高三數學第一輪復習專題平面與平面垂直的題型二、面面垂直的判定定理：

面面垂直定義：兩平而相交，若它們所底的一面角是直二面角.則稱

第一部分基礎知識

這兩個警而垂直.

一、二面角：

1.面面垂直判定定理：若一個平面過另一個平面的一條垂線，

le半平面：平面內的一條直線把平面分為兩分，短一部分都叫做1用

則這兩個平面垂亶2.

面.

2。二面角：從一條1sl線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做湎角，

這條口線叫二面角的校.這兩個半平面叫二面角的面.線面垂直n面面垂直

校為AN.而為名尸為一面用記作：ct-AB-fi,

AHc.a.AHLp=^>aLp

3。二面角的平面角：在二面角a-/一夕的校”.仟取一點O.以點

。為垂足，在半平面/夕內分別作垂應干校/的射線。A,OB,NAOA叫

證明：設ac』=C。，在》內過B作8E1CD

做二面角的平面角.

\AtiLfi.CDuflr.AtiLCD

一向角的大小可用它的平面角來度顯，一面角的隙數等于翼平面角的度

又：BEICO：.ZABE為二面角a-C〃一J的平面用

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

又，：AB*樂BEuBABA.BEWARE

.\a±fl

2.推論：若一個平面平行于另一個平面的一條垂線,則這兩個平三、面面垂直的性質定理：

面垂直。（小題中使用〉

1,面面垂直的性質定理：若兩個平面垂直，則在一個平面

內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。

I上口.1〃a=aL

面面垂直=線面垂直

a1.艮ac/3=CD,ARua,AB1CD=>AH

三個核心條件：aip.ar\p=CD.AliLCD

證明：過/作平面7交平面a于百線

?A"a,luy、acy=a:.lfla

又?,?/_!■萬：.al.fi

又「aua:.aIfi

證明:rr。內過B作BELCD.則NABE為：面用a-C。-/?的平ifti用

?.a".\ABLBE

又；AB_LCD：.ABIfi

第二部分面面垂直的基本題型例2.在長方體人BCD一兒dCR中,DA="=2DQ=J5.E是cn

的中點，F是CE的中點.(1)求證：EA〃平面BDF:(2＞求證：

題型一；證明兩平面垂直

mBDF1平由.

規律「證明兩年面垂直，關鍵是要在一個平面而找到另一平面的垂

線.

例1.在幾何體P-A8CQ中，四邊形ABCD為矩形./XJ.平面A6CD.

AR=PA=AD=2,求證：平面AWQ1平面ZMC。

<2>證明：；8C1平面u平面CDQG

BC±DF

???在冊ADDJE由E為為四中點DD|=VJ,D|E二1

：.DE=2

???在/:DE4*CD=DE=2/'為C￡'中點

.\BD1AC.?.8。_1平面以。

DFICEDF1平面EC月:.平面8Qb1.平面BCE.

平面〃/")1平面QIC.

例3.如圖.在四核帷PABCD中.底面ABCO是矩形.4/)_L半面。)巴

例5.如圖所示.四校鉗如BCD的底面A8CD是平行四邊形.BA=BD=丘,

AD-2,PA=〃)=底E.F分別是枝AllPC的中點.二面角〃-AD-8為

60.

；PA?77)=石,E為AD中點，.'.PEIAD.

?:RA=RD=J1.E為AD中點.，BE±AD.

,:PEcBE=E?：.ADI平面PBE.

；P8u平面PBE,7.AD1PB,

?/AD=2.E為AD中點.

(1)證明：平面PKC1平面ABCDi

,AE=ED=1.由勾股定理得：PE=4Pl>-EI彳=>/^T=2.

(2)求直戊仃。平面“0C所成角的正弦值.

【分析】

,.?RA'SMAD',由勾股定理逆定理可得：RSBD.

<1>作出輔助紋，由余弦定理求出PB,從而由勾股定理逆定只得到紋找垂

?.從而證明紋面來直.再到曲面眼自：

BE=-AD=l

/.2,

證明：(1)VBE±AD.PE±AD,，/PEB即為二面角〃-4)-5的平面角，

連接PE?BE.

7.ZPFB=W.

在三角形PEB中，由余景定理得；

/次=PE；+由-2PEQ8S&F=4+|-4X1=3，?"?依f，

2

?/PB2+BE'=PE2.：.PH±BE.

(1)證明：由咫意。AH1AD.AHLAF,ADQ4F=4,且A/)M尸u平而

/為，平面

/WD8E=E....ABCD.ADF,，/也，平面入。「；

■:PBuf面P8C.，甲面PBCJ_TlftlABCD

又,.?AB||<7),\CDA平面ADF.

而CDu平面CD".「.平面3J_平加C/"產：

例6.如圖，在水平放置的立角悌形ABCD中，

.以A8所在長線為軸，將A8CD向上

旋轉角。得到人僚丁，其中"w(Q0.

例7.如圖.在四校伴產-ABC。中.出面ABCD是邊長為2的菱形，PB=PC,

M為BC中點,RDM=&

⑴證明：平面皿」平面C/)/芭：

⑵若邛面4)尸與平面BCE的夾角余弦值不超過且,求。的越國.

3

【鞫析】

⑴求由平面"叱，平面PMD：

(1)首先利用線面垂直的判定定理證明八8J.平面人川"又由A81|C。可證

￡

⑵公平面PBCJ.平［肌ABCD.三棱錐M-PQ的體枳為5.求二面角

(7〃平面ADF，內根據曲面垂1*1的判定定理"I證平面八小“平面ClyFEt

8-PC-O的余弦值.

