PAGE專練49雙曲線命題范圍：雙曲線的定義、標準方程與簡潔的幾何性質[基礎強化]一、選擇題1．平面內到兩定點F1(－5,0)，F2(5,0)距離差的肯定值等于8的動點P的軌跡方程為()A.eq\f(x2,25)－eq\f(y2,16)＝1B.eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝12．設過雙曲線x2－y2＝9左焦點F1的直線交雙曲線的左支于點P，Q，F2為雙曲線的右焦點．若|PQ|＝7，則△F2PQ的周長為()A．19B．26C．43D．503．[2024·浙江卷]漸近線方程為x±y＝0的雙曲線的離心率是()A.eq\f(\r(2),2)B．1C.eq\r(2)D．24．若a>1，則雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1的離心率的取值范圍是()A．(eq\r(2)，＋∞)B．(eq\r(2)，2)C．(1，eq\r(2))D．(1,2)5．[2024·黃岡市高三測試]若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,4)，則雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(4\r(15),15)xB．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(15),4)xD．y＝±eq\f(\r(3),3)x6．[2024·全國卷Ⅱ]設O為坐標原點，直線x＝a與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點．若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為()A．4B．8C．16D．327．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(2)，則點(4,0)到C的漸近線的距離為()A.eq\r(2)B．2C.eq\f(3\r(2),2)D．2eq\r(2)8．[2024·湖南張家界高三測試]雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，其漸近線與圓(x－a)2＋y2＝eq\f(3,4)相切，則該雙曲線的方程為()A．x2－eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝19．[2024·全國卷Ⅰ]設F1，F2是雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1的兩個焦點，O為坐標原點，點P在C上且|OP|＝2，則△PF1F2的面積為()A.eq\f(7,2)B．3C.eq\f(5,2)D．2二、填空題10．雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1上一點M到其中一個焦點的距離為7，則點M到另一個焦點的距離為________．11．[2024·全國卷Ⅲ]設雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為y＝eq\r(2)x，則C的離心率為________．12．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)的離心率為2，則a＝________.[實力提升]13．[2024·黃岡中學高三測試]已知a>b>0，橢圓C1的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，雙曲線C2的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，C1與C2的離心率之積為eq\f(\r(3),2)，則C2的漸近線方程為()A．x±eq\r(2)y＝0B.eq\r(2)x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝014．[2024·全國卷Ⅰ]雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為()A．2sin40°B．2cos40°C.eq\f(1,sin50°)D.eq\f(1,cos50°)15．[2024·河南鄭州一中高三測試]已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點坐標為(4,0)，且雙曲線的兩條漸近線相互垂直，則該雙曲線的方程為________________________．16．[2024·長沙一中高三測試]若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上存在一點P滿意以|OP|為邊長的正方形的面積等于2ab(其中O為坐標原點)，則雙曲線的離心率的取值范圍是________．專練49雙曲線1．D由題意得a＝4，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，又焦點落在x軸上，∴其雙曲線方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.2．Bx2－y2＝9可化為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,9)＝1，∴a＝3，由雙曲線的定義知|PF2|＝2a＋|PF1|，|QF2|＝2a＋|QF∴△F2PQ的周長L＝|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PQ|＋2a＋|PF1|＋2a＋|QF＝2|PQ|＋4a3．C本題考查雙曲線的漸近線、離心率；考查學生的運算求解的實力；體現了數學運算的核心素養．∵漸近線方程為y＝±x，∴a＝b，∴c＝eq\r(2)a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，故選C.4．C∵c2＝a2＋1，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2)，又a2>1，∴0<eq\f(1,a2)<1，∴1<1＋eq\f(1,a2)<2，∴1<e<eq\r(2).5．C∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,4)，不妨設a＝4，c＝1，則b＝eq\r(15)，∴對應雙曲線的漸近線方程為：y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(15),4)x，選C.6．B直線x＝a與雙曲線的兩條漸近線y＝±eq\f(b,a)x分別交于D、E兩點，則|DE|＝|yD－yE|＝2b，所以S△ODE＝eq\f(1,2)·a·2b＝ab，即ab＝8.所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(當且僅當a＝b時取等號)，即cmin＝4，所以雙曲線的焦距2c7．D∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，eq\f(a2＋b2,a2)＝2，∴b＝a，∴C的漸近線方程為y＝±x，∴點(4,0)到C的漸近線的距離為eq\f(|4|,\r(2))＝2eq\r(2).8．A由題意得到e＝eq\f(c,a)＝2，∴b＝eq\r(3)a，則雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.漸近線與圓(x－a)2＋y2＝eq\f(3,4)相切，∴eq\f(|\r(3)a|,2)＝eq\f(\r(3),2)，又a>0，∴a＝1，b＝eq\r(3).則雙曲線方程為：x2－eq\f(y2,3)＝1.故答案為A.9．B解法一由題易知a＝1，b＝eq\r(3)，∴c＝2，又∵|OP|＝2，∴△PF1F2易知||PF1|－|PF2||＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c∴|PF1|·|PF2|＝eq\f(16－4,2)＝6，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝3，故選B.解法二不妨設P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＝4，,x\o\al(2,0)－\f(y\o\al(2,0),3)＝1，))解得y0＝eq\f(3,2)，又|F1F2|＝4，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)×4×eq\f(3,2)＝3，故選B.10．13解析：由題意，a2＝9，所以a＝3.設點M到另一個焦點的距離為d，由雙曲線的定義知，|7－d|＝2a＝2×3＝6，所以d＝1(舍)或d＝13.即點M11.eq\r(3)解析：∵雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為y＝eq\r(2)x，∴eq\f(b,a)＝eq\r(2)，∴雙曲線C的離心率為eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(3).12．1解析：由雙曲線方程知b2＝3，從而c2＝a2＋3.又e＝2，因此e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋3,a2))＝2.又a>0，得a＝1.13．Aa>b>0，橢圓C1的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，C1的離心率為eq\f(\r(a2－b2),a)，雙曲線C2的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，C2的離心率為eq\f(\r(a2＋b2),a).∵C1與C2的離心率之積為eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(\r(a2－b2),a)·eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(\r(3),2).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＝eq\f(1,2)，eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，則C2的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x，即x±eq\r(2)y＝0，故選A.14．D本題主要考查雙曲線的性質，同角三角函數的基本關系式及誘導公式；考查考生的運算求解實力和邏輯思維實力；考查的核心素養是數學運算．由雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)可知漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，由題意知－eq\f(b,a)＝tan130°，又tan130°＝－tan50°，∴eq\f(b,a)＝tan50°，∴雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋tan250°)＝eq\r(1＋\f(sin250°,cos250°))＝eq\r(\f(1,cos250°))＝eq\f(1,cos50°)，故選D.15.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1解析：由雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點坐標為(4,0)，可得c＝4，即有a2＋b2＝c2＝16，由雙曲線的兩條漸近線相互垂直，即直線y＝eq\f(b,a)x和直線y＝－eq\f(b,a)x垂直，可得a＝b，則a＝b＝2eq\r(2)，則該雙曲線的方程為eq\f(x2,8