.52h

答案：C

5

分析：利用已知條件c（t）=coe-"t=2000e-a￡該藥在機體內的血藥濃度變為1000mg/L時需要的時間為",

轉化求解即可.

解：由題意得：

kt-ou

c（t）=cQe~=2OOOe

設該要在機體內的血藥濃度變為1000mg/L需要的時間為口

c（tj=2OOOe-oltl>1000

1

e-0K1>-

tt-O.lt>-ln2,t<^?6.93

故該新藥對病人有療效的時長大約為6.93/1

故選：C

多選題

11、下列各選項中，值為1的是（）

A.log：610g瞄.Iog2+logtA

C.（2+（2-73）^.（24--（2-V3）1

答案：AC

解析：對選項逐一化簡，由此確定符合題意的選項.

對于A選項，根據logab?logb。=1可知，A選項符合題意.

對于B選項，原式=log6（2x4）=log68Hl,B選項不符合題意.

對于C選項，原式=［（2+8）?（2-6）1=6=1,C選項符合題意.

對于D選項，由于［（2+遮）久（2-b）1=2+百+2-6-2（2+百R（2-V3）：=4-2=2H1,D

6

選項不符合題意.

故選：AC

小提示：本小題主要考查對數、根式運算，屬于基礎題.

12、已知函數/(#)=lnx+ln(2-#),則()

A.〃%)在(0,2)單調遞增

B.f(x)在(0,1)單調遞增，在(1,2)單調遞減

C.y=f(x)的圖象關于直線％=1對稱

D.y=/(%)的圖象關于點(1,0)對稱

答案：BC

分析：由題可得函數的定義域，化簡函數fa)=lnH2-%)=ln(-/+2%),分析函數的單調性和對稱性，從

而判斷選項.

函數的定義域滿足I：；；。，即0<%<2,

即函數的定義域是{%|0V%V2},

?"(x)=lnx(2-x)=ln(-x2+2x),

設￡=-M+2x=-a-l)2+l,則函數在(0,1)單調遞增，在(1,2)單調遞減，

又函數y=]nt單調遞增，

由復合函數單調性可知函數八%)在(0,1)單調遞增，在(L2)單調遞減，故A錯誤，B正確;

因為/(I+x)=ln(l+x)+ln(l—x),f(l—x)=ln(l—x)+ln(l+x),

所以/(l-K)=f(l+x),即函數y=f(x)圖象關于直線x=l對稱，故C正確；

X/Q)=ln1+ln(2-1)=ln^,/(1)=ln1+In(2-1)=ln^,

7

所以/(3=/值)=】W，所以D錯誤.

故選：BC.

13、已知函數f(%)=|lgr|,則()

A.f(%)是偶函數B./?(%)值域為［0,+8)

C.〃為在(0,+8)上遞增D.fS)有一個零點

答案：BD

分析：畫出/?(%)的函數圖象即可判斷.

畫出/(%)=|lgx|的函數圖象如下：

由圖可知，人切既不是奇函數也不是偶函數，故A錯誤；

值域為［0,+8),故B正確；

f(%)在(0,1)單調遞減，在(1,+8)單調遞增,故C錯誤;

f(%)有一個零點1,故D正確.

故選：BD.

14、已知函數f(x)=W，下面說法正確的有()

A.f。)的圖象關于y軸對稱

8

B.f(x)的圖象關于原點對稱

C.f(x)的值域為

D.Vxltx2ER,且打工小，八必)v0恒成立

xl-x2

答案：BC

解析：判斷fQ)的奇偶性即可判斷選項AB,求/(%)的值域可判斷C證明f(x)的單調性可判斷選項D,即可得

正確選項.

