PAGE專題十三點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分80分，考試時(shí)間50分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(2024·沈陽(yáng)質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知m，n是空間中的兩條不同的直線，α，β是空間中的兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()A．若m∥n，m∥α，則n∥αB．若α∥β，m∥α，則m∥βC．若m⊥n，n?α，則m⊥αD．若m⊥α，m?β，則α⊥β答案D解析對(duì)于A，符合已知條件的直線n還可以在平面α內(nèi)，所以錯(cuò)誤；對(duì)于B，符合已知條件的直線m還可以在平面β內(nèi)，所以錯(cuò)誤；對(duì)于C，符合已知條件的直線m還可以在平面α內(nèi)，與平面α斜交，或者與平面α平行，所以錯(cuò)誤；對(duì)于D，依據(jù)面面垂直的判定定理可知其正確性．故選D.2．(2024·長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè))在正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線A1C1與BA．0B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)答案B解析由題意知成角為eq\f(π,3)，余弦值為eq\f(1,2).故選B.3．(2024·廣西百色調(diào)研)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段BC1上運(yùn)動(dòng)，①平面PB1D⊥平面ACD1；②A1P∥平面ACD1；③異面直線A1P與AD1所成角的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))；④三棱錐D1－APC的體積不變．A．①②B．①②④C．③④D．①④答案B解析依據(jù)正方體的性質(zhì)，有DB1⊥平面ACD1，DB1?平面PB1D，從而可以證明平面PB1D⊥平面ACD1，①正確；連接A1B，A1C1，簡(jiǎn)單證明平面BA1C1∥平面ACD1.又因?yàn)锳1P?平面BA1C1，可得A1P∥平面ACD1，②正確；VD1－APC＝VC－AD1P，因?yàn)镃到面AD1P的距離不變，且三角形AD1P的面積不變，所以三棱錐C－AD1P的體積不變，④正確；當(dāng)P與線段BC1的端點(diǎn)重合時(shí)，A1P與AD1所成角取得最小值eq\f(π,3)，當(dāng)P與線段BC1的中點(diǎn)重合時(shí)，A1P與AD1所成角取得最大值eq\f(π,2)，故A1P與AD1所成角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，③錯(cuò)誤．①②④正確．故選B.4．(2024·泰安期末)若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列為真命題的是()A．若m?β，α⊥β，則m⊥αB．若m∥α，n∥α，則m∥nC．若m⊥β，m∥α，則α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ答案C解析對(duì)于A，當(dāng)且僅當(dāng)m與平面α，β的交線垂直時(shí)，命題才成立，所以原命題為假命題；對(duì)于B，若m∥α，n∥α，則直線m，n可能異面，可能平行，還可能相交，所以原命題為假命題；對(duì)于C，由m⊥β，m∥α，可得平面α內(nèi)肯定存在直線與直線m平行，進(jìn)而得出該直線垂直于平面β，從而α⊥β，所以原命題為真命題；對(duì)于D，若α⊥γ，α⊥β，則平面β與平面γ可能相交、平行或垂直，所以原命題為假命題．故選C.5．(2024·武昌調(diào)研)已知直線l和平面α，無(wú)論直線l與平面α具有怎樣的位置關(guān)系，在平面α內(nèi)總存在一條直線與直線l()A．相交B．平行C．垂直D．異面答案C解析無(wú)論直線l與平面α具有怎樣的位置關(guān)系，在平面α內(nèi)總存在一條直線與直線l垂直．故選C.6．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線答案B解析如圖，取CD的中點(diǎn)F，DF的中點(diǎn)G，連接EF，F(xiàn)N，MG，GB，BD，BE.∵點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，∴點(diǎn)N在BD上，且為BD的中點(diǎn)．∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.不妨設(shè)AB＝2，則FN＝1，EF＝eq\r(3)，∴EN＝eq\r(FN2＋EF2)＝2.∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵M(jìn)G＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(\r(3),2)，BG＝eq\r(CG2＋BC2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋22)＝eq\f(5,2)，∴BM＝eq\r(MG2＋BG2)＝eq\r(7).∴BM≠EN.∵BM，EN都是△DBE的中線，∴BM，EN必相交．故選B.7．(2024·石家莊質(zhì)檢)下列正方體或四面體中，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()答案D解析(利用“經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面”推斷)對(duì)于A，易推斷PR∥SQ，故點(diǎn)P，Q，R，S共面；對(duì)于B，易推斷QR∥SP，故點(diǎn)P，Q，R，S共面；對(duì)于C，易推斷PQ∥SR，故點(diǎn)P，Q，R，S共面；而D中的RS，PQ為異面直線．故選D.8．(2024·湖北七市(州)聯(lián)考)設(shè)直線m與平面α相交但不垂直，則下列說(shuō)法中正確的是()A．在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B．過(guò)直線m有且只有一個(gè)平面與平面α垂直C．與直線m垂直的直線不行能與平面α平行D．