PAGEPAGE1第一部分運動的描述基本要求一、了解描述運動的三個必要條件：參考系（坐標系），恰當的物理模型（質點、剛體），初始條件。二、熟練掌握用矢量描述運動的方法，即掌握的矢量定義式及其在直角坐標系、自然坐標系的表示式。學習指導一、內容提要1、描述物體運動的三個必要條件（1）參考系（坐標系）：由于自然界物體的運動是絕對的，只能在相對的意義上討論運動，因此，需要引入參考系，為定量描述物體的運動又必須在參考系上建立坐標系。（2）物理模型：真實的物理世界是非常復雜的，在具體處理時必須分析各種因素對所涉及問題的影響，忽略次要因素，突出主要因素，提出理想化模型，質點和剛體是我們在物理學中遇到的最初的兩個模型，以后我們還會遇到許多其他理想化模型。讀者在學習中要著重體會：每一個物理模型是在什么條件下提出的？如何根據具體問題建立理想化模型？培養這種能力對提高一個人的科學素養是非常重要的。質點適用的范圍是：或者是物體自身的線度遠遠小于物體運動的空間范圍；或者是物體作平動。如果一個物體在運動時，上述兩個條件一個也不滿足，我們可以把這個物體看成是由許多個都能滿足第一個條件的質點所組成，這就是所謂質點系的模型。如果在所討論的問題中，物體的形狀及其在空間的方位取向是不能忽略的，而物體的細小形變是可以忽略不計的，則須引入剛體模型，剛體是各質元之間無相對位移的質點系。（3）初始條件：指開始計時時刻物體的位置和速度，（或角位置、角速度）即運動物體的初始狀態。在建立了物體的運動方程之后，若要想預知未來某個時刻物體的位置及其運動速度，還必須知道在某個已知時刻物體的運動狀態，即初臺條件。2、描述質點運動和運動變化的物理量（1）位置矢量：由坐標原點引向質點所在處的有向線段，通常用表示，簡稱位矢或矢徑，在直角坐標系中（1—1）在自然坐標系中（1—2）在平面極坐標系中（1—3）（2）位移：由超始位置指向終止位置的有向線段，就是位矢的增量，即（1—4）位移是矢量，只與始、末位置有關，與質點運動的軌跡及質點在其間往返的次數無關。路程是質點在空間運動所經歷的軌跡的長度，恒為正，用符號表示。路程的大小與質點運動的軌跡開關有關，與質點在其往返的次數有關，故在一般情況下：（1—5）但是在時，有（1—6）由于矢量的增量既有方向改變又有大小的改變，故應區分不同，不同。（3）速度與速率：平均速度（1—7）平均速率（1—8）因此，平均速度的大小（平均速率）質點在時刻的瞬時速度（1—9）質點在時刻的速度（1—10）由（1—6）式知（1—11）可見瞬時速度的模就是瞬時速率。在直角坐標系中（1—12）式中，分別稱為速度在軸，軸，軸的分量。在自然坐標系中（1—13）式中是軌道切線方向的單位矢。位矢和速度是描述質點機械運動的狀態參量。（4）加速度：（1—14）加速度是描述質點速度變化率的物理量。在直角坐標系中（1—15）式中，，，分別稱為加速度在軸、軸，軸的分量。在自然坐標中（1—16）式中，是加速度是軌道切線方向和法線方向的分量式。3、運動學中的兩類問題（以直線運動為例）（1）已知運動方程求質點的速度、加速度，這類問題主要是利用求導數的方法，如已知質點的運動方程為則質點的位移、速度、加速度分別為（1—17）（2）已知質點加速度函數以及初始條件，建立質點的運動方程，這類問題主要用積分方法。設初始條件為：時，若，則因所以即（1—18）（1—19）若，則因，所以（1—20）求出，再解出代入（1—17）式即可求出運動方程。若，是因，有（1—21）4、曲線運動中的兩類典型拋體運動若以拋出點為原點，水平前進方向為軸正向，向上方為軸正向，則（1）運動方程為（2）速度方程為（3）在最高點時，故達最高點的時間為（1—22）所以射高為（1—23）飛得總時間水平射程（1—24）（4）軌道方程為（1—25）圓周運動（1）描述圓周運動的兩種方法：線量角量（1—26）線量與角量的關系：（1—27）（2）勻角加速（即=常數）圓周運動：可與勻加速直線運動類比，故有（1—28）（3）勻變速率（即常數）的曲線運動；以軌道為一維坐標軸，以弧長為坐標，亦可與勻加速直線運動類比而有（1—29）（4）勻速率圓周運動（即）：它在直角坐標系中的運動方程為（1—30）軌道方程為：（1—31）5、剛體定軸轉動的描述（1）定軸轉動的角量描述：剛體在定軸轉動時，定義垂直于轉軸的平面為轉動平面，這時剛體上各質點均在各自的轉動平面內作圓心在軸上的圓周運動。在剛體中任選一轉動平面，以軸與轉動平面的交點為坐標原點，過原點任引一條射線為極軸，則從原點引向考察質點的位矢與極軸的夾角即為角位置，于是一樣可引入角速度，角加速度，即本書對質點圓周運動的描述（1—26），（1—27），（1—28）式中在剛體的定軸轉動中依然成立。