【解析】

(1)結合匕知條”及找面幅直的判定定理i正明C“，平面PDM,再由面面

垂宜的判定定理即可證明：

又BCu平面P8C,

(1)證明：

::2::

?.?在菱形ABCD中，D^+GW=(V3)+i=2=ZM'\CMA.IJM,，平面/WCL平面R4C；

"：PB=PC,M為6c的中點，.二PM1CM.

V/M/cPM=jVf,「.CM1平面PMD.

又CAIu平面DMC/.平面/JW平面PMD.

例8.如圖，A8是R1O的直徑，點C是呻。上異于A.8的點,直線PCI平

面ABC.

⑴證明：平面尸6C_L平面PAC：

(2)設AB=PC=2.AC=6求二面角"-PA-C的余弦值.

【解析】

<1>易用8c_LAC,根據線向垂向的件項可得PCJLWC,從而可用AC1.平

而少人C.再根據面而重食的判定定理即可出證：

(1)證明：QAB是1580的直徑人C.

又?.?小,平面人/?。,BCcTlftiAfiC.：.PC1BC.

題型二：面面垂直性質定理的應用.

■.PCr\AC?C,且PC?./^匚平而尸人^^二南,平面分。.

:.AB:=AD2^BD2，/ADR=90,BD1AD

規律：凡是已知條件中有面面垂直的，都要用到面面垂直的性質定

理,注意：面面垂直性質定理有三個核心條件，缺一不可！

又?.?平?面PA7)_L+面A/，C〃,H.平面川0c乎而?月C/)=A。

醫秀工找出兩平面的交線，—并在兩平面中找出垂直于交線的垂豉二|

RDA.T-Ifil/MD,平面MAD1Tlfij/MD.

例1.如圖，在四枝維P-A8CQ中，平而小。，平由以雙刀，

取的中點連接作〃

AB//DC,APAD為等邊三角形，己知(2)ADO.PO.D_LA8jH

???△PAD為等邊三角彩,o為AD中點..POLAD

BD=2AD=8.^5=2DC=475.(1)設M為PC上一點，證明：

又?.?平而/aD_L平面A"CD,且平面上4Dc平面ABCD=AD

平面例/〃)_L平面始。：(2＞求四校錐P-AHCD體枳.

:.PO1平面A3CY>又：在正AP40rp.AD=4;.P0=?￡

■<-在RIAAD沖,4Dm=48DH,AD=4,BD=&4B=47J

分析：要證平面M6Q1平面以D?因M為上動點，故只需證

平面月U)即可.而條件中的平而用/51平面4Hm是?定

要用上的，其交線為AQ,故只需證8QJ4DRP可.

(1)證明，在中.8。=8.4D=4.AB=4\/5

例2.如圖.在四幡IFP-/WCD中,

AD=2,.-Ui=BC=CD=l,BC//AD.=平面AM/f_L平面又?.?平面PAB±fii4ficn.fifii?，t?c平面ABCD=AB.

ARCD.工HOI平面辦".nniPA.

XA4J.AD.A/)nW)=。，

J.P4_L平面從8C〃：

(2)A。。平面尸8。所成用的正弦值為手，求：.根推。-刖)的衣面枳.

【解析】

(1)取AD中點為Q,也題意可用"Q=C/>=I=Q/>=QA.二,\B±RD.

乂平面尸AA_LF面ABCD,可得8D，平面，ND_L/Ot.由城面并

直的判斷定理叩町證明;

⑴證明：取A。中點為Q.

?.，花四校錐尸-ABC。中.AD=2.AB=BC=CD=\.6C〃AD,

」.AC/Q).”6C=Q。..?.四邊形6CDQ為平行四邊杉.

BQ=CD=\^QD^QA.

例3.m，四校雄尸-AWCD中.側面/明。為等邊三角形且率比于底面

「.ASLBD，

AHCD.=ZfiAD=ZAflC=90°.E為AO的中點.PAD.APEJ_平面A8c。，

AB\nABCD.：.PELAB:

例4,如圖，在三技惟P-ABC中，平面產，記,平面心,打,平面相。.

{1}證明：PELAB；

⑵若Z\/M面枳為&?求點&到曲小C的距離.

1解析】

【分析】

⑴求證：BCJ.平面PAC：

(1)由平面色M>L平面ABCD,根據血血垂直性質定理證明/%_!.平面

(2)若AC=6C=附，求一面用A-WLC的大小.

八BCD.由此證明"J./W，

【解析】

【分析】

⑴*明:

(1)作AO1PC于0,先證ADJ.平面P8C,^ADIBC,又PA_LBC,

?.?住等邊三角形MAD中.￡為人￡>的中點..1.PELAD.

即可證得月CJ■平面P4C：

乂；平面產人"1_平面八80干面PAOCI而AACX/tQ.PEu平面

(1)證明:

的菱形.PA^PD,平面粗。承EU取SM8C。，G為AQ邊

的中點.求證：

WADIPCiI),

?.?平面PAC1平面P/K',平面PACf］平面/ADu平面小C.

H!ibW±Ti&iP0C,

(l)RGJ■平面PAD；

又???HCu平面PKC.則ADIBC.

(2)若PA=AB=6,求名向體PAHCI)的體枳.

又PA_L平聞ARC.8Cu平面PRC,則/認18c.又尸A.ADu平面

v【解析】

PAC,/以c/V)=A,則改'If面PAC；

【分析】

<1)利用面〃八/)J.而AHO得到M_L平面PADz

⑴證明?

V四邊形ABCD是N/M8=的菱形，

，△川駐)為等邊三角形，又G為AD的中點，.?."G_L4D,

又二?平面也