高考試題分類解析PAGE考點45隨機事件的概率、古典概型、幾何概型一、選擇題1.(2015·新課標全國卷Ⅰ理科·T4)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學通過測試的概率為()A.0.648 B.0.432 C.0.36D.0.312【解題指南】至少兩次投中通過測試分成兩種情況,一是投3次有兩次投中通過測試,二是投3次都投中通過測試.【解析】選A.根據獨立重復試驗公式得,該同學通過測試的概率為C320.62×0.4+0.62.(2015·新課標全國卷Ⅰ文科·T4)如果3個正整數可作為一個直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個數為一組勾股數,從1,2,3,4,5中任取3個不同的數,則這3個數構成一組勾股數的概率為()A.310 B.15 C.110 【解析】選C.從1,2,3,4,5中任取3個不同的數有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10種,其中(3,4,5)為一組勾股數,共一種,所以3個數構成一組勾股數的概率為1103.(2015·山東高考文科·T7)在區間[0,2]上隨機地取一個數x,則事件“”發生的概率為()A. B. C. D.【解題指南】本題是以對數函數為背景的長度之比型幾何概型的計算.【解析】選A.由得，即，故所求概率為.4.(2015·陜西高考理科·T11)設復數z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為()A.34+12π B.C.12-1π D.1【解題指南】由題意易得所求概率為弓形的面積與圓的面積之比,分別求面積可得.【解析】選B.因為復數z=(x-1)+yi(x,y∈R)且|z|≤1,所以|z|=(x-1)2+y2≤即P=14·π·12-5.(2015·陜西高考文科·T12)設復數z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為()A.34+12π B.C.14-12π D.【解題指南】由題意易得所求概率為弓形的面積與圓的面積之比,分別求面積可得.【解析】選C.因為復數z=(x-1)+yi(x,y∈R)且|z|≤1,所以|z|=(x-1)2+y即點(x,y)在以(1,0)為圓心、1為半徑的圓及其內部,而y≥x表示直線y=x左上方的部分(圖中陰影弓形),所以所求概率為弓形的面積與圓的面積之比,即P=14·π·12-6.(2015·湖北高考理科·T7)在區間[0,1]上隨機取兩個數x,y,記p1為事件“x+y≥QUOTE”的概率,p2為事件“|x-y|≤”的概率,p3為事件“xy≤”的概率,則()A.p1<p2<p3 B.p2<p3<p1 C.p3<p1<p2 D.p3<p2<p1【解析】選B.由題意知,事件“x+y≥”的概率為事件“|x-y|≤”的概率為事件“xy≤”的概率為，其中,S0=×1+QUOTEdx=QUOTE(1+ln2),S=1×1=1,由圖知QUOTE<S0<QUOTE所以,p2<p3<p1.7.(2015·湖北高考文科·T8)在區間[0,1]上隨機取兩個數x,y,記p1為事件“x+y≤QUOTE”的概率,p2為事件“xy≤QUOTE”的概率,則()A.p1<p2<QUOTE B.p2<QUOTE<p1C.QUOTE<p2<p1 D.p1<QUOTE<p2【解析】選D.如圖,滿足條件的x,y構成的點(x,y)在正方形OBCA內,其面積為1,事件“x+y≤QUOTE”對應的圖形為△ODE,其面積為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,故p1=QUOTE<QUOTE,事件“xy≤QUOTE”,對應的圖形為陰影部分,其面積顯然大于QUOTE,故p2>QUOTE,則p1<QUOTE<p2.8.(2015·福建高考文科·T8)如圖,在矩形ABCD中,點A在x軸上,點B的坐標為(1,0),且點C與點D在函數f(x)=x+1,xA.16 B.14 C.38 【解題指南】求出點C和點D的坐標,轉化成面積型幾何概型的概率計算.【解析】選B.因為四邊形ABCD為矩形,B(1,0)且點C和點D分別在直線y=x+1和y=-12x+1上,所以C(1,2)和D(-2,2),所以陰影部分三角形的面積S=12×3×1=32,S矩形=3×2=6,故此點取自陰影部分的概率P=S9.(2015·廣東高考文科·T7)已知5件產品中有2件次品,其余為合格品.現從這5件產品中任取2件,恰有一件次品的概率為()A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1【解題指南】先對產品標號,然后列舉出可能出現的結果,根據古典概型概率公式求出所求的概率.