（2）剛體定軸轉動的運動學特點：角量描述的共性——即所有質點都有相同的角位移、角速度、角加速度；線量描述的是個性——即各質點的線位移、線速度、線加速度與質點到軸的距離成正比。6、相對運動的概念（1）我們只討論兩個參考系的相對運動是平動而沒有轉動的情況，設相對于觀察者靜止的參考系為S，相對于S系作平動的參考系為，則運動物體A相對于S系和系的位矢、速度、加速度變換關系分別為：（1—32）（2）上述變換關系只在低速（即）運動條件下成立，如果系相對于S系有轉動，則（1—32）式中的速度變換關系亦成立，而加速度變換關系不成立。二、重點、難點分析1、關于矢量性（1）注意區分矢量A的增量的模和模的增量在運動學中要區分：上述關系可用圖1—1表示圖中，表示矢量的增量，故矢量增量的模當然表示為，而，表示矢量A的模的增量由此可知：（2）切忌將矢量與其模連等：例如下面的等式就是一種錯誤的書寫方式。（2）用矢量方法來描述物理規律，其優越性在于：a.具有鮮明的物理意義；b.簡潔的數學形式及對于各種坐標系保持不變的形式。具體運算時，常將各矢量寫成坐標分量式，如一個作平面曲線運動的質點，其加速度a可分別表示為：即如圖1—22、關于瞬時性在中學讀者所遇到的物理量都是恒量，如勻加速（即=常量），恒力作用（即F=常量），但在大學物理中我們接觸到的基本上是變量，如=(t)，F=F（t）等。因此，必須應用微積分的知識。在運動學中，從運動方程求速度、加速度主要是求導的方法；從速度、加速度和初始條件求運動方程主要是用積分的方法，當被積函數的變量與積分元的變量不一致時，要通過恒等變換使得兩者一致。例如，一質點的加速度=3－5x，求其速度表示式。顯然，若只是簡單地寫成下式：是不能完成題目所求的。因為等式右邊被積函數（3－5x）是x的函數，而積分變量是t，為完成這個積分，須進行下面的恒等變換：因為所以若設初始條件為，則有積分解得作定軸轉動的剛體同樣存在兩類問題，即已知剛體定軸轉動的運動方程求角速度、角加速度；已知剛體定軸轉動的角加速度的函數及初始條件，求運動方程。對這些知識、能力的要求與質點在直線運動中的要求相同，此處不再重復。3、關于相對性式（1—32）描述的是同一個運動在兩個平動參考系中的運動學量之間的轉換關系。正確運用（1—32）式的關鍵是明確每個運動學量與觀察者之間的關系，即要區分“牽連”、“相對”、“絕對”等物理量。例如：為牽連位矢，為相對位矢，為絕對位矢。遵從（1—32）式適用的條件和范圍是正確運用的另一個關鍵。4、自然坐標系大家不太熟悉，因而是難點之一，這里的關鍵是記住下面一組公式并能熟練應用例如一質點沿半徑為R的圓周按規律運動，b，c均為常數，且，則其切向加速度和法向另速度相等所經歷的最小時間是多少？解：由于故當時，解題示例例1—1質點作平面曲線運動，已知，求：（1）質點運動的軌道方程；（2）地的位矢；（3）第2內的位移和平均速度；（4）時的速度和加速度；（5）時刻t的切向加速度和法向加速度：（6）時質點所在處軌道的曲率半徑。解：（1）由運動方程消去t，得軌道方程為：（2）時的位矢，大小為，方向由與軸的夾角表示。（3）第2內的位移為，大小，方向與與軸成，平均速度的大小不能用表示，但它的分量可表示為。（4）由大小。即為恒矢量，（5）由質點在時刻的速度，得切向加速度，法向加速度。注意：，因為表示速度大小隨時間的變化率，而表示速度對時間變化率的模，切向加速度是質點的（總）加速度的一部分，即切向分量，其物理意義是描述速度大小的變化；法向加速度則描述速度方向的變化。（6）由時所求的曲率半徑為例1—2一質點沿軸作直線運動，其加速度為時，質點以的速度通過坐標原點，求該點的運動方程。解因為t=2時,v=12，故c1=0又因為t=2時,，故c2=－8，故例1—3例1—3圖所示，一輕彈簧B的右端固定，左端與小球A連接，自然放置在光滑水平面上，因受到來自左方的突然打擊，使小球獲得水平向右的初速度v0，此后小球的加速度與它離開初始位置O的位移的關系為為正常數，求（1）小球速度與位移x的函數關系：（2）小球的運動方程。解本題未明確給出初始條件，但初始條件可任意給定，現取小球的在初始位置的時刻為零時刻，O為坐標原點，則初始條件為：（1）由兩邊積分，得即（2）由兩邊積分利用積分公式，運動方程為，即小球在O點附近作簡諧振動。例1—4質點沿半徑為R的圓周運動，運動方程為為正常數。求：（1）切向加速度和法向加速度；（2）加速度；（