第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年西南名校聯盟高考數學診斷試卷（一）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在復平面內，向量AB對應的復數為?1+3i，向量BC對應的復數為?2+i，則向量AC對應的復數為(

)A.1+2i B.?1?2i C.?3?4i D.?3+4i2.下列四個條件中，使a>b成立的充要條件是(

)A.ln(a?b)>0 B.|a|>b C.a2>3.在(1?12x)8的二項展開式中，第3A.8 B.?8 C.28 D.?284.已知數列{an}滿足an+1=22?A.3 B.43 C.12 5.已知直線2x+3my?2=0與直線2mx?5(m+1)y+1=0互相垂直，則m為(

)A.?1115 B.?1115或0 C.1146.已知圓錐的母線長度為4，一個質點從圓錐的底面圓周上一點出發，繞著圓錐側面運動一周，再回到出發點的最短距離為42，則此圓錐的體積為(

)A.15π3 B.43π7.已知函數f(x)=12x2?ax+lnx，a∈R.若f(x)有兩個極值點x1，x2，且A.[?32,+∞) B.[32,+∞)8.在△ABC中，內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，若23sinAsinBsinC=3sin2A.12 B.33 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量a=(1,2)，b=(λ,3)，則下列結論正確的是(

)A.若a，b可以作為基底，則λ≠32 B.若|a?b|=2，則λ=0

C.若a⊥b，則λ=?6 D.10.已知冪函數f(x)=(8m2?5)xA.m=±32

B.f(x)的定義域為R

C.f(x)為非奇非偶函數

D.不等式11.已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，且SA.{an}的第2項小于1 B.Sn≤an+1

C.{三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知雙曲線E：y2m?x213.已知a>0，函數y=xa+1x?2(x>2)有最小值314.已知甲袋中裝有3個紅球，2個白球，乙袋中裝有2個紅球，4個白球，兩個袋子均不透明，其中的小球除顏色外完全一致.現從兩袋中各隨機取出一個球，若2個球同色，則將取出的2個球全部放入甲袋中，若2個球不同色，則將取出的2個球全部放入乙袋中，每次取球互不影響.按上述方法重復操作兩次后，乙袋中恰有4個小球的概率是______．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知拋物線C：y2=2px(p>0)，過拋物線上點A(2,3)且斜率為k的直線l與拋物線C僅有一個交點．

(1)求拋物線C的方程；

(2)求k16.(本小題12分)

如圖，某市擬在長為16km的道路OP的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數y=Asinωx(A>0,ω>0)，x∈[0,8]的圖象，且圖象的最高點為S(6,43)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP=120°．

(1)求A，ω的值和M，P兩點間的距離；

(2)若NP=17.(本小題12分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側面ACC1A1為菱形，∠A1AC=60°，底面ABC為等邊三角形，平面ACC1A1⊥平面ABC，點D，E滿足A1D=13A1B1，A1E=12A1C18.(本小題12分)

函數f(x)=ln(2x+1)?4sinx．

(1)求f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)若存在x∈[0,π2]，使得f(x)≥a19.(本小題12分)

為確保飲用水微生物安全性，某自來水廠計劃改進原有飲用水消毒方法.據已有數據記錄，原有消毒方法對每個大腸桿菌的滅活率均為99.2%，現檢驗出一批未經消毒的水中大腸桿菌含量為500個/升．

(1)經原有消毒方法處理后，計算一升水中大腸桿菌個數不超出5個的概率；(結果保留3位小數)

(2)在獨立重復實驗中，p為事件A在試驗中出現的概率，n為試驗總次數，隨機變量X為事件A發生的次數.若p較小，n較大，而np的大小適中，不妨記λ=np，則P(X=k)=Cnkpk(1?p)n?k=Cnk(λn)k(1?λn)n?k，k=0，1，2，…，經計算，當n→+∞時，n→∞limCnk(λn)k(1?λn)n?k=λkk!?e?λ.若隨機變量大腸桿菌數/升012345升數172010210若每升水中含有的大腸桿菌個數X仍服從泊松分布，要使出現上述情況的概率最大，則改進后的消毒方法對每個大腸桿菌的滅活率為多少？

參考數據：①指數函數的冪級數展開式為ex=k=0mxkk!，e?4=0.0183，②0992500=0.018，C500參考答案1.D

2.D

3.C

4.C

5.B

6.A

7.A

8.B

9.ACD

10.AC

11.AD

12.4113.4

14.4822515.解：(1)∵點A(2,3)在拋物線C：y2=2px(p>0)上，

∴9=2p×2，∴2p=92，

∴拋物線C的方程為y2=92x；

(2)根據題意可知當直線l與拋物線C相切于點A或過A平行于拋物線的對稱軸時滿足題意，

又對y2=92x兩邊關于x求導可得2yy′=92，

∴y′=16.解；(1)依題意知，A=43，T=4×6=24，所以ω=2πT=π12，

所以y=43sinπ12x，當x=8時，y=43sin(π12×8)=6．

所以M(8,6)，

又P(16,0)，所以MP=(16?8)2+(0?6)2=10，

即MP之間的距離為10km．

(2)在△MNP中，∠MNP=120°17.(1)證明：連接CE，A1C，

在菱形ACC1A1中，∠A1AC=60°，所以△A1C1C是正三角形，

因為E是A1C1的中點，所以CE⊥A1C1，

又AC/?/A1C1，所以CE⊥AC，

因為平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，CE?平面ACC1A1，

所以CE⊥平面ABC，

又CE?平面CDE，所以平面CDE⊥平面ABC，

故當F與C重合時，平面DEF⊥平面ABC．

(2)解：取AC的中點O，連接OA1，OB，則OA1⊥AC，OB⊥AC，

因為平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，OA1?平面ACC1A1，

所以OA1⊥平面ABC，

故以O為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

設AC=2，則A(0,?1,0)，C(0,1,0)，B(3,0,0)，A1(0,0,318.解：(1)因為f(x)=ln(2x+1)?4sinx，所以f′(x)=2(2x+1)?4cosx，

所以f′(0)=?2.又f(0)=ln1?4sin0=0，

所以f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=?2x．

(2)因為存在x∈[0,π2]，使得f(x)≥a成立，所以a≤f(x)max．

由(1)知f′(x)=2(2x+1)?4cosx，

令g(x)=2(2x+1)?4cosx，0≤x≤π2，

g′(x)=?4(2x+1)2+4sinx，

因為g′(x)在x∈[0,π2]上單調遞增，g′(0)=?4<0，g′(π2)=4?4(π+1)2>0，

所以?x0∈(0,π2)，使得g′(x0)=0，

當x∈[0,x19.解：(1)由題意可得，每個大腸桿菌的存活率為1?99.2%=0.008，

設一升水中大腸桿菌個數為ξ，

則ξ～B(500,0.008),P(ξ≤5)=k=05C500k0.008k×0.992500?k≈0.018+0.073+0.146+0.196+0.196+0.157=0.786，

故一升水中大腸桿菌個數不超出5個的