【解析】選B.5件產品中有2件次品,記為a,b,有3件合格品,記為c,d,e,從這5件產品中任取2件,有10種,分別是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6種,分別是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),設事件A=“恰有一件次品”,則P(A)=610二、填空題10.(2015·江蘇高考·T5)袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球,從中一次隨機摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為.【解題指南】列出基本事件,利用古典概型的概率公式求解.【解析】設4只球分別為白、紅、黃1、黃2,從中一次隨機摸出2只球,所有基本事件為(白,紅)、(白,黃1)、(白,黃2)、(紅,黃1)、(紅,黃2)、(黃1,黃2),共6個,顏色不同的有(白,紅)、(白,黃1)、(白,黃2)、(紅,黃1)、(紅,黃2),共5個,所以2只球顏色不同的概率為QUOTE56.答案:QUOTE5611.（2015·重慶高考文科·Ｔ15）在區間上隨機地選擇一個數，則方程有兩個負根的概率為_________.【解題指南】首先根據題意列出方程有兩個負根滿足的條件求出的取值范圍，然后根據幾何概型的概率計算公式求解.【解析】方程有兩個負根，則，解得或又因為，根據幾何概型的概率計算公式可知方程有兩個負根的概率為答案：三、解答題12．（2015·安徽高考文科·T17）某企業為了解下屬某部門對本企業職工的服務情況，隨機訪問50名職工，根據這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據分組區間為（1）求頻率分布圖中的值；（2）估計該企業的職工對該部門評分不低于80的概率；（3）從評分在的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在的概率.【解題指南】正確識別頻率分布直方圖分別求出概率,本題屬于容易題.【解析】（1）由頻率分布直方圖可知：（0.004+a+0.018+0.0222+0028）10=1,解得a=0.006;（2）由頻率分布直方圖可知，評分不低于80分的頻率為：（0.022+0.018）10=0.4，所以該企業的職工對該部門評分不低于80的概率為0.4.（3）受訪職工中評分在的有;(人)，記為;受訪職工中評分在的有;(人)，記為。從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結果共有10種，它們是受訪職工中評分在的有;(人)，記為，，,,,,,,,,,又因為所抽取2人的評分都在的結果有1種，即，故所求的概率為。13.(2015·北京高考文科·T17)(13分)某超市隨機選取1000位顧客,記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種食品的情況,整理成如下統計表,其中“√”表示購買,“×”表示未購買.商品顧客人數甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率.(2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率.(3)如果顧客購買了甲,則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品可能性最大?【解析】(1)1000位顧客中有200位同時購買乙和丙,所以估計顧客同時購買乙和丙的概率為.(2)1000位顧客中有100位同時購買甲丙丁,200位同時購買甲乙丙,所以估計1000人中同時購買3種商品的概率為。(3)購買了甲的顧客有100+200+300+85=685位.則顧客同時購買乙概率為QUOTE200685,同時購買丙的概率為，同時購買丁的概率為QUOTE100685.因此,顧客購買了甲,則該顧客同時購買丙的可能性最大.14.(2015·四川高考文科·T17)一個小客車有5個座位,其座位號為1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位號為1,2,3,4,5,他們按照座位號順序先后上車,乘客P1因身體原因沒有坐自己座位號,這時司機要求余下的乘客按以下規則就座:如果自己的座位空著,就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就座,就在這5個座位的剩余空位中選擇座位.(1)若乘客P1坐到了3號座位,其他乘客按規則就座,則此時共有4種坐法.下表給出其中兩種坐法,請填入余下兩種坐法(將乘客就座的座位號填入表中空格處).