〃“)=W的定義域為R關于原點對稱，

〃一切=急=*需=W=-"x)，所以/(“)是奇函數，圖象關于原點對稱，

故選項A不正確，選項B正確；

/(%)=表|=陛詈=1一品，因為2%>0,所以所以0<舟<1,

-2<^<0,所以一IV1-品<1,可得f(x)的值域為(一1,1),故選項C正確；

設任意的/<久2，

XX

則f(力)-f(亞)=1—晟一(1一嬴)=￡2_2(21-22)

2*1+1-(2肛+1)(2*2+1)'

因為2為+1>0,2必+1>0,2右一2均<0,所以不緇忌八〈°，

即/'(%)-f(%2)V0,所以>0故選項D不正確；

小一文2

故選：BC

小提示：方法點睛：利用定義證明函數單調性的方法

(1)取值：設必,％2是該區間內的任意兩個值，且與<%2；

(2)作差變形：即作差，即作差八不)-/。?)，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號

9

的方向變形;

(3)定號：確定差/(%])-f(%2)的符號；

(4)下結論：判斷，根據定義作出結論.

即取值—作差---變形----定號---下結論.

15、(多選)下列函數中，既是偶函數又在(0,+8)上單調遞增的函數是()

A.y=/B.y=|x-l|C.y=|x|-lD.y=2X

答案:AC

分析：由偶函數的定義及單調性依次判斷選項即可.

易得四個函數定義域均為R,對于A,令/(%)=/,貝=(-%)2=/=/(%),且在(0,+8)上單調遞增.

A正確；

對于B,令g(%)=|%-1|,g(-x)=|-x-1|=|x+1|g(x),B錯誤；

對于C,令/i(x)=\x\-1,/i(-r)=|-x|-1=|x|-1=/i(x),且在(0,+8)上單調遞增，C正確；

對于D,令m(x)=2X,m(-x)=2~xWm(x),D錯誤.

故選：AC.

填空題

16、已知函數fa)=ln(VT/-x)-l,若/?(2%-1)+〃4一/)+2>0,則實數%的取值范圍為.

答案：％V—1或%>3

分析：令9(%)=/(%)+1=In(后巨-%)，分析出函數g(x)為R上的減函數且為奇函數，將所求不等式變形

為g(/2—4)Vg(2x-1),可得出關于X的不等式，解之即可.

令g(x)=fM+1=ln(Vx2+1-x),對任意的％eR,Vx2+1-x>|x|-x>0,

故函數g(x)的定義域為R,

10

因為g(x)+9(-%)=ln(Vx2+1—x)4-ln(Vx2+14-x)=ln(x24-1—x2)=0,

則g(一乃=一。(初所以,函數gQ)為奇函數，

當％W0時，令U=+/一%由于函數％=*和n2=-%在(-8,0］上均為減函數，

故函數n=x/1+N-％在(-8,0］上也為減函數,

因為函數y=hui在(0,+8)上為增函數，故函數g(x)在(-8,0］上為減函數，

所以，函數g(x)在［0,+8)上也為減函數，

因為函數gQ)在R上連續，則g(x)在R上為減函數，

由/(2%-1)+/(4-x2)+2>。可得g(2x-1)+g(4-x2)>0,即g(2-4)Vg(2x-1),

所以，X2-4>2X-1,即%2-2%-3>0,解得或x>3.

所以答案是:x<—1或%>3.

17、牛奶中細菌的標準新國標將最低門檻(允許的最大值)調整為200萬個/毫升，牛奶中的細菌常溫狀態下

大約20分鐘就會繁殖一代，現將一袋細菌含量為3000個/毫升的牛奶常溫放置于空氣中，經過_______分鐘就

不宜再飲用.(參考數據：lg2?0.301,lg3?0.477)

答案：188

分析：根據題意列出不等式計算即可.

設經過%個周期后細菌含量超標,

BP3000x2x>2000000,即2%：>等,

吆愴

所以%>log2等2000-3_lg2+3-lg3?9.4,

3Ig2

而20x9.4=188,因此經過188分鐘就不宜再飲用.

所以答案是：188.

11

18、函數fGr)=礦一】+2(Q>0,QH1)的圖象恒過定點.

答案：(1.3)

分析：根據指數函數的性質，即可得答案.

令％-1=0,可得％=1,

所以/(1)=。°+2=3,即f(%)圖象恒過定點(1.3).

所以答案是：(1.3)

解答題

19、