與直線m平行的平面不行能與平面α垂直答案B解析在平面α內(nèi)可能有多數(shù)條直線與直線m垂直，這些直線是相互平行的，A錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€m與平面α相交但不垂直，所以過(guò)直線m必有并且也只有一個(gè)平面與平面α垂直，B正確；類似于A，在平面α外可能有多數(shù)條直線垂直于直線m并且平行于平面α，C錯(cuò)誤；與直線m平行且與平面α垂直的平面有多數(shù)個(gè)，D錯(cuò)誤．故選B.9．(2024·太原模擬)如圖所示是正四面體的平面綻開(kāi)圖，G，H，M，N分別是DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，給出下列結(jié)論：①DE與MN平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案C解析將正四面體的平面綻開(kāi)圖復(fù)原為正四面體A(B，C)－DEF，如圖所示．對(duì)于①，M，N分別為EF，AE的中點(diǎn)，則MN∥AF，而DE與AF異面，故DE與MN不平行，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，易知BD與MN為異面直線，故②正確；對(duì)于③，依題意知GH∥AD，MN∥AF，∠DAF＝60°，故GH與MN成60°角，故③正確；對(duì)于④，連接GF，則A點(diǎn)在平面DEF上的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AA1F，∴DE⊥AF，而AF∥MN，∴DE與MN垂直，故④正確．綜上所述，正確結(jié)論的序號(hào)是②③④10．(2024·廈門質(zhì)檢)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點(diǎn)，A．MN∥APB．MN∥BD1C．MN∥平面BB1D1DD．MN∥平面BDP答案C解析取B1C1的中點(diǎn)E，連接ME，NE，由三角形中位線定理可得ME∥B1D1，∴ME∥平面BB1D1D.由四邊形BB1EN為平行四邊形，得NE∥BB1，∴NE∥平面BB1D1D，∴平面MNE∥平面BB1D1D，又MN?平面MNE，∴MN∥平面BB1D1D11．(2024·包頭模擬)在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，沿DE，EF，F(xiàn)D將正方形折起，使A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，構(gòu)成四面體，則在四面體P－DEF中，給出下列結(jié)論：①PD⊥平面PEF；②DG⊥平面PEF；③平面PDE⊥平面PDF.其中正確結(jié)論的序號(hào)是()A．①②B．②③C．①③D．①②③答案C解析如圖所示，因?yàn)镈A⊥AE，DC⊥CF，所以折疊后DP⊥PE，DP⊥PF，所以DP⊥平面PEF，所以①正確；由DP⊥平面PEF，可知DG⊥平面PEF是不正確的，所以②不正確；由PE⊥PF，PE⊥DP，可得PE⊥平面PDF，又PE?平面PDE，所以平面PDE⊥平面PDF，所以③正確．綜上可知，正確結(jié)論的序號(hào)為①③.故選C.12．(2024·衡水模擬)如圖，在底面為菱形的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BD1＝4eq\r(2)，若∠BAD＝60°，則異面直線B1C與AD1所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．90°答案D解析連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝60°，AB＝4，∴BD＝4.又△BDD1為直角三角形，∴BDeq\o\al(2,1)＝BD2＋DDeq\o\al(2,1)，得DD1＝4，∴四邊形BCC1B1為正方形．連接BC1交B1C于點(diǎn)O，∵BC1∥AD1，∴∠BOC(或其補(bǔ)角)為異面直線B1C與AD1所成的角．由于四邊形BCC1B1為正方形，∴∠BOC＝90°，故異面直線B1C與AD1所成的角為90°.故選D.第Ⅱ卷(非選擇題，共20分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．(2024·北京高考)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：________.答案②③?①(或①③?②)解析②③?①.證明如下：∵m∥α，∴依據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，知存在n?α，使得m∥n.又∵l⊥α，∴l(xiāng)⊥n，∴l(xiāng)⊥m.①③?②.證明略．14．(2024·安徽質(zhì)量檢查)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)為AA1，AB的中點(diǎn)，M點(diǎn)是正方形ABB1A1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若C1M∥平面CD1E，答案eq\r(2)解析如圖所示，取A1B1的中點(diǎn)H，B1B的中點(diǎn)G，連接GH，C1H，C1G，EG，HF可得四邊形EGC1D1是平行四邊形，∴C1G∥D1E同理可得C1H∥CF.∵C1H∩C1G＝C1∴平面C1GH∥平面CD1E，∵M(jìn)點(diǎn)是正方形ABB1A1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)若C1M∥平面CD1E∴點(diǎn)M在線段GH上．∴M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度GH＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).15．(2024·武漢調(diào)研)如圖為正方體的一種表面綻開(kāi)圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有________對(duì)．答案3解析平面圖形的翻折應(yīng)留意翻折前后相對(duì)位置的改變，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，明顯AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面直線的有3對(duì)．16．(2024·山西四校聯(lián)考)如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，則下列說(shuō)法正確的是________．(填寫(xiě)全部正確說(shuō)法的序號(hào))①EF與GH平行；②EF與GH異面；③EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可