乘客P1P2P3P4P5座位號3214532451(2)若乘客P1坐到了2號座位,其他乘客按規則就座,求乘客P5坐到5號座位的概率.【解析】(1)當乘客P1坐在3號位置上,此時P2的位置沒有被占,只能坐在2位置,P3位置被占,可選剩下的任何一個座位,即可選1,4,5:①當P3選1位置,P4位置沒被占,只能選4位置,P5選剩下的,只有一種情況;②當P3選4位置,P4可選5位置也可選1位置,P5選剩下的,有兩種情況;③當P3選5位置,P4只可選4位置,P5選剩下的,有一種情況.填表如下:乘客P1P2P3P4P5座位號32145324513241532541(2)情況比較復雜,需要列表,當P1坐2位置時,P2位置被占,可選剩下的1,3,4,5座位,下表列出了所有可能乘客P1P2P3P4P5P1P2P3P4P5分別的座位號座位號213452,1,3,4,534512,3,4,5,1152,3,4,1,51452,3,1,4,55412,3,5,4,143152,4,3,1,5512,4,3,5,153412,5,3,4,1綜上,共有8種情況,P5坐在5號位置上的情況有4種,所求概率.15.(2015·山東高考文科·T16)(本小題滿分12分)某中學調查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況,數據如表(單位:人)參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230(1)從該班隨機選1名同學,求該同學至少參加上述一個社團的概率.(2)在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中,有5名男同學,3名女同學.現從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率.【解題指南】將符合要求的基本事件一一列出.【解析】(1)記“該同學至少參加上述一個社團為事件A”,則所以該同學至少參加上述一個社團的概率為QUOTE.(2)從5名男同學和3名女同學中各隨機選1人的所有基本事件有,,,,共15個,其中A1被選中且B1未被選中的有(A1,B2),(A1,B3)共2個,所以A1被選中且B1未被選中的概率為16.(2015·天津高考文科·T15)(本小題滿分13分)設甲、乙、丙三個乒乓球協會的運動員人數分別為27,9,18,先采用分層抽樣的方法從這三個協會中抽取6名運動員參加比賽.(1)求應從這三個協會中分別抽取的運動員人數.(2)將抽取的6名運動員進行編號,編號分別為A1,A2,A3,A4,A5,A6,從這6名運動員中隨機抽取2名參加雙打比賽.①用所給編號列出所有可能的結果;②設A為事件“編號為A5,A6的兩名運動員至少有一人被抽到”,求事件A發生的概率.【解題指南】(1)由分層抽樣方法可知應從甲、乙、丙這三個協會中分別抽取的運動員人數分別為3,1,2.(2)①一一列舉,共15種;②符合條件的結果有9種,所以【解析】(1)應從甲、乙、丙這三個協會中分別抽取的運動員人數分別為3,1,2.(2)①從這6名運動員中隨機抽取2名參加雙打比賽,所有可能的結果為,,,,,,,,,,,,,,,共15種.②編號為的兩名運動員至少有一人被抽到的結果為,,,,,,,,,共9種,所以事件A發生的概率17.(2015·福建高考文科·T18)(本小題滿分12分)全網傳播的融合指數是衡量電視媒體在中國網民中影響力的綜合指標.根據相關報道提供的全網傳播2015年某全國性大型活動的“省級衛視新聞臺”融合指數的數據,對名列前20名的“省級衛視新聞臺”的融合指數進行分組統計,結果如表所示.組號分組頻數1[4,5)22[5,6)83[6,7)74[7,8]3(1)現從融合指數在[4,5)和[7,8]內的“省級衛視新聞臺”中隨機抽取2家進行調研,求至少有1家的融合指數在[7,8]內的概率.(2)根據分組統計表求這20家“省級衛視新聞臺”的融臺指數的平均數.【解題指南】(1)列出所有的基本事件,至少有1組在[7,8]組所包含的基本事件與總的基本事件的比值就是所求.(2)平均數等于每組的中點值與對應的頻率乘積之和.【解析】方法一:(1)融合指數在7,8內的“省級衛視新聞臺”記為A1,A2,A3;融合指數在4,5內的“省級衛視新聞臺”記為B1,B2,從融合指數在4,5和7,8內的{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}共10個.其中,至少有1家融合指數在7,8{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1}{A3,B2},共9個.所以所求的概率P=910(2)這20家“省級衛視新聞臺”的融合指數平均數等于4.5×220+5.5×820+6.5×720+7.